Test, 1 Geometri Innhold 1.1 Formlikhet... 1 1.2 Pytagoras setning... 8 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning... 15 1.4 Geometriske steder... 21 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 25 1.6 Vektorer... 27 1.7 Vektorer på koordinatform... 30 1.8 Vektorregning anvendt på geometriske problemstillinger... 35 Grete Larsen 1
1.1 Formlikhet 1) To figurer er formlike når vi ved å forstørre eller forminske den ene figuren kan få en figur som er lik den andre. 2) To kongruente trekanter er alltid like store. 3) To formlike trekanter har alltid like lange sider. 4) To trekanter er formlike dersom trekantene har en rett vinkel trekantene har parvis like store vinkler trekantene har en spiss vinkel 5) Når to trekanter er kongruente, vil forholdet mellom tilsvarende sider alltid være 0 1 2 2
6) De to trekantene på figuren er formlike. Hva er forholdstallet mellom arealet av den største og arealet av den minste trekanten? 2 3 4 7) De to trekantene på figuren er formlike. 3
8) De to trekantene på figuren er formlike. Hvor lang er siden a i den lille trekanten? 6 6,5 7 9) De to trekantene på figuren er formlike. Hvor lang er siden b i den store trekanten? 13,5 14 15 4
10) AB ED De to trekantene på figuren er formlike. 11) To trekanter er kongruente hvis to sider er parvis like lange og vinklene mellom disse sidene er like store. 12) To trekanter må være kongruente hvis to sider er parvis like lange og de motstående vinklene til de korteste av disse sidene er like store. 5
13) Dersom vi flytter punktet A på linjestykket AE, kan de to trekantene på figuren bli formlike. Hvilket krav må vi stille til linjestykkene AC og DE for at de to trekantene skal være formlike? Linjestykkene må være like lange Linjestykkene må være parallelle Linjestykkene må ha lengde 1 14) Dersom de to trekantene på figuren er formlike, vil BC og DF være tilsvarende (samsvarende) sider. 6
15) Dersom de to trekantene på figuren er formlike, vil AC BC DF DF BC AB EF DF AB BC DE EF 7
1.2 Pytagoras setning 1) I trekanten nedenfor er a og c kateter 2) I en trekant er sidene 2 cm, 3 cm og 4 cm. Er trekanten rettvinklet? Ja Nei 3) Alle sidene i den lyseblå firkanten er like lange fordi Alle er hypotenus i kongruente trekanter Alle sidene går mellom midtpunktene på sidene i det opprinnelige kvadratet 8
4) Alle vinklene i den lyseblå firkanten er rette vinkler fordi Vinklene er til sammen 360 Alle er 180 uv der uv 90 5) De lyseblå feltene på de to figurene er like store fordi diagonalen gjennom de lyseblå kvadratene på figuren til høyre deler det lyseblå kvadratet til venstre i to De(t) lyseblå feltene er differensen mellom det store kvadratet og de fire trekantene 9
6) Dette er et algebraisk bevis for Pytagoras setning som tar utgangspunkt i figuren under: 2 2 ab a b c 4 2 2 2 2 a 2ab b c 2ab a 2 2 2 b c 10
7) I figuren under har vi startet med en rettvinklet trekant med sider a, b og c. a deles i to deler, den ene med lengde b og den andre med lengde a b. Vi lager et kvadrat ABCD som figuren viser. Sidelengdene i kvadratet forlenges med lengden b. Det gir opphav til tre nye trekanter, alle kongruente med den opprinnelige trekanten. Til sammen danner alle figurene et nytt kvadrat. Hvorfor? Alle sidene er hypotenuser i kongruente trekanter. De er derfor like lange. Når sidene er like lange, må firkanten være et kvadrat. Alle vinklene er rette vinkler, derfor er det et kvadrat.. Vinklene er 180 uv der uv 90 Alle sidene er like lange og alle vinklene er rette. Vinklene er 180 uv der uv 90 11
8) I figuren under har vi startet med en rettvinklet trekant med sider a, b og c. a deles i to deler, den ene med lengde b og den andre med lengde a b. Vi lager et kvadrat ABCD som figuren viser. Sidelengdene i kvadratet forlenges med lengden b. Det gir opphav til tre nye trekanter, alle kongruente med den opprinnelige trekanten. Til sammen danner alle figurene et nytt kvadrat. Arealet av det nye kvadratet kan uttrykkes på to måter: 2 2 1 c a b 4 ab 2 2 2 2 c a b 9) På figuren er ACE 90 fordi Trekanten ACE er likebent ACE 180 ACB DCE og ACB DCE 90 12
