Posisjonsystemet FRA A TIL Å

Posisjonsystemet FRA A TIL Å VEILEDER FOR FORELDRE MED BARN I 5. 7. KLASSE EMNER Side 1 Innledning til posisjonsystemet P - 2 2 Grunnleggende om posisjonsystemet P - 2 3 Titallsystemet P - 3 4 Posisjonsystemet P - 6 5 Å bruke posisjonsystemet P - 7 5.1 Posisjonsystemet i addisjon P - 8 5.2 Posisjonsystemet i multiplikasjon P - 15 5.3 Posisjonsystemet i divisjon P - 20 6 Posisjonsystemet og desimaltall P - 24

Grunnleggende om Posisjonsystemet Innledning til Posisjonsystemet 1 INNLEDNING TIL POSISJONSYSTEMET Det finnes mange tallsystemer i verden, og opp gjennom historien har ulike kulturer utviklet sine spesielle tegn for mengder og størrelser, og sine egne måter å regne med disse tegnene. I dag brukes stort sett titallsystemet over hele verden. Titallsystemet er også forklart i kapitlet om tallsystemer. I alle klasser jeg har undervist i matematikk har jeg funnet feil som skyldes manglende forståelse av posisjonsystemet. Dette kan ha mange årsaker, og er helt nødvendig å gripe tak i. I dette kapitlet skal vi derfor se nærmere på posisjonsystemet slik at det blir lettere å forstå. Kapitlet vil bidra til å forstå hvilke feil et barn gjør, hvorfor feilen oppstår og hvordan vi kan hjelpe barnet til å få det riktig. Tallene vi skriver er symboler for tallmengder. Kapitlet vil også kunne bidra til en utvidet tallforståelse. 2 GRUNNLEGGENDE OM POSISJONSYSTEMET I titallsystemet har vi bare 10 talltegn. Ved hjelp av disse 10 tegnene kan vi skrive alle tall. Når vi skriver et tall som for eksempel 321, bruker vi tre tegn: Tegnet for en (1), tegnet for to (2) og tegnet for tre (3). Vi kaller dem i grunnen ikke tegn, men symboler. Det kommer av at et tegn egentlig bør ligne på det de skal bety, mens symboler ikke trenger å gjøre det. P- 2

Men disse tre tallsymbolene bruker vi også når vi skriver 123, 132, 213, 231, 312,. Ved hjelp av disse tre symbolene kan vi altså skrive i alt 6 forskjellige tall. Og alle de 6 tallene har ulik verdi, selv om vi altså bare bruker de tre symbolene.. For at et tall skal kunne forstås riktig må tallsymbolene komme i riktig posisjon. Det er ikke likegyldig om Per skylder deg 145 kroner eller om det er 541 kroner. Vi er ikke bare avhengig av at vi skriver riktig symbol, men det må også skrives på riktig plass altså i rett posisjon for at det skal bli riktig. Det er derfor to systemer vi må kjenne til: titallsystemet og posisjonsystemet. Vi tar det i tur og orden. 3 TITALLSYSTEMET I kapitlet om tallsystemer finner du en grundig forklaring på titallsystemet. Her skal vi nøye oss å ta med det viktigste. Titallsystemet Vi bruker de 10 symbolene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9. Hvis vi skal skrive tallet som er 1 større enn 9, må vi bruke 2 symboler (nemlig 1 og 0). I titallsystemet har vi bare 10 tallsymboler: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 Dette er kanskje enklere å se hvis vi setter tallene under hverandre: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 Nå ser vi tydelig at tallet 10 skrives med 2 tallsymboler. P- 3

Det er to viktige ting å legge merke til allerede her. For det første har vi begynt på en ny tallrekke, der det nå står et 1-tall. Denne nye tallrekken tar vi i bruk fordi har brukt opp alle de ti tallsymbolene vi har tilgjengelig i et titallsystem. For å skrive tallet som er større enn 9, må vi ha en måte å vise dette på, selv om vi fortsatt bare har de 10 symbolene vi allerede har brukt. Det er da vi trenger å innføre en egen plass, der vi kan bruke de samme symbolene. Nå kan vi fortsette å legge til nye tall: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 Helt til vi kommer til 19: 1 7 1 8 1 9 Selv om vi har brukt opp alle symbolene i kolonnen til høyre igjen, trenger vi ikke å innføre enda en ny kolonne. I den andre kolonnen står det 1. Etter tallet 19 kan vi nå innføre et 2-tall i den andre kolonnen. P- 4

