Løsningsforslag FY-ME 00 eksaen. septeber 003 Oppgave Her følger først noen begrepsoppgaver / kvalitative oppgaver. Svarene å begrunnes (en gjør dette kort). a) En stein ed asse kg er festet til enden av en rett, jevntykk stav so er eter lang (se figuren til høyre). Hva er stavens asse når vi antar at den balanseres av opplagerkraften so overføres ved 0.5 erket? Stavens asse er kg. Dette kan f.eks. begrunnes slik: Segentet a og b er balansert. Segentet c og d har halve stavassen og tyngdepunkt so indikert i figuren. Staven er i balanse, dvs den roterer ikke. Da å totalt krafoent o en hvilken so helst akse være lik null. Velger vi opplagringspunktet, finner vi for krafoentet (når vi ser bort fra a og b): stav l Στ 0 stein -- ----------- l -- 0 4 stein stav b) En kraft F virker på en anual i et kort tidsintervall. I F det første forsøket virker den so i figur (a), og i forsøk nuer to so i figur (b). I hvilket tilfelle oppnår assesenteret F størst fart? ) I (a), ) I (b), 3) Farten blir den sae i begge tilfeller, 4) Svaret avhenger av anualens rotasjonstreghetsoent. (a) (b) Ifølge assesentersatsen spiller det ingen rolle hvor en (total) kraft angriper et legee for hvilken akselerasjon legeet (assesenteret) får. Og når legeene starter i ro og har sae akselerasjon (assesenteret) over sae tidsro, å farten til assesenteret også bli den sae i begge tilfeller etter at kraften har virket. Svaret er 3. c) Sae forsøk so ovenfor, en denne gang skal du avgjøre hvilket tilfelle anualen får størst kinetisk energi. ) I (a), ) I (b), 3) Kinetisk energi blir den sae i begge tilfeller, 4) Svaret avhenger av anualens rotasjonstreghetsoent. I tilfelle (b) i figuren ovenfor vil anualen få en rotasjonsbevegelse i tillegg til den translatoriske. Da vil kraften F åtte virke over en lengre veistrekning enn i tilfellet (a). Arbeid so gjøres er lik kraft ganger vei, og dette arbeidet går over i kinetisk energi. Det betyr at anua-
Side len i (b) vil få større kinetisk energi enn anualen i (a). Translatorisk kinetisk energi er den sae, en (b) får et tillegg i for av rotasjonenergi. Det vil si at svaret blir. d) Denne oppgaven er et tankeeksperient. Et roskip er 0.00 langt og 0.00 i diaeter og uten styrefinner eller noe annet so stikker ut langs de sylinderforede sidene. Roskipet er utstyrt ed så kraftige otorer og så ye brennstoff at hastigheten kan koe helt opp til 0.95 c i forhold til en tenkt ur i roet (c er lyshastigheten). I denne uren finnes et sirkulært hull so er 9.90 i diaeter. Vil roskipet teoretisk sett kunne passere dette hullet? Begrunn svaret. Roskipet har en bredde på 0.00 og hullet i uren er 9.90 i bredden. Lengdekontraksjon er et fenoen so bare opptrer i lengderetningen i den retningen bevegelsen går. Det vil derfor ikke hjelpe noe so helst på anglende hull-diaeter at roskipet kan bevege seg ed nær lyshastighet. Roskipet koer ikke gjenno hullet! Oppgave Denne oppgaven ohandler gravitasjon generelt og planeten Mars spesielt. Mars var nærere Jorda 8. august i år enn den vil bli på flere titalls tusen år. Middelverdien for avstanden Sola - Mars er.5 a.u. ( a.u. astronoisk enhet iddelverdien for avstanden Jorda - Sola). a) Beskriv hvilke krefter so virker på en (kounikasjons)satellitt so går i en ellipse-foret bane rundt Jorda. Beskriv kvalitativt og kort akselerasjon, hastighet og energi i ulike deler av banen. (Ikke nødvendig å trekke inn den effektive potensielle energifunksjonen.) Det er egentlig bare en kraft so virker på satellitten, nelig