4 Funksjoner og andregradsuttrykk

4 Funksjoner og andregradsuttrkk KATEGORI 1 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.110 Regn ut f (0), f () og f (4) når a) f () = + b) f () = 4 c) f () = + 5 d) f () = 3 3 Oppgave 4.111 f() = + + 1 4 3 1 0 1 f () 9 1 1 4 a) Kontroller de utregnede funksjonsverdiene i tabellen. b) Fll ut tabellen. c) Tegn grafen til f. Oppgave 4.11 Regn ut g( 1), g(1) og g(3) når a) g() = b) g() = c) g() = Oppgave 4.113 Vi har tegnet grafen til funksjonen f. 1 10 8 6 4 5 4 3 1 4 f 1 3 Bruk grafen til å finne a) 1) f (0) ) f () b) Løs likningen f () = 0 c) Finn verdimengden til f. 315

Oppgave 4.114 4 3 1 1 1 3 4 5 1 3 4 5 a) Bruk grafen til funksjonen f til å finne 1) f (0) ) f ( 1) b) Løs grafisk likningen f () = 3 c) Finn verdimengden til f. Oppgave 4.115 En funksjon g er gitt ved g() = 4 a) Tegn grafen til g. b) Løs grafisk likningen g() = 5 c) Finn verdimengden til g. f Oppgave 4.11 f () = + 8 a) Tegn grafen til f. Velg [ 5, 4] når du tegner grafen. b) Bruk grafen til å finne 1) nullpunktene til f ) toppunktet til f c) Finn verdimengden V f. Oppgave 4.1 En funksjon f er gitt ved f() = 3 4 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet til f. d) Finn bunnpunktet til f. Oppgave 4.13 En funksjon f er gitt ved f() = 3 + 4 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet til f. d) Finn bunnpunktet til f. 4. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter Oppgave 4.10 f () = 6 + 8 a) Tegn grafen til f. Velg [0, 6] når du tegner grafen. b) Bruk grafen til å finne 1) nullpunktene til f ) bunnpunktet til f c) Finn verdimengden V f. 4.3 Andregradslikninger med to ledd Oppgave 4.130 Løs om mulig likningene. a) = 5 b) 100 = 0 c) = 7 d) + 4 = 0 Oppgave 4.131 Løs likningene. a) ( 3) = 0 b) ( + 4) = 0 c) 81 = 0 d) (5 10) = 0 316 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrkk

Oppgave 4.13 Løs om mulig likningene. a) = 11 b) 7 = 0 c) + 8 = 0 d) + 8 = 0 Oppgave 4.133 Løs likningen grafisk og ved regning. 4 = 0 Oppgave 4.134 Løs likningen grafisk og ved regning. 4 = 0 4.4 Andregradsformelen Oppgave 4.140 Bruk andregradsformelen og løs likningene. a) 5 + 4 = 0 b) 6 + 8 = 0 c) 8 = 0 d) 5 + 150 = 0 e) 4 = 0 f) + 4 = 0 Oppgave 4.141 Løs om mulig likningene. a) + 8 = 0 b) + 8 + 15 = 0 c) + 3 = 0 d) 6 + 9 = 0 e) + 4 + 5 = 0 Oppgave 4.14 f () = 6 16 a) Tegn grafen til f digitalt. Velg mellom 3 og 9 og mellom 30 og 0. b) Finn nullpunktene til f ved regning. c) Kontroller svaret i oppgave b ved å løse likningen 6 16 = 0 grafisk med et digitalt hjelpemiddel. 4.5 Praktisk bruk av andregradslikninger Oppgave 4.150 I en trekant er høden 4 cm lengre enn grunnlinja. Arealet av trekanten er 16 cm. Finn lengden av grunnlinja og høden i trekanten. Oppgave 4.151 Et jordstkke har form som et rektangel. Den lengste siden er 14 m lengre enn den korte. Arealet er 147 m. Hvor lange er sidene? 4.6 Ikke-lineære likningssett Oppgave 4.160 Løs likningssettene ved regning. a) = b) = 6 = 1 = 8 c) = d) = 5 4 = 0 3 = 5 Oppgave 4.161 a) Løs likningssettet ved regning. = 1 + = 8 b) Sidene i rektangelet nedenfor har lengdene og. Arealet av rektangelet er 1 cm, og omkretsen er 16 cm. 1) Forklar at likningssettet i oppgave a kan brukes til å finne lengden av sidene i rektangelet. ) Finn lengden av sidene. 317

