Kapittel 6 Determinanter En matrise inneholer mange tall og erme mye informasjon så mye at et kan være litt overvelene Vi kan konensere ne all informasjonen i en kvaratisk matrise til ett enkelt tall som kalles eterminanten til matrisen Dette ene tallet sier oss en hel el om hvoran matrisen oppfører seg Vi har to forskjellige notasjoner for eterminanter Hvis A = a n1 a n2 a nn er en n n-matrise, så skriver vi enten et A eller a n1 a n2 a nn for eterminanten til A Determinanter for 2 2-matriser For en 2 2-matrise [ ] a b A = c er eterminanten efinert ve: a b c = a bc Determinanten har en fin geometrisk tolkning Vi ser på e to kolonnene i A som vektorer i R 2, tegner em som piler i planet, og lager et parallellogram me isse som to av siene Dette paralellogrammet kan vi kalle parallellogrammet utspent av e to vektorene c [ ] b b a [ a c] Parallellogrammet utspent av kolonnene i A La oss beregne arealet av ette parallellogrammet Vi tegner på noen hjelpelinjer: c + c b a a + b Parallellogramarealberegningshjelpefigur Vi kan finne arealet av parallellogrammet ve å starte me arealet av et store rektangelet, som er (a + b)(c + ), og trekke fra arealene av e to små rektanglene og e fire trekantene som omgir parallellogrammet Vi ser at hvert av e små rektanglene har areal bc, at e to trekantene øverst og neerst til sammen har areal ac, og at trekantene til venstre og høyre til sammen har areal b Det betyr at arealet av parallellogrammet er: (a + b)(c + ) 2bc ac b = ac + a + bc + b 2bc ac b = a bc = et A Vi kommer altså frem til at arealet av parallellogrammet utspent av kolonnene i A er lik eterminanten til A Denne utregningen var imilerti litt avhengig av hvoran isse to kolonnevektorene er plassert i forhol til hveranre i planet Hvis vi hae byttet plass på kolonnene, så ville vi isteen fått bc a som areal Da ville altså eterminanten vært negativ Det som holer i alle tilfeller, er at arealet av parallellogrammet utspent av kolonnene i A er lik absoluttverien til eterminanten: et A Så eterminanten gir oss arealet til et parallellogram Men hva forteller et oss om matrisen A? Vi kan tenke på A som en transformasjon av planet er hver vektor v i R 2 senes til vektoren Av Determinanten sier noe om hvoran planet enres uner enne transformasjonen 1
La [ 1 e 1 = 0] [ 0 og e 2 = 1] være e to enhetsvektorene i R 2, og se på kvaratet utspent av isse: e 2 1 e 1 Enhetskvaratet Nå vil vi se på hva som skjer me ette kvaratet ersom vi sener hvert punkt v i R 2 til Av, er A = [ ] er en 2 2-matrise me og som kolonner Da senes vektoren e 1 til, og vektoren e 2 senes til Alle vektorene som ligger inni enhetskvaratet i forrige figur senes til vektorer som ligger inni parallellogrammet utspent av og Vi skisserer noen forskjellige muligheter, for forskjellige valg av matrisen A: et A > 0 et A < 0 0 et A et A 0 første figuren, bortsett fra at et er ( et A) som er arealet Da får vi at me et A < 1 blir planet blåst opp, og me 1 < et A < 0 blir et krympet sammen I en treje og en fjere figuren har vi situasjoner er eterminanten er 0 Det vil si at parallellogrammet utspent av kolonnene i A har areal 0 Det blir altså ikke et virkelig parallellogram i isse tilfellene; et har kollapset til et egenerert parallellogram som er bare en linje På samme måte vil transformasjonen v Av i isse tilfellene kollapse hele planet ne til linjen utspent av og Eksempel 61 Vi kan også beregne eterminanten til en kompleks matrise: [ ] 1 i 3 et = (1 i)(1 + 2i) 3i i 1 + 2i = 3 2i Men