ADDISJON FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til addisjon 2 2 Grunnleggende om addisjon 3 3 Ulike tenkemåter 4 4 Hjelpemidler i addisjoner 9 4.1 Bruk av tegninger og illustrasjoner 10 4.2 Bruk av figurer 10 4.3 Bruk av tallinjen 11 5 Flere måter å gjøre det på 12 5.1 Bruke posisjonsystemet 13 5.2 Bruke posisjonsystemet med minnetall 15 5.3 Enere og tiere for seg 17 5.4 Fyll opp tierne 19 5.5 Opp-og-ned-metoden 23
Innledning til addisjon 1 INNLEDNING TIL ADDISJON Å addere (legge sammen, summere eller plusse) er en av de mest grunnleggende regneoperasjonene vi bruker. Sammen med subtraksjon (trekke fra), multiplikasjon (gange) og divisjon (dele) hører addisjon med blant de fire grunnleggende regneartene, eller regnemåtene. Vi adderer hele dagen, nesten uten stopp, og ofte uten å tenke på det. Når vi skjærer brødskiver (tre til far og to til datteren.) på supermarkedet når vi handler (hvor mange karbonader trenger vi til middag) på kino når vi skal betale for ett barn og en voksen. De fleste klarer å legge sammen to tall i hodet. Vanskeligere blir det jo når det blir flere tall som skal adderes, eller når det kommer til tall med komma (desimaltall), brøker eller store tall med mange siffer. Da trenger vi å ha en plan eller følge bestemte regler en strategi for hva vi gjør. Det er det dette kapitlet handler om. Mange tror at det finnes bare én måte som må brukes når de skal legge sammen to eller flere tall. Det er ikke riktig. Det finnes mange måter å gjøre det på. Det er dette vi kaller for strategier eller algoritmer. Hvilken strategi du har er mindre viktig. Det viktigste er at du forstår hva du gjør, slik at du er rimelig sikker på at du regner riktig. I tillegg er det viktig at du forstår på riktig måte. Det er fort gjort å lage seg strategier eller algoritmer som bare kan brukes i noen sammenhenger, men som viser seg å ikke kunne brukes i andre sammenhenger. Dette kalles misoppfatninger, og de må vi forsøke å unngå. Derfor må du velge en strategi som kan fungere alltid. De algoritmene som presenteres i dette kapitlet (Kapittel 4) kan alltid brukes. B - 2
2 GRUNNLEGGENDE OM ADDISJON Å addere kalles også å summere. Når vi adderer finner vi summen av to eller flere tall. Svaret i et addisjonsstykke kalles da også sum. Svaret i en addisjon kalles sum. Grunnleggende om addisjon Mange er gode til å legge sammen i hodet, men får det ikke til når det samme regnestykket skal skrives. Det kommer som regel av en av to årsaker: 1. Man har utviklet en god regnestrategi, men har ikke lært seg å forklare hvordan man tenker. Når man må forklare, må man tenke nøye gjennom hvordan man tenkte og strategien blir derfor både tydeligere og riktigere. 2. Man har blitt vant til å bare skrive svaret. Dermed mister man to viktige forutsetninger for å lykkes i matematikk: For det første har man oppmerksomheten rettet bare mot svaret, og ikke mot fremgangsmåten, og for det andre øver man ikke opp evnen til å skrive med matematikkens eget språk. Et eksempel kan vise dette: En gutt skal fortelle om hvor mange leker han har. Han har 9 bamser og 7 biler. Han forteller at han har 16 leker. Så blir han spurt om hvordan han tenkte for å finne ut det. Han svarer: Ni er nesten ti, så hvis jeg kaller en av bilene for bamse, så blir det ti. Og så har jeg 6 biler til. Da blir det 16. Denne gutten brukte en av de vanligste hoderegningsstrategiene for addisjon, nemlig å fylle opp hele tiere. Forklaringen hans er god. Den viser at han har en grunnleggende forståelse for prinsippene bak addisjon. Når han skal skrive oppgaven kan han selvfølgelig skrive denne forklaringen, men det er ikke særlig god matematikk. I det matematiske språket er alle unødvendige ord tatt bort, og symboler har erstattet alle begreper om tall og operasjoner. B - 3
