Side 1 av 13 Struktur og innkapsling Et romfartø med instrumentering skal tåle akselerasjonen i oppsktingen, vibrasjonene fra motoren, bevegelsen ved ufoldingen, åpning osv. Dessuten skal instrumenter og kommunikasjonsutstr beskttes mot vind og vær før utskting og de store hastighetene opp gjennom luftlagene og evt. fall for ballistiske sonder. Satellitter på plass i bane skal tåle rommiljøet også strukturelt, det vil si de termiske variasjonene og mikrometoritter. Den største mekaniske påkjenningen er naturligvis akselerasjonen fra rakettmotorene og i denne fasen må strukturen konstrueres så den ikke kollapser pga. manglende strke. Strukturelementene må heller ikke få så store elastiske utslag at instrumenter kan komme i klemme og bli ødelagt. en heller ikke på en satellitt i bane er man fritatt for elastiske deformasjoners innvirkning. Det er ofte følsomme instrumenter om bord som må ha nøaktige relative posisjoner, for eksempel optisk utstr, og det kan stilles store krav til strukturell stivhet og ikke minst, til varmeutvidelser ved vekslende temperatur. ed struktur menes material som er plassert på forskjellig måte for å holde "ting" i ønskede geometriske posisjoner. Generelt omfatter strukturer alt fra pramider, buekonstruksjoner, bjelker, staver, plater mm. For romfartø velger man vektbesparende løsninger som rammer og oppstivede skall. an deler inn strukturen i den primærstrukturen, som bærer hovedlastene mellom motorens skvkraft og de mer konsentrerte massenes reaksjoner og den sekundære strukturen som fester lettere delene så som instrumenter og termiske dekker. Det ligger en stor utfordring i å konstruere strukturdetaljene med tanke på både vektøkonomi og plassutnttelse. Dette gjelder både konstruktører av primærstruktur og konstruktører av nttelastdetaljer. Strukturelle elementer Som omtalt under krefter kan man dele strukturer inn i konstruksjonselementer. Når disse inngår i struktur betegner vi dem med strukturelle elementer. De omfatter, som tidligere omtalt, staver, bjelker, plater og skall, men også mer intrikate former som rammeverk og selvbærende skall og bokser. Den sistnevnte betegnes også monocoque 1, som skal betegne en vektoptimalisert konstruksjon for flskrog, lette båter mm. Elastisitet, plastisitet, elastisk grense Som tidligere omtalt er materialstrken avgjørende for konstruksjonenes lastgrense. Elastiske deformasjoner oppstår ved at materialpartiklene tøer seg l ε= (1.1) l Den elastiske tøningen er knttet til normalspenning og E-modul: σ= Eε (1.) eller skjærspenning og skjærmodul τ= Gγ (1.3) der γ er skjærtøning (en vinkel). For isotrope materialer er det en sammenheng mellom E-modul og G-modul: E G = (1.4) (1 + ν) 1 fra fransk, båt av et muslingskall
Side av 13 der ν er poissontallet, forholdet mellom den elastiske lengde- og tverrtøning ε ν= (1.5) ε lle kompakte materialer har poissontall mellom 0 og 0,5 x σ ε x lle materialer har en øvre elastisk grense. Duktile materialer (duktile metaller og mke plaster) har en fltegrense. Overskrides denne, blir det plastiske tøninger, som er varige. aterialer uten duktilitet (sprø materialer) får brudd når den elastiske grensen overskrides. I dette kompendiet skal vi studere spenninger og deformasjoner som oppstår ved belastning av noen av de vanlige konstruksjonselementene. σ ε ksialstaven ksialstaven er det ekleste konstruksjonselementet. ll kraft løper i stavens retning og spenningen blir helt enkelt: F σ= (1.6) der F er kraften og er tverrsnittet. Spenningen i aksialstaven regnes positiv i strekk og negativ i trkk. Bjelken Dette er et viktig konstruksjonselement. En bjelke er et "langt" stkke material som belastes så det blir bøning. ksialt strekk/trkk kan komme i tillegg. Bredden kan være stor eller liten, man betrakter ofte en plate som belastes ut av planet som en bjelke. I det generelle tilfellet vil et snitt gjennom en bjelke vise kraftvirkningene som er forklart under. Betrakt den venstre delen av snittet. Den veneste delen påvirkes av den høre delen med: x S V N Skjærkraften. Den venstre delen søker å skve den venstre delen ned. Bøemomentet. Den høre delen øver et trkk øverst og et strekk nederst, slik at det blir en bøevirkning. Normalkraften, på samme måten som i en aksialstav. V N - σ + x I Spenninger som skldes skjærkraften kalles skjærspenninger. I en bjelke er de størst på midten. Kun på korte bjelker kan skjærspenningen anta verdier som blir dimensjonerende. Vi lar dem ligge inn til videre.
