Styrkeberegning grunnlag

Transkript

1 grunnlag Henning Johansen

2 side: 0 INNHOLD INNLEDNING 3 BEREGNING AV SPENNINGER GENERELT 4 3 FORHOLDET MELLOM KONSTRUKTIV UTFORMING, SPENNINGER OG FASTHET 5 4 SPENNINGSANALYSE 7 4. Enakset spenningstilstand 7 4. Toakset spenningstilstand Hovedplan Hovedspenninger Maksimum skjærspenning 4.6 Mohr s spenningssirkel 3 5 TVERRKONTRAKSJON VED STREKK OG TRYKK 5 5. Flat stav 5 5. Kube med sider = 6 6 FORMENDRINGSARBEID 7 7 BRUDDHYPOTESER 8 8 KJERVVIRKNING 0 9 MATERIALENES FASTHETSEGENSKAPER 4 9. Statisk belastning 4 9. Dnamisk belastning Utmattingsdiagram Anvendelse av utmattingsdiagram Sikkerhetsfaktor n 35 0 REFERANSER 36 Copright 0 Henning Johansen Sist revidert: Henning Johansen side

3 INNLEDNING Dette kompendium er beregnet på personer som er fortrolig med grunnleggende mekanikk og som ønsker å få en grunnleggende innføring i generell strkeberegning. Det er skrevet ut i fra en serie med forelesninger, og hovedvekten er lagt på gode illustrasjoner. En mer omfattende skriftlig dokumentasjon på deler av fagstoffet finnes i lærebøker som for eksempel i Dahlvig, Christensen og Strømsnes bok, Konstruksjonselementer. Se kapittel 0 Referanser. Som mål har dette kompendium å gi en innføring i hvordan spenninger beregnes generelt. Det gis eksempler på hvor viktig det er for konstruktøren / designeren å tenke konstruktiv utforming. En konstruksjonsdetalj som i utgangspunktet bare blir utsatt for krefter i en retning, vil p.g.a. sin utforming kunne bli utsatt for spenninger i flere retninger. Dette har igjen betdning for materialvalg og dimensjoner. Det gis eksempler på hvordan dnamiske krefter gir andre spenningsresultater enn statiske krefter. Ut ifra en grunnleggende spenningsfastsettelse vises det hvordan en matematisk kan sette opp et sett med ligninger som uttrkker de største normal- og skjærspenningene som opptrer i en konstruksjonsdetalj. Det vises også hvordan de samme spenningene kan løses grafisk. Ut ifra de maksimale spenningene som opptrer diskuteres de vanligste spenningshpotesene. Det vises hvordan vi generelt kan sette sammen forskjellige kjente eller utregnede spenninger til en n sammensatt tenkt spenning som påvirker materialet like sterkt. Denne spenningen danner utgangspunkt for valg av materiale og dimensjon. Det er også vist hvordan materialer ved belastning oppfører seg med hensn på forlengelse og kontraksjon. Det vises med bruk av eksempler hvordan kjerver (hull, avtrapninger, spor, etc.) virker inn på spenningene. Det vises også hvordan forholdet mellom nominell- og maksimal spenning varierer med forskjellige konstruktiv utforming av kjervene. Nominell spenning er beregnet teoretisk, og maksimal spenning er virkelig opptredende spenning. Videre vises det hvordan materialenes indre oppbgging, indre kjerver, virker inn på spenningene i en konstruksjonsdetalj. Siste del av dette kompendium tar for seg materialenes fasthetsegenskaper med stor vekt på detaljer utsatt for dnamisk belastning. Det vises eksempler på brudd, hvordan utføre tester, hvordan behandle testresultater og hvordan kontrollere en konstruksjonsdetalj på utmatting. Det vises bruk av Wöhler- og Smith-diagrammer, hvordan sette opp diagrammene og hvordan bentte de for å kontrollere en gitt konstruksjonsdetalj. Til slutt finnes et sett med oppgaver som kan gi leseren forståelse og øvelse av teorien presentert. 0 Henning Johansen side 3

