Uiversitetet i Oslo Istitutt for geofag Flomrisikoaalse for Hamar og Lillestrøm Helge Bakkehøi Cadidatus Scietiarum 1. september 2003
ABSTRACT 2 Abstract This work focuses o the two tows most exposed for floodig i Norwa: Lillestrøm which lies alogside Lake Øere, ad Hamar which is situated ear Norwa s largest lake, Mjøsa. The mai objective of this work is to produce damage curves for roads, railwas ad detached houses for these tows. However, i the Lillestrøm area, with fewer sigificat data, damage curves were produced ol for roads ad railwas. A risk aalses was made b coectig a flood frequec aalsis, geographical iformatio ad cost data from the big flood i 1995. Due to the lack of sufficiet cost data, more focus was give to the ucertaities of the aalses rather tha the actual results. The results showed that the expected damage (risk from floodig for all the detached houses i the Hamar regio was 12 millio NOK. The expected damage (risk from floodig railwas ad roads are 37 375 NOK ad 280 800 NOK, respectivel. I Lillestrøm the expected damage (risk from floodig railwas ad roads was equall to ero, due to the huge flood protectio works i this area. The results from the ucertait aalses showed that more work eeds to be performed to better estimate the total risk.
INNHOLD 4 Ihold INNHOLD... 4 1 INNLEDNING... 6 1.1 BAKGRUNN... 6 1.2 MÅL... 7 1.3 OPPGAVENS UTFORMING... 7 2 DATA... 8 2.1 GEOGRAFISKE INFORMASJONSSYSTEMER (GIS... 8 2.1.1 Sosi-filer... 9 2.1.2 GIS-verktø... 10 2.2 HYDROLOGISKE DATA... 10 2.2.1 Mjøsa... 10 2.2.2 Øere... 11 2.3 SKADE... 12 3 TEORI... 14 3.1 LITT GENERELL STATISTIKK... 14 3.1.1 De uiforme fordelige... 15 3.1.2 Estimerig av de kumulative fordeligsfuksjoe F(x... 15 3.1.3 Kjeretetthetsestimerig... 16 3.2 FLOMFREKVENSANALYSE... 16 3.2.1 Bruk av L-mometer til Parameterestimerig... 16 3.2.2 GEV (Geeralied Extreme Value-fordelige... 17 3.2.3 Reduced Gumbel plott... 19 3.2.4 Autokorrelasjosplott... 20 3.2.5 Gjetaksitervall... 21 3.2.6 Tredtest... 22 3.3 USIKKERHETSANALYSE... 22 3.3.1 Bootstrappig... 22 3.3.2 Stokastisk simulerig... 23 3.3.3 Kofidesitervall... 24 3.3.4 Kofidesbåd til de kumulative fordeligsfuksjoe... 25 3.4 RISIKO... 26 3.4.1 Skadefuksjoe... 26
5 INNHOLD 4 METODE... 30 4.1 FLOMFREKVENSANALYSE... 30 4.2 RISIKOBEREGNING... 31 4.3 SKADEFUNKSJON FOR VEI/JERNBANE.... 32 4.4 SKADEFUNKSJONEN FOR BYGNINGER... 33 5 RESULTATER OG DISKUSJON... 34 5.1 INNLEDENDE FLOMFREKVENSANALYSE... 34 5.1.1 Mjøsa... 35 5.1.2 Øere... 37 5.1.3 Regioal flomfrekvesaalse... 39 5.2 USIKKERHETSBEREGNINGER... 40 5.2.1 Usikkerhet fra kostadberegiger... 40 5.2.2 Usikkerhete fra flomfrekvesaalse... 41 5.2.3 Usikkerhet fra GIS-aalse... 44 5.2.4 Geerelt om usikkerhetsberegigee... 46 5.3 RISIKOANALYSE... 46 5.3.1 Lillestrøm... 46 5.3.2 Hamar... 49 6 KONKLUSJON... 58 TILLEGG A... 60 BYGNINGSFORDELING FOR HAMAR, KONSTRUERT PÅ BAKGRUNN AV SOSI-DATA... 60 TILLEGG B... 64 ARCINFO KOMMANDOER:... 64 KILDELISTE... 66 STIKKORDREGISTER... 68
1.1 BAKGRUNN 6 1 Iledig 1.1 Bakgru Etter flomme på Østladet i 1995 ble det satt i gag me arbeid for å ugå at skadee blir like store ved framtidige flommer. Me det vil uasett kue oppstå ligede situasjoer igje, slik at beregiger av evetuelle skader fortsatt er aktuelt. Risikoaalse er et relativ tt felt iefor hdrologie, me økede fordi det etter hvert har blitt tilgjegelig me ttig iformasjo digitalt som ka behadles i geografiske iformasjos sstemer (GIS. Det er ofte e del uklarheter i hva som ligger i begrepet risiko. I hdrologie opereres det med i hvert fall tre forskjellige defiisjoer på risiko. I dette arbeidet vil risiko bli sett på som de forvetede skade, slik som det er defiert i baesiask statistikk (Berger (1985. Mer kokret for dette arbeidet vil risikoe bli sett på som gjeomsittlig årlig skade agitt i orske kroer. I dette arbeidet er det valgt å se på de to bee Lillestrøm og Hamar som grulag for risikoaalse. Disse to bee ligger heholdsvis ved Øere og Mjøsa. Lillestrøm ble sterk berørt av storflommee i 1966 og 67, etter dette ble det gjort me arbeid med å ugå slike igje, og skadee etter flomme i 1995 ble me midre e e tilsvarede flom 30 år før. Likevel ga dee flomme skader for 100 millioer kroer. På bakgru av dette har Skedsmo kommue og NVE satt opp flomvoller og pumpestasjoer til 70 millioer kroer som besktter hele be mot i hvert fall e 300 års flom (106 m. o. h.. Hamar har ikke blitt utsatt for flom på samme måte som Lillestrøm, me ble oe berørt uder flomme i 1995 som var de sjette største registrerte flomme i Mjøsa side måligee begte på 1800-tallet. Fordi avreige fra Mjøsa er e av de to store tilførslee til Øere, ka e storflom i Øere bli ugått hvis ma fller opp Mjøsa. Det blir da et spørsmål hvilke av disse to bee som er viktigst, me det er et me større potesielt skadeområde rudt Lillestrøm og sørover e hva det er lags Mjøsa. Oppgave bgger på aalser gjort etter flomme i 1995. Det har ikke vært mulig å få tak i så me data på skadetall, slik at det i dette arbeidet vil bli fokusert på skade på veier, jerbae og bolighus. Metodikke brukt i dee oppgave bgger på Gottschalk og Krasovskaia (1999. I tillegg er det iført oe usikkerhetsberegiger, samt skadefuksjo for veier og jerbae. Usikkerhetsberegigee er kosetrert rudt flomrisikoaalse, da det er lite bakgrusdata for kostader. All iformasjo om kostader er tatt fra Wathe m. flere (1999. Det fies mer iformasjo om kostader fra flomme i 1995 hos
7 1. INNLEDNING forsikrigsselskaper og takstme, me å få tak i dee iformasjoe krever et omfattede arbeid. 1.2 Mål Oppgaves mål er å udersøke skadee som ka oppstå uder e evetuell flom ved to av de mest flomutsatte bee i Norge. Det vil bli gjort forsøk på å etablere skadekurver med Mjøsa og Øere som grulag. Det teoretiske vil få e setral rolle i oppgave, da det er begreset med data tilgjegelig for å si oe om skade på aet e veier, jerbaer og bolighus. Videre vil usikkerhetsaalse bli viktig, dee vil bli utført på bakgru av bootstrappig. Det vil da være usikkerhete fra de iledede flomfrekvesaalse som vil stå mest setralt. Det vil bli utarbeidet skadekurver for de bgigstper der kostadsdata er lett tilgjegelig. Veier og jerbae vil også bli sett på, i tillegg utarbeides skadekurver for disse. Det vil bli implemetert usikkerhet i alle skadekurvee. Tilsvarede aalser gjort etter flomme i 1995 bgger på vaførigsdata, mes det i dette arbeidet blir brukt vastadsdata fra Mjøsa og Øere. 1.3 Oppgaves utformig Oppave er delt i i 6. kapitler. Kapittel 2 vil ta for seg de data som er brukt i oppgave. Der vil de tre hovedkompoete i oppgave bli presetert, som er vastadsdata, skadetall og GIS-data. Videre vil det i kapittel 3 bli presetert de statistiske bakgrusteorie til dette arbeidet, og hvorda dette blir brukt i oppgave vil bli presetert uder kapittel 4 som blir kalt metode. Resultatee blir først presetert i kapittel 5, som er delt i i 3 uderkapitler. Det er iledede aalse, usikkerhetsberegiger og til slutt risikoaalse. E oppsummerig kommer uder koklusjoe i kapittel 6. Til slutt er det to vedleggskapitler, hvor det første er e tabell over berørte bgiger uder tidligere storflommer og det adre er e oversikt over kommadoer som er brukt i GIS-verktøet Arcifo.
