BERGEN RP_30874_PR_01 - Verifikasjon av landbasert minikraftverk. Rev. : Straumekraft. Verifikasjon av landbasert minikraftverk

Transkript

1 BERGEN Dok.nr: Rev. : RP_3874_PR_ - D Kunde: Utarbeidet av: Øyvind Torvanger

2

3 Prosjekt: 3874 Revisjonsstatus Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 3 av 9 Revisjonsstatus Oversikten viser hvilke kapitler dokumentet består av, hvilke endringer som er gjort siden forrige revisjon, gjeldende revisjon og tilhørende utgivelsesdato. Kap. nr./side. nr. Endring Revisjon Dato Total Første formelle utgave A..8 Total Svinghjul fjernet og sentrifugalkobling endret. Dokumentet gir ikke fullstendige resultater. B..8 Total Resultater for.5 m bølgeamplitude er fullstendige. Tabell 7 og 8 er rettet opp. C 3..8 Total Fullstendige resultater D 9..9

4 Prosjekt: 3874 Innhold Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 4 av 9 Innhold : Innledning...5. Bakgrunn...5. Hensikt Om Prototech...5 : Sammendrag...6 3: Referansedokumenter...7 4: Beskrivelse av bølgekraftverket...8 5: Beskrivelse av bølger... 6: Matematisk modell Frihetsgrader og elementer Flytelegemets vertikale bevegelse Strålingskrefter på grunn av flytelegemets akselerasjon Strålingskrefter på grunn av flytelegemets hastighet Oppdrift og tyngdekraft Bølgekrefter Demper og vaier mellom flytelegeme og bunnfeste Vaier med kjedelinje mellom bunnfeste og vinsj Vinsj Fjærende kobling mellom vinsj og gir Girsystem, frikrans, sentrifugalkobling og pumpe Hydraulikk med akkumulator, pumpe og turbin Flytelegemets horisontale bevegelse Oppbygging av matriser Numerisk integrasjon av ikke-lineær modell Eksempler på resultater Tapsledd analyse Optimalisering mot en gitt bølge Resultater fra numerisk integrasjon...5 7: Scatterdiagram Statistisk beskrivelse av bølger - bølgespekter Effektdiagram for bølger Scatterdiagram Effektdiagram for bølgekraftverket Scatterdiagram for bølgekraftverket : Diskusjon Sentrifugalkobling Muligheter for økning av effektopptak Feilkilder : Figur- og tabelliste...67 Appendix A: Eksempel på beregning...68

5 Prosjekt: 3874 Innledning Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 5 av 9 : Innledning. Bakgrunn har utviklet ideer for et landbasert bølgekraftverk basert på bøye prinsippet. Dette dokument bygger videre på revisjon A av samme dokument. Dette dokument gir kun utdrag av resultater, og en mer komplett revisjon er planlagt.. Hensikt Prototech vil i denne rapporten undersøke: Bølgekraftverkets evne til å konvertere bølgeenergi til elektrisk energi. Hvilke krefter som opptrer ved ekstrembølger. Dette gjøres ved klassiske analyser. Fordelen med slike analyser er at det er enkelt å variere mange av de geometriske forutsetningene. Bruk av klassisk analyse er derfor egnet for å se på effekt av ulike forutsetninger for dermed å kunne optimalisere utforming av anlegget. Beregningene er bygget opp som følger: De fysiske sammenhenger settes opp. Matematisk modell for beregning av konvertering av bølgeenergi til elektrisk energi etableres. Dette er en masse-demping-stivhet-last modell med flere frihetsgrader. Modellen løses ved numerisk integrasjon for å kunne ta hensyn til ikke-lineære egenskaper. Dette gjøres for enkeltbølger. Resultatene av beregningene presenteres i form av kurver og tabeller. Basert på disse resultatene etableres transferfunksjoner som beskriver sammenheng mellom elektrisk effekt og bølgeperiode og bølgehøyde Disse transferfunksjonene brukes for å fastsette elektrisk effekt ved hver enkelt sjøtilstand i et scatterdiagram. Ved å benytte scatterdiagram for målte bølgeforhold kan vi til slutt beregne årsproduksjonen av elektrisk energi..3 Om Prototech Prototech AS er et heleid datterselskap av CMR (Christian Michelsens Research). CMR er igjen eiet 85% av UiB (Universitetet i Bergen) og driver med uavhengig forskning for industriell utvikling. Dette betyr at både CMR og Prototech er uavhengig i vår forsknings- og utviklingsaktiviteter og kan derfor ha flere kunder innenfor samme marked og teknologiområde. Prototech har i dag stor aktivitet innenfor både romfart, offshore, energi og industri. Prototech har i flere prosjekter vært FoU (Forskning & Utvikling) bedrift gjennom skattefunn ordningen og forskningsrådets TEFT program (Teknologiformidling fra forskningsinstitutter til små og mellomstore bedrifter).