4 BEREGNING AV SPENNINGER GENERELT Hvordan skal vi generelt gå frem ved beregninger? Det vil ofte være lurt å gjøre følgende: Ved konstruksjon, vurder hvilke spenninger konstruksjonen blir utsatt for? Tegn skisse Fastlegg kreftene, er det: - tre krefter - tngdekrefter - dnamiske krefter (eks. sentripetalkrefter) F Fra figuren: tan=e=/ F mg Figur. Skisse. Beregn spenningene Vi: - forutsetter at konstruksjonsdetaljen utsettes for elastiske spenninger og at Hooke's lov gjelder: E=/ F3 Figur. Spenning - tøning ved strekkprøving. hvor: E = Elastisitetsmodul = spenning = tøning L/L - gjør forenklinger hvor det er uregelmessighet i spenningene - bentter noen ganger tilnærmede løsninger - bentter standarder, f.eks. NS, som bgger på erfaringer - bentter noen ganger overslagsberegninger Velg materiale Fastlegg dimensjonene: - ta hensn til belastningstpen, er den: - statisk - dnamisk - vær nøe med den konstruktive utformingen 0 Henning Johansen side 4

5 3 FORHOLDET MELLOM KONSTRUKTIV UTFORMING, SPENNINGER OG FASTHET En konstruksjons strke er i vesentlig grad bestemt av dens geometriske form. Forandres formen, forandres også de opptredende spenningers størrelse og fordeling. Figuren til høre viser hvordan bruddfastheten og fltegrense ved strekk og bøning endrer seg ved forskjellige (like store) tverrsnittsarealer. Selv om de tre krefter i og for seg skulle gi enakset spenningstilstand, kan konstruksjonens form gi krefter også i andre retninger. Det oppstår da en flereakset spenningstilstand. Under innvirkning av en slik penningstilstand kan et ellers seigt materiale opptre som om det er sprøtt. Figur 3. Prøvestaver med samme tverrsnittareal, med forskjellig form på tverrsnittet og utsatt for strekkbelastning. Denne figuren viser at konstruksjonsdetaljer med inndreide spor (kjerver) gir fasthetsøkning når utsatt for statisk belastning og fasthetsreduksjon når utsatt for dnamisk belastning. Minste tverrsnitt, diameter er den samme i begge prøvestavene. Figur 3. To glatte prøvestaver med og uten inndreid spor utsatt for statisk og dnamisk belastning. Prøvestavene har samme minste diameter, d. 0 Henning Johansen side 5

6 Figuren til høre viser primærspenningene som er forårsaket av den vertikale strekkraften P. Sekundærspenningene og z er forårsaket av tverrkontraksjonen. En lengdeformasjon er alltid forbundet med en tverrdeformasjon (kontraksjon). Da materialet til venstre utenfor bunnen av kjerven ikke overfører noen krefter, vil dette materialet ikke deformeres og heller ikke avlaste det sterkt anstrengte materiale i skårets bunn. Formendring hindres av det ikke belastede materialet og derfor oppstår det en flerakset spenningstilstand. Det vil i nærheten av en bruddanvisning (kjerv) med en tre enakset spenningstilstand oppstå en flerakset spenningstilstand. Figur akset spenningstilstand i bunnen av en kjerv i en prøvestav. Spenningene i figuren er vist i midten av staven, Z = 0. Ved sideflatene, Z = T/, kan ingen spenninger opptre vinkelrett på flatene.z = 0, dvs. -akset spenningstilstand. Jo lenger vi forfltter oss fra sideflatene, jo større muligheter har det omkringliggende materialet til å forhindre en tverrkontraksjon, og z øker. Figuren til høre viser prøvestaver med kjerv ( og 3) sammenlignet med en glatt prøvestav (). Alle er utsatt for strekkspenning. Figur 3.4 Spenning - forlengelse diagram for forskjellige prøvestaver av bløtt stål. Alle prøvestavene har samme minste diameter, d = 0mm. 0 Henning Johansen side 6