Oppgave 4.16 Løs likningssettene ved regning. a) + = 4 b) = 1 = + 1 = 1 4.7 Nullpunkter og faktorisering Oppgave 4.170 Faktoriser ved hjelp av nullpunktene. a) 3 + b) 6 + 8 c) + 3 d) + 7 + 10 Oppgave 4.171 Faktoriser om mulig ved hjelp av nullpunktene. a) 4 + 4 b) + + c) 8 d) + 4 + 6 Oppgave 4.17 Finn et andregradsuttrkk som har nullpunktene a) = og = 9 b) = 4 og = 5 4.8 Andregradsulikheter Oppgave 4.180 Løs ulikhetene ved bruk av fortegnslinjer. a) ( 1)( + ) > 0 b) ( + 1) < 0 c) ( 3)( + 3) < 0 d) ( ) > 0 Oppgave 4.181 Faktoriser uttrkkene og løs ulikhetene. a) < 0 b) + 3 > 0 c) 4 > 0 d) 16 < 0 Oppgave 4.18 a) Vis at 4 1 = ( + )( 6) b) Løs ulikheten 4 1 > 0. Oppgave 4.183 a) Faktoriser andregradsuttrkket + 6 ved hjelp av nullpunktene. b) Løs ulikheten ved å bruke fortegnslinjer. + 6 < 0 Oppgave 4.184 a) Vis at + 4 30 = ( 3)( + 5) b) Løs ulikheten + 4 30 > 0 4.9 Rasjonale funksjoner Oppgave 4.190 Finn nullpunktet og bruddpunktet til funksjonen f. a) f() = 3 b) f() = + 3 Oppgave 4.191 En funksjon f er gitt ved f() = a) Finn bruddpunktet til f. b) Finn nullpunktet til f. c) Tegn grafen til f digitalt når er mellom 4 og 4. d) Hva skjer med funksjonsverdiene for store tallverdier av? Hva blir likningen for den horisontale asmptoten? e) Tegn den horisontale asmptoten sammen med grafen til f digitalt. 318 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrkk

Oppgave 4.19 Vi har tegnet grafen til en rasjonal funksjon f. 5 4 3 1 1 1 3 1 3 4 5 6 a) Bruk grafen og finn nullpunktet til f. b) Bruk grafen og angi bruddpunktet til f. c) Funksjonsuttrkket til f er f() = 1 Finn nullpunktet og bruddpunktet ved å bruke funksjonsuttrkket til f. d) Hva skjer med funksjonsverdiene for store tallverdier av? Hva blir likningen for den horisontale asmptoten? Oppgave 4.193 En funksjon f er gitt ved f() = + 1 a) Finn bruddpunktet til f. b) Finn nullpunktet til f. c) Tegn grafen til f digitalt når er mellom 5 og 3. d) Hva skjer med funksjonsverdiene for store tallverdier av? Hva blir likningen for den horisontale asmptoten? e) Tegn den horisontale asmptoten sammen med grafen til f digitalt. f KATEGORI 4.1 Funksjonsbegrepet Oppgave 4.10 f () = 4 +1 Regn ut f (0), f (), f (4) og f ( 1). Oppgave 4.11 Regn ut f (), f (0) og f ( ) når a) f () = 3 b) f () = 1 + 1 c) f () = + 1 d) f () = + Oppgave 4.1 Finn konstanten b når f () = g(3). a) f () = + b g() = 3 + 5 b) f () = + b g() = b + c) f () = + b g() = b + 6 Oppgave 4.13 Hvilke av kurvene nedenfor og på neste side er grafer til funksjoner? a) 3 1 3 1 1 3 1 3 319

