Side av 6 Periodiske svingninger (udempede) Masse og fjær, med fjærkonstant k. Massen glir på friksjonsfritt underlag. Newtons. lov gir: mx kx dvs. x + x 0 hvor ω0 k m som gir løsning: xt () C cos t + C sin t Acos( t + ϕ) hvor k m, og C og C eller A og θ er konstanter som finnes av grensebetingelsene i problemet. Uniform rotasjon. Vinkelen er: θ t + θ 0, og posisjonen er: x rcos( t + θ 0 ) Newtons. lov gir: F mx mx dvs. x + x 0 som for fjæra over. Denne ligninga beskriver en udempet harmonisk oscillator. Torsjons-svingning. En stav er festet midt på en tråd som er festet i begge ender. Rotasjonsbevegelsen finnes fra dreiemomentligningen: τ I dω ------ Iθ, hvor I treghetsmomentet til dt staven som er opphengt i tråden. Sammenhengen mellom vridningsvinkel og dreiemoment for en tråd θ med lengde b er: -- K( μ, D)τ, hvor K( μ, D) 3 ( μd 4 ) er en konstant. b (μ skjærmodulen og D diameteren til tråden). μd 4 For systemet til venstre fås: τ τ + τ, hvor κ torsjonskonstanten. 3 ------------------------ ( L ) θ κθ Svingeligninga blir dermed: θ + κ eller hvor Ī -θ 0 θ + θ 0 ω0 κ I
Side av 6 Fysisk pendel. Dreiemomentet om rotasjonsaksen er: τ dmgsinθ dmgθ for θ «. Dreiemomentligningen τ Iθ gir svingeligningen θ + θ 0 med ω0 mgd I. Matematisk pendel fås ved å betrakte punktmasse, dvs. I md Dempede svingninger Stempel med demping. Friksjonskraft: F -bv Newtons. lov: F mx kx bx gir dempet svingeligning x + δx + x 0 hvor δ b m er dempingskonstanten og k m er egenfrekvens uten demping. Løsningen er: xt () Ae δt cos( ω d t + θ 0 ) hvor ω d δ δ< gir underkritisk demping xt () Ae δt cos( ω d t + θ 0 ) ( + )t δ> gir overkritisk demping xt () A e δ δ ω 0 ( )t A e δ δ ω + 0, dvs. bevegelsen dempes ut uten svingninger.
Side 3 av 6 Tvungne svingninger Hvis et svingesystem påvirkes av en ytre kraft F 0 cosωt gir Newtons. lov: F mx kx bx + F 0 cosωt. som gir svingeligningen: x + δx + x ( F0 m) cosωt hvor k m og δ b m som før. Når pådraget F 0 har virket lenge nok vil alle transientene i systemet bli dempet ut, og systemet vil svinge med frekvens ω. Løsningen av svingeligningen er: xt () X 0 ( ω) cos( ωt + θ 0 ) stasjonær respons, hvor X 0 ( ω) F 0 m ------------------------------------------------- ( ω) + 4δ ω Q-verdien defineres ved: Q δ og angir høyden på resonanstoppen. Grenseverdier blir: F 0 m ω«x 0 ------------- Harmoniske bølger Bølgen kan skrives: yxt (, ) Acos( kx± ωt) hvor - gir bølge i positiv x-retning og + gir bølge i negativ x-retning. Bølgens fasehastighet er gitt ved: v ω k, og k λ er bølgevektoren, og ω f er vinkelfrekvensen. F 0 m ω X 0 ------------- δ F 0 m ω» X 0 ------------- ω F 0 m ------------- F 0 ----- δ m ------------- ----- 0 ω Bølgeligninga y Bølgeligninga er: hvor v er bølgehastigheten. t v y 0 Alle to ganger deriverbare funksjoner av form yxt (, ) fx ( ± vt) oppfyller bølgeligninga.