Han bør derfor klare å skrive: 9 + 7 = 16 Hvis han bare skriver svaret, har han ikke vist hvordan han har tenkt for å komme frem til svaret, og i en opplæring er det viktig å vise hvordan man tenker. Særlig dersom det skulle vise seg at han har tenkt feil. Da vil det kunne få avgjørende betydning senere. Hvis vår venn skal skrive fremgangsmåten sin matematisk, kan det bli: 9 + 7 = 9 + 1 + 6 = 16 Vi skal derfor gå litt grundigere inn på ulike teknikker, og tenkemåter for addisjon. Ulike tenkemåter 3 ULIKE TENKEMÅTER De fleste har hørt om gangetabellen. Ikke fullt så mange har hørt om addisjonstabellen. Det kan være nyttig å øve litt på addisjonstabellen. Ikke for å trene på svarene, men først og fremst for å finne de mange kodene som ligger gjemt her. Koder som det kan være greit å vite om når du skal forklare hvordan du tenker når du adderer. For de fleste fremgangsmåtene du bruker ligger gjemt i hvilke systemer du kan finne i addisjonstabellen. Vi skal prøve å avsløre noen av hemmelighetene: B - 4
Slik ser addisjonstabellen ut, for tallene fra 0 til 10: + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Det aller første vi skal legge merke til er at tallet 0 (null) ikke forandrer noen ting. Vi sier at det er et nøytralt tall. Det gjelder ikke i multiplikasjon og divisjon, men i addisjon og subtraksjon er null nøytralt. Vi skal se nærmere på det som kalles tiervenner, og tenkemåter som en mer, to like to nesten like og hel femmer. Når man blir bedre kjent med addisjonstabellen kan man selv finne flere slike tenkemåter som kan gjøre det lettere å addere. B - 5
Tiervenner Et av de første hjelpemidlene kaller vi tier-venner: Hvilke to tall blir ti når vi legger dem sammen? Tiervenner: To tall som til sammen er 10. + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Her har jeg merket av alle tierne i tabellen. Tiervenner er de to tallene som til sammen blir 10. Ser du godt etter vil du finne 6 par tiervenner: 0 og 10 1 og 9 2 og 8 3 og 7 4 og 6 5 og 5 Dersom du vet at for eksempel 3 er venn med 7, så vet du samtidig at 7 er venn med 3. B - 6
En mer En mer betyr ganske enkelt at et tall er en mer enn det forrige tallet. 8 er 1 mer enn 7 (8 = 7 + 1). For de fleste er dette ganske opplagt, men det er ikke så mange som bruker denne kunnskapen når de skal legge sammen. Se på eksemplet med gutten og lekene: Han tenkte at 10 er 1 mer enn 9, og dermed hadde han en tenkemåte som han kunne forklare. To like Mange barn synes det er greit å forholde seg til like verdier (for eksempel 6 + 6). De kobler som regel dette sammen med dobbelt så mye og dermed har de en klar forestilling av hvordan de tenker. Nesten like Tar du tallene 5 og 6, så er de nesten like. Skal du legge dem sammen, kan det være greit å begynne med å legge sammen 5 + 5, fordi 6 er nesten 5. Siden 6 er en mer enn 5, blir svaret 5 + 5 + 1 = 11. Hel femmer Femmere er veldig greit å forholde seg til av tre grunner. For det første har vi 5 fingre på hver hånd, så det er lett å telle (og regne) med femmere. For det andre bruker pengesystemet vårt enere, femmere (5, 50 og 500) og tiere (10, 100 og 1000). Derfor har vi to muligheter for å konkretisere femmere som de fleste forstår og forholder seg til stort sett daglig. For det tredje er fem halvparten av ti og ti er grunnlaget for hele tallsystemet vårt. To hjelpemidler til 1. Det neste vi skal være oppmerksom på er at en virkelig forståelse av addisjon kan sette oss i stand til å handtere tallene slik det passer oss, i stedet for å bli tvunget til å lære systemer som vi kanskje til og med ikke egentlig forstår. En slik mulighet er at vi kan bytte rekkefølgen på tallene. Se på eksemplet nedenfor: 5 + 6 = 6 + 5 B - 7