b) c) d) 6 4 6 4 6 4 4 6 6 4 6 4 4 1 1 4 6 4 6 4 6 4. Nullpunkter, bunnpunkter og toppunkter Oppgave 4.0 En funksjon f er gitt ved f() = a( 5) der a er en konstant. a) Finn nullpunktene til f. b) 1) Tegn grafen til f når a = 1. ) Finn koordinatene til bunnpunktet. c) 1) Tegn grafen til f når a = 1. ) Finn koordinatene til toppunktet. Oppgave 4.1 Minimumstemperaturen i vinterhalvåret følger ofte modellen T() = 4 5 16 + 4, [0, ] 5 T() er temperaturen målt i celsiusgrader i uke nr., der = 0 tilsvarer uka midt i november. a) Tegn grafen til T. b) Når har vi lavest minimums temperatur? Hva er temperaturen da? c) Kan modellen også gjelde for uke nr. 30 (midten av juni)? Oppgave 4.14 a) Tegn grafen til funksjonen g gitt ved g() = + b) Løs likningen g() = 0. c) Finn verdimengden til g. Oppgave 4.15 a) Tegn grafen til h() = 1 + 4 b) Løs likningen h() = 4. c) Finn verdimengden til h. Oppgave 4. f() = 3 + 6, D f = 7, a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet og bunnpunktet til f. d) Finn verdimengden til f. Oppgave 4.3 a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved f () = 3 b) Finn nullpunktene til f. c) Finn koordinatene til toppunktet. d) Finn koordinatene til bunnpunktet. 30 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrkk

Oppgave 4.4 f () = 4 4 a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn koordinatene til toppunktet. d) Finn koordinatene til bunnpunktene. 4.3 Andregradslikninger med to ledd Oppgave 4.30 Løs likningene. a) = 50 b) 3 1 = 0 c) 5 10 9 = 0 d) + 3 = 0 Oppgave 4.31 Løs likningene. a) + 1 = 3 b) = 9 c) 4 = 16 d) ( 5) ( + 1) = 0 Oppgave 4.3 Løs om mulig likningene. a) 4 = 4 b) 4 + 4 = 0 c) = 1 d) 4 4 8 = 0 Oppgave 4.33 a) Vis at ( 1)( 9) = 10 + 9 b) Løs likningen 10 + 9 = 0 Oppgave 4.34 I en trekant er høden tre enheter lengre enn grunnlinja. Arealet av trekanten er lik arealet av et kvadrat med like lange sider som grunnlinja i trekanten. Finn arealet av kvadratet. 4.4 Andregradsformelen Oppgave 4.40 Løs likningene. a) + 8 = 0 b) 7 + 1 = 0 c) 5 150 = 0 d) + 6 + 5 = 0 e) 7 + 10 = 0 f) + 4 1 = 0 Oppgave 4.41 Løs likningene. a) + 5 3 = 0 b) + 10 + 5 = 0 c) 6 + + 1 = 0 d) 9 1 + 4 = 0 Oppgave 4.4 Løs om mulig likningene. a) 5 + 3 = 0 b) 4 + 5 = 0 c) 3 + 1 = 0 d) ( 1) + 4( 1) + 4 = 0 Oppgave 4.43 f () = 7 + 3 a) Bestem nullpunktene til f ved regning. b) Tegn grafen til f og kontroller utregningen i oppgave a. Oppgave 4.44 a) Gitt andregradslikningen + p + q = 0 Vis at løsningene av likningen er = p ± ( p ) q Hva slags krav må vi stille til p og q for at likningen skal få løsninger? b) Bruk formelen i oppgave a og løs andregradslikningene. 1) 8 + 7 = 0 ) + 10 4 = 0 31