gravitasjonskraften ello den og Jorda (ser bort fra virkning fra andre hiellegeer og fra friksjon). Akselerasjonen er derfor alltid rettet ot Jordas assesenter (vi ser bort fra redusert asse siden assen til en satellitt er uhyre liten saenliknet ed Jordas asse). Når satellitten går i en ellipsebane, er banen bare vinkelrett på radiusvektor (linjen ello Jordas assesenter og satellitten) i apogee og perigee. Ellers vil det være en skjev vinkel ello banen (hastigheten) og radiusvektor. Det fører ed seg at akselerasjonen vil ha en koponent langs banen overalt i ellipsebanen unntatt i apogee og perigee. På vei ut fra perigee ot apogee, vil akselerasjonskoponenten langs banen peke bakover, og farten langs banen vil avta på vei utover. Fra apogee til perigee blir det otsatt, og farten langs banen vil øke. Hastigheten so vektor peker alltid tangentielt til banen. Kort sagt kan vi si at hastigheten ved perigee er blitt så stor, at den er for stor til at satellitten kan fortsette i en sirkelbane. v /r er større enn gravitasjonskraften. Gravitasjonskraften klarer ikke holde på satellitten i en sirkelbevegelse. Satellitten vil derfor fjerne seg fra Jorda i sin videre bevegelse. Ved apogee er det otsatt. Da er v /r indre enn gravitasjonskraften, og satellitten vil falle litt innover ot Jorda satidig so den går rundt Jorda, og satidig ed at farten øker. Når det gjelder energi, vil total energi hele tiden være konstant når vi betrakter satellitt / Jord so et isolert syste. Når satellitten er nærest Jorda (i perigee), vil den kinetiske energien i banen være størst, en satidig har da gravitasjonsenergien størst negative verdi (kraftigste
Side 3 binding). Når satellitten går ut ot apogee, vil gravitasjonsenergien bli indre (i tallverdi), en negativ, ens kinetisk energi også blir indre, en denne er positiv. Suen er tilsaen konstant over hele banen. Suen er også negativ, for ellers ville satellitten ikke vært bundet til Jorda. I læreboka har an laget en effektivt potensialfunksjon hvor an deler kinetisk energi opp i to koponenter der hastighetskoponent langs radiusvektor er den ene og hastighetskoponent vinkelrett på radiusvektor er den andre koponenten. Dette kan være nyttig for å vise enda en lovessighet ved satellitt / planetbevegelser, knyttet til bevaring av spinn. Spinnet er nelig bare knyttet til hastighetskoponenten vinkelrett på radiusvektor. Vi skal ikke gå nærere inn på dette her. b) Bruk en av Keplers lover for å beregne hvor langt et Marsår er (i antall Jord-dager). Når vil Jorda og Mars igjen koe i opposisjon, det vil si at Jorda, Mars og Sola ligger otrent langs sae linje ed Jorda ello Mars og Sola? (Derso du ikke får til å regne ut tiden til neste opposisjon, vil et estiat basert på tegninger være bedre enn ingenting.) Keplers tredje lov sier at: T ----- konstant a 3 innen vårt solsyste. Her er T periodetiden til en planet, a er store akse i ellipsebevegelsen (iddelavstand derso vi ser bort fra eksentrisitet). Herav: T ---------- jord 3 a jord T ----------- ars 3 a ars T ars a ars ----------- 3 a jord T jord T ars ( 5, ) 3 365 dager 87, 365 dager 684 dager Vi skal så finne ut hvor lenge det er til neste Mars-opposisjon (sola - jorda og Mars otrent langs sae linje). En tegning kan være grei å ta utgangspunkt i:. Vi snakker her o noral opposisjon, og ikke en opposisjon ed usedvanlig kort avstand, slik den var 8. august i år. Usedvanlig kort avstand skyldes eksentrisitet i banene, og vi ser bort fra eksentrisitet i denne oppgaven.