2. En annen mulighet vi har er å splitte opp tallene slik at det passer oss bedre. Når vi for eksempel kjenner til tiervenner, kan vi bruke det for å utvikle vår egen tenkemåte. Nedenfor er et eksempel på bruk av tiervenner: 8 + 6 = Siden vi vet at 8 og 2 er tiervenner, kan vi gjøre om 6-tallet til 2 + 4 for å fylle opp 8-tallet til 10. Slik: 8 + (2 + 4) = Og så kan vi flytte 2-tallet bort til vennen sin: (8 + 2) + 4 = Og da har vi laget en hel tier, og regnestykket blir slik: 10 + 4 = 14 Det er altså ved å avsløre hemmelighetene i addisjonstabellen at vi kan bli tryggere, og bedre kjent med, de teknikkene vi kan bruke når vi adderer. Hele poenget er at vi skal bli gode på å forstå hva som foregår. Når vi er gode på det, kan vi selv ta kontrollen over vår egen tenkemåte, og lage våre egne fremgangsmåter. Legg merke til at de hjelpemidlene som er vist her bare er noen få av veldig mange. Det avgjørende er ikke å kunne disse. Det avgjørende er å forstå at der er mange hjelpemidler å ta i bruk, og at to mennesker kan velge ulike tenkemåter. Det er altså ikke noe poeng å trene på at alle gjør tingene på samme måte. Det alle må trene på, og forsøke å bli gode på, er å forstå hvordan de selv tenker, slik mat de kan forklare det til andre. B - 8
4 HJELPEMIDLER I ADDISJONER Det er vanlig i all undervisning å følge to hovedregler når man skal lære noe nytt. Den første regelen er å starte med noe kjent, for så å bevege seg over til det nye, det ukjente. Derfor er det viktig å vite hva et barn kan, før man kan forsøke å lære det noe det ikke kan. Hjelpemidler i addisjoner Den andre hovedregelen er å begynne med noe konkret, og så gå gradvis over til det abstrakte det teoretiske. Det er to nivåer i begge disse gruppene. Dette kan vises med følgende oversikt: Konkret Abstrakt Konkret Halvkonkret Halvabstrakt Abstrakt Dette kan for eksempel være baller En halvkonkret er ofte bilder av noe konkret Her går man over til symboler, for eksempel at en strek betyr 1 ball Det mest abstrakte nivået er matematiske symboler, for eksempel tall 3 Ved å bruke slike metoder blir det lettere for den som skal lære å følge med fra starten. Antagelig må man gjennom alle disse nivåene for å oppnå god læring. I denne boken er det vanskelig å bruke helt konkrete eksempler, siden alt som er tegnet eller skrevet bare kan bli bilder og symboler. Kapittel 4 handler om hvordan man kan bruke dette for å forstå addisjon. B - 9
Bruk av tegninger, figurer og illustrasjoner 4.1 Bruk av tegninger og illustrasjoner Konkreter Det er viktig at de konkretene man tar i bruk er hentet fra barnets hverdag. Da kan alle former for leker, klær, mat, penger o.s.v. være greie å bruke. De er også klokt å bruke de konkrete tingene i sammenhenger der de hører hjemme. Man kan godt trene på addisjon ved frokostbordet (da kan matvarer være hensiktsmessig, mens leker kanskje er mindre hensiktsmessig). Halvkonkreter Da kommer man over på bilder og tegninger. Her kan man hente frem fotominner fra sommerferien, bilder fra barnets ulike aktiviteter og interesser lage enkle tegninger. Når det kommer til tegninger vil det ofte være klokt å la barnet tegne selv. På veien mot