2.1 GEOGRAFISKE INFORMASJONSSYSTEMER (GIS 8 2 Data 2.1 Geografiske iformasjossstemer (GIS For å kue gjeomføre e flomrisikoaalse kreves det e detaljert iformasjo om beliggehete til de evetuelt oversvømte objektee. Til dette er det brukt kartdata som ete er oppmålt av kommuee eller States kartverk, og deretter digitalisert. Disse dataee er samlet i igjeom Skedsmo kommue og NVE. Dataee fra NVE er brukt i aalse for Hamar. Det var ikke mulig å få tak i ere kartgrulag e fra 1999. For Lillestrøm fates det data, me dataee var lite differesierte, slik at det ikke var mulig å skille mellom forskjellige tper hus. Derfor vil det her ku bli utarbeidet e skadekurve for veier og jerbae. Disse dataee er tilveiebrakt fra Skedsmo kommue. Kartdataee for både Hamar og Lillestrøm har NGO akse III som koordiatsstem. Adre kart brukt i oppgave kommer fra States kartverk. Figur 1: Oversiktskart over områdee sett på i dette arbeidet. Kartee er fra States kartverk, N50 serie.
9 2. DATA 2.1.1 Sosi-filer Sosi-stadarde er e orsk stadard for å presetere kartdata digitalt, og står for Samordet opplegg for stedfestet iformasjo. De ble første gag itrodusert i 1987, og har seere blitt foradret for å tilpasse seg e mer iterasjoal stadard. Sosi-filer deles ofte opp i objekter som kommer i forskjellige filer. De objektee som er brukt i oppgave er: TERR - Hødeiformasjo BYGG - Bgiger VANN - Isjøer og vassdrag VSIT - Veisituasjo BANE - Jerbaedata I e sosi-fil ligger det flere egeskaper til dataee. Alle tper kartteg har hver si temakode, slik at det går greit å skille de forskjellige elemetee fra hveradre. Hvis vi for eksempel tar for oss veier, så har veikat temakode 7002, mes veies midtlije har 7003. Når det gjelder bgiger, så er ofte disse både presetert som flater og lijer. Flater til bgiger har temakode 5001. Objekter har ofte ege uike elemeter. Bgiger har et elemet som står meget setralt i oppgave, det er BYGGTYP_NBR. Dee gir iformasjo om hva slags tpe bgig vi har med å gjøre. De fleste digitale kart ieholder dee iformasjoe, og det gjør arbeidet med e flomrisikoaalse me eklere. Hvis ma da vet skadefuksjoe for de forskjellige boligtpee, så går det este automatisk å rege ut totalskade. Hvis dee iformasjoe derimot ikke er implemetert, må ma sfare området og samle i dee iformasjoe på egehåd, før ma ka kjøre e flomrisikoaalse. E alterativ løsig til dee meget tidkrevede prosesse er å ata at to bgiger med omtret like stort areal påføres omtret de samme skade. Arealet er ofte implemetert i sosi-dataee, me det er uasett greit å rege ut i et GIS-verktø (for eksempel Arcifo.
2.2 HYDROLOGISKE DATA 10 Tpe Bgg BYGGTYP_NBR Eebolig 111 Garasje, uthus aeks til bolig 181 Lagerhall 231 Verkstedsbgig 212 Tabell 2.1.1: Tabelle viser BYGGTYP_NBR for oe av de mest flomutsatte bgigstpee i Hamar kommue, e total oversikt fies i vedlegg A. 2.1.2 GIS-verktø Sosi-filee har blitt kovertert, og videre bearbeidet i GIS-verktøet Arcifo 8.1. Programmet Arcview har blitt brukt til ekel visualiserig. Dataee har videre blitt eksportert til statistikkpakke R, som er et kraftig, gratis statistikkprogram. R er e kloe av det kommersielle programmet S-plus, me det går me raskere å rege ut for-løkker her! S-plus har også blitt brukt til ekelte ekle beregiger. 2.2 Hdrologiske data Vastadsdata som er brukt i oppgave er fra NVE, og går fra 1908-2000 for Mjøsa og 1881-1997 for Øere. Målestasjoee som er brukt er for Øere 2.125 Mørkfoss og for Mjøsa 2.10 Hamar. Vastadsdataee er presetert som daglige maksimumsverdier. Når vastade i Mjøsa og Øere er 0, ligger vaet heholdsvis 117,694 og 96,538 m. o. h. på bakgru av States kartverks hødesstem NN1954. 2.2.1 Mjøsa Mjøsa er Norges største isjø, og har Gudbradsdalslåge som si viktigste tilførselselv. I løpet av 1800 og 1900-tallet har Mjøsa blitt regulert 5 gager. Det var i 1854, 1907, 1940, 1947 og 1961. Det ble i 1854 oppført e demig sør for Eidsvoll, dee ble revet i 1907. I 1909 ble det satt opp e demig litt leger ed i Vorma, ved Svafoss. Her er det gjort foradriger utover på 1900-tallet, de siste store regulerigee ble gjort i 1961. Regulerigee har ført til høere vastad på høst og viter og lavere vastad reste av året, mes flomvastade har blitt lavere. Oppstrøms er det gjort e god del reguleriger i det forrige århudre i forbidelse
11 2. DATA med kraftverksutbggige, me ige større vassdrag er regulert etter Aursjø i 1962. Det vil si at det er gjort miimalt med regulerig etter 1962, og det er aturlig at vassdraget i framtide oppfører seg okså likt som i periode fra 1962 og fram til i dag. Tegforklarig Veier Jerbae Vakat N 900 0 900 1800 Meters Figur 2: Kartet over viser veier og jerbae brukt i aalse for Hamar. 2.2.2 Øere Øere er Norges iede største isjø, og får si tilførsel først og fremst fra Glomma og Vorma. Lillestrøm ligger ord for tilløpet fra Glomma i e bukt kalt Svellet, her får Øere tilførsel fra to midre elver, Leira og Nittelva. Leira og Nittelva dreerer store deler av Romerike, og Nittelva dreerer også betdelige områder av Nord- og Østmarka. Utløpet av Øere ligger ved Mørkfoss, hvor Glomma fortsetter ed mot Fredrikstad.
