Geometri. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne

8 1

Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke geometri i planet til å analysere og løse sammensatte teoretiske og praktiske problemer knyttet til lengder, vinkler og areal

1.1 Vinkelsummen i mangekanter På figuren til høyre har vi tegnet to linjer som skjærer hverandre. Vinklene u og v kaller vi toppvinkler. Toppvinkler er alltid like store. ermed er u = v. v u Toppvinkler er like store. På figuren til høyre er det ei linje som krysser to parallelle linjer. Vinklene u og v kaller vi samsvarende vinkler ved parallelle linjer. e er alltid like store, slik at u = v. Videre er v og w toppvinkler. ermed er v = w. Men ettersom u = v, er også u = w. u w v Samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store. Vi skal nå bruke regelen ovenfor til å vise at summen av vinklene i en trekant er 180. Vi tegner en trekant B og trekker ei linje gjennom slik at den er parallell med B. u v l Ettersom B er parallell med l, er vinkelen u på figuren lik og vinkelen v lik B. ermed er + B + = u + v + = u + + v = 180 B Summen av vinklene i en trekant er 180.? Oppgave 1.10 På figuren til høyre har vi tegnet en trekant B. Linjestykket B er parallelt med. Bruk figuren til å vise at vinkelsummen i trekanten B er 180. v B u 10 10 Sinus 1T > Geometri

? Oppgave 1.11 Nedenfor har vi tegnet to firkanter. el firkantene i to trekanter og finn deretter vinkelsummen i firkantene. Oppgave 1.12 a) Tegn noen ulike femkanter og finn summen av vinklene i dem. b) Hva er summen av vinklene i en sekskant? c) Finn en formel for summen av vinklene i en n-kant. Oppgave 1.13 I en regulær mangekant er alle sidene like lange og alle vinklene like store. a) Finn vinkelen mellom sidekantene i en regulær femkant. b) Finn en formel for vinkelen mellom sidekantene i en regulær n-kant. 1.2 Vinkler i formlike figurer Når vi forstørrer eller forminsker og eventuelt speilvender en figur, får vi en formlik fi gur. e to husgavlene nedenfor er formlike. u v Vinklene u og v kaller vi samsvarende vinkler i de to figurene.? Oppgave 1.20 a) Bruk en vinkelmåler og mål vinklene u og v i de to figurene ovenfor. Hva finner du? b) Mål de andre samsvarende vinklene i de to figurene. Hva finner du? 11

I to formlike figurer er samsvarende vinkler like store. Fra grunnskolen vet vi at to trekanter er formlike hvis vinklene er parvis like store. Når vi skal undersøke om to trekanter er formlike, er det nok å vise at to av vinklene er parvis like store. a må de siste vinklene også være like, for summen av vinklene skal være 180. To trekanter er formlike hvis to av vinklene i den ene trekanten er like store som to av vinklene i den andre trekanten. Noe tilsvarende gjelder ikke for figurer med mer enn tre kanter. Vi arbeider derfor oftest med trekanter når vi skal undersøke om figurer er formlike. EKSEMPEL Vis at de to trekantene på figuren er formlike. 82 F 53 53 45 B E Løsning: Vi ser at =. I B er summen av vinklene 180. ermed er B = 180 53 82 = 45 ermed er B = E. To av vinklene i B er altså lik to av vinklene i EF. Trekantene er derfor formlike.? Oppgave 1.21 B og EF er formlike. I B er = 41,7 og B = 53,3. Finn vinklene i EF. 12 12 Sinus 1T > Geometri