halvabstrakt kan også enkle figurer erstatte bilder og tegninger. Men figurene må visse tallmengdene og de må ligne på bilder av konkreter. Eksempel: Skal du illustrere tallet 5, kan du for eksempel velge å tegne fem trekanter, som kan minne om stjerner med 3 hjørner. Men de må ikke kalles for trekanter kall dem stjerner. Bruk av figurer 4.2 Bruk av figurer Halvabstrakter nivå 1 I det øyeblikket du lar figurene bare være figurer, har du beveget deg over på et mer teoretisk plan du er i gang med halvabstrakter. Vanligst her er streker, men enkle figurer (trekanter, sirkler, firkanter) gjør den samme nytten. Det er viktig å ha med seg at figurene her er symboler for ting. Når de brukes må man derfor få frem at figurene ikke betyr firkant, trekant o.s.v., men at de betyr hester, legoklosser eller brødeskiver, avhengig av hva de skal være illustrasjon på. B - 10
4.3 Bruk av tallinjen Halvabstrakter nivå 2 Bruk av tallinjen Før man går over på det helt abstrakte, kan man ta i bruk tallinjen. Da tegner man tallinjen, og lager linjer som tilsvarer mengden man skal illustrere. Eksempel: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Skal man vise mengden 7, lager man en linje som går fra 0 til 7, slik: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Dette forutsetter selvfølgelig at tallene er kjent, men det er de jo for de fleste i 5. klasse, skulle jeg tro. Så kan man jo gå videre, ved å legge til en linje som skal bety 2: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Og dermed har man jo vist at 7 + 2 = 9, lenge før man har begynt å regne med tall! Å regne med figurer er både morsomt og lærerikt. B - 11
Men så er vi kommet meget nær det øverste nivået, det mest teoretiske og abstrakte. Nemlig der ting, bilder og figurer skal erstattes med tall. Vi er kommet til det skriftelige regnestykket. Flere måter å gjøre det på 5 FLERE MÅTER Å GJØRE DET PÅ På det abstrakte nivået er det symboler som gjelder. Tallene er symboler for mengder og verdier. Tegnene er symboler for regneoperasjoner. Med vanlig norsk tekst vil det kanskje hete: Hvis du legger fem til sju får du tolv, eller Sju pluss fem er tolv. I matematiske symboler vil dette bli: 7 + 5 = 12 Altså et regnestykke er en tekst som er skrevet med matematiske symboler. Et regnestykke er en tekst som er skrevet med tall og matematiske symboler. Men hvilken fremgangsmåte skal man velge? Og er det en metode som er mer riktig enn andre metoder? Svaret på det siste spørsmålet er nei. Det er mange metoder, og ingen er den riktige i forhold til andre metoder. Svaret på det første spørsmålet må bli: Det kommer an på hvordan man tenker. Kikk en gang til på kap.3 Ulike tenkemåter. Dersom man klarer å forstå hvordan man tenker, har man langt på vei laget sin egen fremgangsmåte sin egen algoritme. Her skal jeg vise tre ulike fremgangsmåter algoritmer. De har i grunnen mye felles, men de ser helt ulike ut. Jeg har valgt å gi dem navn etter hvordan man tenker når man bruker de forskjellige metodene. B - 12
5.1 Bruke posisjonsystemet Denne metoden er lett å kjenne igjen, fordi her skrives tallene under hverandre. Bruke posisjonsystemet Eksempel: 23 + 36 = Man begynner med å skrive det første tallet Eksempel 1: Trinn a 23 og deretter fører man opp det neste tallet rett under det første: Eksempel 1: Trinn b 23 36 Man legger inn addisjonstegnet og setter en strek under, for å vise at man nå har skrevet hele oppgaven og er klar til å regne ut.: Eksempel 1: Trinn c 23 + 36 Nå er det viktig å merke seg følgende: Tallet 23 består av 3 enere og 2 tiere. Tallet 36 består av 6 enere og 3 tiere. Hva enere og tiere betyr er nærmere forklart i kapitlet Posisjonsystemet B - 13