1 7 1 8 1 9 2 0 Og slik kan vi telle oss oppover ved å bruke de 10 symbolene igjen og igjen, men i stadig høyere tall. Helt til vi har tatt i bruk alle symbolene i begge kolonnene. Når vi står med et 9-tall i begge kolonnene hva gjør vi da? 9 7 9 8 9 9 Da innfører vi enda en kolonne, og begynner på null i de to kolonnene vi allerede har: 9 7 9 8 9 9 1 0 0 og så kan vi fortsette: 9 9 1 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0 3 Når vi har kommet til det siste tegnet 9 i alle disse tre kolonnene, innfører vi enda en ny kolonne: 9 9 8 9 9 9 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 2 P- 5

Tusenplassen Matematikk FRA A TIL Å Dette er selve grunnprinsippet for titallsystemet. Et hvilket som helst tall, uansett hvor stort det er, kan du på denne måten skrive ved hjelp av bare 10 tallsymboler. Posisjonsystemet 4 POSISJONSYSTEMET Posisjonsystemet bygger på titallsystemet. I kapitlet om titallsystemet innførte vi kolonner. En ny kolonne for hver gang vi trengte å utvide tallet med et ekstra siffer. Med posisjonsystemet gir vi hver kolonne et eget navn. Den første kolonnen, der vi bare bruker ett symbol for å beskrive et tall, kaller vi enerplassen. Den neste kolonnen, den vi trenger for å skrive tallet 10, kaller vi tierplassen. Vi har behov for den tredje kolonnen når vi skal skrive tallet 100. Derfor kaller vi den kolonnen for hundrerplassen. o.s.v. Posisjonsystemet innfører navn på de ulike posisjonene: Enerplass, tierplass, hundrerplass, tusenplass o.s.v. Posisjonsystemet kan vi vise slik 9 9 9 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 2 I denne tabellen er tallet 1002 merket med farget bakgrunn. Vi ser at tallet 1002 består av 1 tusener, 0 hundrere, 0 tiere og 2 enere. På neste side har jeg skrevet inn noen andre tall i tabellen: P- 6

Tusenplassen Matematikk FRA A TIL Å Eks. 1 3 5 6 4 Eks. 2 5 0 3 6 Eks. 3 3 0 1 Eks. 4 1 8 2 3 Her har jeg satt inn 4 tall: 3564, 5036, 301 og 1823. Alle tallene har fått sitt eget nummer (Eks. 1, Eks. 2 o.s.v.). Jeg har også merket alle sifrene som viser symbolet 3. Ved hjelp av disse fire tallene ser vi viktigheten av posisjonsystemet. 3- tallet i eks. 1 står på tusenplassen. Det betyr at vi har 3 tusener. Det betyr at akkurat det 3-tallet har en verdi på 3000. I eksempel 2 står 3-tallet på tierplassen. Det 3-tallet betyr derfor 3 tiere altså 30. I eksempel 3 finner vi 3-tallet på hundrerplassen altså 300. Det er bare i det siste eksemplet, der 3-tallet står på enerplassen, at verdien er 3. Fordi et tall skifter verdi etter hvilken plass, eller posisjon, det har, er det meget viktig at vi vet hvordan vi posisjonssystemet virker og brukes. 5 Å BRUKE POSISJONSYSTEMET Når vi skal regne med tall har vi bruk for å forstå posisjonsystemet. Gjennom 5 eksempler skal du få se hvor viktig dette er. I det første, og aller enkleste eksemplet er det sjelden noen gjør feil, men fra eksempel 2 dukker det som regel opp feil som skyldes at posisjonsystemet ikke er helt forstått. Å bruke posisjonsystemet P- 7