2.3 SKADE 12 Lillestrøm N Tegforklarig Veier Jerbae Elv Flomvoller 400 0 400 800 Meters Figur 3: Kart over de veiee og jerbaee i Lillestrøm som er aalsert. Det har vært gjort oe forsøk på sekigsarbeid av Øere på midte av 1800- tallet, me det var først etter at Solbergfoss kraftverk ble bgget på 1920-tallet at det ble oe forbedriger. Flomme i 1966 og 1967 gjorde stor skade i Lillestrøm, og det ble satt i gag tterligere flomreduserede tiltak, som ble ferdig i 1974. Etter flomme i 1995 er bare driftsikkerhete i kraftverket blitt utbedret. I dag skjer regulerige av Øere ved Solbergfoss kraftverk, 5 km sør for Øeres utløp. Oppstrøms får Øere si tilførsel både fra Låge- og Glommavassdraget, me det er ku gjort små reguleriger her etter siste regulerig av Øere. Det vil si at vaførige har stabilisert seg etter 1973. 2.3 Skade Som grulag for beregige av kostader er det brukt tall utarbeidet av Wathe, m.flere(1999. Når det gjelder bgiger har det ku blitt gjort aalser for bolighus,
13 2. DATA da dette er de eeste bgigstpe det fies data lett tilgjegelig for. Det er brukt følgede regresjoslikig som stadard for å berege idividuelle boligkostader: skade i 1000 kr = 1,2405* vahøde fra grumur(cm (1 Likig 1 er fuet ved å plotte skade på hvert hus etter 1995-flomme mot hvor høt vastade kom på de forskjellige husee, og tilpasset dette med e lieær regresjosaalse. Det er atatt at et bolighus blir påført skade fra og med år vaet er i kotakt med grumure. 2,5 meter er satt som et stadardmål på grumures høde. For vei og jerbae er det brukt følgede tall: Vei: 360.000 kr/km Jerbae: 325.000 kr/km Prisee over er tatt fra Wathe, m. flere(1999. Alle kostadsberegiger som er brukt i dee aalse bgger på data som ble samlet i etter 1995-flomme. Det er ikke tatt hes til evetuelle prisstigiger i beregigee. Likevel ka det være greit å være klar over at det har vært e geerell prisstigig i løpet av dee periode, som blir bereget som kosumprisidekse. Kosumprisidekse lå i 1995 på 94,2 %, å ligger de på ca. 111%. Det vil si at prisøkige fra 1995 til i dag er på ca. 17,8 %.
3.1 LITT GENERELL STATISTIKK 14 3 Teori 3.1 Litt geerell statistikk I statistikk opererer ma med to forskjellig hovedmetoder å presetere data på: 1. Saslighetstetthete, som sier oe om hvor de forskjellige datae ligger i forhold til hveradre, på samme måte som et histogram. 2. Kumulativ fordeligsfuksjo, som sier oe om saslighete for at data er lavere e e x verdi. 1. Saslighetstetthet: 2. Kumulativ fordeligsfuksjo: + df( x f ( x = der dx f ( x dx = 1 (2 b P ( a < X > b = f ( x dx (3 a x F ( x = f ( t dt (4 P ( X < x = F( x (5 f(x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 F(x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-4 -2 0 2 4 x -4-2 0 2 4 x Figur 4: Stadard ormalfordelig presetert som e tetthetsfuksjo. Figur 5: Stadard ormalfordelig presetert som e kumulativ fordeligsfuksjo.
15 3. TEORI X er e tilfeldig variabel, og x er e gitt verdi. Det vil si at P(X<x blir saslighete for at e tilfeldig verdi i populasjoe er midre e verdie x. P ( a < X < b blir da saslighete for at e tilfeldig variabel X ligger iefor a,. itervallet ( b Formlee beskrevet over er for teoretiske fordeliger, og krever først at ma fier e tilpasig til de opprielige data. Det fies også metoder for å fie fram til dette empirisk. Dette vil bli behadlet seiere. Noe valige fordeligsfuksjoer er ormalfordelige, logormalfordelige, og for ekstremverdier GEV-fordelige. Metoder for å tilpasse slike fordeliger vil bli ærmere forklart i kapitel 3.2.1. 3.1.1 De uiforme fordelige De ekleste kotiuerlige fordeligsfuksjoe som er mulig er de uiforme fordelige, ofte også kalt rektagelfordelige: f ( x = 1 år a < x < b (6 b a b + a E( x = 2 2 ( b a Var( X = (7 12 I e uiform fordelig vil f(x være kostat for ehver x, altså i teorie skal alle verdier forekomme like mage gager. 3.1.2 Estimerig av de kumulative fordeligsfuksjoe F(x. Et problem som ofte dukket opp i dette arbeidet, var at det var gitt e x-verdi, og så skal ma fie F(x fra de kumulative fordeligsfuksjoe. E grei måte å løse dette problemet på, er å fie atall verdier som er midre e x, for så å dele på atall verdier totalt, matematisk blir det slik: F X 1 ( x = PX ( X < x = I{ X < x}, (8 i= 1 der I { X < x} er idikatorfuksjoe som er defiert som I{ X < x} 1 = 0 hvis hvis ( X < x ( X > x
3.2 FLOMFREKVENSANALYSE 16 3.1.3 Kjeretetthetsestimerig For å sammelige opprielige data med e fordeligsfuksjo, er det valig å bruke et histogram. Me dette blir ofte okså uøaktig, og det ka være greit å bruke e mer avasert metode. Kjeretetthetsestimerig er e metode for å estimere f basert på data x 1,,x uif ~ f, og det er gaske tug teori som ligger bak som ikke tas med her. Nærmere ifo fies i Veables og Riple(1999. Tetthet 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Histogram Kjerepuktsestimerig 3 4 5 6 7 8 eksempel Figur 6: Kjeretetthetsestimerig sammeliget med histogram 3.2 Flomfrekvesaalse Flomfrekvesaalse er me brukt i hdrologie til å fie gjetaksitervall, og vil i dette arbeidet ha e setral posisjo som bakgru for risikoberegigee. I e flomfrekvesaalse plukker ma ut ekstremverdiee fra vaførigsseriee, og så tilpasses disse e fordelig ved hjelp av e esitmerigsmetode (beskrevet i kapittel 3.2.1. Det fies to hovedmetoder å plukke ut ekstremverdiee på. Ma ka ete plukke ut de høeste årlige verdiee (AM, eller plukke ut verdier over e viss terskel (POT. Dette vil bli ærmere beskrevet i kapittel 4.1. To viktige atagelser i flomfrekvesaalse er at data er uavhegig idetiske fordelte variable (uif og at de ikke foradres med tide (stasjoære. I tillegg er det viktig at alle data kommer fra de samme fordelige, altså at data er homogee. Et autokorrelasjosplot ka brukes til å si oe om uavhegighet til dataee, mes e tredtest (lieær regresjo ka brukes til å kotrollere for stasjoæritet. Hvis det er flere vastadsmåliger tilgjegelig i det samme område er det e fordel å ormalisere data og kjøre e regioal flomfrekvesaalse. Da vil datagrulaget bli større og ma vil oppå e mer robust aalse. Dette krever homogeitet i data. Mer iformasjo om dette ka fies i Gottschalk og Krasovskaia (2001. 3.2.1 Bruk av L-mometer til Parameterestimerig L-mometer er e metode som brukes til å estimere parametere i e teoretisk fordelig slik at de blir best mulig tilpasset til data. L-mometer ble første gag