3 4.5 Praktisk bruk av andregradslikninger Oppgave 4.50 a) I et rektangel er den ene siden 3 cm lengre enn den andre siden. Arealet av rektangelet er 70 cm. Finn sidene i rektangelet. b) I en trekant er høden 5 cm kortere enn grunnlinja. Arealet av trekanten er 4 cm. Finn høden og grunnlinja i trekanten. c) I en rettvinklet trekant er den ene kateten cm kortere enn den andre kateten. Hpotenusen er 10 cm. Finn lengden av katetene. Oppgave 4.51 Lasse har normalt en kroppstemperatur på 37 C. En dag pådrog han seg en kraftig influensa. Etter t timer var kroppstemperaturen (t) målt i celsius grader (t) = 1 100 t + 1 10 t + 37 a) Tegn grafen for de fem første dagene av skdomsperioden. Bruk fornuftige enheter på aksene. b) Finn grafisk når feberen var på det høeste. Hva var kropps temperaturen da? c) Finn ved regning hvor lenge kroppstemperaturen var over det normale. d) Finn ved regning når kroppstemperaturen var 38,9 C. Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrkk Oppgave 4.5 En stein blir kastet opp i lufta med utgangsfarten 10 m/s fra et punkt som er 5 m over bakken. Høden målt i meter over bakken kan da bestemmes ved funksjonen h(t) = 5t + 10t + 5 der t er tida målt i sekunder fra kastøeblikket. a) Tegn grafen til h i et koordinatsstem. Velg t [0,,5]. b) Hvor høt kommer steinen over bakken? c) Hvor lang tid bruker steinen opp til det høeste punktet i banen? d) Finn ved regning hvor lang tid steinen bruker fra kastøeblikket til den treffer bakken. Oppgave 4.53 På grunn av snøsmelting om våren kan vannføringen i elva i Lillevik bli stor. Under en flom et år ble vannstanden i elva målt med jevne mellomrom fra et bestemt målepunkt. Vannstanden i meter dager ut i april var gitt ved V() = 0,03 + 0,7 + 8, [0, 4] a) Tegn grafen til V. b) Når var vannstanden på sitt høeste? Hva var vannstanden da? c) Finn grafisk når vannstanden i elva var 10,4 m. d) Finn ved regning når vannstanden i elva var 10,4 m. 4.6 Ikke-lineære likningssett Oppgave 4.60 Løs likningssettene. a) + = 1 b) = 3 + = 3 3 = 8 c) = 1 d) + = 1 + 1 = 1 1 =

Oppgave 4.61 Tre brødre er til sammen 10 år. To av dem er tvillinger. Differansen mellom produktet av alderen til tvillingene og alderen til broren deres er 1400. Finn alderen til de tre brødrene. Oppgave 4.6 To kvadrater har til sammen arealet 410. Når vi legger sammen omkretsene av de to kvadratene, får vi 104. Finn sidene i de to kvadratene. Oppgave 4.63 Figuren viser en trekantet tomt ABC der vinkelen C er 90. AB er 70 m, og omkretsen av tomta er 168 m. A C 70 m a) Vis at og passer i likningssettet + = 4900 + = 98 og løs likningssettet. b) Finn arealet av tomta. 4.7 Nullpunkter og faktorisering Oppgave 4.70 Faktoriser uttrkkene ved hjelp av nullpunktene. a) 4 + 3 b) c) a + a 15 d) + 11 + 8 Oppgave 4.71 Faktoriser uttrkkene mest mulig. a) 1 b) 3 + 6 + 6 c) 5t 0 d) + 3 B Oppgave 4.7 Faktoriser disse uttrkkene hvis det lar seg gjøre. a) 9 3 b) + 4 + 5 c) t 4 3 t + 4 d) s 9 3 + 6s 7s 4.8 Andregradsulikheter Oppgave 4.80 Løs ulikhetene ved regning. a) 4 < 0 b) ( 1)( ) > 0 c) 7 + 6 < 0 d) 4 + 4 3 > 0 Oppgave 4.81 Løs ulikhetene ved regning. a) + > 15 b) + 11 10 < 0 c) + 3 > 1 d) 6 + 7 3 < 0 e) 5 15 > + 3 f) 5 + 4 1 < 3 4 Oppgave 4.8 Vi kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekunder har ballen høden h (i meter over utgangspunktet) gitt ved h = 10t 4,9t Når er ballen mer enn,0 m over utgangspunktet? 4.9 Rasjonale funksjoner Oppgave 4.90 For hver av funksjonene nedenfor skal du 1) tegne grafen digitalt ) finne nullpunktet 3) finne bruddpunktet 4) finne den horisontale asmptoten a) f() = 1 + 1 b) f() = 3 + 3 1 33