Tusenplassen Tusenplassen Matematikk FRA A TIL Å Posisjonsystemet i addisjon 5.1 POSISJONSYSTEMET I ADDISJON I det første eksemplet skal vi addere 2 tall: 34 og 62. De to tallene kunne vært delt opp slik: 34 = 30 + 4 Et tall som skrives på utvidet 62 = 60 + 2 form deles opp, slik at vi skiller fra hverandre enerne, tierne, Å splitte opp tallene slik, kaller vi å skrive hundrerne o.s.v. tallene på utvidet form. Vi ser at 34 består av 3 tiere og 4 enere. 62 består av 6 tiere og 2 enere. Eksempel 1: Trinn a Vi kan sette de to tallene inn i posisjonsystemtabellen: 3 4 + 6 2 = Når vi adderer de to tallene sammen, begynner vi alltid med enerne: Eksempel 1: Trinn b 3 4 + 6 2 = 6 P- 8

Tusenplassen Tusenplassen Matematikk FRA A TIL Å og deretter adderer vi tierne: Eksempel 1: Trinn c 3 4 + 6 2 = 9 6 De aller fleste elever i femte klasse klarer å få til dette. Men så, i neste eksempel er det mange som gjør feil. I eksempel 2 skal vi addere 456 og 31. Uten å tenke seg om, er det mange elever som da vil skrive: 4 5 6 + 3 1 = 7 6 6 Dette er kanskje naturlig, siden vi både leser og skriver fra venstre mot høyre. Men ser vi litt nøye på dette, vil vi se at 3-tallet i 31 står på hundrerplassen, som om det betyr 300. Og 1-tallet står på tierplassen og betyr 10. Så i virkeligheten har vi her addert 456 og 310, og det var jo ikke akkurat meningen. Dette er en av de vanligste feilene jeg opplever som lærer i matte på mellomtrinnet. P- 9

Tusenplassen Tusenplassen Matematikk FRA A TIL Å La oss sette de to tallene som skal adderes opp på utvidet form. 456 = 400 + 50 + 6 31 = 30 + 1 Setter vi dette inn i tabellen, blir det slik: Eksempel 2: Trinn a 4 5 6 + 3 1 Og når vi regner det ut får vi: Eksempel 2: Trinn b 4 5 6 + 3 1 = 4 8 7 Dette viser hvor viktig det er at sifrene kommer på riktig plass, og at posisjonene skrives rett under hverandre. I disse to eksemplene har addisjonen vært enkel. Men hva vil skje dersom vi øker vanskelighetsgraden noe? P- 10

Tusenplassen Tusenplassen Matematikk FRA A TIL Å I det tredje eksemplet er det lagt inn en ny utfordring: Her skal vi addere disse tallene: 267 og 378. La oss først skrive tallene på utvidet form: 267 = 200 + 60 + 7 378 = 300 + 70 + 8 Setter vi dem inn i tabellen, ser det slik ut: 2 6 7 + 3 7 8 = Vi begynner som vanlig å addere enerne: 2 6 7 + 3 7 8 = 15 Men hallo?? Stopp litt! 15 på enerplass?? Det går jo ikke! Nei, ganske riktig. Det er bare plass til ett siffer på hver plass. Ellers mister jo både titallsystemet og plassverdisystemet all mening. P- 11

Tusenplassen Matematikk FRA A TIL Å La oss se litt på tallet 15! Det består jo av 1 tier og 5 enere. På utvidet form ser vi at 15 = 10 + 5. Så her har vi jo fått en ekstra tier. Da er det naturlig at den tieren hører hjemme på tierplassen. Helt riktig! Vi skriver den på en litt spesiell plass i tabellen vår: Eksempel 3: Trinn c 1 2 6 7 + 3 7 8 = 5 Den nye tieren skriver vi over de tierne vi allerede har i regnestykket. Vi kaller det et minnetall. I gamle dager lærte de å legge sammen 7 + 8 ved å si: 5 ned og 1 i mente. Det betyr at vi skriver 5-tallet og noterer tieren slik at vi ikke glemmer den. Det er det minnetall også betyr. Hvis vi glemmer å skrive minnetallet, er det fort gjort at vi glemmer tallet når vi skal addere tierne. Nå har vi altså fått 3 tall som skal adderes på tierplassen: P- 12