Side 4 Venstre skisse viser opposisjonen nå i august 003. O ett år (Jordår) vil vi ha koet tilbake til utgangsposisjonen relativt til sola, en Mars vil bare ha gått litt over en halv odreining (idterste skisse). Går vi enda ett år fra, vil Jorda ha gått to ganger rundt sola og er tilbake til opprinnelig posisjon, en nå har Mars gått litt er enn en odreining (høyre skisse). Jorda å altså gå enda litt til før den tar igjen Mars slik at sola, jorda og Mars koer på sae linje (neste opposisjon). Vi kan regne ut tiden til neste opposisjon ved å ta utgangspunkt i at Jorda da vil ha gått nøyaktig en runde er rundt Sola enn Mars. Saenlikner vi vinkler planetene har gått i en tid, når de har en vinkelhastighet ω, finner vi: θ ars ω ars ω jord π Vi kjenner saenhengen ello oløpstid T og vinkelhastighet: ω π T. Følgelig: ----------- π T ars ---------- π T jord π ----------- T ars ---------- T jord T ars T ---------------------------- jord T ars T jord 87, 87 -----------------------------, 00, T 5, jordår 785 jorddøgn jord Det vil altså generelt sett gå o lag 785 døgn ello hver gang Mars er i opposisjon (her brukt so på sae side so oss i forhold til Sola).
Side 5 Oppgave 3 En jevntykk stang kan rotere i et vertikalt plan uten friksjon o en akse i det ene endepunktet. Stanga danner i utgangspunktet en vinkel θ 0 i forhold til loddlinjen og slippes derfra. Vi antar at aksen er fast (ikke beveger seg under stangas bevegelse). a) Sett opp et sett likninger so er tilstrekkelig for å beregne den videre fallbevegelsen (hvor stanga befinner seg til enhver tid). Forklar hvorfra likningene frekoer. Likningsysteet skal ikke løses. Det virker en kraft fra aksen på stanga, pluss gravitasjonen (so vi kan tenke oss virker gjenno tyngdepunktet av stanga). Fallet vil være en ren rotasjon okring aksen, forutsatt at aksen ligger helt fast. Vi kan da anvende spinnsatsen, og for å forenkle regningen bruker vi spinnsatsen okring selve rotasjonsaksen. Da vil nelig kraften fra aksen ot stanga ha null ar, og ikke noe kraftoent, og vi kan utføre regningen uten å kjenne denne kraften i det hele tatt. Spinnsatsen gir da rett og slett: τ g l -- sin θ Iα Her er l lengden til stanga og θ er den oentane vinkelen ello loddlinjen og stanga. I er treghetsoentet til stanga o aksen, og α er vinkelakselerasjonen til stanga. Vi har da en likning so beskriver bevegelsen, en bevegelsen å til syvende og sist relateres til posisjon, det vil i dette tilfellet si vinkelen ello stang og loddlinjen. Vi kan da benytte oss av den velkjente relasjonen ello vinkel, vinkelhastighet og vinkelakselerasjon, og ved å integrere opp vinkelakselerasjon, og ta utgangspunkt i at initialbetingelsen er at vinkelhastigheten er lik null og vinkelen lik θ 0 ved tiden null, får vi: θ() t θ 0 + αdt'' dt' Setter vi inn uttrykket for vinkelakselerasjonen vi fant ut fra spinnsatsen, følger da: Dette er en liknende relasjon so vi hadde da vi beregnet pendelbevegelsen nuerisk tidligere i kurset.vinkelen til enhver tid avhenger av hvordan vinkelen har endret seg fra initialbetingelsene gjelder fra til det tidspunktet vi betrakter stanga. MERK: Siden vinkelakselerasjonen varierer i tid, får vi ikke noe enkelt uttrykk så so so resultat etter integrasjonen. t 0 t' 0 t gl θ() t θ 0 + -------- sinθ( t'' ) dt'' I dt' t'0 t' t''0 --αt
Side 6 b) Utled et uttrykk for treghetsoentet til stanga i oppgave a) når en har oppgitt at en lang, tynn stang, ved rotasjon o en akse på tvers av og idt på stanga, har et treghetsoent gitt ved: I -----l hvor er stangas asse og l dens lengde. Steiners sats sier: I akse r ( akse - CM ) + I CM hvor I står for treghetsoent o aksen eller assesenteret. r akse - CM er avstanden ello assesenteret og den aksen hvor vi skal beregne treghetsoentet o. En forutsetning for satsen er at aksene vi beregner treghetsoentet i forhold til, å være parallelle. Siden vi kjenner I CM ut fra oppgaveteksten og vet at aksen i enden av stanga ligger l/ fra assesenteret, får vi: I akse l -- + -----l -- + ----- l 4 I akse --l 3 Oppgave 4 Det har i år skjedd flere tragiske kollisjoner ello store lastebiler ( vogntog ) og personbiler, og