Tema: Sannsynlighet Aktiviteter: Kronestykker 5 ulike cola-typer beger papir og blyant karameller og 3 kinderegg Tidsbruk: 2 timer Utstyr: Anskaffelse av utstyr: Dette er utstyr de fleste har fra før. Beskrivelse: 1) Mynt og kron Når man kaster en mynt kan man få enten mynt eller krone. Hva skjer dersom man kaster to mynter? Mulige utfall er da: MM, KK eller MK. Hvilke muligheter har man når man får 1 mynt og 1 kron? Er det bare en mulighet? Få elevene til å forklare. Ettersom det er to kronestykker kan dette skje på to måter: Nr 1 får M og nr 2 får K, eller nr 1 får K og nr 2 får M. Tegn et slikt skjema og fyll inn: Mynter. Fordeling av ulike Totalt antall mulige kombinasjoner 1 mynt 1 1 2 2 mynter 1 2 1 4 3 mynter Hva skjer på neste? Gi elevene i oppgave å prøve med 3, 4, 5, 6, 7 og 8 mynter og finne antall kombinasjoner. Oppfordre elevene til å skrive på eget ark med M og K som symboler. Hva har elevene kommet fram til. Ser de et mønster? Er det mulig å
slippe å prøve alle opp til åtte mynter? Elevene har funnet ut at det er 8 kombinasjoner av 3 mynter. Noen vil sikkert se at 16 må være neste mulige antall fordi det hele tiden dobles. Skriv inn 1 3 3 1 som linje 3 i tabellen. Se litt mer på talltrekanten, dvs kolonnen i tabellen som viser fordeling av ulike kombinasjoner. Elevene har kanskje noen ideer om hvordan mønsteret utvikler seg videre. La dem få forklare hva de tror. Hvis noen har lest Talldjevelen vil de gjenkjenne dette som Pascals talltrekant. Gi noen hint slik at elevene blir klar over mønsteret. Jobb så med 4 mynter. Hvor mange måter kan vi få bare K på? Hvor mange måter kan vi få to K på? Hvor mange måter kan det være 3 K på? Skriv opp alle mulige kombinasjoner på tavla og telle opp. Da ser man at tallet i midten må være 6, slik at de får 1 4 6 4 1 Hvordan blir den neste linja? Hvis man ser på mønsteret tyder det på at det må være 1 og 5 først og så 5 og 1 sist. Hvilke tall skal stå i midten? Hvor mange tall skal stå i midten? Skriv ned antall kombinasjoner av mynt og kron for 5 mynter på tavla. Ettersom ytterkantene, dvs 1 og 5 på hver side allerede er fylt ut mangler to utfall i midten. Hvordan er mønsteret? Hvordan fortsetter trekanten nedover nå da? La elevene få forklare. Gi noen hint hvis ingen ser mønsteret ennå. For eksempel at man kommer frem til et tall på ei linje ved å legge sammen de to tallene som er plassert rett over i linja ovenfor. Man får 4 i linje 4 fordi 3 + 1 = 4. Fireren plasseres på linja under, midt mellom 1 og 3 på linja over. Forklar gjerne flere mønster i talltrekanten. I første diagonal øker tallene med 1, i den neste øker det med en mer hele tiden. Fyll ut tabellen slik at den blir komplett for 8 linjer. Pascals talltrekant finnes i mange lærebøker, så det kan godt hende mange har sett den der. En diagonal representerer håndtrykkene vi pratet om på forrige matteklubb, det er diagonalen 1 3 6 10 15 21-28 Gjør elevene oppmerksom på symmetrien i tabellen. Trekanten viser at MMK gir likt antall kombinasjoner som MKK. Hvor stor sannsynlighet er det for å få mynt eller krone når man kaster en mynt? Hvor stor er sjansen for å få MM ved kast med to mynter? Mange vet sikkert fra tidligere at dette er 25 prosent, men man kan også se i tabellen for å finne det ut. I tabellen ser vi at det er 1 + 2 + 1 = 4 mulige utfall, og ettersom det er 100% totalt får vi: 100% / 4 = 25 % Hva er sannsynligheten for å få MK ved kast med to mynter da? Av tabellen ser vi at det er 2 måter å få MK på, og svaret blir derfor 2/4 = 50%.