Tusenplassen Tusenplassen Tusenplassen Matematikk FRA A TIL Å Eksempel 3: Trinn e 1 2 6 7 + 3 7 8 = 14 5 Eksempel 3: Trinn f..som vi altså ikke skal skrive slik. Her skjer jo akkurat det samme som på enerplassen. Når vi summerer får vi et tall som er større enn 10. Så det riktige må være: 1 1 2 6 7 + 3 7 8 = 4 5 Og så er vi klare til å fullføre addisjonen: Eksempel 3: Trinn g 1 1 2 6 7 + 3 7 8 = 6 4 5 P- 13

Dette eksemplet viser at det er nødvendig å begynne addisjonen på enerplassen. Bruken av minnetall i er nærmere forklart i kapitlet Addisjon. I disse tre eksemplene har vi sett på hvor viktig posisjonsystemet er når vi skal addere. Men det er ikke bare i addisjon dette er viktig. I de to siste eksemplene har jeg hentet oppgaver der tall skal multipliseres og divideres. Både multiplikasjon og divisjon er nøye forklart i egne kapitler. For en grundig gjennomgang viser jeg til disse kapitlene. Posisjonsystemet i multiplikasjon 5.2 POSISJONSYSTEMET I MULTIPLIKASJON På de fleste skoler har elevene arbeidsbøker i matematikk. Som regel vil dette være arbeidsbøker med ruter. I de følgende to eksemplene har jeg derfor byttet ut plassverdisystemtabellen med et slikt rutenett. Det har jeg gjort av to grunner: For det første er det ikke meningen at elevene skal tegne opp en slik tabell hver gang de skal regne ut et regnestykke, så før eller siden må dette hjelpemidlet legges bort. Og for det andre vil et slikt skjema kunne virke mer forvirrende enn forklarende når vi nå kommer til multiplikasjon og divisjon. P- 14

Så la meg først få presentere det nye rutemønsteret. Eksempel 4: Trinn a Og så setter jeg inn et gangestykke: 3 7 5 2 4 2 Det aller første jeg må gjøre er å sette en strek under hele oppgaven: Eksempel 4: Trinn b 3 7 5 2 4 2 P- 15

Hvis du er usikker på hvordan dette skal regnes ut, vil jeg anbefale at du går til kapitlet om multiplikasjon før du går videre. Det finnes flere fremgangsmåter du kan bruke når to tall skal ganges med hverandre. Her bruker jeg den metoden som er mest i bruk, den som jeg i kapitlet om multiplikasjon har kalt Standardalgoritme. Her må alle sifrene i det ene tallet ganges med alle sifrene i det andre tallet. Dette gjøres etter et bestemt mønster, der enerne i det siste tallet først ganges med enerne i det første tallet. Her blir det 2 5, som blir 10 Nå er det viktig å sette utregningen på riktig plass. Vi ganger jo enerne her, så da må enerne i svaret settes på enerplass, mens tieren settes inn som et minnetall over tierplassen. Slik Eksempel 4: Trinn c 1 3 7 5 2 4 2 0 Deretter ganger jeg enerne i det siste tallet med tierne i det første. I tillegg må jeg legge til minnetallet: 2 7 = 14; 14 + 1 = 15 Når svaret blir 15, setter jeg 5-tallet på tierplassen, og 1-tallet som minnetall på hundrerplassen. Eksempel 4: Trinn d 1 1 3 7 5 2 4 2 5 0 P- 16