utfallet har ofte vært at de so sitter i personbilen blir drept. Vi skal i denne oppgaven se litt nærere på noe fysikk so er relatert til denne problestillingen. a) Finn et uttrykk for hastighetene til vogntog og personbil etter front-ot-front-kollisjonen derso vi antar at de begge hadde farten v før kollisjonen. Vogntogets asse settes lik M og personbilens asse lik. Utled uttrykk for hastigheten til personbilen både for det tilfellet at vi har en fullstendig elastisk kollisjon, og for det tilfellet at kollisjonen er fullstendig uelastisk (bilene sitter saen etter kollisjonen). Nevn eksplisitt eventuelle forutsetninger du å gjøre. Vi antar at kollisjonene er head-on slik at bevegelsen bare skjer langs en rett linje (en-diensjonalt). Prosessen kan da beskrives so et endiensjonalt støt hvor total bevegelsesengde bevares gjenno støtet. Antar vi først at kollisjonen er elastisk, vil også kinetisk energi bevares gjenno støtet. Vi beregner først slutthastighetene til bilene ut fra disse to lovessighetene. Definisjon på sybolene so brukes er gitt i skissen ovenfor.. Vi benytter underveis i denne oppgaven litt inforasjon fra doktorgraden til Anders Kullgren, Karolinska institutet, Stockhol, 998.
Side 7 Bevaring av bevegelsesengde (bevegelse til høyre regnes positivt, å ta hensyn til retninger!): Mv v Mv + v Mv ( + v ) v ( + v) () Bevaring av kinetisk energi (elastisk støt): --Mv + --v --Mv + --v Mv ( v ) v ( v ) Mv ( + v )( v v ) v ( + v) ( v v) () Vi dividerer så likning () ed likning (), og får: Setter vi dette inn i likning () igjen, følger: Vi ser da at derso M >>, vil For vogntoget blir uttrykket (av syetrigrunner): La oss så gjøre tilsvarende beregninger i tilfelle vi har en fullstendig inelastisk kollisjon. Definisjonen på dette er at legeene sitter saen etter støtet. Vi kaller den felles farten etter støtet for v. Bevegelsesengden er fortsatt bevart (baserer seg bare på at kraft otkraft): Herav: ( v v ) ( v v) v v v Mv ( + v v ) v ( + v) 3Mv Mv v + v 3M v ----------------- M+ v v 3v 3 M v ----------------- M+ v Mv v ( M + )v' v' M M -------------- + v
Side 8 Vi kan ikke her bruke energibevaring, siden kinetisk energi ikke er bevart, en vi har uansett koet fra til et ok uttrykk. Vi erker oss at for M >>, vil v' v noe so virker svært naturlig. Merk at vi har her definert v til å være positiv i sae retning so vogntoget (M) har før kollisjonen. b) Beregn slutthastighetene i de to tilfellene derso farten var 80 k/t i kollisjonsøyeblikket og de aktuelle assene var M 50 000 kg og 00 kg. Hvor stor er hastighetsendringen til personbilen ved den elastiske kollisjonen? Hvor stor er hastighetsendringen ved den fullstendig uelastiske kollisjonen? Begrunn hvorfor det er verre å kollidere ed et vogntog enn ed en jevnstor personbil (eller å kjøre i fjellveggen). Vil det være en fordel for personene i personbilen at bilene er est ulig elastiske eller uelastiske? Her blir det bare å putte inn tall i de uttrykkene vi allerede har utledet. Farten til personbilen etter kollisjonen blir: 3 50, v --------------------------- 50 +, 80 k/t 3, 5 k/t ved elastisk kollisjon v' 50, 50 -------------------- +, 80 k/t 76, 3 k/t ved fullstendig uelastisk kollisjon. Begge disse hastighetene er i otsatt retning av den personbilen hadde før kollisjonen. Hastighetsendringen er derfor: v 3,5 k/t ved elastisk kollisjon, og v 56,3 k/t ved elastisk kollisjon. For vogntoget vil de tilsvarende tallene bli: 3, 50 v --------------------------- ved elastisk kollisjon, og 76,3 k/t 50 +, 80 k/t 7, 5 k/t ved fullstendig uelastisk. De to tallene synes å være helt i strid ed hverandre pga fortegnet, en v er definert positiv i otsatt retning av hastigheten vogntoget hadde før kollisjonen. Negativt tall betyr derfor bare at vogntoget vil fortsette sae retning so det ko. Hastighetsendringene for vogntoget blir derfor beskjedne både for elastisk og uelastisk kollisjon: v (-)7,5 k/t ved elastisk kollisjon, og v (-)3,7 k/t ved elastisk kollisjon. Vi ser altså en svært stor forskjell på hvordan det går ed vogntog og personbil i kollisjonen.vi ser videre at hastighetsendringen til personbilen er nesten fire ganger opprinnelig hastighet i tilfelle elastisk kollisjon og to ganger opprinnelig hastighet i tilfelle inelastisk