6 Prosjekt: 3874 Sammendrag Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 6 av 9 : Sammendrag har utviklet ideer for et landbasert bølgekraftverk basert på bøyeprinsippet. Dette dokument bygger videre på revisjon A av samme dokument. Endringene som er gjort er først og fremst at et svinghjul er fjernet fra systemet, samt at sentrifugalkoblingen er modellert slik at den slurer når momentkapasiteten overskrides. Momentkapasiteten blir lavere ved høyere omdreiningstall. I revisjon A var sentrifugalkoblingen modellert slik at den sluret ved et visst turtall, uavhengig av belastning. Prototech har i denne forstudien undersøkt: Bølgekraftverkets evne til å konvertere bølgeenergi til elektrisk energi. Hvilke krefter som opptrer ved ekstrembølger. Dette er gjort ved klassisk analyse. Disse analysene gir er diagram som viser bølgekraftverkets effektproduksjon avhengig av sjøtilstand, som vist i tabell nedenfor. Dersom man har tilgjengelig et scatterdiagram som viser hvor ofte ulike sjøtilstander opptrer ved en gitt lokasjon, kan dette diagrammet brukes til å beregne årlig energiproduksjon ved denne lokasjonen. Celler markert med rødt er vindgenererte sjøtilstander. Disse opptrer sjelden eller aldri. Celler markert med blått er fullt utviklede sjøtilstander. Fra-til T z H s T z H s Tabell Effektdiagram som viser bølgekraftverkets beregnede effekt [kw].

7 Prosjekt: 3874 Referansedokumenter Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 7 av 9 3: Referansedokumenter Følgende dokumenter er referert: [R] Essentials of Engineering Fluid Mechanics, 4. ed., 98. [R] UK-88-3 Marin Hydrodynamikk, Institutt for Marin Hydrodynamikk, Marinteknisk Avd., NTH. [R3] UK-89-8 Havmiljøbeskrivelse, Institutt for Marin Hydrodynamikk, Marinteknisk Avd., NTH. [R4] Svingning av Konstruksjoner,. utgave, Tapir Forlag 986. [R5] Energistyrelsen, J.no 59/97-4, juni 999. Kortlægning af bølgeenergiforhold i den danske del af Nordsøen. [R6] Introduction to Thermodynamics, Classical and Statistical,. ed, John Wiley & Sons, 98. [R7] Runde Miljøsenter, Potensiale for havenergiproduksjon i Møre og Romsdal Web:

8 Prosjekt: 3874 Beskrivelse av bølgekraftverket Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 8 av 9 4: Beskrivelse av bølgekraftverket Bølgekraftverket består av et flytelegeme som blir eksitert av både vertikale og horisontale bølgekrefter. Flytelegemet er forankret i en vaier, som via en trinse festet i bunnen, er festet i en vinsj på land, se Figur 4-. I vaierens feste til flytelegemet er det lagt inn en fleksibel kobling for å redusere effekten av rykk i vaieren. Vinsjen driver et girsystem som driver en hydraulikkpumpe. Hydraulikkoljen driver en hydraulisk motor som driver en elektrisk generator. Mellom pumpen og motoren er det en akkumulator som sørger for at motorens trykk jevnes ut. Når flytelegemet beveger seg nedover reverseres hydraulikkstrømningen gjennom pumpen slik at den fungerer som en motor og sørger for å stramme vaieren. Ved hjelp av en frikrans i girsystemet blir utvekslingen forskjellig avhengig av rotasjonsretningen. Dermed blir netto hydraulikkstrøm positiv. For at ikke pumpen skal overbelastes er det montert en sentrifugal-kobling i girsystemet. I tillegg er det også lagt inn en fleksibel kobling mellom vinsj og girsystem. Dette systemet er vist i Figur 4-. Figur 4- Flytelegeme med trinse på bunnfeste, koblet til vinsj