Det neste blir å gange enerne i det bakerste tallet med hundrerne i det første tallet. Deretter må jeg legge til minnetallet. Altså 2 3 = 6; 6 + 1 = 7 Eksempel 4: Trinn e 1 1 3 7 5 2 4 2 7 5 0 Sånn! Nå har jeg ganget enerne i det siste tallet med alle sifrene i det første tallet. Neste trinn er å behandle tierne i det siste tallet på samme måte. Først 4 5 = 20 Det som er viktig å huske på nå, er vi regner med tiere (de 4 tierne i det siste tallet) Derfor må svaret skrives på tierplassen: 20 skrives derfor slik: Eksempel 4: Trinn f 2 1 1 3 7 5 2 4 2 7 5 0 0 Minnetallet skal stå på tierplassen, fordi vi jo har ganget de 5 enerne i det første tallet. P- 17

Mange lærer huskeregler om dette, som for eksempel at vi skal rykke én plass mot venstre, eller at utregningen skal se ut som et trappetrinn. Det er i og for seg greit nok, men det er viktig å vite hvorfor det må bli slik. Neste trinn i utregningen blir å gange tiere med tiere og legge til minnetallet: 4 7 = 28; 28 + 2 = 30 Eksempel 4: Trinn g 3 2 1 1 3 7 5 2 4 2 7 5 0 0 0 Og så får vi tiere ganger hundrerne: 4 3 = 12; 12 + 3 = 15 Eksempel 4: Trinn h 3 2 1 1 3 7 5 2 4 2 7 5 0 1 5 0 0 Her blir det ikke noe minnetall å skrive opp, men 1-tallet i 15 må likevel plasseres på sin rette plass: tusenplassen. P- 18

Så nærmer vi oss slutten. Nå har vi ganget både enerne og tierne i det siste tallet med alle sifrene i det første. Nå står det bare igjen å gange hundrerne i det siste tallet: 2 5 = 10 Husk: Nå regner vi med hundrerne. Da må svaret komme på hundrerplassen: Eksempel 4: Trinn i 1 3 2 1 1 3 7 5 2 4 2 7 5 0 1 5 0 0 0 Og så kan vi fullføre multiplikasjonen: Husk: Nå regner vi med hundrerne. Da må svaret komme på hundrerplassen: Eksempel 4: Trinn j 1 1 3 2 1 1 3 7 5 2 4 2 7 5 0 1 5 0 0 7 5 0 Nå er vi så å si i mål. Nå må vi bare summere de tre svarene vi har fått: P- 19

Nå kommer poenget med streken som vi begynte med. Det hjelper til med å passe på at vi ikke regner med 375, som jo er en del av oppgaven, men ikke en del av svaret. Vi setter aller først en ny strek, denne gangen under utregningen, før vi summerer: Eksempel 4: Trinn k 1 1 3 2 1 1 3 7 5 2 4 2 1 7 5 0 1 5 0 0 7 5 0 = 9 0 7 5 0 Posisjonsystemet i divisjon 5.3 POSISJONSYSTEMET I DIVISJON Til slutt tar jeg med et eksempel som viser hvordan posisjonsystemet er nødvendig å forstå for å løse oppgaver i divisjon. Også divisjonsoppgaver kan løses på mange måter, noe som er vist i kapitlet om divisjon. Her bruker jeg nok en gang det jeg har kalt Standardalgoritme. Fremgangsmåten er nøye forklart i divisjonskapitlet. Vi trenger det samme rutearket som vi brukte i eksempel 4. P- 20

og vi trenger et delestykke: Eksempel 5: Trinn a 4 3 2 : 6 = Vi starter med å dele hundrerne. Siden det bare er 4, og 4 : 6 ikke går, må vi ta med tierne. Det er 43 tiere. 43 : 6 går en 7-gang Eksempel 5: Trinn b 4 3 2 : 6 = 7 Så finner vi ut hvor mange tiere vi har delt når vi har delt ut 7 tiere til 6: 7 6 = 42 Eksempel 5: Trinn c 4 3 2 : 6 = 7 4 2 P- 21