Oppgave 4.91 En funksjon g er gitt ved g() = 3 1 a) Tegn grafen til g digitalt. b) Finn bruddpunktet til g. c) Linja = er en skrå asmptote til g. Se om det kan stemme ved å tegne linja i det samme koordinatsstemet som du tegnet grafen til g. Oppgave 4.9 En funksjon h er gitt ved h() = 1 + 1 a) Tegn grafen til h digitalt. b) Finn bruddpunktet til h. c) Linja = 1 1 er en skrå 4 asmptote til h. Se om det kan stemme ved å tegne linja i det samme koordinatsstemet som du tegnet grafen til h. Oppgave 4.93 I funksjonsuttrkket f() = + a b + c er a, b og c konstanter. Finn a, b og c når f har et nullpunkt for =, bruddpunkt for = 1 og en horisontal asmptote = 1. Oppgave 4.94 a) 7 150 000 f() =, D f = 0, 1) Tegn grafen til f. La 1 cm på første aksen svare til 10 000 og la 1 cm på andreaksen svare til. ) Løs likningen f() = 6,5 grafisk. b) En bank gir 5,5 % rente per år på spare beløp til og med 100 000 kr. På det beløpet som overstiger 100 000 kr, gir banken 7,0 % rente per år. Vi setter 150 000 kr i banken ved årsskiftet. Pengene står urørt i ett år. 1) Regn ut rentene det første året. Hva blir den gjennomsnittlige rentefoten det første året? Vi setter kroner i banken ved årsskiftet, der > 100 000. ) Vis at den gjennomsnittlige rentefoten det første året er 7 150 000 3) Hvor me må vi sette i banken for at den gjennomsnittlige rentefoten skal bli 6,4 % det første året? BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 4.300 De fleste biler slipper ut klimagassen CO. Mengden av gass som slippes ut, er blant annet avhengig av den farten bilen har. For en bestemt bil med farten v km/h er utslippet U(v) av CO, målt i gram per kilometer (g/km), gitt ved U(v) = 0,05v 7,5v + 40 Finn når utslippet er mindre enn 170 g/km ved å løse en ulikhet. Ulikheten skal løses ved regning. 34 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrkk

Oppgave 4.301 f() = a + 4 5 der a er en konstant. a) Sett a = 1. 1) Tegn grafen til f. ) Finn nullpunktene til f. 3) Finn bunnpunktet til f. 4) Finn verdimengden til f. b) Sett a = 1. 1) Tegn grafen til f. ) Finn toppunktet til f. 3) Finn verdimengden til f. c) La a ha forskjellige verdier og tegn hver gang grafen til f. Hvilket fortegn må konstanten a ha for at grafen til f skal ha 1) et bunnpunkt ) et toppunkt Oppgave 4.30 En funksjon f er gitt ved f() = + a 8 der a er en konstant. a) Sett a =. 1) Tegn grafen til f. ) Finn nullpunktene til f. 3) Finn bunnpunktet til f. 4) Finn verdimengden til f. b) Sett a =. 1) Tegn grafen til f. ) Finn nullpunktene til f. 3) Finn bunnpunktet til f. 4) Finn verdimengden til f. c) La a ha ulike verdier og tegn hver gang grafen til f. Finn ut hvordan bunnpunktet forskver seg med ulike verdier av a. Oppgave 4.303 a) Gitt andregradslikningen a + b = 0 Vis at eventuelle løsninger kan skrives = a ± a b Når har likningen løsninger? b) Bruk formelen i oppgave a og løs likningene 1) 3 = 0 ) + 6 16 = 0 Oppgave 4.304 En rasjonal funksjon f er gitt ved f() = 1 + 1 a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktet til f. c) Finn bruddpunktet til f. d) Finn ut hva som skjer med grafen for store verdier av. Hva blir likningen for asmptoten? Oppgave 4.305 På Blåfjell var snødbden 150 cm den 31. mars. dager ut i april var snødbden centimeter, der = 0,4 1 + 150 a) Finn ved regning snødbden på Blåfjell 5. april. b) Tegn grafen. c) Finn grafisk når i april snødbden var på det laveste. Hva var snødbden da? d) Finn grafisk og ved regning når snødbden var 70 cm. 35

