Øving 5 Diagonalisering En matrise A er diagonaliserbar dersom den er similær med en diagonalmatrise, dvs. det eksisterer en invertibel matrise P og diagonal matrise D slik at P.D.P -1. I øving 4 lærte du at to similære matriser A og B har samme egenverdier. De har også samme determinant og andre felles egenskaper. At A og D har samme egenverdier, betyr videre at det er egenverdiene til A som blir elementer på diagonalen i matrisen D, for vi har lært at egenverdiene til en diagonalmatrise må være nettopp elementene på diagonalen. Determinanten til en diagonalmatrise er lik produktet av diagonalelementene. At A og D har samme determinant, betyr at determinanten til en diagonaliserbar matrise A er lik produktet av egenverdiene til A. Egenverdiene til D står på diagonalen til D, og de er altså de samme som egenverdiene til A. Første anvendelse av diagonalisering er muligheten til å beregne høyere potenser av en matrise på en enkel måte. Det kommer av at diagonalmatriser er spesielt enkle å multiplisere sammen. Bokstaven D er beskyttet i Mathematica fordi symbolet står for derivasjon. Hvis du vil bruke D som variabel for diagonalmatrisen, må du fjerne beskyttelsen innebygget i Mathematica. ( Andre beskyttede bokstaver er C,E,I,N). Unprotect@DD; Clear@a, bd D = K D.D a2 a O; b b2 MatrixPower@D, kd ak bk Å multiplisere diagonalmatriser med seg selv k ganger, er derfor det samme som å opphøye diagonalelementene i k - te potens. Når A er diagonaliserbar, gjelder P.D.P -1. Da er A2 º A. P.D.P -1 P.D.P -1 = P.D2.P -1. Gjentar vi prosesssen, finner vi: Ak = P.Dk.P -1. Siden Dk kan skrives opp direkte, kan Ak beregnes ved to enkle matrisemultiplikasjoner selv om k er et stort tall. Å matrisemultiplisere A med seg selv k ganger direkte kan være en formidabel oppgave når k p 1. Matrisen P viser seg å bestå av egenvektorene til A på søylene. Beviset kan du evt. lese i Lay, kap.5.3. Vi har derfor en oppskrift på å diagonalisere en matrise. Bestem alle egenverdiene til A, og plasser dem diagonalt på D. Bestem egenvektorene til A og plasser dem søylevis i matrisen P. Søylene i P korresponderer med søylene i D slik at egenvektorer og egenverdier hører sammen. Sjekk at P.D.P -1. Den diagonaliserte matrisen er derfor D = P -1.A.P Vi ser på et eksempel:
Matrisen P viser seg å bestå av egenvektorene til A på søylene. Beviset kan du evt. lese i Lay, kap.5.3. Vi har derfor en oppskrift på å diagonalisere en matrise. 2 Bestem alle egenverdiene til A, og plasser dem diagonalt på D. Bestem egenvektorene til A og plasser dem søylevis i matrisen P. Søylene i P korresponderer med søylene i D slik at egenvektorer og egenverdier hører sammen. Sjekk at P.D.P -1. Den diagonaliserte matrisen er derfor D = P -1.A.P Vi ser på et eksempel: Eks 1-4 3 3 2-3 -2 ; -1-2 Undersløker om A kan diagonaliseres: Eigenvalues@AD 8-5, -3, -1< Eigenvectors@AD 3-2 1 3-2 3-1 -2 1 Egenverdiene brukes ti lå definere diagonalmatrisen : D = -5-3 ; -1 Egenvektorene er radene i egenvektormatrisen ovenfor. Matrisen P skal ha disse vektorene søylevis. Dette får vi til ved å transponere matrisen: P = Transpose@Eigenvectors@ADD 3 3-1 -2-2 -2 1 3 1 Vi sjekker at prosessen er vellykket : P.D.Inverse@PD -4 3 3 2-3 -2-1 -2 = P.D.Inverse@PD For at prosessen skal lykkes, må vi ha nok lineært uavhengige egenvektorer til å danne alle søylene i P. I øving 4 nevne vi at distinkte egenverdier gir lineært uavhengige egenvektorer.i vårt eksempel fant vi tre forskjellige egenverdier, og matrisen var derfor diagonaliserbar. Vi så også i øving 4 at når to egenverdier var sammenfallende, var det ikke lenger sikkert at vi fant nok lineært uavhengige egenvektorer. Et viktig teorem slår fast: En n x n matrise A er diagonaliserbar hvis og bare hvis A har n lineært uavhengige egenvektorer.
