Ekstranotat, 7 august 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser og brøker... Funksjoner...3 Tilvekstform (differensialregning)...4 Telleregelen...7 70-regelen...8 Nyttige tilnærminger...9 Den deriverte... Parenteser og brøker ) Vi kan sette en felles faktor utenfor en parentes: Y ty = Y(-t) der det siste uttrykket betyr Y multiplisert med parentesen (-t) (Det er vanlig å sløyfe multiplikasjonstegn foran parenteser og foran symboler, der det ikke kan misforståes.) Tilsvarende har vi at ( z I G) z I G + + = + + 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at 4(x - y) = 4x - 4y og (-t) = ( t) = + t 3) Tall i telleren i en brøk kan settes foran eller bak brøken: Notatet er ment som hjelpemiddel i matematikk for makroøkonomi-studenter. Notatet er under arbeid og kommentarer er velkomne til steinar.holden@eon.uio.no. Takk til Arne Strøm for meget nyttige kommentarer til et tidligere utkast.
= = 4) Minustegn kan flyttes fra telleren til foran brøken 5 5 ( 5) = = 5) Dersom vi har en ligning, er det lov å gjøre samme operasjoner på begge sider at likhetstegnet, f.eks. trekke fra et tall, eller dele på et tall. Anta vi skal løse følgende ligning for Y: Y = z + Y Vi kan trekke fra Y på begge sider, slik at vi får Y Y = z +Y Y = z, dvs Y Y = z Vi kan sette Y utenfor en parentes: Y Y = Y(-), slik at vi får Y(-) = z og dele på uttrykket i parentesen (antar at - er forskjellig fra null) z Y = z Y = Her er brøken (-)/(-) =, slik at løsningen for Y blir 6) Dersom vi skal legge sammen en brøk og et helt tall, eller to brøker, må de settes på felles brøkstrek 3 3 + 4 + = + = = 3 3 3 3 3 De samme regneregler gjelder med symboler: 3 3 + 4 z + z = z + z = z = z 3 3 3 3 3 2
Av og til må vi utvide brøkene 3 2 3 2 5 + = + = + = 2 3 2 3 2 3 6 6 6 Tilsvarende med symboler b a b + a z + z = + z = + z = z a b a b ab ba ab Funksjoner Funksjoner er et matematisk begrep som beskriver hvordan et tall avhenger av et eller flere andre tall. F.eks. er den prisen du må betale i kassen en funksjon av hvilke varer du kjøper, og prisen på hver av disse varene. Et annet eksempel er at ditt konsum av sjokolade og andre godsaker kan være en funksjon av hvor mye penger du har i lommeboka. Med symboler kan være kjøp av godsaker målt i kroner og Y antall kroner i lommeboka. At er en funksjon av Y, kan vi skrive som = f(y). Her har vi brukt kalt funksjonen for f(.), men vi kunne også brukte stor bokstav eller andre bokstaver for å betegne funksjonen. At er en funksjon av Y, betyr at hvor stor er, avhenger av hvor stor Y er. Hvis du f.eks. har svak viljestyrke og alltid bruker det du har, blir konsumet av godsaker målt i kroner lik antall kroner du har i lommeboka. Da blir funksjonen enkel, ved at = Y. Vi kaller den variabelen som vi finner verdien på, i dette tilfellet, for funksjonsverdien eller den avhengige variabelen, mens Y i dette tilfellet er argumentet til funksjonen, eller den uavhengig variabelen. Produktfunksjonen viser hvor stor produksjonen er, avhengig av hvor mye som brukes av de ulike produksjonsfaktorene. F.eks. kan vi ha en produktfunksjon for vafler, der antall vafler er en funksjon av arbeidsinnsatsen, egg, melk, mel, sukker, osv. En slik produktfunksjon kan nok være vanskelig å beskrive matematisk, og økonomer velger gjerne funksjonsformer som er enkle å regne på, samtidig som de beskriver de relevante sammenhengene på en akseptabel måte. Produktfunksjonen Y = F( K, N) + + sier at produksjonen Y avhenger av hvor mye vi bruker av hhv realkapital K og arbeidskraft N. Vi bruker pluss-tegnene under argumentene for å indikere at vi antar at hvis K eller N øker, vil Y også øke. Et eksempel på en spesifikk produktfunksjon som viser presist hvordan Y avhenger av K og N, er /3 2/3 Y = K N Hvis du bruker en kalkulator eller et regneark, kan du enkelt regne ut hva Y er, avhengig av hvilke verdier du velger for K og N. 3