EKSEMPEL I firkanten B er sidene B og parallelle. La E være skjæringspunktet mellom diagonalene. Vis at BE er formlik med E. E B Løsning: Ettersom B og er parallelle sider, er BE = E. Vinklene EB og E er toppvinkler. ermed er EB = E. ltså er to av vinklene i BE lik to av vinklene i E. Vi har da vist at BE er formlik med E.? Oppgave 1.22 Firkanten B og firkanten EFGH er formlike. På figurene nedenfor fi nner du noen av vinklene. 63 H 129 108 B E F G Finn de ukjente vinklene i firkanten B ved blant annet å bruke vinkelsummen i en firkant fra oppgave 1.11. Oppgave 1.23 Merk av to punkter på den lange siden av et 4-ark. Merk av to punkter på motsatt side av arket. Trekk linjer fra punktene på den ene siden til punktene på den andre siden slik at linjene skjærer hverandre. Forklar hvorfor du får fram to formlike trekanter. 13

? Oppgave 1.24 Tegn en trekant B. La være et punkt på. La E ligge på B slik at E er parallell med B. Forklar hvorfor E er formlik med B. E B 1.3 Lengder i formlike figurer? Oppgave 1.30 e to husgavlene nedenfor er formlike. E J I H B F G a) FG og B er samsvarende sider. Mål lengden av sidene og regn ut forholdet mellom FG og B. b) Finn forholdet mellom de samsvarende sidene GH og B. c) Finn forholdet mellom andre samsvarende sider i de to femkantene. d) Finn forholdet mellom diagonalene FI og. e) Finn forholdet mellom andre diagonaler. f) Hvilken regel har vi? I to formlike figurer er forholdet mellom samsvarende lengder det samme uansett hvilke samsvarende lengder vi velger. 14 14 Sinus 1T > Geometri et er ikke bare forholdet mellom rette linjer som er det samme i formlike figurer. Forholdet mellom samsvarende krumme linjer er også det samme.

EKSEMPEL e to firkantene nedenfor er formlike. Finn lengden av EH. 7,0 cm H G 15,0 cm B E 6,0 cm F Løsning: e to figurene er formlike, og da er forholdet mellom samsvarende sider i de to firkantene det samme. et gir denne likningen: EH = EF B EH 7,0 cm EH 7,0 cm EH = 2,8 cm 6,0 cm = 15,0 cm 6,0 cm 7,0 cm = 15,0 cm 7,0 cm EKSEMPEL Grete skal lage et blomsterbed i hagen. vstanden tvers over bedet skal være 250 cm som vist på figuren nedenfor. Hun lager en modell av bedet i papir der avstanden tvers over er 20 cm. På denne modellen er omkretsen 90 cm. a) Finn omkretsen av bedet. b) Langs kanten av bedet vil Grete legge stein. Steinene er kvadratiske med sidekant 15 cm. Hvor mange steiner trenger hun? 250 cm 20 cm 15

Løsning: a) La omkretsen av bedet være x. et gir denne likningen: x 90 cm = 250 cm 20 cm x = 250 90 cm 20 x = 1125 cm Omkretsen er 11,25 m. b) Ettersom omkretsen er 1125 cm og hver stein er 15 cm, blir tallet på steiner 1125 : 15 = 75. Grete trenger 75 steiner.? Oppgave 1.31 B og EF er formlike. Finn lengden av sidene F og EF. 5,6 cm 4,4 cm F 8,0 cm B 6,0 cm E Oppgave 1.32 Bjarne Beck vil lage sin egen ballbinge. en skal være 9,00 m lang. Han lager en modell som er 30 cm lang og 18 cm bred. Bjarne finner ut at det er 75 cm rundt hele modellen. Ballbingen skal være formlik med modellen. 18 cm 30 cm a) Finn bredden av ballbingen. b) Langs kanten av bingen vil Bjarne bruke sponplater med bredde 60 cm. Hvor mange slike plater trenger han? 16 16 Sinus 1T > Geometri

et er ikke alltid de figurene vi arbeider med, er snudd samme veien. a kan det være litt vanskelig å se hvilke sider som er samsvarende sider. Husk at samsvarende sider alltid går mellom like vinkler. EKSEMPEL På figuren til venstre nedenfor er B og parallelle. Trekantene BE og E er dermed formlike. 50 cm 50 cm E E 64 cm 64 cm 80 cm B 80 cm B a) Hvilken side i E samsvarer med E? b) Finn lengden av E. Løsning: a) EB og E er toppvinkler. Vi har på figuren til høyre ovenfor satt én strek over vinkel tegnet i de vinklene for å vise at de er like store. Ettersom B og er parallelle, er =. Her har vi satt to streker over vinkeltegnene. Samsvarende sider går mellom like vinkler, og dermed er E og E samsvarende sider. E og E er samsvarende sider. b) et gir dette forholdet: E E = B E = 50 cm 64 cm 64 cm 80 cm 50 cm E = 64 cm 80 cm E = 40 cm 17

