Introduksjon Regulær bølgeteori

Introduksjon Regulær bølgeteori Beskrive / matematisk modell for en regulær bølge basert på lineær bølgeteori. Lineær bølgeteori: proporsjonalitet i bølgehøyde/bølge amplitude Senere > irregulær bølgeteori Irregulær (virkelig) sjø Regulær sjø 1

MarinLab - Bølgegenerator 2

https://www.youtube.com/watch?v=nshubfjqehk 3

Regulære bølger «observasjoner» Overflateheving varierer i tid t(s) og rom x(m) Vannpartiklene beveger seg i lukkete baner (forblir i samme posisjon) Bevegelsen avtar med dypet Dypt nok bevegelsen dør ut Ikke dypt nok bevegelsen flater ut og -> horisontalbevegelse ved bunn. Partikkelbevegelse i lukkete baner -> ingen massetransport Vi har en bølgeforplantning/bevegelse -> energitransport Ikke brytende bølger -> S max = H/λ < 1/7, hvor H=2ξ a Antar lave bølger, ξ a << λ pga lineærbølgeteori, dvs at vi har proporsjonalitet i bølgehøyde i størrelsene vi skal se på. 4

MAS 116 Hydrodynamikk Introduksjon Tema 1 & 2: Lineær bølgeteori & Bølgekrefter Slanke konstruksjoner, λ/d høy Storvolum konstruksjoner λ/d lav https://www.youtube.com/watch?v=5lrh1jilfwm https://www.youtube.com/watch?v=lfabqmzj9sc 5

MAS 116 Hydrodynamikk Storvolum vs. Slanke konstruksjoner Storvolumkonstruksjon Slanke konstruksjoner 6

MAS 116 Hydrodynamikk Storvolum vs. Slanke konstruksjoner MAS121 Marinteknisk Analyse (valgfag H19) Storvolumkonstruksjon Slanke konstruksjoner 7

MAS 116 Hydrodynamikk Spesielle effekter over stillevannsnivå 8

Regulære bølger «observasjoner» Overflateheving varierer i tid t(s) og rom x(m) Vannpartiklene beveger seg i lukkete baner (forblir i samme posisjon) Bevegelsen avtar med dypet Dypt nok bevegelsen dør ut Ikke dypt nok bevegelsen flater ut og -> horisontalbevegelse ved bunn. Partikkelbevegelse i lukkete baner -> ingen massetransport Vi har en bølgeforplantning/bevegelse -> energitransport Ikke brytende bølger -> S max = H/λ < 1/7, hvor H=2ξ a Antar lave bølger, ξ a << λ pga lineærbølgeteori, dvs at vi har proporsjonalitet i bølgehøyde i størrelsene vi skal se på. 9

1. Kontinuitetsligningen Litteratur - Canvas: Havbruksteknologi Tillegg A; lineær bølgeteori z x 10

2. Hvirvelfri strøm Hastighetskomponent w 0 Hastighetskomponent u 0 11

Potensialfunksjoner eksempel terrengkart 12

Hastighetspotensialet Ф avledete størrelser (om vi har et uttrykk for Ф) 13

Hyperbel funksjoner y=x y=1 eller: 14

Partikkelbaner variasjon i tid og rom Variasjon i rom Variasjon i tid 15

2-dimenjonale bølger - Definisjoner 16

Hastighetspotensialet Ø så langt: og i tillegg: 20

Hastighetspotensialet - Ø Fra dynamisk betingelse ved overflaten (3) løsning: Grensebetingelsen på bunnen krav 2): Der overflatehevingen er gitt ved : Bernoulli gir (3): Kinematisk betingelse (4): Dispersjonsrelasjonen 21

Dypt vann Bruker uttrykkene for hyperbelfunksjonene: -> 1 for store kh = 1,56 * T 2 22

Hastighetspotensialet Ф avledete størrelser (om vi har et uttrykk for Ф) 23

Formler - hittil: 24

Variasjon i størrelser av interesse Overflateheving ζ: cos( * ) Dynamisk trykk p d : cos( * ) Horr. part. hast. u: cos( * ) Vert. part. hast. w: sin( * ) Horr. part. aks. a x : sin( * ) Vert. part. aks. a z : -cos( * ) 25

Hastighetspotensialet - Ø Overflatehevingen gitt av (regulær bølge): ζ a Har vist at hastighetspotensialet Ø er gitt av: Og dispersjonsrelasjonen: Dypt vann, h-> stor, har vi tilsvarende: 27

Formler - hittil: 28

Variasjon i størrelser av interesse Overflateheving ζ: cos( * ) Dynamisk trykk p d : Horr. part. hast. u: Vert. part. hast. w: cos( * ) cos( * ) sin( * ) Horisontal partikkelbevegelse positiv under bølgetopp, dvs partiklene i en bølgetopp beveger seg i samme retning som bølgens forplantningshastighet. Max. horisontal partikkelhastighet under bølgetopp / bølgedal Horr. part. aks. a x : sin( * ) Vert. part. aks. a z : -cos( * ) 30

Variasjon i størrelser av interesse Overflateheving ζ: cos( * ) Dynamisk trykk p d : Horr. part. hast. u: Vert. part. hast. w: cos( * ) cos( * ) sin( * ) Horisontal partikkelbevegelse positiv under bølgetopp, dvs vannpartiklene i en bølgetopp beveger seg i samme retning som bølgens forplantningshastighet. Max. horisontal partikkelhastighet under bølgetopp / bølgedal Horr. part. aks. a x : sin( * ) Max. horisontal partikkelakselerasjon opptrer når bølgen er i stillevannsnivå Vert. part. aks. a z : -cos( * ) 31