Når man bruker denne fremgangsmåten er det avgjørende at enere står rett under hverandre på enerplassen, og tierne rett under hverandre på tierplassen. I dette eksemplet er dette ikke noe problem. Man begynner med å legge sammen enerne. 3 + 6 = 9, og skriver svaret på enerplassen under streken. Eksempel 1: Trinn d 23 + 36 9 Deretter gjør man det samme med tierne: Eksempel 1: Trinn e 23 + 36 59 Det er i grunnen hele greia. Man avslutter med å skrive = og sette to streker under svaret: Eksempel 1: Trinn f 23 + 36 = 59 Her har jeg med vilje valgt et regnestykke som er helt fri for vanskeligheter. For å bruke denne fremgangsmåten er det helt avgjørende at man forstår posisjonsystemet. Det blir enda tydeligere i det neste eksemplet: B - 14
5.2 Bruke posisjonsystemet med minnetall Det er nemlig ofte slik at addisjonen ikke går fullt så greit. Det er tilfelle i det neste eksemplet: Bruke posisjonsystemet med minnetall Eksempel: 48 + 39 = Man starter på samme måte nemlig med å skrive tallene under hverandre: Eksempel 2: Trinn a 48 + 39 Men når vi nå legger sammen tallene på enerplass, oppstår det en situasjon: Eksempel 2: Trinn b 48 + 39 17 8 + 9 = 17. Fra kapitlet om posisjonsystemet får vi vite at det bare er plass til ett siffer i hver posisjon. Men tallet 17 har jo to siffer! I Eksempel 2 trinn b har jeg forsøkt å løse dette dilemmaet ved å plassere 1- tallet i 17 på enerplassen, og 7-tallet på en plass for seg selv. Men det har jeg i grunnen ikke lov til. Jeg kan jo ikke bare opprette en egen plass for 7-tallet. Hvilken verdi skal i så fall den plassen ha? Hvis vi ser på tallet 17, ser vi at det består av 1 tier og 7 enere. Det betyr at 7- tallet må komme på enerplassen. Men hvor skal vi da gjøre av den ene tieren? Vel, den hører jo hjemme på tierplassen, siden den jo er en tier! Vi setter den inn på tierplassen, over de tallene som allerede står der. B - 15
Eksempel 2: Trinn c 1 48 + 39 7 Sånn. Ser vi på de to sifrene som er skrevet med rødt, ser vi at det er 1 tier og 7 enere, altså 17. Når enerne blir større enn ti når de adderes, fører vi en tier opp på denne måten. Vi kaller det et minnetall. Dersom vi har flere tall som skal adderes, og summen av enerne blir større enn 20, fører vi opp et 2-tall som minnetall. Nå kan vi addere tierne. Der sto det opprinnelig 4 + 3, men med minnetallet blir det 1 + 4 + 3 Minnetall: Når summen av tallene på enerplass inneholder tiere, settes tierne som minnetallover de tallene som allerede står på tierplassen. Minnetallet blir med i addisjonen av tierne. Det tilsvarende skjer dersom summen av tiere inneholder hundrere o.s.v. Eksempel 2: Trinn d 1 48 + 39 87 Og så avslutter vi med = og to streker under svaret. Eksempel 2: Trinn e 1 48 + 39 = 87 B - 16
Enere og tiere hver for seg 5.3 Enere og tiere for seg For mange er metoder der tallene skal skrives under hverandre vanskelig å forstå. Mange foretrekker å skrive tallene etter hverandre på en linje. Denne metoden, som jeg har kalt Enere og tiere for seg gjør nettopp det. For å trene på denne metoden vil det være viktig å skrive fremgangsmåten. Deet faller lettere for de fleste, og man unngår mange feil på den måten. Vi kan velge det samme regnestykket som vi valgte i eksempel 2: 48 + 39 = Eksempel 3: Trinn a 48 + 39 = Denne metoden går ut på at enerne legges sammen for seg og tierne legges sammen for seg. Slik: Eksempel 3: Trinn b 48 + 39 = 40 + 30 = 70 8 + 9 = 17 Den loddrette streken viser at har valgt en spesiell måte å føre dette på, der tegnet = ikke kan brukes. Streken erstatter på en måte =. Når vi har regnet ut enerne og tierne hver for seg, kan vi legge sammen svarene: Eksempel 3: Trinn c 40 + 30 = 70 48 + 39 = = 87 8 + 9 = 17 B - 17