Side 3 av 13 Bøemomentet gir trkkspenninger (regnes negative) og strekkspenninger (regnes positive), og vanligvis er det de som blir dimensjonerende. Spenninger fra bøemomentet kalles bøespenninger. Spenningene fra normalkraften beregnes på samme måte som for en aksialstav. Disse adderes til bøespenningene. De er ofte små sammenlignet med de ekstremale bøespenningene (øverst og nederst). Vi skal nå lære å beregne bøespenningene og tar for oss en bjelke med et gitt tverrsnitt. Vi lar normalkraften være null. Bjelkeformler Under visse forutsetninger kan det vises at bøespenningen er gitt ved: σ=, (1.7) I der er bøemomentet på det stedet (x) vi regner I er annet arealmoment for bjelketverrsnittet om bøningsaksen er avstanden fra bjelkens nøtralakse Bøningsaksen er den aksen som tverrsnittet roterer om når bjelken bøes. Hvis x-aksen er bjelkens lengdeakse og -aksen er vertikal, så er det z-aksen som er bøningsaksen. Det kan vises at bjelkens nøtralakse (der bøespenningene er null, det er verken trkk eller strekk) går gjennom tverrsnittets flatesenter. Flatesenteret bestemmes med h= d eller for h i i flate sammensatt av enkle delflater h =, der h er flatesenteravstand fra en i referanseakse parallell med z-aksen (for eksempel i tverrsnittets underkant). nnet arealmoment (tidligere kalt flatens treghetsmoment) er en tverrsnittskonstant. nnet arealmoment om z-aksen er definert ved integralet I = d. Denne verdien hentes i praksis, der I 0 er delflatens annet arealmoment om sin flatesenterakse, b er "steiners-armen" = avstanden mellom delflatens flatesenter og den samlede flatens flatesenter. fra tabeller eller beregnes ved å kombinere delflater med Steiners formel I = ( I 0i + bi i) Bøemomentet for et snitt må beregnes ut fra størrelse og beliggenhet av belastningene og bjelkens opplagring. Bøemomentet varierer etter hvor bjelken snittes (dvs. hva x-verdien er) og blir en funksjon ( x ). Det er naturligvis ekstremalverdiene som er av størst interesse. I praksis vil vi i dette kurset bruke tabeller for standardbjelker. Bjelkens -akse regnes positiv nedover, slik at bøning nedover betr positiv -verdi. Likeledes er bøemomentets fortegn definert slik at et positivt bøemoment gir nedbøning, dvs. krumning nedover.
Side 4 av 13 Bjelkedeformasjoner Det kan vises at når deformasjonene er små, kan bjelkens form beskrives av d 1 differensialligningen = ( x). Ved løsning av denne kan man finne bjelkens dx EI krumningsform, x. ( ) Integrasjonskonstantene fastlegges ut fra kjente verdier (for eksempel d = 0 i opplagre og horisontal tangent, 0 dx =, ved fast innspenning). I praksis kan man ofte bentte ferdige tabeller for standardbjelker til å beregne maksimale deformasjoner. Superposisjonsprinsippet Dersom deformasjonene er så små at deformasjonene ikke fører til vesentlig endrede momentarmer, kan lastvirkninger adderes. Lastvirkninger kan dog kun adderes på samme "sted", dvs. samme x-verdi, for eksempel opplagerkraft eller midtpunktsnedbøning. aterialstrke For metaller benttes oftest fltegrensen. Dersom skjærspenningen er dimensjonerende, kan man for duktile metaller sette denne til halvparten av fltgrensen, jfr. materiallære (Tresca-kriteriet). 