7 4. SPENNINGSANALYSE 4. Enakset spenningstilstand Vi ser på en strekkstav utsatt for bare strekkspenning i vertikalplanet, se figuren under. Vi tar ut et vilkårlig element i staven som vi forstørrer opp (figuren til høre). F strekkspenning F A snittflate A A F vilkårlig element B C Figur 4. Enakset spenningstilstand. Vi tegner inn en vilkårlig flate AC i en vinkel α med vertikalplanet AB. Vi setter t = tkkelse av element. På flaten AC vil det virke spenninger parallelt, skjærspenning τα, og vinkelrett normalspenning σα, For å lage ligninger for disse spenningene, summerer vi krefter i og retning (kraft = spenning areal): F AC t BC t 0 sin sin 0 BC sin sin sin AC Fra ligning : = når =90 0 =0 når =0 0 F AC t BC t 0 BC AC cos sin cos sin cos 0 Fra ligning : =/ = maks når =45 0 =0 når =0 0 0 Henning Johansen side 7

8 4. Toakset spenningstilstand Vi kan bentte en trkkbeholder som eksempel. Trkket i beholderen vil fordele seg likt i alle retninger. Det vil nå virke spenninger på et vilkårlig valgt element i -og -retning. Vi legger også her inn et vilkårlig valgt plan AC i en vinkel α med vertikalplanet AB. vilkårlig element p A p = = Figur 4. Toakset spenningstilstand. B C Vi setter arealplan AC = AB = cos BC = sin Summerer så krefter i og retning (kraft = spenning areal): F 0 cos cos sin cos sin sin cos 0 cos sin sin sin cos cos cos sin cos sin F 0 cos sin sin cos cos sin sin cos 0 sin cos ( sin sincos, cos cos sin, sin cos ) 0 Henning Johansen side 8

9 4.3 Hovedplan Hovedplan er definert som plan hvor = 0 Ligning : Setter = 0 og ordner ligningen for å få et uttrkk for : sin cos 0 sin cos tan Ligningen for kan vises som trekanten i figuren til høre. Figur 4.3 tanα. Ligningen gir løsninger av : og Dette tilsvarer: = og = hovedplan er plan rettvinklet på hverandre 90 0 = 0 Figur 4.4 Hovedplan er plan som står 90 0 på hverandre og hvor det ikke er skjærspenninger. 0 Henning Johansen side 9

10 4.4 Hovedspenninger Hovedspenninger er normalspenninger (strekk eller trkk) som opptrer på hovedplanene. Ligning : cos sin Figur 4.5 sinα og cosα. 4 cosα sinα 4 = maksimum og minimum verdiene av normalspenningen 4 4 maks. 4 min. 4 min. Figur 4.6 Hovedspenninger er normalspenningene som opptrer på hovedplanene = 0 maks. 0 Henning Johansen side 0

11 4.5 Maksimum skjærspenning Vi skal nå finne et uttrkk for største skjærspenning maks. Vi tegner inn et vilkårlig element som har sider tilsvarende hovedplanene og tegner inn et vilkårlig plan i vinkel fra sidekanten AB. A () C Opprinnelig element maks. B min. Vilkårlig element med hovedplan som sider. AB og BC er hovedplan hvor = 0 Vi tar for oss element A-B-C. Vi setter arealplan AC = AB = cos og BC = sin Summerer så krefter i retning (kraft = spenning areal): F 0 maks cos sin sin maks min min sin cos 0 maks. A B C min. Figur 4.7 Element med hovedspenningene som sider. = maks når = 90 0 = 45 0 dvs. på plan 45 0 i forhold til hovedplanene. maks maks min maks 4 (fra og ) 0 Henning Johansen side

12 Figuren under viser elementet med retningen til noen hovedplan og hovedspenningene, min. og maks. samt plan med maksimal skjærspenning maks. min. maks. maks. () 45 0 Hovedplan maks. =0 min. Figur 4.8 Element med inntegnet element som viser hovedplan og hovedspenninger min. og maks.. Elementet viser også at maks. har en retning på 45 0 i forhold til disse. 0 Henning Johansen side