Partikkelbevegelsen b a 32

Vannpartiklenes baner z r = ζ a e kz Og: k=2π/λ λ-> liten x Lange bølger (λ-> stor) merkes dypere enn kortere bølger (λ-> stor) Når z -> λ/2 går r -> 0 λ-> stor 33

Partikkelbevegelsen Frem og tilbake langs bunnen Ellipse Sirkler 34

Partikkelbaner lukkete baner (sirkler ellipse) Dypvannsbølge Endelig vanndyp ζ ζ a h λ/2 λ h h > 0,5λ 0,05λ < h < 0,5λ 35

Hastighetspotensialet Ф avledete størrelser (om har vi har et uttrykk for Ф) 36

Øving 1 37

Eksempel 1 og 2 38

Formler - hittil: Lineær bølgeteori -> Proporsjonalitet i ζ a 40

Variasjon i størrelser av interesse - observasjoner Horisontal partikkelbevegelse positiv under bølgetopp dvs partiklene i en bølgetopp beveger seg i samme retning som bølgens forplantningshastighet. Max. horisontal partikkelhastighet under bølgetopp / bølgedal Max. horisontal partikkelakselerasjon opptrer når bølgen er i stillevannsnivå 42

Partikkelbaner lukkete baner (sirkler ellipse) Dypvannsbølge Endelig vanndyp ζ ζ a h λ/2 λ h h > 0,5λ 0,05λ < h < 0,5λ 44

Eksempel 1 og 2 45

Eksempel 1 46

Eksempel 1 og 2 47

Eksempel 2 Matlab løsning 3.5 ; 2.5 ; 2,5m antar 48

Trykket under dypvannsbølger Eulers trykkligning: Lave bølger Dynamisk trykk Statisk trykk Statisk trykk 53

Gruppehastighet Overlagrer to bølger med nesten samme bølgetall og sirkelfrekvens. 54

Formler - hittil: Lineær Bølgeteori proporsjonalitet med ξ a 55

4 Overflate Midtdyp ~ Bunn Vanndyp 57

Trykk i uforstyrret bølge T=15s x x x 59

Trykk i uforstyrret bølge T=15s x x x 60

Energitranport i bølger Euler Bølgeenergien vandrer med gruppehastigheten Dynamiske trykket Energistrøm gjennom veggen 61

Eksempel 7 Lekter. Bøyemoment som følge av dynamisk trykk En kasseformet lekter har lengde L=100m, bredde B=25m og dypgang d=5m. Lekteren ligger i en sinusbølge med bølgehøyde H=8m og bølgelengde lik lekterens lengde. Bergen bøyemomentet midtskips fra det dynamisk trykket Løs eksakt og vha numerisk integrasjon (Simpson & MATLAB) Bølge H: 8m Lekter Bredde B: 25m Lekter Lengde L: 100m Lekter dypgang d: 5m Bølgelengde λ = L L 65

Bølgekrefter T=15s 66

Bølgekrefter T=15s 67

Bølgekrefter Froude-Kriloff trykket: d Bølgehevning: Velger 2 tidspunkt, t=0 og t=t/4=3.75s Totale trykket: Hvor p 0 er atmosfæretrykket 68

Airy - Lineær teori 69

Extrapolated Stretched (Wheeler) 70

Lineær bølgeteori - gyldighet H/gT 2 Vanndyp: 17-22m Diameter i vannsøylen: 4-5m Tårn 60m, totalhøyde 80m Pelet 23-37m ned i grunnen Utmatting en hovedutfordring.

Eksempel 7 - løsning 72

Drag- og Massekraft dominans Antar konstant C M og C D i dyp Hhv 2.0 og 1.0 73

Morisons Ligning u a x Viskøs kraft hvor u= I tillegg får vi trykkrefter: df D = Totalkraften: D 74

Viskøse krefter - Lift og Drag Integrert over hele foil overflaten: Trykk og skjær bidrar til Lift og Drag 75

Viskøse krefter - Lift og Drag Plate kun trykk bidrar til Drag Integrasjon over platens overflate hvor θ = 0 og π for hhv fremside og bakside 76

Morisons ligning 77

Eksempel 8 Morisons ligning Beregning av krefter på en vertikal pel: Beregne og besvar følgende: a) Amplitudene for akselerasjon og hastighet på aktuelt punkt på pelen b) Amplitudene for drag krafta og volumkrafta c) Tegn opp tidsfunksjonene, og bestem største totale kraft 78

Drag- og Massekraft dominans 79

Hydrodynamisk Last /1/ Morisons Ligning grunt vann H/gT 2 Vanndyp: 17-22m Diameter i vannsøylen: 4-5m Tårn 60m, totalhøyde 80m Pelet 23-37m ned i grunnen Utmatting en hovedutfordring.

Eksempel krefter på en pel. H/D og L/D? 81

Eksempel 1 Enkel søyle /3/ Gjelder Morisons ligning? L/D=50 (>5) H/D=3 (<10) Z(m) u(z,t) a(z,t) 0 3,14 1,97-2 2,90 1,81-4 2,68 1,68-6 2,47 1,55-8 2,28 1,43-10 2,10 1,32-12 1,94 1,22

Eksempel 2 teoretisk beregning av en jacket. Kansellering & Drag bidrag /5/