Oppgave 4.306 Løs ulikhetene ved regning. a) 7 8 < 0 b) 4 < 0 c) 10 > 1 d) 6 + 13 5 > 0 Oppgave 4.307 Bestem a slik at brøken kan forkortes. 3 4 + a Oppgave 4.308 Summen av nullpunktene til en andregrads funksjon er 11, og produktet av nullpunktene er 30. a) Finn nullpunktene. b) Finn en andregradsfunksjon f som har disse nullpunktene. Oppgave 4.309 En rasjonal funksjon f er gitt ved f() = + a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktet til f. c) Finn bruddpunktet til f. d) Finn ut hva som skjer med grafen for store verdier av. Oppgave 4.310 Grafen til funksjonen f () = a + b + c skjærer andreaksen i verdien 6. Funksjonsuttrkket til f har dessuten tre faktorer med disse fortegnslinjene: 3 1 0 1 3 4 5 6 0 a) Løs ulikheten f () < 0. b) Bestem konstantene a, b og c. c) Løs om mulig ulikheten f () > 8. 0 Oppgave 4.311 a) Løs andregradslikningene. 1) + 3 = 0 ) 3 = 0 b) 1) Bruk metoden med fullstendige kvadrater til å faktorisere ) Løs + 3 10 + 3 10 = 0 uten bruk av andregrads formelen. Oppgave 4.31 I reklame for slankeplaster finner vi påstander om vekttapet ved bruk av slike plaster. Blant annet står det at vekten f () til en mann, målt i kilogram etter dager med plaster, med god tilnærming kan beskrives med funksjonen f () = 0,0018 0,30 + a, [0, 60] der a er startvekten i kilogram til mannen. Sett a = 98. a) Regn ut f (10), f (30) og f (60). b) Tegn grafen til f. c) Finn ved regning når mannen veier 87,5 kg. d) Vurder om modellen kan holde ut over de første 60 dagene. Oppgave 4.313 Trapeset nedenfor har en omkrets på 40. + 13 a) Vis at det fører fram til likningssettet + = 169 3 + = 7 b) Løs likningssettet. 36 Sinus 1T > Funksjoner og andregradsuttrkk

Oppgave 4.314 Faktoriser andregradsuttrkkene. a) 10 + 9 b) + 4 c) 8 0 d) 10 + 1 Oppgave 4.315 f() = 3 + 3 a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet til f. d) Finn bunnpunktet til f. Oppgave 4.316 Løs om mulig andregradslikningene. a) + 16 = 0 b) 4 + 5 = 0 c) 3 = 0 d) ( ) 5 = 0 Oppgave 4.317 En rasjonal funksjon f er gitt ved f() = 1 a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bruddpunktet til f. d) Linja = + 1 er en skrå asmptote til f. Se om det kan stemme ved å tegne linja i det samme koordinatsstemet som du tegnet grafen til f. Oppgave 4.318 a) Produktet av to partall som følger etter hverandre, er 78. Finn tallene. b) Mellom to oddetall og er det nøaktig ett oddetall. Produktet av og er 61. Finn og. Oppgave 4.319 I trekanten ABC er AC = BC. Høden DC i trekanten er 16, og grunnlinja AB = 1. I trekanten ABC har vi innskrevet et rektangel EGHF med sider og slik figuren viser. A F E C D G a) Hvilken geometrisk sammenheng er det mellom ABC og FHC? b) Bruk oppgave a og vis at vi kan skrive 16 16 H = 1 c) Bruk likningen i oppgave b og finn uttrkt ved. d) 1) Vis at arealet A() av det innskrevne rektangelet kan skrives A() = 16 4 3 ) Tegn grafen til A i et koordinatsstem. 3) Finn grafisk den største verdien dette arealet kan ha. B 37