? Oppgave 1.33 I B er B = 12,0 cm, = 8,0 cm og B = 7,2 cm. Punktet ligger på B slik at B = 4,0 cm. Punktet E ligger på B slik at BE =. a) Tegn figur. b) Forklar hvorfor BE er formlik med B. c) Finn de samsvarende sidene i de to trekantene. d) Finn lengden av E og av BE. Vi vet at det er et fast forhold mellom samsvarende sider i to formlike tre kanter. Vi skal nå vise at forholdet mellom to sider i en trekant er lik forholdet mellom de to samsvarende sidene i en formlik trekant. Vi tegner da to formlike trekanter. a c b d Mellom lengdene av samsvarende sider er det da samme forhold. et gir a c = b c d d a c d = b c d c d a d = b c Vi deler med b d på begge sidene av likhetstegnet og forkorter. a d b d = b c b d a b = c d Vi har nå vist at forholdet mellom lengdene a og b av to sider i den ene trekanten er lik forholdet mellom de to samsvarende lengdene c og d i den andre trekanten. et samme gjelder for alle geometriske figurer. I to formlike figurer er forholdet mellom to sider i den ene figuren lik forholdet mellom de samsvarende sidene i den andre figuren. 18 18 Sinus 1T > Geometri

EKSEMPEL e to trekantene nedenfor er formlike. Bruk regelen på forrige side til å finne lengden av F. 4,8 cm F 5,4 cm B 2,9 cm E Løsning: Forholdet mellom to sider i EF er lik forholdet mellom de samsvarende sidene i B. ermed er F E = B F 2,9 cm 4,8 cm = 5,4 cm 2,9 cm F 2,9 cm = 4,8 cm 2,9 cm 2,9 cm 5,4 cm 4,8 cm F = 2,9 cm 5,4 cm F = 2,6 cm? Oppgave 1.34 Løs oppgave 1.31 ved hjelp av regelen på forrige side. Oppgave 1.35 På et horisontalt underlag står det to flaggstenger ved siden av hverandre. en ene stanga er 20 m høy, og den andre er 10 m høy. Vi binder hver flagg snor til foten av den andre flaggstanga slik at begge snorene blir stramme. Hvor høyt oppe krysser snorene hverandre? 20 m 10 m 19

1.4 Rettvinklede trekanter I trekanten nedenfor er = 90. En slik trekant der en av vinklene er 90, kaller vi en rettvinklet trekant. Katet Katet Hypotenus B I en rettvinklet trekant er hypotenusen den siden som ligger rett overfor den rette vinkelen. Vinkelbeina til den rette vinkelen kaller vi kateter. Vi trekker en normal fra hjørnet med den rette vinkelen og ned på hypotenusen. B B er formlik med B. Grunnen er at de to trekantene har en vinkel på 90, og i tillegg har de B felles. er formlik med B, for begge trekantene har en vinkel på 90 og felles. Normalen fra hjørnet med den rette vinkelen og ned på hypotenusen deler en rettvinklet trekant B i to formlike trekanter. Begge trekantene er formlike med B. EKSEMPEL I den rettvinklede trekanten har vi felt ned en normal fra til hypotenusen B. Hvor langt er det fra til fotpunktet for normalen? 4 cm 3 cm B 5 cm 20 20 Sinus 1T > Geometri

