Kap. 9+10 Rotasjon a stie legemer Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakselerasjon (rask rekap) Sentripetalakselerasjon, baneakselerasjon (rask rekap) Rotasjonsenergi E k Treghetsmoment I Kraftmoment τ Rulling Spinn (dreieimpuls): L Spinnsatsen (Newton 2 for rotasjon): τ = dl/dt Stie legemer: L = I, τ = I d/dt Eksempler: gyroskop, m.m.m z Stit legeme som roterer om z-akse: Sylinderkoordinater (r, φ, z) hensiktsmessig φ Vinkler måles i radianer: φ = s/r φ Vinkelhastighet: = dφ/dt s = φr s = r Viktige størrelser (rotasjon) Vinkelpos. φ = s/r Vinkelhastighet = dφ/dt = /r Vektorstørrelse: langs akseretning Periode T = tid/omdr = 1/f rekens f = 1/T Vinkelfrekens = inkelhastighet = = 2πf Vinkelaksel. α = d/dt = d 2 φ /d 2 t Banefart = = ds/dt = r Vektorstørrelse: = x r Baneaksel. a t = α r Sentr.aksel. a c = 2 /r = = 2 r Vektorstørrelse: ac ( r) Total aksel = a a r a c t 1
Vektorer: = x r a c = x = x ( x r) = x r Lik for hele legemet: Vinkelhastighet = dφ/dt Vinkelaksel. α = d/dt Øker med radien r : Banefart = ds/dt = r s = rφ φ = x r r a c = x Tang.aksel. a t = α r Sentr.aksel. a c = 2 r Translasjon: E k = ½ m 2 Massens plassering ingen betydning for E k E k = ½ I 2 r i Samme, samme E k I = Σ r i2 m i m i Rotasjon: E k = ½ I 2 der I = r 2 dm E k øker med (massens astand) 2 fra aksen Her må i integrere: I = r 2 dm r dm Samme, men ulik E k 2
Skie som roterer om symmetriakse I = ½ M R 2 r R Kap. 9+10. Rotasjon a stie legemer Vi har sett på: Vinkelhastighet = dφ/dt, inkelakselerasjon α = d /dt Banehastighet = r Vektorer: r Sentripetalaks. a c = - r 2 = - = - 2 / r ac r Baneakselerasjon a t = r α Rotasjonsenergi E k = ½ I 2 Treghetsmoment I = Σ r i2 m i = r 2 dm (om en gitt akse) Ring om sentrum: I = M R 2 Skie om sentrum: I = ½ M R 2 Lang, tynn sta om midtpunkt: I = (1/12) M L 2 (Alle disse gjennom massefellespunktet = cm ) Steiners sats (parallellakseteoremet): Treghetsmoment om annen parallell akse i astand d: I = I 0 + M d 2 ds. I 0 (akse gjennom cm) er alltid minst mulige treg.moment http://en.wikipedia.org/wiki/parallel_axes_rule Kap. 9+10 Rotasjon a stie legemer Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakselerasjon (rep) Sentripetalakselerasjon, baneakselerasjon (rep) Rotasjonsenergi E k Treghetsmoment I Kraftmoment τ (N2-rot) stie legemer: τ = I d/dt Rulling Spinn (dreieimpuls): L (N2-rot) alle legemer: τ = dl/dt Stie legemer: L = I, τ = I d/dt Eksempler: gyroskop, m.m.m τ Kraftmoment = arm x kraft x sinφ Matematisk: τ = r x r Φ 3
τ = r x τ = r sinφ τ r og τ Høyrehåndsregelen: τ peker langs tommelen Φ Et. skrå kraft Vektorkryssprodukt: Y& Kap. 1.10 τ plasseres gjerne langs rotasjonsaksen Husk også ektor : Bruker sjelden komponentform: i j k A B [ A, A, A ] [ B, B, B ] A A A x y z x y z x y z B B B x y z Translasjon: = m d/dt = m a Rotasjon: τ = I d/dt = I α Kap. 9+10 Rotasjon a stie legemer Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakselerasjon (rep) Sentripetalakselerasjon, baneakselerasjon (rep) Rotasjonsenergi E k Treghetsmoment I Kraftmoment τ (N2-rot) stie legemer: τ = I d/dt Rulling Spinn (dreieimpuls): L (N2-rot) alle legemer: τ = dl/dt Stie legemer: L = I, τ = I d/dt Eksempler: gyroskop, m.m.m onsdag I dag 4