9 Prosjekt: 3874 Beskrivelse av bølgekraftverket Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 9 av 9 Vinsj Vaier Fjærende kobling Gir Gir Frikrans Sentrifugalkobling Motor Akkumulator Frikrans Gir 3 Generator Pumpe Figur 4- Hydraulisk skjema

10 Prosjekt: 3874 Beskrivelse av bølgekraftverket Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: av 9 Det er tatt utgangspunkt i følgende hovedforutsetninger: Diameter flytelegeme: Ø5. m Dybde: 3 m Avstand fra land 5 m Vinsjens høyde over havet m Vaierens diameter Ø mm Vinsj diameter Ø4 mm Kritisk omdreiningstall på pumpe 45 rpm Mekanisk virkningsgrad på pumpe 95% Trykket hvor tilførsel til motor stenges 6 bar (beregnet for å sørge for tilstrekkelig stram vaier) Akkumulatorens ladetrykk 45 bar Generator Motstand optimaliseres for hver bølgetilstand. Opp til 3 kw/(liter/s). Deplasement i turbin cm 3 Virkningsgrad i pumpe og generator 9% Tetthet i sjøvann 3 kg/m 3 Høyde på flytelegeme.5 m Følgende forutsetninger er størrelser som er optimalisert ut fra en designbølge med amplitude. m og bølgeperiode 6 sekunder. Denne designbølgen har samme energi som en sjøtilstand med signifikant bølgehøyde H s lik 3 m og nullkrysningsperiode på 6 sekunder. Girutveksling ved positiv rotasjon. Girutveksling ved negativ rotasjon 3. Deplasement i pumpe 5 cm 3 Volum i akkumulator liter

11 Prosjekt: 3874 Beskrivelse av bølger Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: av 9 5: Beskrivelse av bølger I dette kapittel vil vi beskrive bølger beskrevet av Stokes. ordens bølgeteori [R og R3]. Som eksempel bruker vi en bølgeamplitude på. m og bølgeperiode på 6 sekunder. De viktigste parametre er gitt nedenfor. Sjøvannets tetthet ρ := 3 kg m 3 Tyngdens akselerasjon g = 9.8 m s Dybde på lokasjonen h := 3m Bølgeperiode T = 6s Sirkelfrekvens Bølgetall (dypt vann tilnærming) π ω := T ω k := k =.8 g m Bølgetall ved grunt vann Given ω kg tanh( kh) k := Find( k) k =. m Bølgelengde ved grunt vann π λ := λ = 56.53m k Bølgeamplitude ζ a =.m Bølgeeffekt (dypt vann tilnærming) ρg T E := ζ 4 π a E = kw m For å ta hensyn til flytelegemets utstrekning, bruker vi middelverdiene over flytelegemets vannlinjeareal. Alle størrelser (bølgebevegelse, -hastighet, -akselerasjon og -trykk) blir redusert med en faktor beregnet ved: Flytelegemets diameter D = 5.m D Rms verdien av bølgehøyden over flytelegemets diameteter er gitt av cos ( kx) dx = 97 % D D D For å ta hensyn til flytelegemets geometri integrereres f red cos ( kx) D := x dx = 98 % denne over flytelegemets areal π 4 D D Bølgestørrelser blir multiplisert med denne faktoren for å få effektive bølgestørrelser.

12 Prosjekt: 3874 Beskrivelse av bølger Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: av 9 Stokes. ordens bølgeteori er en ganske enkel bølgeteori, der bølgen beskrives som en harmonisk funksjon, der alle grensebetingelser er tilfredstilt ved den midlere overflate. En høyere ordens Stokes bølgeteori ville beskrevet bølger med tendens til topping, og med grensebetingelser tilfredstilt ved den frie overflate. En slik teori ville imidlertid også gi en netto massetransport, og er derfor ikke brukbar nær land, og er også ganske kompliserende. Stokes bølgeteorier gjelder strengt tatt ikke for dybder mindre enn bølgelengde /. En bedre bølgeteori for grunt vann er cnoidale bølger med uendelig bølgelengde (enkeltbølger). Men en slik teori er vanskelig å benytte ved praktiske beregninger på grunn av den uendelige bølgelengden (og bølgeperiode). Egenskapene til en Stokes bølge kan entydig beskrives ut i fra bølgepotensialet gitt ved gζ a cosh [ k( h z) ] φ ( xz,, t) sin( kx ωt) ω cosh ( kh) hvor g er tyngdens akselerasjon ξ a er bølgens amplitude ω er bølgens sirkelfrekvens, ω = π / bølgeperiode k er bølgetallet, k = π / bølgelengde h er dybden z er vertikal akse (positiv nedover) x er horisontal akse (positiv i bølgens bevegelses retning) t er tid Neste side viser hvordan de ulike størrelser beregnes.