13 4.6 Mohr s spenningssirkel Dette er en grafisk løsning av ligningene, og. Ligning for maksimal skjærspenning tilsvarer radius i en sirkel. maks. maks. min. R R 4 R, R maks. Figur 4.9 maks. = R, C 4 A maks. R B min. D 4 maks. Figur 4.0 Mohr s spenningssirkel. 0 Henning Johansen side 3

14 METODE for løsning, hvordan tegne Mohr s spenningssirkel: Tegn først aksekors med på -aksen og på -aksen ) Hvis, og er kjent (vanligvis): - Avsett punkt A (, ) og B (, ) - Slå en sirkel med AB som diameter - Les av maks. (pkt. ) og min. (pkt. ) og maks. Mål vinkel eller ) Hvis maks.og min. er kjent: - Avsett maks og min. (pkt. og ) - Slå en sirkel gjennom pkt. og - Beregn. Tegn AB σ σ (,τ) A τmaks. τ τ R α α B (,τ) min. maks. Figur 4. Hvordan tegne Mohr s spenningssirkel. 0 Henning Johansen side 4

15 5 TVERRKONTRAKSJON VED STREKK OG TRYKK 5. Flat stav Vi tenker oss en strekkstav som utsettes for en last P eller spenning i vertikalplanet. b0 Vi definerer: Enhetsforlengelse l l l 0 l0 l0 b l0 l Tverrkontraksjon b b b b 0 b0 0 l P, Figur 5. Flat stav utsatt for vertikal last. For elastisk deformasjon gjelder at: b b0 l l 0 konst. hvor: = Poissons tall Tverrkontraksjon b b 0 E For elastiske materialer gjelder Hooke's lov hvor = /E. tan=e=/ (Hooke s lov) Figur 5. Spenning - forlengelse diagram for sirkulær prøvestav i bløtt stål. 0 Henning Johansen side 5

16 5. Kube med sider = Vi skal nå se på en kube med like sider lik som blir utsatt for en vertikal strekkbelastning. Kuben vil få forlengelse i vertikalretning og kontraksjon i sideretningene. V Vi definerer enhetsvolumøkning = V Figur 5.3 Kube med sider utsatt for vertikal strekkbelastning. Enhetsvolumøkningen: V V V V 0 V0 V V 0 0 V V 0 E Poissons tall = for noen materialer: V = 0,5 for gummi 0 V = /8 - / for betong V 0 for kork 0 V 0 = 0,3 for konstruksjonsstål = 0, for støpejern 0 Henning Johansen side 6

17 6 FORMENDRINGSARBEID En strekkstav utsettes for en last P som gradvis øker fra - P l0 l Arbeid W = Kraft vei P P P A W l l l l E E W V E P Δl Figur 6. Formendringsarbeid. Formendringsarbeidet pr. volumenhet, W/V W V E Formendringsarbeidet pr. volumenhet W/V tilsvarer arealet under spenning forlengelses kurven. W V E E Figur 6. Spenning - forlengelse diagram for sirkulær prøvestav i bløtt stål. 0 Henning Johansen side 7

18 7 BRUDDHYPOTESER En strekkprøvestav med enakset spenningstilstand gir et oversiktlig spenningsbilde. σ=f/ σ σf brudd τmaks.=σ/ 45 0 ε Figur 7. Prøvestav utsatt for strekkbelastning og strekkurve. Ved belastning til brudd vil: Sprø materialer som støpejern, glass, stein, betong vil få et slitebrudd som er grovkornet. Det blir ingen tverrkontraksjon. d0 Figur 7. Sprø materialer. Fullstendig seige materialer (teoretiske) Disse vil få glidebrudd i et plan hvor = maks (=45 0 ) 45 0 d0 Figur 7.3 Fullstendig seige materialer Seige materialer (som er det vi vanligvis bentter) som vanlige stål og aluminiumlegeringer vil få kombinert brudd. Bruddet vil inneha litt fra hver av de to bruddene over, bli finkornet og få tverrkontraksjon. d0 Figur 7.4 Seige materialer. 0 Henning Johansen side 8