44 40 40 For polmermaterialer er det bruddstrke eller langtidslastgrensen som begrenser belastningen. Fiberkompositter er tøningsbegrensede, dvs. spenningen settes til den verdien som gir maksimalt 0,% tøning. F = 000 N B Sprø materialer begrenses av strekkbruddspenningen, dersom disse forekommer (normalspenningskriteriet). Keramer tåler 10 15 ganger høere spenning i trkk enn i strekk. Illustrerende eksempel ed så me teori, er det på plass med et illustrerende eksempel. Eksempelet gjennomgås grundig for å illustrere og etablere en forståelse for teorien. Eksamenspensum i faget omfatter likevel kun "sluttbruken" av formlene. Dvs. bruken av ikke-numererte formler faller utenfor eksamenspensum. En bjelke B belastes med en nttelast som gir treghetskraft på 000 N ved maksimal akselerasjon, se figur. Kraften skal bæres av en bjelke med lengde 500 mm, utført i aluminium 608 T6 med 40x40x4 T-profil. V 00 300 000 N 100 N 800 N 100 N 00-100 + P + V 40 - -800 B [N] [Nm]
Side 5 av 13 Likevektsberegninger, bøemoment Kraften fra nttelasten er oppgitt som treghetskraft, dvs. "ferdig" ganget med akselerasjonen, vi skal regne med F = 000 N. Likevekt for hele bjelken gir: = 0 : B 0,5 000 0, = 0 [Nm] B= 800 N og F = 0 : + B 000 = 100 N Betrakt bjelkedelen P, der P er et punkt umiddelbart til venstre for lasten Likevekt i -retning gir: F = 0 : V = 0 V = 100 N F = 1000 N. Skjærkraften i snittet er 100 N. Ved å la snittet vandre fra til B vil den skifte fra 100 N til 800 N idet punktlasten passeres. Skjærkraftdiagrammet blir som vist på figuren. omentlikevekt av P om P gir: = 0 : 0, = 40 Nm P Bøemomentet er 40 Nm i snittet ved P. Ved å la snittet vandre fra til B får man: I snittet ved er = 0, da det her er et leddet opplager. Bøemomentet til øke fra til P, det får maksimalverdi. Fra P til vil bøemomentet avta til null i B,det det også er et leddet opplager. Bøemomentdiagrammet tegnes som vist på figuren. Vi lar det få positivt utslag nedover for å markere retningen bjelken bøer seg. Flatesenter og annet arealmoment For tverrsnittsflaten skal vi regne ut arealsenterets beliggenhet og annet arealmoment. Vi starter med en formel for annet arealmoment for en rektangulær flate, se figuren. Det benttes et eget koordinatsstem for figuren, plassert med origo i rektanglet, og ellers som vanlig. H = 1 d = Bd d I = r d H H = B 3 Ix = Bd = = = 0 0 3 BH 3 1 ltså formelen for annet arealmoment av et 1 3 rektangel er I x = BH 1 H 1 1 B1 x B x = Legg merke til B- og H-målets plassering i forhold til tverrsnittets akser. Utrustet med formelen for annet arealmoment av et rektangel, skal vi så finne arealsenter i T-profilet og beregne annet arealmoment for T-profilet med Steiners formel.
Side 6 av 13 realsenter Vi skal bestemme T-profilens flatesenter. T-profilen deles inn i to rektangler på hhv. 4 36 40 4 mm. Se figuren. Vi ser bort fra overgangsradiene. Disse rektanglene har sine flatesentre hhv. 36 18 = og 4 40 = 38 mm fra underkanten. Flatesenterets avstand fra underkanten blir: 43618 + 40438 h = = 8,5 mm 436 + 404 nnet arealmoment Vi skal beregne annet arealmoment om bjelkens z-akse. Til dette trenger vi to "steiners armer", dvs. avstanden mellom delflatenes sentre og hele flatens senter. Disse blir: b 1 = 8,5 18 = 10,5 mm og b = 38 8,5 = 9,47 mm ed steiners formel bestemmes annet arealmoment: 1 3 1 3 Iz = 4 36 + b1 4 36 + 40 4 + b 40 4 1 1 4 4 4 1 8 4 = 4,6 10 mm = 4,6 10 10 = 4,6 10 m nnet arealmoment må vi regne ut selv eller få oppgitt i bjelketabeller for standardiserte tverrnitt eller som utgis av leverandør av profiler. 