13 Prosjekt: 3874 Beskrivelse av bølger Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 3 av 9 Stokes. ordens bølgeteori: Bølgen kan beskrives av hastighetspotensialet φ ( xz,, t) gζ a cosh [ k( h z) ] sin( kx ωt) ω cosh ( kh) "z" er positiv nedover, "x" er positiv i bølgens bevegelsesretning, "?z" er positiv nedover Partikkelbane i horisontal retning i forhold til middelposisjon d dx φ dt gζ a k cosh [ k( h z) ] ζ x ( xz,, t) := f red ω sin( kx ωt) cosh ( kh) Partikkelbane i vertikal retning i forhold til middelposisjon Hastighet i horisontal retning Hastighet i vertikal retning Akselerasjon i horisontal retning Akselerasjon i vertikal retning d dx φ d dz φ d dz φ d d dtdx φ d d dtdz φ dt gζ a k sinh [ k( h z) ] ζ z ( xz,, t) := f red ω cos ( kx ωt) cosh ( kh) gζ a k cosh [ k( h z) ] v x ( xz,, t) := f red cos ( kx ωt) ω cosh ( kh) gζ a k sinh [ k( h z) ] v z ( xz,, t) := f red sin( kx ωt) ω cosh ( kh) cosh [ k( h z) ] a x ( xz,, t) := f red gζ a k sin( kx ωt) cosh ( kh) sinh [ k( h z) ] a z ( xz,, t) := f red gζ a k cos ( kx ωt) cosh ( kh) Dynamisk trykk d ρ φ d t cosh [ k( h z) ] pxz (,, t) := f red ρgζ a cos ( kx ωt) cosh ( kh) Bølgehastighet ω k C w := gtanh ( kh) k Gruppehastighet (energitransport hastighet) d dk ω C w C G := + k h sinh ( kh) λ h Kinetisk energi i en bølge E kin ρ := ω ζ x ( xz,, sec ) + ζ z ( xz,, sec ) dz dx λ h Potensiell energi i en bølge E pot ρ := v x ( xz,, sec ) + v z ( xz,, sec ) dz dx Effekt i bølge E kin + E pot P := C λ G P = kw m Effekt i bølge (dypt vann) E = kw m C λ 3.m G λ ρ ω ζ x ( xz,, sec ) + ζ z ( xz,, sec ) dz dx + λ 3.m ρ v x ( xz,, sec ) + v z ( xz,, sec ) dz dx = 6.6 kw m

14 Prosjekt: 3874 Beskrivelse av bølger Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 4 av 9 Vi ser av formlene at for dypt vann er horisontal og vertikal partikkelbane like store, men faseforskjøvet 9. Dette betyr at vannpartiklene beveger seg i sirkelbaner. På middeloverflaten har disse sirkelbanene en radius som nødvendigvis er like stor som bølgeamplituden. Denne radiusen reduseres raskt når man beveger seg nedover i sjøen. På grunnere vann ser at horisontal partikkelbane er litt større enn vertikal partikkelbane. Dette betyr at vannpartiklene beveger seg i ovale baner. Vi ser at energien i bølgen er likt fordelt mellom potensiell energi og kinetisk energi. Videre legger vi merke til at energien forplanter seg i en hastighet som er halvparten av bølgens hastighet på dypt vann, mens på grunnere vann forplanter energien seg raskere. Ved helt grunt vann forplanter energien seg like fort som bølgene. Siste formelen på forrige side viser at i dette eksempelet ligger 5% av bølgeenergien i de øverste 3. m. Når en bølge kommer fra dypt vann til grunnere vann, vil bølgehøyden endres og bølgelengden bli kortere. Hvis bunnens topografi er jevn vil bølgeenergien i stor grad beholdes. I så fall vil korte bølger få økt bølgehøyde, mens lange bølger vil få redusert bølgehøyde. Ved brå endringer i dybdeforhold vil bølgeenergien i dypene reflekteres og tapes. Fordi bølgelengden reduseres ved grunnere vann vil bølger ha en tendens til å dreie inn mot land dersom bunntopografien er jevn. Ved nes vil bølger ha en tendens til å konsentreres rundt neset, mens når bølger kommer inn i en vik med gradvis grunnere vann vil bølgene ha en tendens til å dreie av mot sidene av viken slik at energien reduseres innerst i viken. Dersom viken i stedet består av steile vegger vil bølgene reflekteres av veggene og konsentreres innover.