Tilvekstform (differensialregning) Ofte er vi interessert i å se på virkningen på noen variabler av at en eller flere andre variabler endres. Da bruker vi gjerne den greske bokstaven (delta) for endringen, slik at y betyr endringen i y. Anta at vi har en lineær funksjon y = 5x Dersom x = 2, finner vi y = 5 2 = 0. Hvis x øker til 4, dvs endringen i x blir x = 4 2 = 2, så øker y til y = 5 4=20. Økningen i y, y = 20 0 = 0. Her finnes det en generell regneregel, som i vårt tilfelle sier at y = 5 x. Mer generelt har vi Regel for tilvekstform: Hvis y er en lineær funksjon av x, altså y = ax + b, der a og b er konstante parametre, så er y = a x. Konstanten b kommer ikke med i uttrykket for endringen, for den endres jo ikke selv om x øker. Eksempel Anta at Y er en funksjon av variablene I og G, mens og z er parametere Y = (z + I + G ) Vi antar at er et fast tall som er mindre enn en ( < ), slik at brøken /(-) er større enn null. Vi ser på en endring i I, som vi kaller I, mens G og parameterne holdes uendret. Da blir endringen i Y, Y, gitt ved Y = I Hvis f.eks. = 0,5 og I = 0, så er Y = 0 = 0 = 2 0 = 20 0,5 0,5 4
Brøken foran I svarer til parameteren a i formelen over, mens de andre variablene og parametrene i parentesen svarer til parameteren b. Siden brøken er positiv, har vi at hvis I > 0, så blir Y > 0, dvs at Y øker hvis I øker. Hvis vi derimot hadde I < 0, så blir Y < 0, dvs Y reduseres hvis I reduseres. Regel 2 for tilvekstform: Hvis y er en lineær funksjon av x og z, altså y = ax + bz +, der a, b og er konstante parametere, da er y = a x + b z. Eksempel Dersom vi endrer to variabler, både I og G, med I og G, mens parameterne holdes konstante, da blir endringen i Y gitt ved Y = ( I + G). Her vil Y øke, Y > 0, hvis summen av endringene i I og G er større enn null, I + G > 0. Motsatt vil Y reduseres dersom summen av endringene i I og G er mindre enn null, dvs Y < 0 hvis I + G < 0. Eksempel 2 I Keynes-modellen som presenteres i forelesningsnotat 5, er likevektsløsningen for Y gitt ved T I () Y = (z z + z + G) ( t) b og konsumfunksjonen kan skrives som (2) = z + ( t) Y z T Anta at vi skal finne virkningen av en økning i konstantleddet i konsum, dvs z > 0 på konsumet. Vi ser av () at dersom z øker, så vil det føre til at Y øker. Videre ser vi av (2) at en økning i z vil føre til økt, samtidig som en økning i Y også vil føre til økt. Virkningen av økt z på vil være summen av den direkte virkningen av z og den indirekte virkningen via Y. Vi finner først virkningen av z på Y (3) Y = z 0, ( t) b > Vi vet at høyresiden er større enn null, siden både brøken /(- (-t)-b ) og z er større enn null. Økt z fører dermed til at Y øker. 5
Endringen i når både z og Y øker finner vi ved å bruke regel 2 for tilvekstform (4) = z + ( ) t Y Vi setter inn for Y ved å bruke (3) i (4) og får (5) = z + ( t) Y ( t) ( t) b = + z ( t) b ( t) ( t) b ( t) b = z + z ( t) b + ( t) ( t) b = z b ( t) b = z > z > z 0 ( t) b I andre linje settes inn for Y. I tredje linje bruker vi at z = z ( t) b. I fjerde linje setter vi på felles brøkstrek. I femte linje faller (-t) mot + (-t), og siden telleren er større enn nevneren i siste uttrykket, vet vi at uttrykket må være større enn z. Økningen i er større enn den direkte økningen i z fordi Y også øker, noe som har positiv virkning på. 6