Hvor stor sannsynlighet er det for å få bare kron eller bare mynt når man kaster med 8 mynter? Ved å legge sammen tallene i den 8.linja i trekanten kommer man frem til at det er 1/256 sjanse for å få det til. Det er ganske lite. 2) Cola-test A) Cola eller Pepsi Gjør klar beger med brus på forhånd. Hver matteklubbdeltaker skal ha 8 beger, nummerert fra 1 til 8. Bestem at det er Cola i 5 av begrene, og Pepsi i de 3 andre. Fyll begra med brus, slik at alle begra merka 1 får samme type, alle merka 2 får samme type osv. Disse forberedelsene gjøres på et annet rom slik at elevene ikke ser hvilken brustype det fylles i begrene. Begrene må ikke fylles, det må være bare en liten skvett. Hent begrene til rommet der elevene venter. Hver elev får forsyne seg med ett beger hver. Elevene vet ingenting om hvor mange beger som er fylt med Cola og hvor mange som var fylt med Pepsi. Det eneste de får vite er at det er enten Cola eller Pepsi i hvert av begrene. La elevene få god tid til å smake. Når man bruker plast eller pappbeger kan noe av kullsyra forsvinne. Dermed kan brusen bli verre å karakterisere, men dette er likt for alle. Elevene smaker og noterer svarene sine. Hele gruppa kan på forhånd bestemme om det er lov å diskutere med sidemannen eller ikke. Når alle har smakt og tenkt seg om ryddes begrene vekk og oppsummeringen starter. Elevene bytter ark med sidemannen når fasiten skal gjennomgås. Skriv opp hvor mange som har samme antall riktige. Det store spørsmålet nå er om de med 7 rette virkelig er Cola-kjennere eller om de bare hadde flaks? Hvis man bare gjetter vilt har man 50 prosent sjanse for å gjette riktig. Vi hadde 8 glass, og det blir i prinsippet akkurat som å kaste 8 mynter. Tidligere har vi funnet ut at da har vi 256 muligheter. Tegn 8 glass på tavla for å illustrere. Dersom man har 7 rette har man en feil, og hvor kan denne feilen ligge? Ved å gå inn i Pascals talltrekant finner man ut at det er 8 muligheter for å få 7 rette, og at man til sammen har 256 mulige utfall. Det gir: 8/256 = 1/32 sjanse for å få 7 rette. Det vil si at ved ren gjetting kan 1 elev i en klasse på 32 elever få 7 rette av 8.
Er det godt gjort å få 6 rette. De går inn i talltrekanten og finner at det er 28 muligheter å få 6 rette på. Dette gir: 28/256 1/9. Reflekter litt over at det er like vanskelig å få 2 rette som det er å få 6 rette. B) Hvilken Cola-type? Elevene får nå et beger av hver merket med bokstavene A-E. De får vite at det er 5 ulike sorter brus i dem, og at de ulike Cola-variantene er: Cola- light, Pepsi, Tab Xtra, Cola og Pepsi Max. Klargjøring av disse begrene gjøres også på forhånd. La elevene få god tid til å smake og eventuelt diskutere. Også nå noterer de svarene. Når fasiten skal gjennomgås bytter de ark med sidemannen. Fikk noen alle riktige? Er det noen som fikk bare en feil? Hvorfor var det i tilfelle ikke det? Det er jo ikke mulig å få bare en feil. Dersom man har skrevet en brustype på feil sted må nødvendigvis en annen også være feilplassert. Veldig godt poeng! Hvor mange forskjellige muligheter har vi for å stokke de 5 brussortene på? Bruke runde brikker som konkretiseringsmiddel. Vise på overheaden hvordan dette kan gjøres. De fem forskjellige begrene er representert av brikker med ulike farger. De fem fargene må kombineres på en eller annen måte. På denne måten finner vi ut hvor mange måter det er å stokke de ulike brussortene på. Gi