4.113 a) 1) f (0) = 3 ) f () = 5 b) = 3 eller = 1 c) V f = [ 4, 4.114 a) 1) f (0) = 0 ) f ( 1) = 5 b) = 1 eller = 3 c) V f =, 4] 4.115 b) = 1 eller = 5 c) V g = [ 4, 4.10 b) 1) = og = 4 ) (3, 1) c) V f = [ 1, 4.11 b) 1) = 4 og = ) ( 1, 9) c) V f =, 9] 4.1 b) = 0 og = 4 c) (0, 0) d) (,67, 9,48) 4.13 b) = 0 og = ± c) (1,15, 3,08) d) ( 1,15, 3,08) 4.130 a) = ±5 b) = ±10 c) = ±6 d) Ingen løsning 4.131 a) = 0 eller = 3 b) = 0 eller = 4 c) = ±9 d) = 0 eller = 4.13 a) = ±11 b) = 0 eller = 7 c) Ingen løsning d) = 0 eller = 4 4.133 = eller = 4.134 = 0 eller = 4 4.140 a) = 1 eller = 4 b) = eller = 4 c) = eller = 4 d) = 10 eller = 15 e) = 6 eller = 4 f) = 4 eller = 6 4.141 a) = 4 eller = b) = 3 eller = 5 c) = 3 eller = 1 d) = 3 e) Ingen løsning 4.14 b) = og = 8 4.150 Grunnlinja er 4 cm, og høden er 8 cm. 4.151 Sidene er 7 m og 1 m. 4.160 a) = 1 og = 1 b) = og = 4 eller = 4 og = c) = 0 og = 0 eller = 4 og = 16 d) = 5 og = 0 eller = og = 1 4.161 a) = og = 6 eller = 6 og = b) ) Lengdene er cm og 6 cm. 4.16 a) = 1 og = 3 eller = 3 og = 5 b) = 1 og = 0 4.170 a) ( 1)( ) b) ( )( 4) c) ( 1)( + 3) d) ( + )( + 5) 4.171 a) ( ) b) Umulig c) ( + )( 4) d) Umulig 4.17 a) For eksempel 11 + 18 b) For eksempel 0 433

434 4.180 a) < eller > 1 b) 1 < < 0 c) 3 < < 3 d) < 0 eller > 4.181 a) 0 < < b) < 3 eller > 0 c) < 0 eller > 4 d) 4 < < 4 4.18 b) < eller > 6 4.183 a) + 6 = ( + 3)( ) b) 3 < < 4.184 b) < 5 eller > 3 4.190 a) Nullpunkt: = 3 Bruddpunkt: = b) Nullpunkt: = 0 Bruddpunkt: = 3 4.191 a) = 0 b) = d) Funksjonsverdiene nærmer seg 1. Asmptote: = 1 4.19 a) = 1 b) = c) = 1, = d) Funksjonsverdiene nærmer seg 1. Asmptote: = 1 4.193 a) = 1 b) = 0 d) Funksjonsverdiene nærmer seg. Asmptote: = 4.10 f (0) = 1, f () = 1, f (4) = 17 og f ( 1) = 7 4.11 a) f () = 4, f (0) = 0 og f ( ) = 1 b) f () = 1, f (0) = 1 og f ( ) = 5 c) f () = 3, f (0) = 0 og f ( ) = d) f () =, f (0) = og f ( ) = 0 4.1 a) b = 0 b) b = 1 c) b = 1 4.13 a) Ikke funksjon b) Funksjon c) Ikke funksjon d) Funksjon 4.14 b) = 0 eller = c) V g = [ 1, 4.15 b) = eller = 0 c) V h =, 9 4.0 a) = 0 og = 5 b) ) (,5, 6,5) c) ) (,5, 6,5) 4.1 b) Begnnelsen av februar (uke nr. 10); 1 C c) T(30) = 5 C, lite sannsnlig 4. b) = 0 og = 6 c) Toppunkt: ( 4, 3) Bunnpunkt: (0, 0) d) V f = 49, 3 4.3 b) = 0, = 1 og = 1 c) (0,58, 0,38) d) ( 0,58, 0,38) 4.4 b) = 0, = ± c) (0, 0) d) ( 1, ) og (1, ) 4.30 a) = ±5 b) = 0 eller = 4 c) = ± 5 3 d) = 0 eller = 3 4.31 a) = ± b) = 0 eller = 9 c) = ± d) = 1 eller = 5 4.3 a) = 0 eller = 1 b) Ingen løsning c) = ± 1 d) = 0 eller = 4.33 b) = 1 eller = 9 4.34 9 4.40 a) = 4 eller = b) = 3 eller = 4 c) = 10 eller = 15 d) = 5 eller = 1 e) = eller = 5 f) = 7 eller = 3 4.41 a) = 1 eller = 3 b) = 5 c) = 1 3 eller = 1 d) = 3 4.4 a) = 0 eller = 3 5 b) Ingen løsning c) Ingen løsning d) = 1 4.43 a) = 1 og = 3 4.44 b) 1) = 1 eller = 7 ) = 1 eller = 4.50 a) Sidene er 7 cm og 10 cm. b) Høden er 7 cm, og grunnlinja er 1 cm. c) Katetene er 6 cm og 8 cm. 4.51 b) Høeste temperatur etter 60 timer (=,5 døgn) Temperatur: 40 C c) 10 timer (= 5 døgn) d) Etter 4 timer og etter 96 timer 4.5 b) 10 m c) 1 s d),4 s