Side 9 kollisjon. Det viser at det ville være ye bedre å kjøre rett inn i fjellveggen enn å kollidere ed et tungt vogntog i otrent sae fart so an selv. Videre viser tallene at det blir en større hastighetsendring derso bilene er elastiske enn o de søres saen. Vi koer tilbake til flere betraktninger i denne retning senere. Et eksepel på hvordan en bil kan se ut so ny og etter en kollsjon er gitt i bildet nedenfor for en Saab 9-3. Hastigheten før kollisjonen var i dette tilfellet 64 k/t. Horisontale streker ello bilene angir lengder på 00 c hver (ny bil er 463 c lang). Det er tegnet inn en del vertikale streker for at an lettere skal kunne se hvor saentrykkingen av bilen ved kollisjonen finner sted og i hvor stor grad den skjer. c) Estier ut fra bildene nedenfor (behøver ikke være nøyaktig!) hvor lang tid en kollisjon tar ved en front-til-front-kollisjon ello to like personbiler ed otsatt like stor hastighet 64 k/t, eller ved at en bil ed sae fart kjører inn i en fjellvegg. (Anta for enkelhets skyld at kraften so virker på bilen er o lag konstant ens kollisjonen pågår. Anta videre at vi kan late so o assesenteret til bilen ligger under førersetet, og at det ikke endrer posisjon relativt til den uskadde delen av karosseriet under kollisjonen.) Estier ut fra dette akselerasjonen av førersetet i bilen under kollisjonen derso hastigheten til bilen var 64 k/t idet kollisjonen startet. Estier også kraften so et bilbelte å tåle for en voksen person på 80 kg i en slik kollisjon. For å estiere tiden nedbresingen, velger vi å betrakte et tilfelle der det er kollisjon ello to identiske biler, eller at bilen kolliderer ed en fjellvegg. Da er vi sikre på at fronten av bilen Bilens front etter kollisjonen
Side 0 ikke vil endre posisjon fra tidspunktet der kollisjonen starter til der den slutter. Vi antar nå at bilene ikke spretter tilbake etterpå, en at vi har en inelastisk kollisjon. Vi ser av bildene at Saaben stort sett bare blir raponert i den delen av bilen so er foran førersetet, og at førersetet har beveget seg o lag,0 fraover (relativt til fronten av bilen) i kollisjonen. Derso vi antar at bilen fra og ed førersetet og bakover, har opplevd en tilnæret konstant akselerasjon (retardasjon) under nedbresingen, vet vi at hastigheten har avtatt lineært under nedbresingen, og at tilbakelagt veilengde for førersetet er gitt ved: s --v 0 s ---- v 0 Startet vi ut ed 64 k/t (tilsvarer 64/3,6 /s 7,78 /s), og førersetet beveget seg,0 eter fraover før bilen ble stående stille, finner vi at nedbresingen tar o lag: -------------- s s 7, 78 Akselerasjonen av førersetet har da vært (gjennosnittsverdi): a ----- v 7, 78 -------------- /s 59 0, /s Dette er o lag 6 x g, hvor g er tyngdens akselerasjon. Bilbeltet å da virke på en 80 kilos passasjer ed en kraft på o lag: F 80 59 N,7 kn Det er ed andre ord foridable krefter og en svært alvorlig belastning på en enneskekropp. d) Et bilbelte under noralt bruk (personen er ikke straet fast inn ot setet) vil ved en kollisjon so angitt ovenfor, først virke etter ca 30 illisekund. Hvordan vil dette påvirke kraften so et bilbelte å tåle i ekseplet ovenfor? Tiden for nedbresingen av enneskekroppen reduseres tilsvarende, slik at akselerasjonen øker og kraften fra bilbeltet tilsvarende. Man kan estiere tall ved å anta at for nedbresingen av enneskekroppen blir - 30 s 8 s. Da vil akselerasjonen øke til 7 /s og kraften øke til 7,3 kn. Dette er under forutsetning at enneskekroppen stopper satidig ed førersetet. I virkeligheten er det litt elastisitet i bilbeltet slik at kroppen nok kan fortsette fraover enda en kort tid etter at bilen har koet til ro (derso personen ikke slår inn ot karosseriet eller ruta). I så fall vil kraften på ennesket kunne bli noe indre enn det vi her har beregnet. Anta at an i stedet for å la bilen bli saetrykket og ødelagt så ye so Saaben nevnt ovenfor, heller valgte å lage biler ed så solid støtfanger at bilen bare ble saentrykket f.eks. aksiu 5 c. Hvordan ville det påvirket akselerasjonen til førersetet?
