Forelesning 10 Cramers regel med anvendelser Eivind Eriksen 25. mars 2010
Lineære likningssystemer Vi minner om at ethvert lineært likningssystem Ax = b kan løses ved hjelp av Gauss eliminasjon, som er en metode eller algoritme. Vi bruker elementære radoperasjoner på den utvidede koesientmatrisen (A b), og leser av eventuelle løsninger fra den redusert trappeformen til (A b). Noen ganger er det nyttig å ha en formel for å kunne løse lineære likningssystemer. Hvis A er en kvadratisk og invertibel matrise, så har vi allerede sett at x = A 1 b er en formel for løsningen av likningssystemet. For å bruke denne formelen, må vi regne ut den inverse matrisen A 1.
Cramers regel La Ax = b være et lineært likningssystem, og anta at A er en invertibel n n-matrise. Vi skriver A = (a1 a2... a n ) ved hjelp av kolonnevektorer. Cramers regel La A i (b) = (a1 a2... b... a n ) være matrisen vi får dersom vi bytter ut kolonne a i fra A med vektoren b. Da sier Cramers regel at Ax = b har nøyaktig en løsning x = (x 1, x 2,..., x n ), gitt ved x i = det(a i(b)) det(a) for i = 1, 2,..., n Dette gir en ny formel for løsningen av Ax = b, som er basert på determinanter.
Et eksempel Vi ser på likningssystemet Ax = b, gitt ved ( ( ) ( 3 2 x1 6 5 4 ) x 2 = 8 ) I dette tilfellet er det(a) = 3 4 ( 2) ( 5) = 2, så A er en invertibel matrise. Vi kan dermed bruke Cramers regel: (... 2 A 1 (b) =... 4 ), A 2 (b) = ( 3 )... 5... x 1 = 6 2 8 4 A = 40 2 = 20, x 2 = 3 6 5 8 A = 54 2 = 27
Lineære systemer med parametre I Vi ser på et likningssystem Ax = b med parameter s, gitt ved ( ( ) ( ) 3s 2 x1 4 6 s ) x 2 = 1 Vi skal undersøke hva slags løsninger x = (x 1, x 2 ) dette systemet har for forskjellige verdier av s. Vi starter med å regne ut det(a): 3s 2 6 s = 3s2 12 = 3(s 2 4) = 3(s 2)(s + 2) Dermed ser vi at A er invertibel når s ±2. I disse tilfellene har systemet nøyaktig én løsning. Vi regner ut disse løsningene ved hjelp av Cramers regel.
Lineære systemer med parametre II Vi har at A 1 (b) = ( ) 4 2, A 2 (b) = 1 s ( ) 3s 4 6 1 Dermed får vi x 1 = x 2 = 4 2 1 s A 3s 4 6 1 A = 4s + 2 3s 2 12 = 2(2s + 1) 3(s 2)(s + 2) = 3s + 24 3s 2 12 = s + 8 (s 2)(s + 2) Vi ser at løsningene blir funksjoner i s, og de gjelder når s ±2.
Lineære systemer med parametre III I de to gjenstående tilfellene s = 2 og s = 2 så er det(a) = 0. Det betyr at A ikke er invertibel, og at systemet har enten ingen løsninger eller uendelig mange løsninger. Vi bruker Gauss-elimimasjon for å avgjøre hva som skjer i disse tilfellene. For s = 2 har vi utvidet koesientmatrise og trappeform ( ) 6 2 4 6 2 1 ( ) 6 2 4 0 0 5 For s = 2 har vi utvidet koesientmatrise og trappeform ( ) ( ) 6 2 4 6 2 4 6 2 1 0 0 3 Vi ser at systemet er inkonsistent (ingen løsning) for s = ±2.
En formel for inverse matriser La A være en n n-matrise. Kofaktormatrisen til A er matrisen som består av alle kofaktorene C 11 C 12... C 1n C 21 C 22... C 2n C =........ C n1 C n2... C nn Den adjungerte matrisen til A er den transponerte av kofaktormatrisen, adj(a) = C t. Invers matrise Hvis A er en invertibel n n-matrise, så er A 1 = 1 det(a) adj(a)
Et eksempel Vi ser på matrisen A gitt ved 3 2 0 A = 6 0 1 2 5 0 Vi regner ut alle kofaktorene til A og kofaktormatrisen til A: 5 2 30 C = 0 0 19 2 3 12 Siden det(a) = 0 + 1( 19 + 0 = 19, er A invertibel og vi får A 1 = 1 det(a) adj(a) = 1 19 5 0 2 2 0 3 30 19 12
Lineær-transformasjoner i planet og determinanter La T : R 2 R 2 være en lineær-transformasjon med standardmatrise C, slik at T (v) = C v. Transformasjoner av planet Hvis S er et område i planet med endelig areal A, så vil T avbilde dette området til et område T (S) i planet med areal A det(c). T (v)=c v Enhetskvadrat: Areal = 1 Parallellogram: Areal = det(c)
Lineær-transformasjoner i rommet og determinanter La T : R 3 R 3 være en lineær-transformasjon med standardmatrise C, slik at T (v) = C v. Transformasjoner av rommet Hvis S er et område i rommet med endelig volum V, så vil T avbilde dette området til et område T (S) i rommet med volum V det(c). T (v)=c v Enhetskube: V = 1 Parallellepiped: V = det(c)