Telleregelen En økonomisk modell består gjerne av flere ligninger og flere variabler. Vi bruker modellen til å forklare hva som bestemmer noen variabler. De variablene som får sin verdi bestemt i modellen, kaller vi endogene variabler. Variabler som får sin verdi bestemt utenfor modellen, dvs. som vi ikke forsøker å forklare med modellen, kaller vi eksogene. Det betyr at dersom vi skal regne ut hva de endogene variablene blir, med tall, så må vi vite på forhånd hvilke verdier de eksogene variablene har. Telleregelen sier at en modell kan bestemme verdien på like mange variable som det er uavhengige ligninger, slik at vi kan ha like mange endogene variable som det er uavhengige ligninger. Merk imidlertid at eksempel 4 viser tilfeller der telleregelen ikke gjelder. Eks. Like mange variabler som ligninger gir determinert modell: Modellen Y= 2 X + Y = 4 har to ligninger, og vi kan finne verdien til de to variablene X og Y: X = 2 og Y = 2. Eks 2 Flere variabler enn ligninger gir ikke determinert modell: Modellen Y + Z = 2 X + Y + Z = 4 har to ligninger og tre variabler, og dersom vi ikke har mer informasjon, kan vi ikke finne verdien på alle variablene. I dette tilfellet kan vi finne verdien på X ved å bruke den øverste ligningen i den nederste, dvs. å erstatt Y + Z med 2, og dermed få X = 2. Men vi kan ikke finne verdien på Y og Z. Dersom vi får en ligning til, f.eks. X + Z = 2, da kan vi regne ut verdien de resterende variablene, og får da at Z = 0 og Y = 2. 7
Eks 3 Flere ligninger enn variabler gir inkonsistent modell Modellen X + Y = 2 X + 2Y = 4 2X 2Y = 0 er inkonsistent det finnes ikke verdier for x og y som gjør at alle ligningene er oppfylt. Eks 4 Telleregelen gjelder ikke ved avhengige ligninger I telleregelen over har vi oppgitt at ligningene må være uavhengige, noe som litt løst innebærer at de må gi informasjon som ikke allerede er innebygget i de andre ligningene I modellen Y + X = 2 2Y + 2X = 4 er det ikke mulig å finne verdiene for X og Y, til tross for at det er to ligninger og to variabler (f.eks. er Y = 2 og X = 0 en mulig løsning, mens Y = -2 og X = 4 er en annen mulig løsning). De to ligningene er avhengige, og inneholder den samme informasjon. 70-regelen Det vi kan kalle 70-regelen, er en nyttig huskeregel i forbindelse med prosentvis tilvekst. Et beløp som vokser med x prosent per år, blir dobbelt så stort etter 70/x år. Dersom beløpet vokser med prosent i året (x= ), blir det dobbelt så stort på 70 år. Hvis det vokser med 3,5 prosent i året, blir det dobbelt så stort på 70/3,5 = 20 år. Regelen innebærer en tilnærming som stemmer svært godt ved lave prosenter, og mindre godt ved høye prosenter. 8
Nyttige tilnærminger I mange sammenhenger kan det være vanskelig eller tungvint å regne ut et helt korrekt svar, og mye lettere å regne ut et svar som er tilnærmet riktig. Her er noen tommelfingerregler som vanligvis gir bra tilnærminger så lenge vi ser på små tall, gjerne endringer på 0 prosent eller mindre av utgangspunktet. Resultat : Hvis X og Y er små tall, så er (+X)(+Y) ( + X + Y) Hvis du ganger ut venstresiden, får du det eksakte svaret som er + X + Y + XY. Men hvis både X og Y er små tall, vil X multiplisert med Y bli et mye mindre tall, som vi som en tilnærmelse kan sette til 0. Hvis f.eks. X = 0,05 og Y = 0,03, er det eksakte