19 En konstruksjonsdel er vanligvis påkjent av spenninger som opptrer samtidig i flere retninger (strekk, trkk, vridning, bøning, skjær) En flerakset spenningstilstand gir et uoversiktlig spenningsbilde hvor det er vanskelig å bestemme hvilke spenninger som fører til flting eller brudd. Vi forenkler og innfører JEVNFØRENDE SPENNING, j Spenningstilstanden omgjøres til en tenkt enakset normalspenning som påkjenner materialet like sterkt. j kan sammenlignes med materialets fltegrense F og bruddgrense B Det finnes flere forskjellige spenningshpoteser for å angi jevnførende spenning: HOVEDSPENNINGSHYPOTESEN Vi tenker oss at materialet ødelegges når maksimal hovedspenning når F eller B. maks. 4 Denne passer bra for sprø materialer, for eksempel støpejern SKJÆRSPENNINGSHYPOTESEN maks 4 Denne passer forholdsvis bra for seige materialer, f.eks. konstruksjonstål DEVIASJONSHYPOTESEN (formendringshpotesen) Denne sier at formendringsarbeidet p.g.a. skjærspenningene (deviasjonsarbeidet) må holdes under det arbeidet som tilføres en strekkprøvestav ved flting eller brudd og er definert som: j maks. min. maks. min. maks. og min. fra og maks. 4 min. 4 Innsatt for maks. og min gir: j 3 Denne er me brukt, for eksempel for stål og aluminiumlegeringer. 0 Henning Johansen side 9

20 8 KJERVVIRKNING I konstruksjonsdetaljer kan det forekomme flere tper spor, kjerver. Noen eksempler: plate med: rund stang med: hull rundkjerv avtrapping hull rundt spor avtrapping gjenger Figur 8. Eksempler på Kjerver. Vi bruker en rund stang som eksempel og ser først på nominell (teoretiske) spenning ved strekk, bøing og vridning: Nominell (teoretisk) spenning i bunn av kjerven: F 4F M nom nom A d W 3M 6M b b v v 3 nom 3 d Wp d hvor: F = strekkraft M b = bøemoment M v = vrimoment A = areal W = motstandsmoment om W p = polart motstands (horisontal) aksen moment (om origo) Figur 8. Nominelle spenninger. Den virkelige spenningsfordelingen i kjerven er vist i figuren under. Det er også angitt nominell- og maksimal spenning. Vi kan tenke oss at kraften i gjennom materialet fordeler seg som kraftlinjer og følger baner som om det var væskepartikler som strømmer gjennom et rør. Dette er illustrert i den øverste figuren under. Kraftlinjene representerer like stor kraft. Der hvor kraftlinjene ligger tett blir det mindre areal som skal ta opp kraften og spenningen (kraft/areal) blir dermed større. M Figur 8.3 Maksimale spenninger. 0 Henning Johansen side 0

21 Maksimal normalspenning i snittet: Maksimal skjærspenning i snittet: maks.= n maks. = n hvor: n og n = nominell spenning = formfaktor Formfaktor tar bare hensn til formen. Den er teoretisk og forutsetter at materialet er fullkomment elastisk. Antar at Hooke s lov gjelder fullt ut. Formfaktor bestemmes: A) Teoretisk - f.eks. elementanalser (Finite Elements, FEM) B) Eksperimentelt - tøningsmålinger - fotoelastiske målinger Eksempel. Fotoelastisk måling i bøebelastet aksel med avtrapping. En spenningsopptisk modell er laget i et spesielt plastmateriale som blir belst med polarisert ls. Kraftlinjene fremkommer som fargede isokromlinjer (her vist i svart/hvitt) i materialet. De forskjellige farger og tettheten av linjene forteller om spenningenes størrelse. Figur 8.4 Spenningsoptisk (linjene har farger i virkeligheten). Langs en isokromlinje: - = konstant n hvor: n = isokromlinjens ordningstall Ved kanten (P og Q) gjelder: = 0 Hovedspenningen er proporsjonal med n i punkt Q : n konstant 6,4 (fra fig.) i punkt P : n konstant 9 9,4 6,4 0 Henning Johansen side