17 3. TEORI itrodusert av Hoskig (1990, og er defiert som lieære kombiasjoer av data, ordet i stigede rekkefølge. Disse har de seere år begt å erstatte bruke av ordiære mometer. Noe av grue til dette er at ordiære mometer gir stor vekt på outliers (data som avviker fra reste, og gir store variasjoer av parametere for små datasett. L-mometer fugerer bra til parameterestimerig av fordeliger med lage haler, for eksempel ekstremverdifordeliger. L-mometer er utarbeidet av hdrologer, me er å også på vei i i de ordiære statistikke. Ordiere mometer er defiert slik: ( X E. Forvetige E (X er første ordes momet. I tillegg er det oe som heter setralmomet som er defiert slik: E[ ( X m ]. Adre ordes setralmomet er defiert som variase, og tredje ordes setralmomet er defiert som skjevhete. Dette er verdier som både ka fies teoretisk og empirisk, slik at det er mulig å estimere parametere, ut i fra løsig av et likigssstem. Hoskig m. flere viste i 1985 at maximum likelihood estimerig av små dataserier ga veldig ustabile svar, og abefalt å bruke PWM (probabilit weigthed momets til estimerige. L-mometer er e videreutviklig av PWM, som har større øaktighet og er eklere å bruke. L-mometer ka skrives som lieære kombiasjoer av PWM. For mer iformasjo om maximum likelihood estimerig se for eksempel Larse og Marx (1986 L-momet er defiert slik: λ = E( X 1 1:1 1 λ1 = E( X 2 1 λ3 = E( X 3 1 λ4 = E( X 4 2:2 3:3 4:4 X 1:2 2X 3X 2:3 3:4 + X 1:3 + 3X 2:4 X 1:4 (9 L-mometee sitt forholdstall, som er aalogt til ordiære mometer er defiert slik : τ r = λr / λ 2, r = 3,4,. (10 τ 3 er et mål på skjevhet og τ 4 er et mål på kurtosis. 3.2.2 GEV (Geeralied Extreme Value-fordelige GEV-fordelige ble først itrodusert av Jekiso (1955. Det er e 3-parameters geeraliserig av de tre ekstremverdifordeligee weibull (k>0, frechet (k<0 og gumbel (k 0. GEV-fordelige brukes i hdrologie til tilpasig av årlig maksimal vastad. De har også e tedes til å passe godt for adre tper
3.2 Flomfrekvesaalse 18 hdrologiske data, selv om dette ikke stemmer overes med teorie. For e dpere iførig i GEV-fordelige hevises det til Kot og Nadarajah (2000. Tetthetsfuksjoe til GEV-fordelige er på dee forme: f ( x = 1 x u 1 k a α 1/ k 1 e 1 / k x u 1 k α (11 der k er formparameter, u er lokasjosparameter og α er skalaparameter. De kumulative fuksjoe blir da slik: k( x u F( x = exp 1 α 1/ k (12 Det ka ekelte gager også være iteressat å fie de iverse til F, F 1 ( x : k [ 1 ( l( F ] α F 1 ( x = u + k (13 F 1 ( x er ofte ttig til simulerig og for å kue operere med kotiuerlige verdier. Det har i dee oppgave blitt brukt L-mometer som parameterestimerigsmetode, så de teoretiske L-mometee (defiert i kapittel 3.2.1 til GEV-fordelige er: α λ1 = u + [ 1 Γ(1 + k ] k α k λ2 = (1 2 Γ(1 + k k k 2( 1 3 τ 3 = 3 k 1 2 ( (14 (15 (16 Dette likigssstemet er det ikke mulig å løse, så vi må gjøre følgede tilærmig fra Hoskig m. flere (1985: k + 2 7.8590c 2.9554c, (17 2 c = τ + 3 3 log 2 log3 (18 De adre parametere blir da som følger: λ 2 k α, (19 = k ( 1 2 Γ( 1+ k
19 3. TEORI { 1 Γ(1 + k } α u = λ 1, (20 k der Γ er gammafuksjoe, som ligger iebgd i de fleste statistikkprogram. Bakgru for GEV Bakgrue for at ma som oftest bruker GEV-fordelige år ma tilpasser e fordeligsfuksjo til ekstremverdier, er aalogt med det velkjete setralgreseteoremet, bare at ma her bruker M = Max X,..., X, mes ma i ( 1 = X 1 +... X. setralgreseteoremet bruker e sum S ( + Teorem(Fisher og Tippett (1928: Ata at ( X,..., 1 X er uavhegige, idetisk fordelte og tilfeldige variable med e fordeligsfuksjo F. Hvis det fies e kostat a > 0 og b R slik at M a b Y,, (21 der Y er e tilfeldig variabel med fordeligsfuksjo G, så er G e av de tre ekstremverdifordeligee frechet, weibull eller gumbel. 3.2.3 Reduced Gumbel plott Dette er e måte å plotte ekstremverdifordeliger på, itrodusert av Gumbel (1958. I et reduced gumbelplot, plotter ma E[X] = -LN(-LN(F(x mot x. Blir kurve diagoal, har vi e gumbelfordelig. For empirisk plottig av F(x til data er det greit å bruke Grigortes-plotteformel: r 0.44 F ( x =, der r = {1, }, og er atall verdier. (22 + 0.12 For å få mer forståelse av kurve er det greit å kombiere Gjetaksitervallet med dette plottet. Sammehege mellom disse to blir fra Gumbel (1958 som følger: 1 - LN(-LN(F(x = log( T der T er gjetaksitervallet. (23 2T
3.2 Flomfrekvesaalse 20 x -1.0-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Weibull, k > 0 Frechet, k < 0 Gumbel, k = 0-1 0 1 2 3 Reduced Gumbel variate Figur 7: Figure viser et reduced gumbel plot over GEV-fordelige, med forskjellige verdier for formparametere k. Figur 7 viser at gumbelfordelige i et slikt plott følger e rett lije, og weibullfordelige kokav, mes frechetfordelige er koveks. Av dette følger det da at weibull er oppad begreset, mes frechet er edad begreset. 3.2.4 Autokorrelasjosplott Et autokorrelasjosplott sier oe om avhegighete mellom verdier over tid. Et slikt plott krever at det er kostat avstad mellom de målte data Y, for eksempel tidsserier. Hver posisjo i tidsserie blir idetifisert med t, og t+τ og er referert som et lag med legde τ. Autokovariase er defiert slik: 1 cov = t (24 τ τ τ t= + t t YtY 1 τ τ Autokorrelasjoe er ormalisert autokovarias og blir da som følger:
21 3. TEORI r τ = cov τ vary = ( ( /( = 1+ Y Y t t t τ τ τ t t τ 2 ( ( t Y /( 1 t= 1 τ 1 (25 E bredere iførig i dette temaet ka fies i Davis (2002. 3.2.5 Gjetaksitervall Vi har de geometriske fordelige som er defiert slik: p( = p(1-p, =1,2 (26 p er saslighete for at e hedelse A skal itreffe. De tilfeldige variabele Y er defiert som atall gager vi må gjeta forsøket før e hedelse A itreffer. Forvetige til Y blir som følger: [ ] E Y = 1 p (27 Gjetaksitervallet ka å fies ved å iføre følgede: A: overstige vastade x F[X] = P(X < x, som er fordeligsfuksjo for vastade X, som vil si saslighet for at e tilfeldig vastad X er midre e e gitt vastad x. p er saslighete for at vastade x overstiges. er atall år det tar før x overstiges.. Videre har ma følgede: p = P(X > x = 1- P(X < x = 1-F[X] (28 De geometriske fordelige i dette tilfellet blir da: p( = p(1-p = (1-F(x(1-(1-F(x, =1,2 (29 Det forvetede atall år det tar før x er oversteget er da: 1 1 E [ ] = = = T ( x (30 p 1 F( x