svaret (+0,05)(,0,03)=,085 og det tilnærmede svaret (+0,05+0,03) =,08, så feilen vi gjør i tilnærmingen er lik 0,005. Resultat 2: Hvis X og Y er små tall, er + X + Y + X Y Vi har at produktet (+X-Y)(+Y) = +X + XY-Y 2. Hvis både X og Y er små tall, så er produktene XY og Y 2 veldig små, dvs. tilnærmet lik null. Dermed er (+X-Y)(+Y) +X. Dersom vi deler på begge sider med +Y, og forkorter +Y på venstresiden, får vi ( + X Y )( + Y ) + X + Y + Y + X + X Y + Y som er det resultatet vi skulle vise. En viktig anvendelse av dette resultatet gjelder realrenten, der den eksakte størrelsen (+i)/(+π) +i-π. Resultat 3: Hvis Z = XY, så er Z X Y +, Z X Y dvs. at relativ endring i et produkt Z er tilnærmet lik summen av den relative endringen i hver av faktorene X og Y. Hvis vi øker Z med Z, er det eksakte svaret at Z + Z = ( X + X )( Y + Y). Hvis vi deler med Z på begge sider blir venstresiden lik 9
Z + Z Z = + Z Z Og høyresiden blir ( X + X )( Y + Y ) ( X + X ) ( Y + Y) X Y X Y = = + + + + Z X Y X Y X Y der den første likheten følger fra at Z = XY, den andre likheten er omskriving av hver av brøkene, og den tredje tilnærmingen følger fra resultat ovenfor. Resultat 4: Hvis Z = X/Y, så er Z X Y, Z X Y dvs. at relativ endring av en brøk Z er tilnærmet lik differansen mellom relativ endring i telleren X og relativ endring i nevneren Y. Fra definisjonen av Z har vi at Z + Z = X + X Y + Y. Hvis vi deler med Z på begge sider av likhetstegnet, blir venstresiden lik Z + Z Z = + Z Z og høyresiden blir X + X X + X Y ( X + X ) / X + X / X X = = = + Y Y + Y Z Y + Y X ( Y + Y) / Y + Y / Y X Y der vi i siste del har brukt tilnærmingen fra resultat 2. Vi setter venstre- og høyresiden sammen, og får Z X Y + + Z X Y Z X Y Z X Y 0
Den deriverte En viktig egenskap ved en funksjon Y = F(X) er hvordan funksjonsverdien Y avhenger av en økning i argumentet X. Et matematisk begrep for dette er den deriverte, som sier hvor mye Y øker dersom X øker «veldig lite». I figur 2 viser kurven hvordan Y avhenger av X, og stigningen på kurven viser dermed hvor mye Y øker ved en liten økning i X. Anta at vi starter fra punktet X 0, som har den tilhørende Y-verdien Y = F(X 0 ). Så øker vi X med X, dvs. slik at det blir X 0 + X. Y øker dermed fra F(X 0 ) til F(X 0 + X). Vi er interessert i forholdet mellom økningen i Y og økningen i X når X øker svært lite, dvs. hva brøken F(X 0 + X ) F(X 0) blir når X nærmer seg null. Av figuren kan du med litt godvilje X akseptere at dette forholdet blir lik helningen på tangenten til kurven, dvs. helningen på den rette linjen som går gjennom punktet (X 0, F(X 0 )), og som har samme stigningstall som kurven i dette punktet. Helningen til denne kurven er den deriverte til funksjonen, og den viser dermed hvor mye Y øker dersom X øker svært lite. Vi bruker F (X) som betegnelse på den deriverte av funksjonen F(.). Figur 2 Den deriverte. Y=F(X) F(X 0 + X) Tangent med stigningstall F (X 0 ) F(X) F(X 0 ) X 0 X 0 + X X Den deriverte til en funksjon Y = F(X) i et punkt X 0, med betegnelse F (X 0 ), er lik helningen eller stigningstallet til tangenten i punktet X 0. Helningen er lik forholdet mellom økningen i Y og økningen i X, når økningen i X, X, går mot null. Det økonomiske begrepet er marginalproduktiviteten, som også kalles grenseproduktiviteten. Marginal betyr svært liten, og «grense» henspiller også på at man ser på en økning i K som er så «liten som mulig». Vanligvis forenkler vi og sier at den deriverte er lik økningen i Y hvis X øker med en enhet.