tallet vi får ut har ingen enkel geometrisk tolkning Determinanter for 3 3-matriser For en 3 3-matrise 1 2 3 A = 1 2 3 = a 31 a 32 a 33 a 3 kan vi tegne opp raene i A som piler i R 3, og lage et parallellepipe me isse pilene som tre av siene Dette kaller vi for parallellepipeet utspent av vektorene Determinanten er: 1 2 3 1 2 3 a 31 a 32 a 33 a = 2 3 11 a 32 a 33 2 1 3 a 31 a 33 + 3 1 2 a 31 a 32 = a 3 = a 3 sin α cos θ Her er α er vinkelen mellom og a 3, og θ er vinkelen mellom og normalen til planet utspent av og a 3 Volumet av parallellepipeet utspent av kolonnene i A er lik absoluttverien av eterminanten til A For to kapitler sien sa vi at et var søylene i A som utspente et parallellepipe Det er ikke et samme parallellepipeet som raene spenner ut, men et har samme volum, og samme eterminant Om man baserer seg på raer eller søyler, er altså av ingen betyning I en første figuren har vi en matrise me positiv eterminant Da gjør transformasjonen v Av at enhetskvaratet skaleres til et parallellogram me areal et A Hvis et A > 1 betyr ette at planet blåses opp ; hvis 0 < et A < 1 betyr et at planet krympes sammen I en anre figuren har vi en matrise me negativ eterminant Da er situasjonen helt lik som i en θ a 3 α Parallellepipevolumberegningshjelpefigur 2
Den generelle efinisjonen Vi efinerer eterminanten til en vilkårlig stor kvaratisk matrise etter samme mønster som eterminanten til en 3 3-matrise Definisjon La A = a n1 a n2 a nn være en n n-matrise Determinanten til A, som har notasjonen et A, efineres på følgene måte 1 Hvis n = 1, så har vi at A = [ 1 ], og a efinerer vi at 1 2 Hvis n > 1, innfører vi først noen hjelpevariabler For hver i og j fr til n setter vi A ij til å være (n 1) (n 1)-matrisen vi får ve å fjerne ra i og kolonne j fra A, og vi setter C ij = ( 1) i+j et A ij til å være eterminanten til enne matrisen, me et fortegn som avhenger av i og j Determinanten til A efineres ve: j C 1j j=1 Tallene C ij i efinisjonen kalles kofaktorer av A Det er ikke vanskelig å se at hvis vi setter inn en 2 2-matrise eller en 3 3-matrise i enne generelle efinisjonen, så får vi bare e vanlige reglene for eterminanter av 2 2- og 3 3-matriser For å få litt erfaring me å bruke efinisjonen på større matriser regner vi ut eterminanten av en 4 4- matrise Eksempel 62 La A være følgene 4 4-matrise: 3 0 2 4 A = 1 2 0 1 0 7 0 5 3 Vi regner ut eterminanten til A Fra efinisjonen får vi: 3 0 1 0 0 5 3 0 1 1 0 7 5 3 1 2 0 + 2 2 0 0 7 0 3 4 1 2 1 2 0 1 7 0 5 Vi regner ut hver av 3 3-eterminantene som trengs (merk at vi ikke trenger å regne ut en anre, for en skal uansett ganges me 0): 0 1 0 0 5 3 = 2 1 0 5 3 1 0 0 0 3 + 0 0 1 0 5 = 6 1 2 0 2 0 0 7 0 3 = 1 0 0 0 3 2 2 0 7 3 + 0 2 0 7 0 = 12 1 2 1 2 0 1 7 0 5 = 1 0 1 0 5 2 2 1 7 5 + 1 2 0 7 0 = 6 Ve å sette inn isse i uttrykket for et A får vi: 3 6 0 + 2 ( 12) 4 ( 6) = 18 Vi har altså regnet ut at 18 Ve hjelp av efinisjonen kan vi regne ut eterminanten til en hvilken som helst kvaratisk matrise, men et kan bli velig mye jobb I eksempelet så vi at eterminanten til en 4 4-matrise er efinert ut fra eterminantene til fire 3 3-matriser, og hver av isse er igjen efinert ut fra eterminantene til tre 2 2-matriser Hvis vi går til større matriser, blir arbeismengen fort enormt stor I løpet av ette kapitlet skal vi se på noen lure teknikker for å regne ut eterminanter på minre arbeiskrevene måter Kofaktorekspansjon I efinisjonen av eterminanten går vi gjennom første ra i matrisen, og ser på tallene 1, 2,, n