10) Vi kan bruke figuren til å bevise Pytagoras. Vi kan sette a b 2 a b c a b c 2 2 2 Vi har da brukt Arealformel for trapes og arealformel for trekanter Arealformel for et halvt kvadrat og arealformel for trekanter 11) Gitt trekanten ovenfor. De to katetene har begge lengde a Hypotenusen har da lengde 2a 2a 2 2a 13
12) Pytagoras var en matematiker som levde i Babylonia ca 1500 f. Kr. 13) På figuren er ABC en rettvinklet trekant der C 90. Trekanten har sidelengder a, b og c. Ved å nedfelle normalen fra C på linjestykket AB, får vi til sammen tre formlike trekanter. Trekantene er formlike fordi alle trekantene har vinkler på 30,60 og 90 14) På figuren er ABC en rettvinklet trekant der C 90. Trekanten har sidelengder a, b og c. Ved å nedfelle normalen fra C på linjestykket AB, får vi til sammen tre formlike trekanter. Trekantene er formlike fordi alle trekantene har en vinkel på 90 og en vinkel felles med en av de andre trekantene 14
15) På figuren er ABC en rettvinklet trekant der C 90. Trekanten har sidelengder a, b og c. Ved å nedfelle normalen fra C på linjestykket AB, får vi til sammen tre formlike trekanter. Vi kan bruke denne formlikheten til å vise at får dermed vist at 2 2 2 a b c 2 2 a yc og b x c. Vi har også at x y c og 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning 1) Thales levde i Hellas ca 600 år f. Kr. 2) En sentralvinkel har alltid toppunkt i sentrum av en sirkel tyngdepunktet til en trekant sentrum av en trekant 15
3) En sentralvinkel er alltid dobbel så stor som en periferivinkel 4) To periferivinkler er alltid like store 5) To periferivinkler som spenner over samme sirkelbue er like store 6) En sentralvinkel er dobbel så stor som en periferivinkel hvis de to vinklene spenner over samme bue 7) På figuren vet vi at D 15 C 30 B 60 16
8) På figuren vet vi at BSC 60 D 30 BCD 90 9) Hvis vi kjenner BSC på figuren, kan vi finne alle vinklene i alle trekantene. 17
10) På figuren er ABE formlik med CDE 11) På figuren er DBS 50 18
12) På figuren er A B 13) På figuren er A B 19
14) På figuren er 1 ADC B 2 15) På figuren er 2 2 2 2 2 AD AC BD BC r r 4 der er radius i sirkelen 20
1.4 Geometriske steder 1) Et geometrisk sted er mengden av alle de punkter som oppfyller ett eller flere krav 2) Sirkelen er det geometriske sted for alle de punkter som ligger slik at arealet blir 2 r ligger slik at omkretsen blir 2 r har samme avstand fra et gitt punkt 3) Det geometriske stedet for alle punkter som ligger like langt fra vinkelens bein kalles midtnormalen halveringslinja parallellen 4) Det geometriske stedet for alle punkter som ligger like langt fra linjestykkets endepunkter kalles midtnormalen halveringslinja parallellen 5) De parallelle linjene med en bestemt avstand til en gitt linje er det geometriske stedet for alle de punktene som har samme avstand fra to gitte punkter på linja halveringslinjen mellom linjen og normalen på linja alle punkter som ligger i en bestemt avstand fra den gitte linjen 6) Det geometriske stedet for toppunktet til en rett vinkel med vinkelbein som går gjennom to punkter A og B er sirkelperiferien til en sirkel med linjestykket AB som diameter sirkelperiferien til en sirkel med linjestykket AB som radius 21
7) Er de grønne linjene på figuren det geometriske stedet for alle punkter som ligger i en bestemt avstand fra den blå linjen? Ja Nei 8) Er den blå linja på figuren det geometriske stedet for alle de punkter som ligger like langt fra endepunktene på den grønne linja? Ja Nei 22
9) Er den grønne linja på figuren det geometriske stedet for alle punkter som ligger like langt fra de blå linjene? Ja Nei 10) Er de grønne linjene på figuren det geometriske stedet for alle punkter som ligger midt på den blå linjen? Ja Nei 11) Gitt et linjestykke AB. Hvilket geometrisk sted har du konstruert når du slår en sirkel om punktet A med AB som radius? Det geometriske stedet for alle punkter som ligger i avstand lik AB fra A. Det geometriske stedet for alle de punkter som ligger like langt fra linjestykkets endepunkter. 23