3.3 USIKKERHETSANALYSE 22 Det er dette som i hdrologie brukes som defiisjoe på gjetaksitervallet, og F(x fier ma ut fra e flomfrekvesaalse. Med adre ord blir da gjetaksitervallet gjeomsittlig atall år det tar før e gitt flom blir oversteget. Hvis ma har POT-data blir dette mer komplisert, og ma må først kovertere data til AM. Mer ifo om dette fies i Gottschalk og Krasovskaia (2001 3.2.6 Tredtest E tredtest er e test der det blir gjort e lieær regresjosaalse av data. E lije som følger dee likige: i = a x i + b, blir tilpasset data ved miste kvadraters metode. Hvis a er sigifikat forskjellig fra 0, så ka ma ata at det er tred i data, side a er stigigstallet. Dette ka udersøkes ved og kjøre e såkalt t-test. T a 0 =, (31 s / Da har vi at a er sigifikat forskjellig fra ull hvis T-verdie ligger utefor følgede itervall: t (0.05 < T < t (0.95. Der t( er (100* -kvatile til e stadard t-fordelig. 3.3 Usikkerhetsaalse 3.3.1 Bootstrappig Bootstrappig ble itrodusert i 1979 av Efro. Bootsrappig er e måte å fie usikkerhete til parametere θ, ut i fra simulerig eller resamplig. Metode krever stor regekraft, og har først blitt mulig å uttte fullt ut i de seere åra. Gruidee bak bootstrappig er som følger: Vi kjeer ikke F, me la oss iføre et estimat på F kalt Fˆ, og se på egeskapee til parametere θˆ uder Fˆ Bakgrue for bruk av bootstrappig ligger i store talls lov: Hvis X 1,X 2,X 3,.,X trekkes uif ~ G så gjelder følgede X 1 = X i=1 i E[ X ] år (32 Forvetigsskjevhete, eller Bias som det ofte kalles, er defiert slik:
23 3. TEORI Bias = E Fˆ [] ˆ θ θ ( Fˆ ˆ ˆ ˆ 1 θ ˆ i (33 F * der E [ ] = θ. i= 1 Bias er altså gjeomsittet av bootstrappsamplee θ estimatet Det er to mulige framgagsmåter i bootstrapp-verdee, det er parametrisk og ikkeparametrisk bootstrappig. I parametrisk bootstrappig utfører ma e simulerig av fordeligsfuksjoe, mes i ikke-parametrisk bootstrappig resampler ma data, med tilbakeleggig. Når vi har e korrekt parametrisk modell, ka det vises at ikke-parametrisk bootstrappig har dobbelt så stor varias som parametrisk bootstrappig. Til å kotrollere om e modell er korrekt, ka vi bruke e såkalt goodess-of-fit test, eller sammelige kjeretetthetsestimatee til parametere. Simulerig har utviklet seg til å bli et stort område iefor statistikk, og det har blitt utarbeidet metoder for å simulere fra de fleste kjete fordeligsfuksjoee, også GEV-fordelige, e mer detaljert beskrivelse fies i kapittel 3.3.2. Framgasmåte for bootstrappig for GEV-fordelige blir da som følger: 1. Simuler 10 000 datasampler fra GEV-fordelige med iverterigsmetode. 2. Fi parametere ved hjelp av L-mometer til alle de 10 000 datasamplee. 3. Nå ka de 10 000 datasamplee brukes til beregig av f.eks stadardavvik, bias og kofidesitervall til parametere. E ae metode som har blitt brukt til usikkerhetsestimerig er jackkifig. Dee metode er raskere, me ikke så god. Jackkifig brukes også til å lage kofidesitervall uder BC a -metode. Mer iformasjo om jackkifig fies i Efro og Tibshirai(1998. 3.3.2 Stokastisk simulerig Iverterigsmetode: Iverterigsmetode er e simulerigsmetode for iverterbare fordeligsfuksjoer. Det er e metode som er grei å implemetere, og fugerer bra i de fleste situasjoer. De fleste fuksjoer er iverterbare, me det er også mulig å tilærme fuksjoe slik at iverterigsmetode fortsatt fugerer. GEV-fordelige er e iverterbar fuksjo. Fremgagsmåte for å simulere fra GEV-fordelige blir da som følger: 1. Geerer data fra dee uiforme fordelige, U [ 0,1]
3.3 USIKKERHETSANALYSE 24 2. Sett så X = F 1 ( U, der F er de kumulative fordeligsfuksjoe for GEV. 3. X ee vil da bli GEV-fordelte. For mer iformasjo om simulerigsmetoder se Liestøl og Storvik (2001. Resamplig: Dette er e metode der ma trekker tilfeldige data fra dataserie, og legger tallee tilbake etter hver gag. Metode brukes me iefor bootstrappigsverdee, og fugerer i de fleste situasjoer. De brukes til ikke-parametrisk bootstrappig 3.3.3 Kofidesitervall Når ma skal fie kofidesitervallet til e parameter θ, er ma iteressert i å P A θ B er de øskete dekigsgrade, for eksempel 95%. fie A og B der { } Det fies flere måter å fie kofidesitervaller fra bootstrappig på. Geerelt har vi de klassiske metodee som ormaltilærmige, og bruk av percetil-metode. Disse metodee er ikke korrigert for skjevhet i fordelige, og ka bli litt uøaktige. E ae mer avasert metode er BC a -metode. BC a metode, ofte kalt ABCmetode(Acceleratio & Bias Corrected, er e adre ordes korrekt måte å fie kofidesitervallet på. De er geerelt sett på som e av de mest sikre metodee, og er defiert slik: α α Φ + + 1 a ( α 1 = 0 Φ + + 1 a 0 ( α ( + 0 (1 α = 2 0 0 (1 α ( + 0, (34, (35 her er Φ ( stadard kumulativ ormalfordelige med forvetig 0 og (α stadardavvik 1. er (100 * α-kvatile til stadard ormalfordelige. Parametere 0 og a er ikke helt greie å fie, me de ka fies på blat aet følgede måte: 1 atall{ θ * ( b < θ } = Φ 0, der B er atall bootstrappsampler. (36 B
25 3. TEORI a = 6 1= 1 1= 1 ( θ θ ( ( θ θ ( ( i ( i 2 3 3 / 2 ˆ i, der θ ( er jackkifesampler. (37 ˆ θ ( = i= 1 ˆ θ ( i (38 Kofidesitervallet blir da som følger: KI = *( α *( 2 [ 1, α θ θ ] (39 *( θ er (100* -kvatile til de simulerte parameterverdiee, Mer iformasjo om dee metode fies i Efro og Tibshirai (1998. * θ 3.3.4 Kofidesbåd til de kumulative fordeligsfuksjoe Det fies flere mulige fremgagsmåter for å fie et kofidesbåd til de kumulative fordeligsfuksjo. De viktigste metodee er delt i i globale og puktvise kofidesbåd. Puktvise båd blir laget ved å plukke ut e god del x-verdier og fie kofidesitervallet til F(x, for hver av disse x-verdiee. Dee treger simulerig. Globale båd er samtidige båd som er kostruert med hele fordelige som grulag for alle verdier. Dee metode ka klare seg ute simuleriger. E tradisjoell fremgagsmåte for å utarbeide kofidesbåd er basert på Kolmogorov-Smirov test. De er global og ikke-parametrisk. Dee metode har e tedes til å gi for stort kofidesitervall i hale, og bådet vil få e kostat bredde år F ( x 1. Dette passer dårlig i e flomfrekvesaalse, der vi ofte er iteressert i de høe F(x verdiee. Selv om dee metode er forholdsvis ekel å implemetere, så er det bedre å bruke et puktvist kofidesbåd i dee oppgave. Adre forbedrede globale metoder hvor ma for eksempel bootstrapper fies, me de fleste bgger på maximum likelihood estimerigsmetode, se Jeg og Meeker(2000 Et puktvist kofidesbåd er lettest å lage, og det kostrueres ved hjelp av bootstrappig. Det er viktig at dette kostrueres ut i fra F 1 ( x, da F(x ka gi
3.4 RISIKO 26 udefierte verdier. Ma kjører 1000 simuleriger, og plukker ut øvre og edre kvatil. Ulempee med et puktvist kofidesbåd kotra et globalt, er at de statistiske egeskapee til fordelige ikke blir bevart i hvert pukt. Et globalt kofidesbåd tar hes til dette. Når ma har kostruert et kofidesbåd til de kumulative fordeligsfuksjoe, er det rimelig greit å overføre dette til e skadekurve 3.4 Risiko Fra Baesiask statistikk (Berger (1985 er risiko defiert som forvetige til e skadefuksjo, l(d(x,θ. Det ka da skrives slik: [ l( d( X, θ ] = l( d( x, θ f x ( x dx R( d, θ = E θ. (40 X Poeget er å velge e hadlig a=d(x fra et område A ieholdt alle mulige hadliger, basert på observasjoer av e tilfeldig variabel X. Saslighetsfordelige til X er basert på e parameter θ, som ofte blir kalt aturtilstade. Hvis vi skriver om risikoe til å passe med otasjoee i dette arbeidet, ser det ut som følger : [ l(, d( x ] = l(, d( x f x ( x dx R(, d( = E (41 X 3.4.1 Skadefuksjoe Det å fie skadefuksjoe (totale kostader er gaske rett fram ved å bruke elemetær matematikk og statistikk: De totale kostade = atall objekter oversvømt * skade pr. objekt mer matematisk blir dette: l (, = ( ( l'( (42 l ( er skade for hvert ekelt objekt, og ( er atall objekter oversvømt. Vaivået i e bgig ka defierers slik, = -h, der h er høde over havet til hvert ekelt objekt og er e gitt vastad(m.o.h. De maksimale vaivået ma