Hvert tall j ganges me en tilhørene kofaktoren C 1j, og til slutt summerer vi alle isse prouktene Det er imilerti ikke nøvenig å gå langs første ra når vi gjør ette Det fungerer like bra å gå langs en annen ra og følge et samme systemet, og resultatet blir et samme Det går essuten an å gå langs en hvilken som helst kolonne me samme system Vi oppsummerer ette i følgene teorem Teorem 63 La A være en n n-matrise, er n > 1, og la A ij og C ij være som i efinisjonen av eterminant Da har vi a kj C kj = a il C il j=1 i=1 for alle k og l slik at 1 k n og 1 l n Å regne ut eterminanten ve å beregne en sum av tall fra matrisen ganget me kofaktorer slik som i teoremet kalles kofaktorekspansjon Vi sier at vi gjør kofaktorekspansjon langs ra k eller langs kolonne l La oss nå regne ut en samme eterminanten som i eksempel 62, men på en lurere måte Eksempel 64 Vi lar igjen A være enne 4 4- matrisen: 3 0 2 4 A = 1 2 0 1 0 7 0 5 3 3
Vi kan observere at en anre kolonnen inneholer nesten bare nuller, så et er lurt å gjøre kofaktorekspansjon langs en Da får vi: 1 1 0 0 7 5 3 + 2 7 5 3 0 1 1 0 1 1 0 ( = 2 7 5 3 + 0 4 2 1 ) 7 5 + 3 3 2 2 1 = 2 (4 3 + 3 ( 1)) = 18 Vi fikk samme resultat som i eksempel 62, men me minre arbei, sien vi bare trengte å regne ut én 3 3-eterminant Vi må passe på at vi får fortegnene i kofaktorene riktig Når vi gjør kofaktorekspansjon langs første ra (slik som i efinisjonen) eller langs første kolonne, starter vi allti me positivt fortegn i et første leet Men når vi ekspanerer langs en annen ra eller kolonne, kan et hene vi må starte me negativt fortegn Det kan være nyttig å bruke følgene iagram som en huskeregel for hvilket fortegn vi skal ha i e forskjellige kofaktorene: + + + + + + + + Determinanter og raoperasjoner Hvis vi utfører en raoperasjon på en matrise, så får vi en ny matrise Den matrisen har ikke nøvenigvis samme eterminant som en opprinnelige, men et viser seg at eterminanten enrer seg på ganske kontrollerte måter når vi utfører raoperasjoner Dette kan vi utnytte for å spare oss for en el arbei når vi skal regne ut eterminanter, spesielt hvis vi har store matriser Teorem 65 La A være en n n-matrise, og la B være en matrise vi får ve å utføre en raoperasjon på A Da har vi følgene sammenheng mellom eterminantene til A og B, basert på hvilken type raoperasjon vi utførte: Raoperasjon Gange en ra me et tall k Legge til et multiplum av én ra i en annen Bytte om to raer Resultat et B = k et A et B = et A et B = et A La oss bruke ette teoremet til å beregne en eterminant Eksempel 66 Vi regner ut et A, er 3 3 12 A = 2 2 13 4 2 19 Vi får: 3 3 12 2 2 13 4 2 19 = 3 2 2 13 4 2 19 = 3 0 0 5 0 2 3 = 3 0 2 3 0 0 5 = 3 1 2 3 0 5 = 3 1 ( 2) 5 = 30 Her startet vi me å gjøre raoperasjoner på matrisen, samtiig som vi holt styr på hvoran eterminanten enret seg Først ganget vi øverste ra me 1/3 Det meførte at eterminanten til en nye matrisen ble 1/3 ganger eterminanten til A, så vi måtte gange en me 3 for at tallene skal bli like En henig måte å huske hvoran ette fungerer er å tenke på et som å sette et tall utenfor parentes På samme måte som vi kan trekke ut et 3-tall fra en parentes og få (3 + 3 + 12) = 3 (1 + 1 + 12), kan vi trekke ut et 3-tall fra en ra i en eterminant Etterpå trakk vi fra multipler av første ra i e to anre raene, men et meførte ingen enring av eterminanten Så byttet vi e to neerste raene, og et gjore at eterminanten skifter fortegn Til slutt gjore vi kofaktorekspansjon langs en første kolonnen Sien vi ve å