Løsning: er formlik med B. ermed er = B = B = 4 cm 5 cm 4 cm = 3,2 cm? Oppgave 1.40 I B er B = 12 cm, = 13 cm og B = 90. Vi feller ned en normal fra B til hypotenusen. Hvor langt er det fra til fotpunktet for normalen? Oppgave 1.41 Linjestykket B er 13 cm. Et punkt ligger på B slik at = 4 cm. Vi reiser opp en normal i punktet og plasserer et punkt på denne normalen. Hvor høyt oppe på normalen må vi plassere punktet for at B skal bli rettvinklet? Oppgave 1.42 La a og b være lengdene av katetene i en rettvinklet trekant, og la c være lengden av hypotenusen. Vis at høyden h ned på hypotenusen er gitt ved h = ab c Oppgave 1.43 Snekker ndersen skal kontrollere om en vegg står vinkelrett på golvet. Hun tar to tynne bjelker som hun legger oppå hverandre slik at de er samlet i den ene enden. en lengste bjelken er nesten dobbelt så lang som den korte. ndersen borer et hull gjennom begge bjelkene. Hullet er nøyaktig midt på den lange bjelken. Hun skrur de to bjelkene sammen ved hjelp av en bolt gjennom hullet og får dermed redskapet på figuren. Forklar hvorfor snekker ndersen kan bruke dette redskapet til å kontrollere at vinkler er 90. 21

1.5 Pytagorassetningen Fra ungdomsskolen kjenner du pytagorassetningen. en gir sammenhengen mellom lengdene av katetene og hypotenusen i en rettvinklet trekant. Setningen er oppkalt etter Pytagoras, en gresk matematiker og filosof som levde for omtrent 2500 år siden. I en rettvinklet trekant der katetene har lengdene a og b, er lengden c av hypotenusen gitt ved c 2 = a 2 + b 2 enne setningen kjente babylonerne til lenge før Pytagoras levde. Setningen bærer likevel hans navn fordi vi tror det var han som var den første som beviste den. Vi skal nå bruke det vi lærte om rettvinklede trekanter i kapittel 1.4, til å bevise pytagorassetningen. Vi tegner en rettvinklet trekant der = 90. Vi feller ned en normal fra til hypotenusen B og kaller fotpunktet for. b a c x c x B Vi setter B = x. a er = c x. B og B er formlike. et gir B B = B B a x = c a a a = c x a 2 = cx Vi kryssmultipliserer. og B er også formlike. et gir = B b c x = c b b b = c (c x) b 2 = c 2 cx Vi kryssmultipliserer. 22 22 Sinus 1T > Geometri

Vi summerer og får a 2 + b 2 = cx + (c 2 cx) = cx + c 2 cx = c 2 ermed har vi bevist pytagorassetningen c 2 = a 2 + b 2 EKSEMPEL En rektangulær parkeringsplass er 39 m lang og 24 m bred. Hvor langt er det fra et hjørne til motsatt hjørne? c 39 m 24 m Løsning: Når vi trekker diagonalen, får vi fram en rettvinklet trekant der katetene har lengdene 39 m og 24 m. Vi bruker pytagorassetningen: c 2 = (39 m) 2 + (24 m) 2 = 1521 m 2 + 576 m 2 = 2097 m 2 c = 2097 m 2 = 45,8 m et er ca. 46 m fra et hjørne til motsatt hjørne. Vi kan også bruke pytagorassetningen til å finne en katet når vi kjenner hypotenusen og den andre kateten. a må vi løse en andregradslikning. EKSEMPEL En stige som er 3,00 m lang, står inntil en vegg. Stigen står på et horisontalt underlag. en står 1,20 m fra veggen ved bakken. Hvor høyt opp på veggen når stigen? 23