Vi hadde 43 tiere, og har delt ut 42. Da har vi bare 1 tier igjen: 43-42 = 1 Eksempel 5: Trinn d 4 3 2 : 6 = 7 4 2 1 Så går vi på enerplassen. Sammen med den ene tieren vi ikke har fått delt på 6 har vi 2 enere. 10 + 2 = 12 Vi trekker ned 2-tallet Eksempel 5: Trinn e 4 3 2 : 6 = 7 4 2 1 2 Sånn. Nå kan vi fortsette å dele. 12 enere delt på 6: 12 : 6 = 2 Eksempel 5: Trinn f 4 3 2 : 6 = 7 2 4 2 1 2 P- 22

Så kontrollerer vi hvor mye vi har fått delt ut når de 6 har fått 2 hver: 2 6 = 12 Eksempel 5: Trinn g 4 3 2 : 6 = 7 2 4 2 1 2 1 2 Til slutt kontrollerer vi hvor mye som står igjen av de 432: 12-12 = 0 Eksempel 5: Trinn h 4 3 2 : 6 = 7 2 4 2 1 2 1 2 0 Når delestykket ender på 0, sier vi at stykket går opp. I dette eksemplet ser vi at de ulike tallenes posisjon er viktig dersom vi skal regne riktig. Hvis vi er unøyaktige med å sette tallene under hverandre på riktig plass, vil vi få problemer med å regne ut slike regnestykker som i disse eksemplene. P- 23

Tusenplassen Tusenplassen Matematikk FRA A TIL Å Posisjonsystemet og desimaltall 6 POSISJONSYSTEMET OG DESIMALTALL Så langt har vi sett på posisjonsystemet ved å bruke posisjonene 1 10 100 og 1000. Posisjonsystemet kan vi bygge videre ut i det uendelige. Det er mulig å lage en 10 000-kolonne, 100 000-kolonne o.s.v. Men vi har kanskje et større behov for å få desimaltallene på plass i posisjonsystemet. Se på dette tallet: 2,8 Desimaltall er nærmere forklart i kapitlet om desimaltall. 2-tallet viser at vi har 2 hele altså 2 enere. Men hvor hører da 8-tallet hjemme? La oss først sette 2-tallet inn på riktig plass i posisjonsystemet: 2 Vi ser at vi har behov for en ny plass til 8-tallet. Altså må vi ha en kolonne til høyre for enerplassen: 2 8 P- 24

Tusenplassen Tidelsplassen Tusenplassen Matematikk FRA A TIL Å Men da ser vi at dette lett kan leses som 28, og det er jo et helt annet tall. For å løse dette problemet, innfører vi enda en kolonne: 2, 8 I denne nye kolonnen er det ikke plass til noen tall. Det er bare plass til et komma. Dette er i grunnen en hjelpekolonne spesielt satt inn for å gi plass til komma i desimaltall. Den skal ikke brukes til noe annet, men er en særdeles viktig kolonne. Nå ser vi at vi kan lese 2,8. Men hva skal vi kalle kolonnen til 8-tallet? I kapitlet om desimaltall finner vi at dette 8-tallet dukker opp hvis vi deler heltallene i 10 like store deler. (8-tallet betyr at vi har 8 slike tideler). Så da er det naturlig å kalle kolonnen for tidels-plassen. 2, 8 Og hvis vi har behov for ytterligere en kolonne for desimaler, for eksempel med tallet 5,67, så bare deler vi tidelsplassen på 10, og får: P- 25

Tusenplassen Tidelsplassen Hundredelsplassen Tusendelsplassen Tusenplassen Tidelsplassen Hundredelsplassen Matematikk FRA A TIL Å Riktig! Hundredelsplassen. 5, 6 7 For tallet 23, 572 kan vi altså tenke oss: 2 3, 5 7 2 Når vi behandler desimaltall, for eksempel hvis vi skal legge sammen to desimaltall, er det meget viktig at komma kommer på riktig plass. Her er to eksempler der det første er galt og det andre er riktig. Det er viktig at komma kommer på riktig plass! Eksempel 1: Eksempel 2: 2 3, 6 2 3, 6 + 1, 1 3 + 1, 1 3 = 3 3 1 9 = 2 4, 7 3 Her hadde det vært naturlig å sette inn en 0 på hundrerplassen til 23,6. P- 26