12) Hvilket geometrisk sted kan du ha konstruert hvis du har: Avsatt ei linje, konstruert to normaler til linja, avsatt to punkter på hver normal slik at alle de fire punktene har samme avstand fra linja og trukket to nye linjer gjennom to og to av disse punktene? parallelle linjer vinkelhalveringslinjer midtnormaler 13) Gitt en sirkel med sentrum i S. Ei linje som går gjennom punktet A utenfor sirkelen, tangerer sirkelen i B. Da vet vi at ABS 90 ABS 90 vi ikke kan vite noe om størrelsen på ABS 14) Hvis du skal konstruere en rettvinklet trekant der du kjenner lengden til katetene, kan du benytte Thales setning 15) Hvis du skal konstruere en rettvinklet trekant der du kjenner lengden til hypotenusen og en av katetene, kan du benytte Thales setning 24
1.5 Skjæringssetninger i trekanter 1) Midtnormalene på sidene i en trekant skjærer hverandre i samme punkt. 2) Skjæringspunktet mellom midtnormalene i en trekant ligger like langt fra alle hjørnene i trekanten. 3) Skjæringspunktet mellom midtnormalene i en trekant ligger like langt fra alle sidene i trekanten. 4) Skjæringspunktet mellom vinkelhalveringslinjene i en trekant ligger like langt fra alle sidene i trekanten. 5) Skjæringspunktet mellom vinkelhalveringslinjene i en trekant ligger like langt fra alle hjørnene i trekanten. 6) Det finnes alltid en sirkel med sentrum i skjæringspunktet mellom vinkelhalveringslinjene i en trekant som tangerer alle sidene i trekanten 7) Det finnes alltid en sirkel med sentrum i skjæringspunktet mellom vinkelhalveringslinjene i en trekant som går gjennom alle hjørnene i trekanten 25
8) Det finnes alltid en sirkel med sentrum i skjæringspunktet mellom midtnormalene på sidene i en trekant som tangerer alle sidene i trekanten 9) Det finnes alltid en sirkel med sentrum i skjæringspunktet mellom midtnormalene på sidene i en trekant som går gjennom alle hjørnene i trekanten 10) Det finnes alltid en sirkel med sentrum i skjæringspunktet mellom høydene i en trekant som går gjennom alle hjørnene i trekanten 11) Det finnes alltid en sirkel med sentrum i skjæringspunktet mellom høydene i en trekant som tangerer alle sidene i trekanten 12) Skjæringspunktet mellom høydene i en trekant kalles trekantens ortosenter 13) Skjæringspunktet mellom medianene i en trekant kalles trekantens ortosenter 14) Alle sirkler med sentrum i trekantens innsenter kalles innskrevne sirkler 15) En sirkel med sentrum i trekantens omsenter og med radius lik avstanden fra omsenteret til et av hjørnene, kalles trekantens omskrevne sirkel 26
1.6 Vektorer 1) En vektor har lengde. 2) En skalar har retning 3) En vektor har både retning og lengde 4) AB BA 5) AB BA 27
6) På figuren under er den røde vektoren lik a b 7) Den nederste vektoren på figuren er lik 2a 8) b t a b a der t R 28
9) b t a b t a der t R 10) 0 a 11) 0 a 12) Den røde vektoren på figuren er lik a b 29
13) a b b a 14) a b ab 0 15) Skalarproduktet mellom to vektorer er definert ved a b a b sin der er vinkelen mellom vektorene 1.7 Vektorer på koordinatform 1) Koordinatene til punktet A er4,2 30
2) OA 4,2 3) AO 4,2 31
4) 5e 3e 5,3 x y 5) 2,23, 6 2 3,2 6 5, 4 6) 5,2 3,1 53,2 1 2,1 7) Vi multipliserer en vektor med et tall ved å multiplisere begge vektorkoordinatene med tallet 32
8) Posisjonsvektoren til A er AO 4,2 9) På figuren er AB OB OA 10) På figuren er AB OB OA 33
11) På figuren er AB OA OB 12) x1, y 1 x2, y 2 x1 x2 y1 y2 13) x1 x2 y1 y2 0 x1, y1 x2, y2 2 2 14) 5, 3 5 3 25 9 16 4 15) 5, 3 15, 9 34
1.8 Vektorregning anvendt på geometriske problemstillinger 1) Er ABCD et parallellogram? Ja Nei 2) Dersom ABCD skal være et parallellogram, må koordinatene til C være 99,50 100,50 100,51 35
3) M er midtpunkt på AB. Koordinatene til M er 51,25 50,25 51,26 4) A 7,2 og 6,3 AB. Midtpunktet på AB har koordinatene 10, 3,5 10, 3,5 9,5, 4 5) Er B en rett vinkel? Ja Nei 36
6) Er B en rett vinkel? Ja Nei 7) Trekanten er likesidet likebent, men ikke likesidet ikke likebent 37
8) Normalen fra C på AB skjærer AB i 2,5, 4,5 25 60, 13 13 23 58, 12 12 9) cos A 1 3 2 5 13 1 2 38
10) Normalen fra A på BC skjærer BC i 31 21, 10 10 2, 3 3,2 11) cosb 2 13 3 13 3 2 39
12) Lengden til CD er 2,5 12 5 2 2 13) Koordinatene til D er 12 14, 5 5 61 73, 25 25 35 45, 25 25 40
14) Er C 90? Ja Nei 15) CD 10 2 2 3 41