Løsning: La x være avstanden opp langs veggen. Her har hypotenusen lengden 3,00 m. Pytagorassetningen gir denne likningen: x 2 + (1,20 m) 2 = (3,00 m) 2 x 2 + 1,44 m 2 = 9,00 m 2 x 2 = 9,00 m 2 1,44 m 2 x 2 = 7,56 m 2 x = 7,56 m 2 x = 2,75 m Stigen når 2,75 m opp på veggen. x 1,20 m 3,00 m? Oppgave 1.50 I en rettvinklet trekant er lengdene av katetene 5 cm og 12 cm. Hvor lang er hypotenusen? Oppgave 1.51 Ei dør er 0,90 m bred og 2,05 m høy. Hvor lang er diagonalen i døra? Oppgave 1.52 I en rettvinklet trekant er hypotenusen 8,5 cm lang, og den ene kateten er 5,4 cm lang. Hvor lang er den andre kateten? Oppgave 1.53 20 m h Ei flaggstang står på et horisontalt underlag. En 20 m lang line er festet til toppen av stanga. Når vi strekker lina, når den 8,72 m ut fra foten av stanga. Hvor høy er flaggstanga? 8,72 m Oppgave 1.54 ette er en kinesisk oppgave som minst er 2000 3000 år gammel: Et 10 m høyt bambusrør er knekt uten at de to delene er falt fra hverandre. en nederste delen står fortsatt på den horisontale bakken. Enden av den øverste delen har truffet bakken 3 m fra rota. Hvor høyt over bakken er bruddstedet? 24 24 Sinus 1T > Geometri

Noen ganger bruker vi pytagorassetningen til å kontrollere om en trekant er rettvinklet. La a, b og c være lengden av sidene i en trekant. La c være den lengste siden. Vi kan bevise at hvis sidene passer i a 2 + b 2 = c 2, så er tre kanten rettvinklet. Hvis sidene ikke passer, er trekanten ikke rettvinklet. EKSEMPEL En bilderamme er 34,4 cm lang og 21,2 cm høy. iagonalen er 41,0 cm. Er ramma rettvinklet? 41,0 cm 21,2 cm Løsning: 34,4 cm Vi undersøker hvor lang diagonalen må være hvis ramma skal være rett. a må diagonalen være hypotenusen i en rettvinklet trekant. Vi bruker pytagorassetningen: c 2 = (34,4 cm) 2 + (21,2 cm) 2 = 1632,8 cm 2 c = 1632,8 cm 2 = 40,4 cm iagonalen skal være 40,4 cm. Ettersom den er 41,0 cm, er ikke ramma rettvinklet. Ramma er ikke rettvinklet.? Oppgave 1.55 Sidene i en trekant har lengdene 4,2 cm, 5,6 cm og 7,0 cm. Er trekanten rettvinklet? 1,50 m Oppgave 1.56 En tømrer skal sette opp to vegger som skal stå vinkelrett på hverandre. Han merker av et punkt på den ene veggen 2,00 m i avstanden 1,50 m fra hjørnet. Han merker også av et punkt på den andre veggen i avstanden 2,00 m fra hjørnet. Hvis avstanden mellom de to punktene er 2,50 m, er vinkelen 90. Forklar hvorfor dette er riktig. 2,50 m? 25

1.6 real I et parallellogram er grunnlinja g = 8,4 cm og høyden h = 4,3 cm. realet er = g h = 8,4 cm 4,3 cm = 36,12 cm 2 4,3 cm Hvor mange siffer bør vi ha med i svaret? 8,4 cm Hvis grunnlinja og høyden er målte verdier, kan vi regne med at grunnlinja g er mellom 8,35 cm og 8,45 cm. Høyden h er mellom 4,25 cm og 4,35 cm. en minste verdien av arealet er dermed 8,35 cm 4,25 cm = 35,5 cm 2. en største verdien er 8,45 cm 4,35 cm = 36,8 cm 2. realet er altså et sted mellom 35,5 cm 2 og 36,8 cm 2. lt vi kan si, er derfor at arealet er omtrent 36 cm 2. Når vi regner ut arealet, bør vi altså runde av slik: = g h = 8,4 cm 4,3 cm = 36,12 cm 2 36 cm 2 Her var både lengden og bredden oppgitt med to siffer. a tar vi med to siffer i svaret også. Vi runder av til 36 cm 2. Når vi multipliserer tall som er målte verdier, tar vi med omtrent like mange siffer i svaret som det er siffer i de tallene som er oppgitt. Legg merke til at vi teller sifrene og ikke desimalene. Bruk regelen ovenfor når du regner disse oppgavene.? Oppgave 1.60 En trekant har grunnlinje g = 7,8 cm og høyde h = 5,2 cm. a) Finn arealet av trekanten. b) Hvor mange siffer bør du ha i svaret i oppgave a? Oppgave 1.61 Finn lengden av sidene i et kvadrat som har samme areal som en sirkel der radien er 2,4 cm. Oppgave 1.62 I et rektangel er det 3,8 cm forskjell på lengden og bredden. Omkretsen er 36,4 cm. Finn arealet av rektangelet. 26 26 Sinus 1T > Geometri