Liknende eksempel: Atwoods (fall)maskin Øing 5 Trinsa med treghetsmoment I skal akselereres i tillegg til akselerasjon a m 2 og m 1 Rotasjonshjul som energilager Stålskie 10 cm tykk, 1,0 m diameter: I = ½ MR 2 = 77 kg m 2 Problem: Tung! (600 kg) Deformeres! I periferien er: Banefart =r=1000 m/s Sentripetalaksel 2 r = 220000xg) Energi ed 20000 RPM (omdr. per min): E k = ½ I 2 = 170 MJ orbrenningsenergi i bensintank på 40 liter, ed utnyttelse 33%: ca 530 MJ Brukes i motorkjøretøy: KERS = Kinetic Energy Recoery System: en.wikipedia.org/wiki/kers Ett eksempel: R=12 cm M=5,0 kg f= 64 500 rpm E = 400 kj KERS i sykler: www.sciencefriday.com/ideo/08/12/2011/boost-your-bike.html Rulling (uten å glippe) Y 10.3, LL 6.7 Translasjon + rotasjon = rulling cm = r Med KERS kan trolleybusser i Zürch også kjøre uten strøm: ½ m 2 + ½ I 2 = ½ m 2 (1+c) 5
Treghetsmoment ulike skapninger: Oppsummering: Rullbare: c =1/2 + R 1 2 /2R 2 2 I = c m R 2 c=1/2 c=1 c=2/5 c=2/3 Rulling (ds. uten glipping) Statisk friksjon er esentlig for rulling, men friksjonsarbeidet er oftest neglisjerbart. (Men ed glipp/rutsjing er friksjonen kinetisk og friksjonsarbeidet esentlig) = r (ds. translasjonshastighet = banefart til periferien) E k = ½ m 2 + ½ I 2 Med I = c mr 2 og = /r : E k = ½ m 2 + ½ c m 2 = ½ m 2 (1+c) A Hilken ruller fortest: Massi kule massi sylinder, eller hul sylinder? (Y &, Ex. 10.5) E k = ½ m 2 (1+c) = lik alle Størst for den med minst c i tregh.momentet I = c mr 2 1. Vannfylt flaske c =? 2. Kule c = 2/5 3. Massi sylinder, c = 1/2 4. Kuleskall, c = 2/3 5. Hul sylinder = ring, c = 1 Rulle / skli / slure på flatt underlag Rulle Skli = r > r Slure < r h Uahengig a størrelsen (når rulleradius = legemets radius)? B =0 his konst inne retning for : reduserer (og øker ) 1. i retning som prøer å oppnå rein rulling. eller 2. Sett minste erdi lik null. øker (og redus. ) 6
ned opp Alle 6 muligheter for kombinasjon på skråplan Rutsje ned > r Rutsje oppoer > r i retning som prøer å oppnå rein rulling. Slure nedoer < r Slure oppoer < r Gli nedoer, forsøke komme opp Mest anlig for bil Gli oppoer, forsøke komme nedoer og motsatt retn. og motsatt retn. Rulle / skli / slure på flatt underlag Rulle Skli Slure = r =0 his konst his øker => mot enstre for å øke his minker => mot høyre for å redusere his øker => mot høyre for å øke (akselererer) his minker => mot enstre for å minke (bremser) > r < r reduserer (og øker ) øker (og redus. ) His ytre kraft årsak til endring i His bilmotor/hjulrotasjon årsak til endring i (mer aansert) Oppsummering: Rulling Rein rulling: = r ; a = αr (ds. translasjonshastighet = banefart til periferien) E k = ½ m 2 + ½ I 2 = ½ m 2 (1+c) - med I = c mr 2 og = /r Statisk friksjon μ s N esentlig for rulling og gir inkelakselerasjon α: r = Iα Spinne/skli/rutsje: r. Kinetisk friksjon = μ k N i retning som prøer å oppnå rein rulling Kinetisk friksjon gjør et friksjonsarbeid som endrer kinetisk energi Rein rulling: ser i bort fra energitap (ingen rullemotstand). Slure/skli : friksjonsarbeidet er esentlig. Rullbare: c=1/2+r 12 /2R 2 2 c=1/2 c=1 c=2/5 c=2/3 I = c m R 2 ; E k = ½ m 2 (1+c) Mulig med c > 1? 7
Rulleradius r legemets radius R Rulleradius r legemets radius R Utrulling a jojo, øing 5 M 2R = legemets diameter I = ½ m r 2 I = ½ M R 2 m 2r = rullediameter rullediameter m M I ½ M R 2 his m << M rulling: = r E k = ½ M 2 + ½ I 2 = ½ M 2 + ¼ M R 2 (/r) 2 = ½ M 2 ( 1 + ½ (R/r) 2 ) = ½ M 2 ( 1 + c ) c >> 1 E k,rot >> E k,trans «ut»rulling: = r I ½ M R 2 his m << M E k = ½ M 2 ( 1 + ½ (R/r) 2 ) = ½ M 2 ( 1 + c ) c >> 1 E k,rot >> E k,trans Test Test Eksamensstatistikk: A) 4 B) 9 C) 67 Riktig D) 6 E) 83 blank 1 Tot 170 45 o r Periferihastighet r = rullehastighet =0 uendret reduserer øker f Ytre kraft (mg sinα) endrer gir moment til rotasjonen 8