22 Eksempler på formfaktor ved ulike belastninger av aksling med avtrapping: Figur 8.5 Eksempler på formfaktorer. Formfaktoren bestemmes ved å regne ut forholdet store diameter / lille diameter = D/d og forholdet kjervradius / lille diameter = ρ/d. Formfaktor avleses på vertikalaksen. 0 Henning Johansen side

23 Formfaktor tar bare hensn til den tre formen og benttes ved beregning av statisk belastede konstruksjoner. Ved beregning av utmattingspåkjente konstruksjoner, hvor belastningen varierer med tiden, innfører vi en kjervfaktor som også tar hensn til materialet med evt. innvendige kjerver. Maksimal spenning: maks.= n hvor: = kjervfaktor n = nominell spenning Kjervfaktor: = + (-) hvor: = kjervfølsomhetsfaktor. Denne er materialavhengig. Bestemmelse av kjervfølsomhetsfaktor : - Etter ligningen: (Neuber, Kuhn) A hvor: A = materialkonstant, elementradius, som bestemmes av materialets bruddfasthet, σb. (Se figuren under) = kjervradius - Eller etter diagrammet: Figur 8.6 Kjervfølsomhetsfaktor,. - Eller etter tabell: Materiale Anmerkning seige materialer 0 lokal flting i materialet grått støpejern 0 inneholder grafittflak som gir indre kjerver tre kjerver gir liten virkning herdet og anløpt stål 0,5 herdet stål uten anløping 0,5 fjærstål, herdet,0 Tabell 8. Kjervfølsomhetsfaktorer. 0 Henning Johansen side 3

24 9 MATERIALENES FASTHETSEGENSKAPER 9. Statisk belastning De fleste materialprøver er utført som statiske prøver: - med langsomt økende last - ved konstant temperatur (0 0 C) - i et normalt inne miljø - over et kort tidsintervall I en virkelig konstruksjonsdel arbeider materialene vanligvis under helt andre forhold: - med varierende belastning - ved lave og / eller høe temperaturer - i et fuktig / kstmiljø - etc. Tabellen under viser noen materialegenskaper for noen materialer ved statisk belastning. Materialtpgrense Flte- Strekkfasthet Forlengelse E-modul Hardhet Kommentarer (N/mm ) (N/mm ) (%) (N/mm ) (HB) S Varmvalset S konstruksjonsstål, S sveisbart NiMo Seigherdingsstål, seigherdet Cr-Ni-stål Rustfritt stål, rør, plater SjG ,4-0, Grått støpejern, maskin- og motorgods Tabell 9. Mekaniske egenskaper. 0 Henning Johansen side 4

25 9. Dnamisk belastning En konstruksjonsdel utsatt for varierende belastning, utsettes for varierende spenninger. Varierende spenninger over lang tid kan gi utmattingsbrudd ved lavere spenninger enn ved samme tilfelle i statisk belastning. Utmattingsfastheten er lavere enn den statiske fastheten målt ved vanlig materialprøving. a) tannhjul b) aksel Figur 9. Tpiske utmattingsbrudd. Utmattingsbruddet (se akselbrudd i figur) brer seg i konsentriske sirkler over tid, og er derfor utsatt for korrosjon. Restbruddet er plastisk uten korrosjonsangrep. Figuren under viser tpiske måter å utføre utmattingstesting: - b b =0 + b Figur 9. Utmattingstesting. a) roterende bøing som viser spenningsvariasjonen over prøvestavens tverrsnitt b) roterende bøing i slindrisk prøvestav c) varierende aksiell strekk eller trkk. 0 Henning Johansen side 5