Dersom vi har større tall, kan vi bli nødt til å legge sammen hundrere og tusener for seg. Det blir litt flere linjer, men med litt trening skulle det være greit å klare det. Et nytt eksempel viser hvordan det vil se ut med tall over tusen: Eksempel: 4378 + 5672 = Eksempel 4: Trinn a 4378 + 5672 = Først splitter vi opp tallene i enere, tiere, hundrer og tusener: Eksempel 4: Trinn b 4378 + 5672 = 4000 + 5000 = 9000 300 + 600 = 900 70 + 70 = 140 8 + 2 = 10 Og så legger vi sammen til slutt: Eksempel 4: Trinn c 4000 + 5000 = 9000 300 + 600 = 900 4378 + 5672 = = 10050 70 + 70 = 140 8 + 2 = 10 B - 18
For å unngå at vi regner feil når vi skal summere til slutt, kan vi slå sammen to eller flere av tallene: Vi ser at 140 + 10 = 150. Vi ser også at 900 er 100 mindre enn 1000. Vi kan begynne med å skrive tallene: 9000 + 900 + 140 + 10 = Så deler vi opp 140: 9000 + 900 + 140 + 10 = 9000 + 900 + (100 + 40) + 10 = Deretter slår vi sammen tall som naturlig hører sammen: 9000 + (900 + 100) + (40 + 10) = 9000 + 1000 + 50 = og da kan vi summere til slutt: 9000 + 1000 + 50 = 10000 + 50 = 10050 5.4 Fyll opp tierne Den tredje metoden har jeg kalt for Fyll opp tierne. Den vil fungere godt på mindre tall, men kan nok kreve en god del trening dersom den skal være hensiktsmessig for større tall. Fyll opp hele tiere La oss se på en enkelt eksempel først. Vi kan bruke de tallene som vi hadde i eksempel 2: 23 + 36 = Først må vi skrive oppgaven: Eksempel 5: Trinn a 48 + 39 = B - 19
Metoden går i korthet ut på å lage hele tiere av enerne. I dette eksemplet ser vi at 39 mangler 1 ener på å være 4 tiere. Vi flytter derfor en ener fra 48 over til 39. Slik Eksempel 5: Trinn b 48 + 39 = (48 1) + (39 + 1) = Når vi ser på tallene igjen, ser vi at vi har: Eksempel 5: Trinn c 48 + 39 = 47 + 40 = Og dette er det ganske greit å legge sammen: Eksempel 5: Trinn d 48 + 39 = 47 + 40 = 87 Bruker vi denne metoden på litt større tall, blir det viktig å vite hva man gjør. Hvis vi bruker denne metoden på tallene fra eksempel 4, får vi dette: B - 20
Eksempel 6: Trinn a 4378 + 5672 = Vi ser at enerne fyller opp en tier helt av seg selv: Eksempel 6: Trinn b 4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 2) = Dette gir oss disse tallene å regne videre med: Eksempel 6: Trinn c 4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 2) = 4380 + 5670 = Da må vi se på tierplassen. Vi har 8 tiere i det ene tallet og 7 tiere i det andre. Hvordan skal vi fylle opp hele hundrere med disse tierne? Vel 80 er bare 20 fra en hel hundrer. Vi kan hente de 20 fra 70 Eksempel 6: Trinn d 4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 2) = 4380 + 5670 = (4380 + 20) + (5670 20) = Og da har vi fått nye tall å fortsette med: B - 21
Eksempel 6: Trinn e 4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 2) = 4380 + 5670 = (4380 + 20) + (5670 20) = 4400 + 5650 = Nå nærmer vi oss noe. Nå er det hundrerne vi må se på for å fylle opp på tusenplassen. Vi ser at det er 4 hundrere i det første tallet, og 6 hundrere i det andre. Det blir jo en hel tusen til sammen. Vi kan flytte de fire hundrerne over fra det første tallet til det andre: Eksempel 6: Trinn f 4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 2) = 4380 + 5670 = (4380 + 20) + (5670 20) = 4400 + 5650 = (4400 400) + (5650 + 400) = Dette gir oss følgende tall som vi kan legge sammen: Eksempel 6: Trinn g 4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 2) = 4380 + 5670 = (4380 + 20) + (5670 20) = 4400 + 5650 = (4400 400) + (5650 + 400) = 4000 + 6050 = Og vi ender opp med dette resultatet: Eksempel 6: Trinn h 4378 + 5672 = (4378 + 2) + (5672 2) = 4380 + 5670 = (4380 + 20) + (5670 20) = 4400 + 5650 = (4400 400) + (5650 + 400) = 4000 + 6050 = 10050 B - 22