15 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 5 av 9 6: Matematisk modell 6. Frihetsgrader og elementer Figur på neste side viser hvordan den matematiske modellen er bygget opp. Den matematiske modellen består av masser - symbolisert ved røde sirkler dempeledd - symbolisert som støtdempere stivheter - symbolisert som fjærer krefter - symbolisert med piler Modellen består av 7 frihetsgrader pluss en fastholdt frihetsgrad. Krefter og masser legges direkte på hver frihetsgrad, mens stivheter og dempeledd er elementer mellom de ulike frihetsgradene. Den fastholdte frihetsgraden må være tilstede fordi noen krefter oppstår på grunn av systemets bevegelse i forhold til omgivelsene, som for eksempel de fleste dempeledd i systemet. I disse tilfellene kobles et dempe-element mellom den aktuelle frihetsgraden og den fastholdte frihetsgraden. Andre krefter er krefter som oppstår på grunn av relativ bevegelse mellom de ulike frihetsgradene, som for eksempel de fleste fjærer i systemet. I disse tilfellene kobles et fjærelement mellom de aktuelle frihetsgradene. I de tilfellene stivhetene er ikke-lineære blir stivheten modellert som en kombinasjon av fjær og krefter. Vi har følgende frihetsgrader: - Fastholdt frihetsgrad A. Flytelegemets vertikale bevegelse B. Bunnfeste C. Vaier på vinsj D. Aksling mellom gummikobling og gir E. Hydraulikk system før akkumulator F. Hydraulikk system før akkumulator G. Flytelegemets horisontale bevegelse Denne oppdelingen er valgt fordi det mellom disse frihetsgradene finnes enten stivhets- eller dempeledd. Modellen beregner forskyvningen av alle disse frihetsgradene. Hastighet finnes ved den tidsderiverte av forskyvning, og akselerasjon er den tidsderiverte av hastighet. Legg merke til at det ikke finnes noen fjærkrefter mellom den fastholdte frihetsgraden og frihetsgradene E og F. Dette betyr at disse to frihetsgradene ikke har noen begrensinger i forhold til posisjon, kun i forhold til hastighet. Disse to frihetsgradene representerer hydraulikken, slik at den tidsderiverte av denne frihetsgraden representerer hastigheten på hydraulikkoljen. Legg også merke til at frihetsgrad G ikke er direkte koblet til andre enn den fastholdte frihetsgraden. Frihetsgraden er imidlertid indirekte koblet ved gjensidig påvirkning av stivhet og krefter.

16 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 6 av 9 Figur 6- Matematisk modell be disclosed in whole or in part, by any other party without the written permission of PROTOTECH AS.

17 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 7 av 9 6. Flytelegemets vertikale bevegelse Bølgekreftene består av 3 ledd [R]: Diffraksjonskrefter på grunn av vannpartiklenes hastighet Diffraksjonskrefter på grunn av vannpartiklenes akselerasjon Froude-Krylov krefter (på grunn av dynamisk trykk i bølgen) I tillegg har vi følgende krefter på flytelegemet: Strålingskrefter på grunn av flytelegemets hastighet Strålingskrefter på grunn av flytelegemets akselerasjon Massekrefter på grunn av flytelegemets vekt og akselerasjon Tyngdekraft på grunn av flytelegemets vekt Oppdrift som er proporsjonalt med flytelegemets dypgang så lenge flytelegemet ikke er fullstendig neddykket (men konstant når helt neddykket) Beregning av disse kreftene er gitt på de neste sidene. Flytelegeme - vertikal frihetsgrad Diameter på flytelegeme D = 5m Vannlinjeareal på flytelegemet π A := 4 D Høyde på flytelegeme H =.5m Nominell masse av flytelegeme (estimat stål) M flytelegeme π D + πdh kg := mm m 3 M flytelegeme = 4.9 tonne