27 3. TEORI da ka få blir max = - h 0, der h 0 er høde over havet til det lavest beliggede objektet. ( er da alle objekter som ligger iefor og max, det er da det samme som: atall objekter * saslighete for at et objekt ligger iefor og max som matematisk ka skrives slik: ( c = N * P( < Y < = N f ( d (43 c max max c Y der N er totalt atall objekter. Det vil da si at ma er iteressert i å fie ( som er ukjet. Det fies i hvert fall to mulige fremgagsmåter å fie f Y ( på, de ee er ku å estimere f Y ( ved hjelp av kjeretetthetsestimerigsmetoder. Dette er e ekel tilærmigsmetode, og det blir da kurat å implemetere kofidesitervall. Side ma er iteressert i å fie e statistisk fremstillig av skadefuksjoe, så er de adre fremgagsmåte å foretrekke, som er e aaltisk metode kostruert ved hjelp av elemetær matematikk og statistikk utarbeidet av Gottshalk og Kraskovskaia (1999: Fra elemetær statistikk har vi kovolverige mellom f Z og f H som er defiert slik: f Y f Y f Z ( f H ( ( = d år = + h (44 For = h ka ma skrive om kovolverigsformele litt: f Y ( f Z ( f H ( = d (45 det ka videre skrives at f Z ( har e uiform fordelig: f Z 1 ( = (46 a b der a og b er heholdsvis øvre og edre grese for kofidesitervallet til vastade( ut i fra usikkerhete i hødemodelle. De vil fugere som e glattigsparameter, der stor avstad mellom a og b gir e glattere kurve. 1 1 f = Y ( = f Z ( f H ( d = f H ( d f H ( d (47 a b a b
3.4 RISIKO 28 Videre er defiisjoe av de kumulative fordeligsfuksjoe (skrevet om for å passe i i uttrkket over: = d f F H a H ( ( (48 Dette itegralet ka da settes i i likig 43, og ma får følgede: ( 1 ( F f a H b a Y =, 0 0 h h b a < (49 Dette ka igje skrives slik: [ ] ( ( 1 ( F F f b H a H b a Y =, 0 h b < (50 Dermed er f Y ( beskrevet med et uttrkk ma ka fie, og ma ka da plotte ( f Y ved hjelp av likig 50. Plottig av e slik likig ka virke litt vriet, me det gjøres på følgede måte med å skrive om uttrkket for ( f Y litt: [ ]= = ( ( 1 ( F F f b H a H b a Y { } { } < < = = i b i a b a H I H I 1 1 ( 1 ( 1 1 (51 { } = < = < = i a a H a H H I H P F 1 ( 1 ( ( ( (52 { } = < = < = i b b H b H H I H P F 1 ( 1 ( ( ( (53 der I er e idikatorfuksjo som er 1 år iholdet er sat, og 0 år det er usat. Når ma å har fuet ( f Y er ma videre iteressert i hvor mage objekter som blir oversvømt, det er gitt ved ligig 43. Side ma ikke opererer med kotiuerlige data må vi skrive de slik: = m f N c c Y c max ( ( (54 der m er atall -verdier ma har. Nå har ma alt ma treger for å berege skadefuksjoe, som er slik: ( ' (, ( l l = (55
29 3. TEORI Vi er å videre iteressert i å fie, ( l f L, og et me brukt teorem i statistikk sier at fra likig 55 så ka vi skrive, ( l f L slik:, (, (, ( (, ( ' (, ( ' ' l f l f l f L L L = = (56 Videre følger da forvetige til dee fuksjoe: [ ] d l f l L E L =, (, (, ( ( ' (57 Empirisk ka forvetige skrives slik: [ ] [ ] = = = 1, ( 1 i i l l L E (58 Det er viktig år ma skal plotte disse data at ma hele tide passer på at ma bruker de samme vastadsdataee for skadefuksjoe og frekvesfordelige.
4.1 FLOMFREKVENSANALYSE 30 4 Metode 4.1 Flomfrekvesaalse Flomfrekvesaalse er e viktig del av risikoaalse, og årsake til dette vil bli beskrevet ærmere i kapittel 4.2. Det er alltid greiest å bege med dee aalse, me fordi dataee som ligger til gru er forholdsvis lette å få tak i, og det er viktig å ta seg god tid med å studere vastadsdataee får ma setter i gag. Det er viktig å ata at dataee er uavhegig før ma går i gag med e flomfrekvesaalse, da all bakgrusteori krever at data er uavhegige idetiske fordelte variable. I e flomfrekvesaalse er ma ikke iteressert i alle de opprielige vastadsdataee, me ma plukker ut ku de ekstreme hedelsee og aalserer disse. Dette ka gjøres på to forskjellige måter: 1. Plukke ut de høeste verdie for hvert år, de såkalt AM-metode. 2. Plukke ut alle verdier over e viss terskel, POT-metode. POT er e mer kompleks metode e AM, og krever mer arbeid og aalse fra brukere. Det kreves også i e POT-aalse at dataee er uavhegige av hveradre. Det kreves for så vidt også for AM-metode, me side ma bare plukker ut e verdi per år så ka vi ata uavhegighet. POT er sett på som e mer robust metode e AM fordi de tillater mer data, så hvis det er mulig å bruke dee bør de brukes. AM ka i teorie gå glipp av de est høest verdie. I følge Rao og Hamed (2000 er AM mer statistisk effektiv e POT år λ er lite (λ<1.65. λ er årlig gjeomsittlig atall verdier som er over terskele. Et aet problem med POT er at e verdi over terskele ofte kommer dage etter e ae som også er over terskele. Det betr at disse dataee er avhegige av hveradre, og de laveste må fjeres mauelt. Dette ka løses med å bruke e form for clusteraalse hvor ma ku tar vare på de største verdie iefor et gitt itervall. POT-data pleier å følge e geeralied parreto fordelig i motsetig til AM, som følger e GEV-fordelig. Valg av begge disse fordeligee samsvarer meget godt overes med teorie, slik at det ikke er oe gru til å prøve å tilpasse data til adre fordeliger.
31 4. METODE 4.2 Risikoberegig Flomrisikoaalse tar utgagspukt i to forskjellige aalser, e valig flomfrekvesaalse og e skadefuksjosaalse. Disse to aalsee ka til slutt kombieres og ma får et plott som i Figur 25. E geerell fremgagsmåte blir da å alltid ta utgagspuktet i et overskridelsessaslighetplott og et vastadskadeplott som vist i Figur 8. Side vastade er represetert i begge de to plottee (a og (b, ka da e skadekurve ekelt kostrueres ut i fra dette. Fra dette følger det at ma ka skrive følgede: F ( = F ( l( F ( l Z L = L (59 r = lf ( l dl = l( f ( d L 0 0 Z (60 der l( er skadefuksjoe og f ( er frekvesfordelige til flommee. Risikoe r er forvetige til skadefuksjoe l, eller gjeomsittlig årlig skade. (a (b Vastad Vastad Overskridelsessaslighet Figur 8: Figure viser fremgagsmåte for å kostruere e skadekurve ved å kombiere et overskridelsessaslighetsplott (a fra flomfrekvesaalse og et vastad-skadeplott (b fra risikoaalse.