elevene tid for seg selv til å prøve, individuelt eller flere sammen. Det kan være greit å tipse dem om å starte med to brikker og skrive ned alle kombinasjonene, fortsette med 3 osv, og skrive ned alle kombinasjonene. Se om de oppdager et system. Gi dem et hint: Hvor mange forskjellige måter kan den første plasseres på? Dette kan gjøres på 5 måter. Hvor mange måter kan jeg plassere den neste på når den ene plassen allerede er fastsatt? Dette kan gjøres på 4 måter. Hvor mange plasser blir det til sammen da? De må få tid til å tenke seg om. Få elevene til å forklare at det blir: 5 4 3 2 1 = 120. Dersom den ene er plassert er det bare 4 plasser på som den neste kan plasseres på, osv. Ettersom det er 120 muligheter vil det si at det er godt gjort å gjette riktig på alle. Hva med å få 2 av 5 rette da? Hva er muligheten for det? RRRFF. Se på alle kombinasjonene av 3 rette og 2 feil. Gjør dette raskt sammen, og finn at det er 10 måter. Vi får da: 10/120 = 1/12. Derfor er det ikke så usannsynlig at noen skal få 3 rette og 2 feil. Bare feil er like vanskelig som alle rett. Det er mulig å få en rett, men å få bare en feil er umulig i denne oppgaven.
3) Geit og Mercedes, eller karamell og kinderegg Dette er en oppgave fra et amerikansk tv-program. Oppgaven består av at man har 3 dører. Bak en av dørene skjuler det seg en fin gevinst, mens det er to gevinster det ikke er verdt å vinne bak de to andre dørene. Bruk karameller bak to av dørene, og et kinderegg som hovedgevinst bak den siste døra. Velg ut 3 elever som kan hjelpe deg. Ta med disse 3 elevene ut på gangen. Bestemmer hvem som skal ha kinderegget, de to andre får karamellene. Kinderegget og karamellene legges i et pappbeger, og elevene holder hånda over slik at de andre matteklubbdeltakerne ikke klarer å se hvem som har kinderegget. De 3 går inn og stiller seg foran resten av gruppa. En av klubbdeltakerne får være førstemann til å velge. Hun velger en dør. Klubblederen åpner nå en av de to andre dørene, den hvor det er en karamell. Velgeren kan nå enten stå fast ved valget sitt, eller velge å bytte til den andre døra. Når velgeren har bestemt seg åpnes den døra, og velgeren får premien som skjuler seg. Gjør dette flere ganger. Ser vi en tendens til hva som lønner seg? Klubblederen må presisere at hun vet hvor kinderegget befinner seg. Lønner det seg å bytte eller beholde? Til neste matteklubb kan de tenke på den matematiske begrunnelsen for dette. Forklaringen er denne: Det er viktig å kjenne definisjonen for sannsynlighet som antall gunstige delt på antall mulige: S = (antall gunstige) / (antall mulige) I starten har den som skal velge dør 3 alternativer. Bare en av dem gir gevinst. Dvs antall gunstige er 1 og antall mulige er 3. Sannsynligheten for å gjette riktig er lik 1/3. Konkurranselederen, som vet hvor toppgevinsten skjuler seg, sørger for at en dør uten toppgevinst blir åpnet. Nå er det bare to alternativer igjen å velge mellom, antall mulige er redusert til 2 dersom den som spiller velger å ombestemme seg. Sannsynligheten for å gjette riktig er lik 1/2. Sannsynligheten for å gjette riktig hvis du ikke bytter dør er fortsatt lik 1/3, den er uforandret selv om en dør åpnes. Sannsynligheten for å gjette riktig er altså større hvis man velger å bytte dør. 3) Oppsummering Oppsummer de ulike aktivitetene vi har gjort i dag. Hva synes elevene om de ulike måtene å jobbe med sannsynlighet på?