Side 4 av 6 Svingende streng Lydbølger (longitudinale) Newtons. lov gir: ρadx y F ydx F y ( x + dx) F y ( x) F y ( x) + Fy ( x) videre gjelder F y Fsinθ Ftanθ F y ----- Dette gir bølgeligninga med bølgehastighet max v ------ F F -- ρa μ Effekten til bølgen er P ------ ΔE --μvω y, hvor og Δt 0 ΔE --Δm y --Δmω y 0 μ Effekten til lydbølgen er Newtons. lov gir: videre F ydx Δm ------- Δx ξ p ρadx t F F Ap ( p ) A p + dx p A p ----- dx p B dv ------ ξ B, som gir bølgeligninga med lydhastighet v V P ------ ΔE og intensiteten Δt --ρavω P ξ 0 I -- A --ρvω ξ 0 T -- ρ B -- ρ Lydtrykk og decibelskalaen Til utslagsligninga ξ( xt, ) ξ 0 cos( kx ωt) svarer en trykkbølge Δp B ΔV ------ B ξ ----- V kbξ 0 sin( kx ωt) som er faseforskjøvet / i forhold til utslagsbølgen. Lydtrykket er definert ved p lyd ( Δp) max kbξ 0 kv ρξ 0 og intensiteten blir I --ρvω ( p lyd ( kv ρ) ) -- p -------- lyd ρv Lydnivå måles med decibelskalaen som er definert ved (I min 0 - W/m I definerer den minste hørbare lyd): β 0 log -------- [db] I min p lyd ---------- ρb
Side 5 av 6 Dopplereffekten Dopplers formel er: f S ---- ---- ----- f M v S v B v M v B Stående bølge på streng Stående lydbølge (longitudinal) Utsvinget er gitt ved yxt (, ) y 0 coskxcosωt Strengen er fastspent i begge ender, dvs. at yx ( x 0 ) yx ( x 0 + L) 0 som gir: coskx 0 0 kx 0 -- dvs. kl n eller L n λ -- coskx ( 0 + L) 0 kx ( 0 + L) -- + n og frekvensen til n te harmoniske svingning er f n -- v v n ----- og λ L n λ L -- Amplituden av trykkbølgen Δp er lik null ved munnstykket og maksimum ved enden. Utslagsamplituden ξ er maksimal ved den åpne enden og null ved den lukkede enden. Dvs. ξ( x x 0 ) ± ξ 0 og ξ( x x 0 + L) 0 som gir coskx 0 ± kx 0 n og coskx ( 0 + L) 0 kx ( 0 + L) -- + n dvs. λ eller kl -- + n L -- + n λ 4 -- v som betyr at f n -- -- + n v ----- og λ n L λ L -- + -- 4 For blåseinstrument som er åpen i begge ender fås L n λ -- og v f n n ----- L
Side 6 av 6 Interferens Utslagsamplitudene fra lydsignalene fra A og B (samme frekvens og fase) er omvendt proporsjonale med avstanden til C: ξ A A------- cos[ k r AC ωt] og ξ B B------- cos[ k r BC ωt] r AC Faseforskjellen er: r BC φ [ kr AC ωt] [ kr BC ωt] kr ( AC r BC ) ----- ( r λ AC r BC ) Hvis φ n svinger signalene ved mottakeren C i takt og forsterker hverandre: Konstruktiv interferens. Hvis φ + n svinger signalene i motfase og svekke hverandre. Destruktive interferens. Svevning En kombinasjon av to signaler med litt forskjellig frekvenser fører til svevning: St () A[ cosω A t + cosω B t] hvor amplitudene for signalene er de samme for ( ω A + ω B ) å forenkle beregningen. Vi innfører ------------------------ og ω og får d ω A ω B ω d etter litt omskriving St () Acos ----- t cosω som gir bildet til venstre. 0 t S(t) er et signal med grunnfrekvens som er amplitudemodulert med en lavere frekvens --ω. d