Noen ganger må vi bruke pytagorassetningen til å finne lengder når vi skal regne ut et areal. EKSEMPEL B er et trapes der B og er de parallelle sidene. B er lengre enn. Videre er B = 90, B = 3,0 cm, = 5,4 cm og = 4,0 cm. a) Finn lengden av B. b) Finn arealet av trapeset B. Løsning: a) Først tegner vi en figur og setter på målene. 5,4 cm 4,0 cm 3,0 cm E B eretter feller vi ned en normal E fra på B. EB blir et rektangel, derfor er EB = 5,4 cm og E = 3,0 cm. Vi kan bruke pytagorassetningen til å finne E. E 2 + E 2 = 2 E 2 + (3,0 cm) 2 = (4,0 cm) 2 E 2 + 9,0 cm 2 = 16,0 cm 2 E 2 = 16,0 cm 2 9,0 cm 2 = 7,0 cm 2 E = 7,0 cm = 2,6 cm Nå kan vi finne B. B = E + EB = 2,6 cm + 5,4 cm = 8,0 cm b) realet av trapeset blir = (B + ) E 2 13,4 cm 3,0 cm = 20 cm 2 2 = (8,0 cm + 5,4 cm) 3,0 cm 2 27

? Oppgave 1.63 I parallellogrammet B er B = 12,3 cm, og = 7,2 cm. Normalen fra til B treffer B 2,2 cm fra. 12,3 cm 7,2 cm h 2,2 cm E B a) Finn avstanden h mellom B og. b) Regn ut arealet av parallellogrammet. Oppgave 1.64 Regn ut arealet av trapeset. 4,8 cm 5,2 cm 6,8 cm B Oppgave 1.65 Figuren viser et vertikalt snitt gjennom loftsetasjen i et hus som er 8,00 m bredt og 12,00 m langt. Loftsstua går midt gjennom hele huset. vstandene og B er 5,00 m. Skilleveggene E og FG er 1,80 m høye. F 5,00 m 1,80 m 1,80 m G N E B 8,00 m a) Finn bredden av loftsstua. b) Finn arealet av loftsstua. 28 28 Sinus 1T > Geometri

SMMENRG Formlike figurer I to formlike figurer er alle samsvarende vinkler like store, og forholdet mellom alle samsvarende lengder er det samme. Forholdet mellom to sider i en figur er også lik forholdet mellom de to samsvarende sidene i en formlik figur. Formlike trekanter To trekanter er formlike hvis to av vinklene er parvis like. Rettvinklet trekant I en rettvinklet trekant er en av vinklene 90. Normalen fra hjørnet med den rette vinkelen og ned på hypotenusen deler en rettvinklet trekant B i to formlike trekanter. Begge trekantene er formlike med B. Pytagorassetningen I en rettvinklet trekant der hypotenusen har lengden c og katetene har lengdene a og b, er c 2 = a 2 + b 2 Formler for arealet av noen figurer Rektangel med lengde a og bredde b: = ab Kvadrat med sidelengde s: = s 2 Trekant med grunnlinje g og høyde h: Parallellogram der to parallelle sider har lengden g og avstanden mellom sidene er h: Trapes der de to parallelle sidene har lengdene a og b, og der avstanden mellom sidene er h: = gh 2 = gh = Sirkel med radius r: = r 2 (a + b) h 2 29