4.3 SKADEFUNKSJON FOR VEI/JERNBANE 32 Dee fremgagsmåte gjelder for alle skadeberegiger i dette arbeidet. Det er ku skadefuksjoe som ligger til gru for plott (b som varierer om det er vei, jerbaer eller bolighus ma studerer. 4.3 Skadefuksjo for vei/jerbae. For veier og jerbae er det blitt brukt e skadefuksjo som ikke bgger på statistiske beregiger. Metodee brukt for disse aalsee er ekle og rett fram. De er helt forskjellig fra skadefuksjoe presetert i 4.2. Framgagsmåte for å fie de total kostade blir da: 1. Plukke ut midtlije til veiee fra e sosi-fil. Dette er kaskje ikke implemetert i de este sosi-stadarde. 2. Koverter disse til gridceller på for eksempel 5x5 meter, eller helst så lite som mulig 3. Tilorde hødeverdier til gridet ut i fra e hødemodell 4. Plukke ut e god del aktuelle hødeverdier, og tell opp atall gridceller som ligger lavere e disse hødeverdiee. 5. Nå ka disse hødeverdiee multipliseres med gridstørrelse, og vi får atall kilometer oversvømt for gitte vastader. 6. Side vi vet kostade pr. kilometer har vi ok til å etablere e vastadskadekurve for vei eller jerbae. 7. I tillegg treger ma å kostruerer e overskridelsessaslighetskurve fra flomfrekvesaalse. 8. Skadekurve ka å kostrueres ut i fra overskridelsessaslighetsplottet og vastad-skadeplottet slik som Figur 8 viser. Dette er e veldig ekel fremgagsmåte, og det er her blitt brukt e god del tilærmiger. Det er ikke tatt hes til at skade blir større ved e lagvarig flom, og det er ku brukt et kostadskille: oversvømt eller ikke-oversvømt. Det ka også oppstå skade, selv om flomme ikke år helt opp til objektet. For jerbae er det foreslått av Wathe m. flere(1999 at ma skal dele opp i 3 lag: Formasjosplaet, overbgig og skier. Skadee vil da bege cirka e meter uder bakke, og øke med høde.
33 4. METODE E flom som er så stor at de gir store flomskader i Lillestrøm og Hamar, er ofte forelig med at små sideelver også går over sie bredder og forsterker flomme. Det er ofte slike sideelver som gjør de største skadee på veier og jerbaer. I kostadsdataee presetert i kapittel 2.3 er de totale skade tatt med, iklusiv skade fra sideelver. Disse kostadee vil da trolig bli litt for høe i forhold til det reelle tallet. Det er jo veier/jerbae oversvømt av isjøe som er iteressat i oppgave. 4.4 Skadefuksjoe for bgiger For å fie skadefuksjoe til bgiger, er det brukt e mer detaljert beregig e de for vei/jerbae. Her er det fulgt teorie fra kapittel 3.4.1. Begresede megder data medførte at bolighus var de eeste bgigsforme som ble sett på i oppgave. Me det er viktig å merke seg at akkurat de samme metode ka brukes til hvilke som helst ae bgigstpe. E ekel beskrivelse på hvorda dette ka gjøres i praksis: 1. Gjør e flomfrekvesaalse for det aktuelle området. E regioal flomfrekvesaalse er å foretrekke hvis det er oppåelig. 2. Importer Sosi-file i Arcifo 3. Plukk ut alle flater med temakode 5001 (bgiger og ku de tper bgiger hvor skadefuksjoe er kjet, fra e sosi-fil. 4. Tilorde disse flatee hødeverdier ved hjelp av e terregmodell 5. Eksporter dette i i et statistikkprogram, og gjør reste av aalse der. 6. For så videre å kue lage e vastad-skadekurve ka ma følge metode for skadefuksjoe beskrevet i kapittel 3.4.1. 7. I tillegg treger ma å kostruerer e overskridelsessaslighetskurve fra flomfrekvesaalse. 8. Skadekurve ka å kostrueres ut i fra overskridelsessaslighetsplottet og vastad-skadeplottet slik som Figur 8 viser. Terregmodelle er i oppgave kostruert ut i fra hødekurver med 1 og 5 meters ekvidistase. Iterpolasjosmetode som er brukt til dette er topogrid. Nærmere beskrivelse av dee metode ka fies i Hutchiso(1989.
5.1 INNLEDENDE FLOMFREKVENSANALYSE 34 5 Resultater og diskusjo 5.1 Iledede flomfrekvesaalse Som bakgru for risikoaalse kreves det at det gjøres e flomfrekvesaalse. E viktig forutsetig for å kue utføre e slik er at data er uavhegige idetiske fordelte variable. Det er ofte vaskelig å få data som tilfredsstiller dette kravet, så det kreves e tilærmig. Series : Hamar Series : Lillestrøm ACF 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ACF 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 10 20 30 40 Lag 0 10 20 30 40 Lag Figur 9: Figure over viser et autokorrelasjosplot over vastad fra Hamar og Lillestrøm (Mørkfoss som sier oe om avhegighete fra et gjeomsittlig tidspukt og framover i tid. 1 lag er i dette tilfellet e dag. Autokorrelasjoesplottet fra Figur 9 viser at dataee er sterkt avhegig av hveradre. Selv etter 45 dager er det e korrelasjo på ca. 0.5. Fra dette er det da tdelig at flere av de høeste verdiee kommer fra samme hedelse. For POTaalse krever dette at ma bruker e kluster-metode for å luke bort de dataee som er fra samme hedelse. Bruk av POT-data er ok mer aktuelt for vaførigsdata e i dette tilfellet hvor det er brukt vastadsdata, fordi det er me tregere respos i e isjø som Mjøsa e i for eksempel Glomma. Det ble gjort oe forsøk på å plukke ut POT-data, me λ-verdiee (atall verdier per år over e bestemt terskel var tett opptil 1, altså este ekvivalet med AM. Så i oppgave er det brukt AM-verdier til de videre aalse, selv om bruk av POT er
35 5. RESULTATER OG DISKUSJON sett på som e mer robuste metode. Det hadde vært e stor fordel å kue brukt POTdata her side de pålitelige måleseriee er så korte. Petterso(1997 har også brukt AM-data til e likede aalse for både Øere og Mjøsa. Mjøsa 1961 1995 Øere 1924 1974 1995 Vastad(meter 123 124 125 126 Vastad(meter 102 103 104 105 106 1920 1940 1960 1980 2000 år 1920 1940 1960 1980 2000 år Figur 10: Tredplott for vastade for målestasjoee på Mørkfoss og i Hamar Det er verdt å merke seg at de fleste AM verdiee kommer fra vårflomme. De største flommee i disse vassdragee kommer som regel som vårflommer. E vårflom oppstår i hovedsak pga. søsmeltig, mes e høstflom som oftest er forårsaket av reg. I Mjøsa er høstflomme som regel også et resultat av vårflomme, da det tar lag tid før vastade går ed etter vårflomme. Det ka være lurte å ikke blade data fra høst og vår, fordi de kommer fra to forskjellige populasjoer. Hvis det er e ormal flom i vassdraget, sker vastade sakte. Er det derimot e storflom, går vastade fort ed til det ivået e ormalflom ligger på. Figur 10 viser at det er e markat egativ tred i data både for Mjøsa og Øere. E tred ka ete skldes at vassdraget har blitt regulert eller at det har skjedd klimaedriger. I disse to tilfellee er det ok mest saslig at trede skldes reguleriger. 5.1.1 Mjøsa Fra Figur 10 ser vi at det er e markat tred i data, t-verdie bekrefter også dette. Side vi er iteressert i e flomfrekvesaalse for dages forhold er det e for stor tred i data til å bruke måleserie i si helhet.