26 Figuren under viser spenningsvariasjoner ved utmattingsprøving, for eksempel prøvestav utsatt for varierende strekk / trkk: a N a = smmetrisk vekslende, maks = min b = utsvingende strekk, min = 0, m = ½ maks c = pulserende strekk d = utsvingende trkk, maks = 0, m = ½ min e = pulserende trkk Figur 9.3 Spenningsvariasjoner. 9.. Utmattingsdiagram Eksempel for Al-legering 04 T36 Legering: Al + 4,5% Cu,,5% Mg og 0,6% Mn Tilstand: Varmutherdet og hardbearbeidet Fasthetsverdier: b = 530N/mm og 0, = 385N/mm Testresultater overført til utmattingsdiagram, Wöhler diagram: Figur 9.4 Wöhler- / utmattingsdiagrammer. Kurvene flater ut ved 0 7 lastveksler som tilsvarer utmattingsgrensen ved de forskjellige m. 0 Henning Johansen side 6

27 Verdiene ved N=0 7 lastveksler overføres fra Wöhler diagrammet til Smith diagram: Figur 9.5 Konstruksjon av et Smith diagram. Tegn aksekors med σm og σma/σmin akse og tegn strek-punkt linje i 45 0 igjennom origo. Avsett på denne linjen σm og avsett så σma og σmin. Figur 9.6 Smith diagram med inntegnet linje igjennom σma og σmin som er ferdig avsluttet ved materialets fltegrense, σ0,. 0 Henning Johansen side 7

28 Forenklet utmattings- (Smith-) diagram For de ulike belastningstilfellene, strekk/trkk, bøing og vridning må vi for gjeldende materiale ha oppgitt følgende: - utmattingsgrense ved smmetrisk vekslende belastning, u - utmattingsgrense ved utsvingende strekk, up - fltegrense, s (=F) Forholdet min maks u up s (= F) m = 0, a = u, = - min = 0, m = a = /up, =0 maks = s (= F) Figur 9.7 Forenklet utmattingsdiagram. 0 Henning Johansen side 8

29 Amplitudens, a, variasjon med negative midtspenninger (eksempler): bløtt stål stål og andre metaller støpejern a som for positive m a konstant eller øker negativt a øker kraftig Figur 9.8 Amplitudens, a, variasjon med negative midtspenninger. Figuren under viser utmattingsdiagram for ulike tper belastning: Figur 9.9 Utmattingsdiagram for ulike tper belastning for et vanlig konstruksjonsstål. Belastning Statisk Utmattingsgrense (N/mm ) fltegrense (σf) (N/mm ) smmetrisk vekslende = - utsvingende = 0 strekk / trkk s = 70 u = 80 up = 6060 bøning sb = 360 ub = 40 ubp = 00 vridning sv = 90 uv = 40 uvp = 4040 Tabell 9. Utmattingsdata. 0 Henning Johansen side 9

30 I eksemplet for et vanlig konstruksjonsstål ser vi at ub = 40 og u = 80, altså er ub > u. Den statiske teorien sier at et mindre volum er utsatt for b maks enn for maks. Figur 9.0 Utmattingsgrense ved vekslende bøing og vekslende strekk / trkk. 9.. Anvendelse av utmattingsdiagram Når vi skal anvende utmattingsdiagrammet for vårt spesielle tilfelle, må vi tilpasse det etter den konstruksjonsdetaljen vi skal vurdere på utmatting. Vi må huske at alle utmattingsdata er basert på testing av standardiserte prøvestaver (ofte med diameter ø0) som er teste på en bestemt måte i et bestemt miljø. For å kunne tilpasse utmattingsdiagrammet til vårt tilfelle, må vi bentte flere faktorer som vi bentter for å redusere utmattingsdiagrammet. Effekten av volum- og overflate Utmatting prøve Konstruk. detalj Prøvestav Ø0 Prøvestav ØD Figur 9. Utmattingsdiagram prøvestav og virkelig konstruksjonsdetalj. 0 Henning Johansen side 30