5.5 Opp-og-ned-metoden Den siste metoden jeg vil ta med her har jeg kalt Opp-og-ned-metoden. Den er en slags videreutvikling av Fyll opp tierne. Fyll opp hele tiere Metoden går i korthet ut på å ta fra det ene tallet og legge til på det andre. Et par eksempler kan gjøre det klarere. Først et enkelt eksempel: Eksempel: 38 + 44 = Eksempel 7: Trinn a 38 + 44 = Ser vi på tallene, vil vi se at 38 er 2 mindre enn 40. 40 er mye enklere å regne med, fordi det er hele tiere. Vi kan øke 38 med 2, men da må vi samtidig redusere 44 med 2. Med andre ord: Hvis vi går opp på det ene tallet (fra 38 til 40), må vi gå like mye ned på det andre tallet (fra 44 til 42). Vi kan skrive det slik: Eksempel 7: Trinn b 38 + 44 = 38 + 2 og 44 2 = Da vil vi ha disse tallene å regne med: Eksempel 7: Trinn c 38 + 44 = 38 + 2 og 44 2 40 + 42 = B - 23
Og disse tallene er mye lettere å legge sammen: Eksempel 7: Trinn d 38 + 44 = 38 + 2 og 44 2 40 + 42 = 82 Nå var dette et ganske enkelt eksempel. La oss se hvordan dette kan fungere på litt større og vanskeligere tall, der det ikke er like lett å se svaret: Eksempel: 457 + 388 = Eksempel 8: Trinn a 457 + 388 = Her kan vi velge hvilket tall vi skal starte med. Vi skal se på hva som skjer i begge tilfellene. Vi begynner med 457. 457 er 7 mer enn 450, og det kan jo være et greit tall å regne med. Da går vi altså 7 ned, og må derfor gå 7 opp på det andre tallet. Eksempel 8: Trinn b1 457 + 388 = 457 7 + 388 + 7 Så regner vi ut det som står inne i de nye tallene: B - 24
Eksempel 8: Trinn c1 457 + 388 = 457 7 + 388 + 7 450 + 395 Og til slutt legger vi sammen de to nye tallene: Eksempel 8: Trinn d1 457 + 388 = 457 7 + 388 + 7 450 + 395 = 845 Så skal vi se hva som skjer dersom vi tar utgangspunkt i det andre tallet. Vi kan for eksempel tenke at 388 er 12 mindre enn 400: Eksempel 8: Trinn b2 457 + 388 = 457 12 + 388 + 12 Når vi regner ut de nye tallene får vi: Eksempel 8: Trinn c2 457 + 388 = 457 12 + 388 + 12 445 + 400 Og når vi regner ut svaret, får vi: B - 25
Eksempel 8: Trinn d2 457 + 388 = 457 12 + 388 + 12 445 + 400 = 845 Det ble adskillig enklere tall å legge sammen til slutt med versjon 2. Det viser at det kan være lurt å se litt på tallene før man begynner å regne. Alle disse metodene jeg har vist har sine fordeler og svakheter. Felles for dem alle, og grunnleggende for å forstå addisjon, er at man forstår posisjonsystemet. Posisjonsystemet er forklart i eget kapittel. Det kan også være lurt å kikke litt på kapitlet som heter tallinjen. Mange vil antagelig mene at de tre siste metodene er greie å forstå, og med litt trening kan man bli virkelig god på å bruke disse dem. Men som oftest velger de fleste etter hvert å gå over til den første metoden, der man skriver tallene under hverandre. Det som ofte også viser seg er man man blir mye bedre på å handtere minnetall i under-hverandre-metoden, dersom man er blitt god på en eller flere av de andre metodene først. Selv om man ofte velger å gå over til metoden med tallene under hverandre, fortsetter de fleste å bruke de andre metodene når de skal regne i hodet. B - 26