8 4 Verdien 4,6 10 m er annet arealmoment for denne tverrsnittsflaten om en akse gjennom flatens senter, 8,5 mm fra nederste kant. ksen gjennom flatens senter kalles nøtralaksen. Partikler i nøtralaksen har verken trkk eller strekk. Partikler over nøtralaksen utsettes for trkk, partikler under nøtralaksen utsettes for trkk. De ekstremale trkk- og strekkspenningen i et snitt (en x-verdi) opptrer hhv. i bjelkens overkant og underkant. Bøespenninger De maksimale bøespenningene opptrer i det snittet der bøemomentet har størst verdi, altså i x = 0, m, med = 40 Nm. vstanden fra bjelkens nøtralakse til hhv. topp og bunn er = 8,5 40 = 11, 48 mm = h= 8,5 mm topp Innsatt i bøespenningsformelen fås nå trkkspenning i bjelkens overkant: 40 topp σ = topp = 8 ( ) = I 4,6 10 og strekkspenning i bjelkens underkant bunn 3 6 11,48 10 59,7 10 Pa 60 Pa 40 bunn σ = bunn = 8 ( ) = I 4,6 10 3 6 8,5 10 148, 6 10 Pa 149 Pa luminium 608 T6 har fltegrense f = 55 Pa. Sikkerhetsfaktoren mot flting blir 55 sf = = 1, 7 149
Side 7 av 13 Legg merke til hvordan korrekt fortegnsbruk gir trkkspenninger (negative) og strekkspenninger (positive). Bruk av bjelkeformler i dette eksempelet Bjelken med belastning kan vi finne i bjelketabellen, formel 9. v figuren for momentdiagrammet finner vi: Fab 000 0, 0,3 max = = = 40 Nm L 0,5 Deretter blir regningen som i eksempelet. Beregning av forskvning, nedbøning For å finne nedbøningen må bjelkens differensialligning løses for den aktuelle belastningen. Dette fører til me regning, vi skal ikke gjennomføre det i dette kurset. Vi skal holde oss til bjelketabellen, som viser verdier for verdier for interessante bjelkesnitt (x-verdier). Formel 9 passer for denne bjelken. Legg merke til at formelen skal ha den korteste avstanden mellom last og opplager som b-verdien. ed E-modul for aluminium, 70 GPa, bli nedbøningen 3 3 ( b ) 000 0, ( 0,5 0, ) Fb L umax = = = = 9 8 9 3 LEI 9 3 0,5 70 10 4,6 10 ved x-verdi (obs: fra venstre på figuren i bjelketabellen, fra høre på vår figur) L b 0,5 0, x = = = 0,65 m 3 3 Ofte beregnes også nedbøningen på midten: ( ) 3 3 4 Fb L b δ= = 1, 5 mm 48EI altså bare ubetdelig mindre. 3 1,5 10 m 1,53 mm Superponering av flere laster Vi skal også undersøke hvilken betdning bjelkens egentnge har på spenning og nedbøning. Egentngden fås fra tabellverdi for T-bjelken i aluminium og er oppgitt tilρ L = 0,85 kg/m. ed akselerasjon 5g vil egentngden tilsvare en jevnt fordelt belastning på q=ρl 5 g = 0,85 kg/m 5 9,81 m/s = 41,7 N/m Formel 10 i bjelketabellen gjelder for bjelke med jevnt fordelt belastning. Vi ser at maksimalt bøemoment opptrer på midten med ql = = 1, 3 Nm 8 Dette gir bare en beskjeden økning i maksimal spenning på: bnn 0,8 Pa σ = = I Spenningsøkningen 0,8 Pa skjer midt bjelken, x = 0,5 m. Denne verdien kan ikke adderes (superponeres) direkte, da tidligere beregnet maksimalspenning opptrer ved
Side 8 av 13 x = 0, m. Vi kan likevel si at den maksimale spenningen i bjelken blir mindre enn 149 + 0,8 Pa. Når det gjelder nedbøningen, kan vi heller ikke superponere maksimalverdiene. idtpunktsverdiene derimot kan superponeres: 4 5 ql δ tot =δ+δ = 1,5 mm + = 1,5 + 0, 01 = 1,53 mm 384 EI Tillegget fra bjelkens egentngde var ubetdelig. Vi tok det med for å illustrere hvordan formlene virker. Også den totale nedbøningen kan virke beskjeden, men det er viktig å ta hensn til den, da en berøring mellom bjelken og instrumentnttelast lett kan føre til ødeleggelser. F.eks. skal det regnes 3 mm