4.53 b) Vannstanden er høest 1. april, 1,3 m. c) 4. april og 0. april d) 4. april og 0. april 4.60 a) ( 1, ), (, 1) b) (, ), (4, 4) c) ( 4, 3), (3, 4) d) ( 3, 8) 4.61 38 år, 38 år og 44 år 4.6 7 og 19 4.63 a) = 4 m og = 56 m, eller = 56 m og = 4 m b) 1176 m 4.70 a) ( 1)( 3) b) ( )( + 1) c) (a 3)(a + 5) d) ( + 4)( + 7) 4.71 a) ( 3)( + ) b) 3( + + ) c) 5(t )(t + ) d) ( 1)( + ) 4.7 a) 9 ( 3 )( + 1 3 ) b) Kan ikke faktoriseres c) ( t 3 ) d) s(s + 7)(s 1) 4.80 a) 0 < < b) 1 < < c) 1 < < 6 d) < 3 eller > 1 4.81 a) < 5 eller > 3 b) < 1 eller > 10 c) 1 < < 1 d) 3 < < 1 3 e) < eller > 9 f) < 1 3 eller > 3 4.8 0, s < t < 1,8 s 4.90 a) ) = 1 3) = 1 4) = 1 b) ) = 1 3) = 1 4) = 3 4.91 b) = 1 c) Grafen nærmer seg linja =. 4.9 b) = 1 c) Grafen nærmer seg linja = 1 1 4. 4.93 a =, b = 1, c = 1 4.94 a) ) = 300 000 b) 1) 9000 kr, 6,0 % 3) 50 000 kr 4.300 50 km/h < v < 100 km/h 4.301 a) ) = 5 og = 1 3) (, 9) 4) [ 9, b) ) (, 1) 3), 1] c) 1) a > 0 ) a < 0 4.30 a) ) = 4 og = 3) ( 1, 9) 4) [ 9, b) ) = og = 4 3) (1, 9) 4) [ 9, 4.303 b) 1) = 1 eller = 3 ) = 8 eller = 4.304 b) = 0,5 c) = 1 d) = 4.305 a) 100 cm c) 15. april, 60 cm d) 10. april og 0. april 4.306 a) 1 < < 8 b) < 0 eller > 4 c) 3 < < 3 d) 1 < < 5 3 4.307 a = 5 eller a = 3 4.308 a) = 5 og = 6 b) For eksempel f() = 11 + 30 4.309 b) = 0 c) = 1 d) Grafen nærmer seg linja = 1 1. 4.310 a) < 1 eller > 3 b) a =, b = 4 og c = 6 c) Ingen løsning 4.311 a) 1) = eller = 1 ) = 3 eller = 1 b) = 5 eller = 4.31 a) 95, kg, 90,6 kg, 86,5 kg c) Etter 50 dager 4.313 b) = 5 og = 1 4.314 a) ( 1)( 9) b) ( 4)( + 6) c) ( + )( 10) d) ( 3)( 7) 4.315 b) = 0 og = 1,5 c) ( 1, 0,5) d) (0, 0) 4.316 a) = 9 eller = 9 b) Ingen løsning c) = 0 eller = 1 3 d) = 3 eller = 7 4.317 b) = 0 og = 0,5 c) = 1 d) Grafen nærmer seg linja = + 1. 435

4.318 a) 6 og 8 b) 3 og 7 4.319 a) ABC er formlik med FHC. c) = 16 4 3 d) 3) 48