31 ad Dimensjonsfaktor, d a0 hvor: = Geometrisk dimensjonsfaktor: - spenningen () avtar langsommere i overflatesjiktet - større volum inneholder flere svakhetstilfeller lavere utmattingsfasthet Figur 9. λ = Teknologiskisk dimensjonsfaktor: Nedsmiing, valsereduksjon, mm. forbedrer fasthetsegenskapene Figur 9.3 Geometrisk dim.faktor Teknologiskisk dim.faktor = Dimensjonsfaktor d = Figur 9.4 Dimensjonsfaktor. (D* = valsediameter) Overflatefaktor, Utmattingsfastheten reduseres ved økende overflate- finhet/ruhet (H). Prøvestav: Overflatefaktor: a( rå flate) a( polert flate) Figur 9.5 Overflatefaktor. 0 Henning Johansen side 3

32 Eksempel. Konstruksjonsdetalj utsatt for varierende bøebelastning. Utmattingsdiagram for bøing (for prøvestav): Stål med fltegrense σf = σsb = 60N/mm utsatt for bøing Figur 9.6 Smith diagram for bøebelastning av stål 3-00 (prøvestaver). 0 Henning Johansen side 3

33 Utmattingsdiagrammet må tilpasses virkelig konstruksjonsdetalj med diameter D, overflatefinhet H, etc. Vi må derfor redusere spenningsamplituden σa: eller a a redusert d hvor: d = Dimensjonsfaktor = Overflatefaktor a a redusert = Geometrisk dimensjonsfaktor = Teknologiskisk dimensjonsfaktor Stål, fltegrense σf = σsb = 60N/mm, bøing Figur 9.7 Redusert Smith diagram (redusert σa) for virkelig konstruksjonsdetalj med diameter D. 0 Henning Johansen side 33

34 Vi må så bestemme opptredende (virkelig) spenning i det aktuelle tilfellet: Nominell (teoretisk) spenning: hvor: σm = Midlere spenning σa = Amplitudespenning m Vi tenker oss at middelspenningen σm står stille og at amplituden σa er den utmattende belastningen. Opptredende (virkelig) spenning: m a a a m hvor: = Formfaktor som bare tar hensn til konstruktiv utforming (v/statisk belastning) = Kjervfaktor som også tar hensn til materialet (v/dnamisk belastning) = Kjervfølsomhetsfaktor m m Stål, fltegrense σf = σsb = 60N/mm, bøing Figur 9.8 Opptredende spenning σ = σm ± σa inntegnet i redusert Smith diagram. 0 Henning Johansen side 34

35 9..3 Sikkerhetsfaktor n Vi kan bentte 3 forskjellige sikkerhetsfaktorer, som angir sikkerhet med hensn på: - Sikkerhetsfaktor amplitude na na = største amplitude σa / virkelig amplitude σa ved virkelig middelspenning σm (m= konst.) - Sikkerhetsfaktor middelspenning nm nm = største middelspenning σm med virkelig ampl. σa / virkelig middelspenning σm (a= konst.) - Sikkerhetsfaktor amplitude og middelpenning nam nam = største amplitude σa ved beste kombinasjon σa og σm / virkelig amplitude σa ved virkelig middelspenning σm (min / maks = konst.) Figuren under viser hvordan vi finner spenningene i Smith Diagrammet. Sikkerhet med hensn på: Amplitude, na Middelspenning, nm Amplitude og (m= konst.) (a= konst.) midtspenning, nam ( = min/maks = konst.) redusert utmattingsdiagram m m redusert utmattingsdiagram m m Figur 9.9 Hvordan finne spenninger for å beregne sikkerhetsfaktorer. 0 Henning Johansen side 35

36 0 REFERANSER Dahlvig, Christensen, Strømsnes (99). Konstruksjonselementer. Yrkesopplæring ans. ISBN Sverre E. Kindem (99). Mekanikk. Statikk og fasthetslære. Yrkesopplæring ans. ISBN G H Rder (97). Strength Of Materials. Macmillan. SBN A. Almar Næss (993). Metalliske materialer. Tapir. ISBN Henning Johansen (989). Konstruktiv utforming av sveiste konstruksjoner. Teknologisk Institutt 6 Peter Köves. Utmatting. 0 Henning Johansen side 36