klaring for evt. vibrasjoner i instrumentpaneler. Total klaring må være 3 mm + 1,53 mm + vibrasjonsmonn for bjelken. I en tett instrumentpakking er det viktig å ikke glemme å gi rom for vibrasjoner. Oppsummering: Fremgangsmåten for bjelkeberegning er: 1) Finn bjelketpen i tabellen (med lastbilde) ) Finn maksimalt bøemoment 3) Finn flatesenter og annet arealmoment for tverrsnittet (oppgitt, unntatt hvis det er rektangel, se formel) 4) Finn topp og bunn og finn de ekstremale bøespenningene med bjelkespenningsformelen 5) Finn nedbøning, maksimal og evt. på midten. Formel for aktuell bjelketpe 6) Lastvirkninger i samme snitt kan superponeres Oppgave En instrumenthlle med lengde 400 mm og dbde 170 mm skal bære en instrumentpakke med masse 5 kg. Pakken har dbde 10 mm, og plasseres fra hllas fremre kant. Hlla er boltet fast til veggen. 3 400 a = 7 g Instrumentene konstrueres for en akselerasjon på 7 g. 0 m = 5 kg Hva blir instrumentpakkens maksimale, lokale tngde? (343 N) 50 10 Hlla utføres i bukket aluminiumplate og festes på vegen med skruer. Hva blir samlet aksiell kraft på skruene når det er 0 mm fra bød kant til skruehullenes senter? (1890 N) Sett aluminiumplatens tkkelse til mm. Finn en passende bjelkeformel og beregn maksimal spenning og platens maksimal nedbøning. E-modul for aluminium: 70 GPa. (14 Pa, 15 mm )
Side 9 av 13 Bestem om det er hold i flensen, dvs. kontroller om det blir tilstrekkelig kapasitet mot utriving av skruehullene. Hlla festes med 4 skruer. Se bort fra friksjon. Bestem tkkelsen for platen når maksimal spenning skal være 00 Pa og maksimal nedbøning skal være 3 mm. Sikkerhetsmargin i konstruksjonen. Både materialenes strke og virkningen av lastene er beheftet med usikkerhet. For å oppveie dette brukes to forskjellige måter for å legge inn en sikkerhetsmargin. Sikkerhetsfaktor. Dette er en relativt grov metode, der den tillatte lastvirningen settes lavere enn den beregnede strke med en faktor, f.eks. for spenninger: σberegnet = f σ tillatt Eksempel: I en tnnvegget, slindrisk trkktank er maksimal spenning i veggen gitt ved: r σ t = p, der r er radius, t er veggtkkelse og p er trkket. t En trkktank med diameter 00 mm skal holde et trkk på 00 bar. Hva må veggtkkelsen være i en trkktank av titan når fltespenningen for titanlegeringen er 830 Pa og bruddspenningen er 1050 Pa. Bestemmelsen for trkktanken sier at det skal være en sikkerhetsfaktor på 3 mht. flting og 4 mht. brudd for det anvendte materialet. Løsning: Tillatt spenning i materialet er minimum av 1 850 Pa 83 Pa 3 = og 1 1050 Pa = 63 Pa, altså 63 Pa. 4 1 00 r 5 σ t = p 63 = 00 10 t = 7,6 mm t t Partialkoeffisienter En annen vanlig måte å angi belastningsgrenser på er å sammenligne en antatt (beregnet) last med tillegg av usikkerhet med en antatt tålegrense (kapasitet) med fradrag for usikkerhet. Qdim Rdim Tpiske verdier er lastkoeffisient q = 1, 3 og materialkoeffisient γ= 1,1, altså ( Strke iht. tabell ) ( Beregnet Last) 1, 3 1,1 Oppgave: Kontroller om forskvningskravet for hlla i forrige eksempel er oppflt for en platetkkelse på 4 mm med last- og materialkoeffisient som angitt over.
Side 10 av 13 Formler og tabeller nnet arealmoment for rektangel: 1 3 I = BH 1 B: bredde parallelt med dreieakse H: høde, vinkelrett på dreieakse Bjelkespenningsformelen σ= I : bøemoment : avstand til nøtralakse, positiv nedover I: annet arealmoment
Side 11 av 13
Side 1 av 13
Side 13 av 13