Side Da ville bilene få langt indre tid på å stanse opp. Akselerasjonen ville øke draatisk, faktisk 0 x derso vi saenlikner ed Saaben. Det viser seg derfor at det er bra for sikkerheten at fronten av bilen kan trykkes en del saen i en kollisjon, forutsatt at dette kan gjøres uten at passasjerer koer i kle. e) Beskriv kvalitativt (uten nevneverdig regning) hvordan estiatene ovenfor i punkt c) ville bli endret derso personbilen kolliderer front-ot-front ot et vogntog? En kollisjon ed et vogntog vil lett kunne bli katastrofal. Dette skyldes at vogntoget bare i begrenset grad blir nedbreset slik at tiden tilgjengelig for nedbresing av personbilen og førersetet i denne, blir vesentlig redusert. I stad fant vi at ved en hastighet på 64 k/t idet kollisjonen startet, ville det ta illisekund før hele bilen stod stille (for kollisjon ello to identiske biler). Men hvor langt ville et vogntog beveget segi løpet av sae tiden? s 7, 78 0, 99, Dette er otrent dobbelt så langt so det førersetet beveger seg fra start til slutt ved kollisjon ello to like biler. Dette viser at tiden til nedbresing av personbilen å være vesentlig indre enn illisekund. Derso vi forsøker ed tredjeparten av denne tiden, dvs. 37 illisekund, finner vi at vogntoget har beveget seg 67 c og førersetet 33 c, hvilket betyr at fronten av personbilen er trykket saen ed.00 og at personbilen da er koet til ro. Midlertidig. Da ser vi at akselerasjonen av førersetet er tre ganger høyere enn det vi beregnet under punkt c. Kraft fra bilbeltet blir tilsvarende. Og kraften på selve karosseriet er også ye høyere enn ved kollisjon ello to like biler. Alt i alt ser vi at det er så store påkjenninger for en fører i en passasjerbil å kollidere ved 64 k/t ed en tilsvarende bil, at det lett vil kunne føre til eget alvorlige skader eller død. Derso en personbil kolliderer head on ed et vogntog i fart, igjen f.eks. ved 64 k/t, vil påkjenningene bli inst tre ganger så store, og vi vet av erfaring at sjansen for å overleve er uhyggelig liten. Denne regningen viser forhåpentlig også hvorfor det kan være et viktig iddel i trafikksikkerhetsarbeid å få fysisk sperre ello biler so kjører i en retning ed de so kjører otsatt retning. Sikkerheten på otorveier av klasse A er vesentlig høyere enn for otorveier av klasse B. Forøvrig bør det legges til at beregningene vi har gjort i oppgave 4 er svært forenklet. Likevel ener vi at de inneholder vesentlige eleenter i den prosessen so skjer ved kollisjoner. Ved å forenkle probleer kan vi koe fra til nyttig inforasjon selv ed enkel regning, en vi å da satidig huske på at en grundigere analyse og beregning noralt vil gi sikrere og er detaljert inforasjon.