utføre raoperasjoner hae sørget for å få bare nuller uner iagonalen, ble kofaktorekspansjonen enkel og grei Triangulære matriser Vi sier at en n n-matrise er øvre triangulær hvis alle tall uner iagonalen er 0, altså hvis en er på følgene form: 1 2 3 n 0 2 3 n 0 0 a 33 a 3n 0 0 0 a nn Tilsvarene sier vi at en n n-matrise er nere triangulær hvis alle tall over iagonalen er 0, altså hvis en er på følgene form: 1 0 0 0 1 2 0 0 a 31 a 32 a 33 0 a n1 a n2 a n3 a nn Eksempel 67 I eksempel 69 brukte vi raoperasjoner til å skrive om matrisen vår til følgene: 1 1 4 0 2 3 0 0 5 Denne matrisen er øvre triangulær 4
Hvis vi skal finne eterminanten til en øvre triangulær matrise er et praktisk å kofaktorekspanere langs første kolonne Da får vi bare ett le i ekspansjonen, nemlig tallet øverst til venstre i matrisen ganget me eterminanten til matrisen er første ra og kolonne er fjernet Denne matrisen er igjen øvre triangulær Så fortsetter vi me kofaktorekspansjon langs første kolonne i hvert steg neover Det vi ener opp me til slutt er å bare gange sammen alle tallene på iagonalen Vi oppsummerer ette i et teorem Teorem 68 La A være en (øvre eller nere) triangulær n n-matrise Da er eterminanten til A lik prouktet av tallene på iagonalen i A: 1 2 a 33 a nn Eksempel 69 Ve å bruke teoremet kan vi skrive opp eterminanten til en triangulær matrise irekte, uten å måtte beregne anre eterminanter først: 0 2 3 0 0 5 = 1 ( 2) 5 Hvis vi skal beregne eterminanten til en stor og stygg matrise, er et en go strategi å bruke raoperasjoner for å skrive om matrisen til øvre triangulær form (og hole oren på hvoran eterminanten enrer seg ve hjelp av teorem 68), og så regne ut eterminanten til en triangulære matrisen ve hjelp av teorem 66 3 Kolonnene i A er lineært uavhengige 4 Kolonnene i A utspenner C n Bevis At A er lineært uavhengige er ekvivalent me at kolonnene spenner ut C n, beviste vi i forrige kapittel Vi beviser nå ekvivalensen av isse to me at A er inverterbar I følge teorem 57 er kolonnnene i A lineært uavhengige hvis og bare hvis vi får et pivotelement i hver kolonne når vi gausseliminerer En annen måte å si ette på, er at A I n, og ette er ekvivalent me at A er inverterbar, ifølge teorem 4 23 For å vise at et A 0 er ekvivalent me at A har lineært uavhengige kolonner, kan vi bruke teorem 66 Vi gausseliminerer A til å blir triangulær Dersom kolonnene i A er lineært uavhengige, får vi et pivotelement i hver kolonne Sien vi alri ganger en ra me 0 uner gausseliminering, viser 66 at et A 0 Dette resonnementet fungerer også baklengs: ersom et A 0, har en gausseliminerte triangulære matrisen ingen iagonalelementer lik null, og et betyr at en originale matrisen hae lineært uavhengige kolonner Flere regneregler Vi tar me et par regneregler til for eterminanter Teorem 610 Determinanten til et proukt av to matriser er prouktet av eterminantene Altså: Hvis A og B er to n n-matriser, så er et(ab) = (et A)(et B) Teorem 611 Determinanten enrer seg ikke når vi transponerer matrisen Altså: Hvis A er en n n- matrise, så er et A Karakterisering av inverterbarhet Vi kan bruke eterminanten til å sjekke om en matrise er inverterbar eller ikke Dette kan essuten knyttes sammen me hvorvit kolonnene i matrisen vår er lineært uavhengige, og hva et utspenner Følgene teorem gir en presis sammenheng mellom inverterbarhet, eterminant, lineær uavhengighet og mengen utspent av kolonnene Teorem 612 La A være en n n-matrise Følgene påstaner er ekvivalente: 1 A er inverterbar 2 et A 0 5