Eks 2 6-2 -1-2 6-1 ; -1-1 5 evals = Eigenvalues@AD 88, 6, 3< ev = Eigenvectors@AD -1 1-1 -1 2 1 1 1 Det@evD 6 Når det ¹ er radene (og søylene) lineært uavhengige. Vi kan danne matrisen P og konkluderer med at A er diagonaliserbar. P = Transpose@evD -1-1 1 1-1 1 2 1 D = DiagonalMatrix@evalsD 8 6 3 A P.D. Inverse@PD Som eksempel på anvendellse beregner vi A5 : MatrixPower@D, 5D 32 768 7776 243 P.MatrixPower@D, 5D.Inverse@PD 17 761-15 7-2511 -15 7 17 761-2511 -2511-2511 5265 Sjekk : MatrixPower@A, 5D 17 761-15 7-2511 -15 7 17 761-2511 -2511-2511 5265 3
4 Eks 2 3-2 4-2 6 2 ; 4 2 3 Eigenvalues@AD 87, 7, -2< ev = Eigenvectors@AD 1 1-1 2-2 -1 2 Det@evD 9 Når det ¹ er radene (og søylene) lineært uavhengige. Vi kan danne matrisen P og konkluderer med at A er diagonaliserbar. P = Transpose@evD 1-1 -2 2-1 1 2 D = 7 7 ; -2 A P.D. Inverse@PD Legg merke til at matrisen i dette eksemplet er symmetrisk: A Transpose@AD Vi har nevnt før at symmetriske matriser har spesielle egenskaper utover symmetrien. Du finner alltid n lineært uavhengige egenvektorer for en n x n symmetrisk matrise, slik at symmetriske matriser alltid er diagonaliserbare. Det gjelder altså også når egenverdiene ikke er distinkte. Vi repeterer eksempel 4 i øving 4. Eks 3 1 3 3-3 -5-3 ; 3 3 1 evals = Eigenvalues@AD 8-2, -2, 1<
evecs = Eigenvectors@AD -1 1-1 1 1-1 1 Egenvektorene er lineært uavhengige : Det@evecsD -1 P = Transpose@evecsD -1-1 1 1-1 1 1 Bygger diagonalmatrisen med egenverdiene på diagonalen D = evals IdentityMatrix@3D -2-2 1 A P.D. Inverse@PD Matrisen A har to sammenfallende egenverdier, men er diagonaliserbar fordi vi finner tre lineært uavhengige egenvektorer. Eks 4 2 4 3-4 -6-3 ; 3 3 1 evals = Eigenvalues@AD 8-2, -2, 1< Vi har altså to like egenverdier. evecs = Eigenvectors@AD -1 1 1-1 1 Egenvektorene er lineært uavhengige : Det@evecsD Her har vi bare to lineært uavhengige egenvektorer, og det (evecs) =. Det ser vi direkte fra rad 2. Nullvektor er ingen egenvektor. Vi kan konkludere med at A ikke er diagonaliserbar. Prøver du å bygge opp matrisen P, finner du at den er singulær ( ikke invertibel). Prosessen stopper opp. 5
6 P = Transpose@evD -1 1 1-1 1 Inverse@PD Inverse::sing : Matrix -1 1 1-1 1-1 1 1-1 1 is singular. -1 Oppgave 1 Gitt matrisen 5-8 -1 7. Begrunn hvorfor A er diagonaliserbar uten å regne ut egenverdier. 2 Bestem en invertibel matrise P og diagonalmatrise D slik at P.D.P -1 Beregn A4 på enklest mulig måte. Tilleggsspørsmål: Er A invertibel? Er D invertibel? Oppgave 2 Gitt matrisen 1 2-1 2 3. Begrunn hvorfor A er diagonaliserbar uten å regne ut egenverdier. -1 3 Angi matrisene P og D og kontroller at P.D.P -1 Beregn A3 på enklest mulig måte. Oppgave 3 Gitt matrisen 9-4 -2-4 -56 32-28 44. Undersøk om A er diagonaliserbar. -14-14 6-14 42-33 21-45 Hvis ja, angi matrisene P og D og kontroller at P.D.P -1