5.2 USIKKERHETSBEREGNINGER 36 1995 vastad 120 121 122 123 124 125 0 Februar April 100 Jui 200August Oktober 300 Desember Dato Figur 11: Vastadskurve for Hamar i 1995. Det ka se ut som at vastade i Mjøsa først stabiliserer seg på et fast ivå etter siste regulerigsedrig i 1961. Det beste hadde da vært å bare brukt data etter 1961 i de videre aalse. Me det er ikke så lett, da de teoretisk tilpasige ikke blir særlig robust med et så lite datagrulag. Et alterativ hadde vært å fjere trede fra dataseriee, ved å trekke fra regresjoslija fra Figur 10. Dette er litt skummelt da oppførsele til dataee egetlig er mer trappetriformet. Da måtte ma evetuelt fjeret trede for periode frem til 1961 og koblet dette samme med de resterede data. Det er mulig dette hadde gitt et mer reelt resultat, me ma må være veldig forsiktig med å maipulere slik med data. Det ble dermed valgt å dele opp serie i to, e periode fram til 1961 og e fra 1962 og utover, og kjøre aalse parallelt for disse to med hovedtgde på de seere periode.
37 5. RESULTATER OG DISKUSJON Gjetaksitervall i år 2 5 10 50 100 500 Gjetaksitervall i år 2 5 10 50 100 500 Vastad 4 5 6 7 8 9 10 Fra 1909 Til 1961 + ++++++ ++ + + + + + + ++++++++++++++ + +++ + + + + 95 % kofidestitervall F(x Data Vastad 4 5 6 7 8 9 10 Fra 1962 Til 2000 + ++++++++++++++++++++++++++++++ + + ++ + + + 95 % kofidestitervall F(x Data -2 0 2 4 6 Reduced Gumbel variate -2 0 2 4 6 Reduced Gumbel variate Figur 12: Reduced gumbel-plott for Hamar for periode 1909-61, og for periode 1962-98. Fra Figur 12 ser vi at plottet blir aerledes om vi plukker ut data fram til regulerige av Svafoss i 1961, e etter regulerige. Vi ka også legge merke til at de høre kurve følger e weibullfordelig mes de vestre følger frechetfordelige. Det ka da tde på at det har skjedd e edrig i oppførsele til vassdraget, og ma bør dermed være forsiktig med å bruke data fra før 1962. For å fie de teoretiske fordeligsfuksjoe til data ble GEV-fordelige brukt, da teorie i kapittel 3.2.2 idikerer at det ka være lurt å bruke dee fordelige til maksimumsverdier. Det er like viktig med e god teoretisk bakgru, som at fordelige er godt tilpasset til data. 5.1.2 Øere På samme måte som for Mjøsa ser vi av Figur 10 at det er e tdelig tred i data, faktisk større e for Mjøsa. I motsetig til Mjøsa ka ma fra Figur 13 se at reguleriger har gjort store utslag på gjetaksitervallet. Det er også verdt å merke seg at i periode fra 1909-1973 har det vært hele 8 flommer som har ådd høere e hva flomme gjorde i 1995. For dee periode er de teoretiske fordelige godt tilpasset data, mes for de seiere periode passer det ikke fullt så bra. Flomme i 1995 er ok de største årsake til dee dårlige tilpasige i tillegg til at 24 år er et lite datagrulag. E bedre tilpasig ka ma oppå ved å ata at 1995 er e såkalt outlier, og fjere dee. I så tilfelle vil trolig gjetaksitervallet bli uderestimert, side det da ikke bgger på oe ekstreme hedelser. Petterso(2002 har brukt periode 1903-2001 til å fie lave gjetaksitervall, og periode 1962-2001 for å fie høe gjetaksitervall for Øere. E flomfrekvesaalse for periode 1962-
5.2 USIKKERHETSBEREGNINGER 38 2001 gir me større flom for høe gjetaksitervall e periode 1974-97, selv om det meste av regulerige i vassdraget skal være gjort ie da. Side det er først etter 1973 at det ikke er e egativ tred i data, er det i dette arbeidet valgt å bruke periode 1974-97 istedefor 1962-97. Det er i tillegg valgt å se på periode 1909-73. Da det er este 3 meters forskjell på et 50 års gjetaksitervall i de to aalsee fra Figur 13, ka dette tde på at ma bør være meget forsiktig med hva ma gjør. Selv om dataee fra 1974-97 er dårlig tilpasset GEV-fordelige, er det ok det beste utgagspuktet for e videre flomrisikoaalse, side vassdraget trolig vil oppføre seg ligede i framtide. Det er også mulig å foreta e såkalt goodess of fit test for å verifisere om tilpasige er god ok. E slik test vil rimelig sikkert kokludere med at tilpasige for periode 1974-97 ikke er god ok. Et eksempel på e slik test som fugerer greit for ekstremverdier er Aderso-Darlig test. Det er også mulig å se på kjeretetthetsplott for simulerig av parametere, oe som er ærmere beskrevet i kapittel 3.1.3. Gjetaksitervall i år 2 5 10 50 100 500 Gjetaksitervall i år 2 5 10 50 100 500 Vastad 4 5 6 7 8 9 10 Fra 1909 Til 1973 + + ++ ++ ++ + ++ + + ++ +++ + + + ++ +++ + +++ + + + ++ + + + 95 % kofidestitervall F(x Data + Vastad 4 5 6 7 8 9 10 Fra 1974 Til 1997 +++++++++++++ +++ + + + + + + + + -2 0 2 4 6 Reduced Gumbel variate -2 0 2 4 6 Reduced Gumbel variate Figur 13: Plottet viser flomfrekvesaalse for Mørkfoss, delt opp før og etter siste regulerig. Det er også videre i riskoaalse tatt med data fra før og etter 1974 for å sammelige, selv om data etter siste regulerig trolig er mer å stole på. Det hadde også for Øere vært e mulighet å fjeret trede vist i Figur 10, og basert de videre aalse på dette. For Øere hadde dette vært mer aktuelt å gjøre e for Hamar, da periode er kortere og det er usikkert hvor me ma ka stole på beregige fra flomfrekvesaalse for 1974-1997.
39 5. RESULTATER OG DISKUSJON 5.1.3 Regioal flomfrekvesaalse De opprielige plae for dette arbeidet var å kjøre e regioal flomfrekvesaalse for data fra Mjøsa og Øere, og deretter å skape skadekurver ut fra dette. Øere blir påvirket av både Mjøsa- og Glomma-vassdraget, slik at forholdee i Øere blir så forskjellig fra Mjøsa at e regioal flomfrekvesaalse blir vaskelig. Uder store flommer er det valig at ma holder igje vaet i Mjøsa, slik at flomtoppe fra Vorma og Glomma ikke skal møtes samtidig og skape problemer i Øere Det ble gjort oe forsøk med e slik regioal aalse, me resultatet viste seg å bli for sprikede. E evetuell fordel med e regioal aalse hadde vært at ma hadde fått et større datagrulag, og kue miimert usikkerhete. Gjetaksitervall i år 2 5 10 50 100 500 Normalisert vastad 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 + + 95 % kofidestitervall Teoretisk tilpassig Data for Mjøsa Data for Øere +++++++++++ + + + + + + + + ++++ + + + + + + + + + ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + +++++ +++++++++++++ ++++++ + ++++++++ + ++ +++ ++ + + + + + + + -2 0 2 4 6 Reduced Gumbel variate Figur 14: Et reduced Gumbel plott over regioal flomfrekvesaalse for Mjøsa og Øere for periode 1909-1994 Figur 14 viser at de regioale tilpassige, som også er med AM-data, ikke er helt bra og seriee spriker litt for me fra hveradre. Det er tdelig å se at de ikke følger de samme fordelige. I e regioal flomfrekvesaalse er det også e fordel å bruke så mage målestasjoer som mulig, to stasjoer ka være litt lite hvis data ikke passer godt overes.