18 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 8 av Strålingskrefter på grunn av flytelegemets akselerasjon Strålingskrefter på grunn av flytelegemets vertikale akselerasjon er proporsjonale med den hydrodynamiske tilleggsmassen. Vi kan anslå den hydrodynamiske tilleggsmassen: Ubelasted dypgang Ulike verdier for hydrodynamisk tilleggsmasse i vertikal retning: Neddykket disk ( høyde): Neddykket uendelig lang plate ( høyde): π 4 M flytelegeme B := Aρ B = 44mm 3 D3 ρ (Munk 934) DWaterlinearea ρ (Meyerhoff 97) Sammenligner vi disse to tilfellene ser vi at forholdet mellom en sirkulær disk og en uendelig lang plate er lik 3 D3 ρ π 4 DAρ 3 D 4 A π π 4 DA 4 3 π 4 = 54 % 3 π Neddykket rektangulært skrog, like langt som bredt, Dypgang = bredde/: Flytende rektangulært skrog, uendelig langt: Flytende rektangulært skrog, uendelig langt, Dypgang = bredde/: Flytende rektangulært skrog, uendelig langt, Dypgang = bredde/4:.3deplasement.9deplasement ρ (Sarpkaya 96) ρ (Bai 977, Flagg and Neumann 97).75A dypgang ρ (Vugt, bølger ca 6 s).5adypgang ρ (Vugt, bølger ca 6 s) Flytende rektangulært skrog, uendelig langt, Dypgang = bredde/8: 3A dypgang ρ (Vugt, bølger kortere enn 6 s) Vårt dypgang / bredde forhold er ca /4. Høyde / bredde forholdet er ca / Vi ser av Vugts tall at.75a bredde ρ bredde.5a ρ 4 3A bredde 8 ρ La oss nå erstatte "bredde" med Da kan vi sette hydrodynamisk tilleggsmasse lik π 4 D = 4.43m 3 8 A π 4 D ρ = tonne Samtidig er ikke vårt skrog uendelig langt, men tvertimot ganske kort. Vi antar derfor at for vår sirkulære disk kan vi redusere faktoren med en faktor 54%, som vist ovenfor % A 8 π 4 D ρ = 8.47 tonne Basert på disse tallene setter vi at hydrodynamisk tilleggsmasse er lik M h ( u, ζ) := tonne if ( ζ u) < m 3 π 54 % A 8 4 D ρ if m ζ u 3 D3 ρ if ζ u H < H M h ( m, m ) = 8.47 tonne 5 Masse [tonn] Dypgang [m] Flytelegeme Hydrodynamisk tilleggsmasse

19 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 9 av Strålingskrefter på grunn av flytelegemets hastighet Strålingskrefter på grunn av flytelegemets vertikale hastighet er delvis proporsjonal med kvadratet av hastigheten og delvis proporsjonal med hastigheten. Disse kreftene representerer altså demping. Viskøs demping (drag) på flytelegeme Reynoldstall m s D. 6 m s = Neddykket disk:.5 ρa du (NS3479) Flytende disk: Antar at dragkreftene reduseres med 5%. Dette gir en ikke-lineær dempekoeffisient Basert på disse tallene setter vi at demping pga drag er lik C d ( u, ζ, du, dζ) := N m if ( ζ u) < m s.5 5 % ρa du dζ if m ζ u < H.5 ρa du dζ if ζ u H

20 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: av 9 Potensialdemping på flytelegeme Potensialdemping er demping pga av at flytelegemets bevegelse genererer bølger. Når skroget er fullstendig neddykket reduseres potensialdempingen betraktelig. Ulike verdier for hydrodynamisk potensialdemping i vertikal retning: Flytende rektangulært skrog, uendelig langt, Dypgang = bredde/: Flytende rektangulært skrog, uendelig langt, Dypgang = bredde/4: Flytende rektangulært skrog, uendelig langt, Dypgang = bredde/8:.3 Adypgang ρ bredde g.9 Adypgang ρ bredde g.3 Adypgang ρ bredde g (Vugt, bølger ca 6 s) (Vugt, bølger ca 6 s) (Vugt, bølger ca 6 s) Vårt dypgang / bredde forhold er ca /4. bredde.3 A ρ 8 Vi tar utgangspunkt i dybde/bredde = /8. bredde g La oss nå erstatte "bredde" med D π = 4.43m A g bredde ρ Ved andre bølgefrekvenser endrer faktoren.3 seg. Vi kan tilnærme kurven for dypgang/bredde = /8 med: Coeff( ω) := Da kan vi sette potensialdemping lik D π 4.3 ω +.5 ω g D π 4 g Coeff( ω) A 8 gd πρ = 54.4 kn m s Coeff Coeff Coeff π 4sec π 6sec π sec =.9 =.47 =.585 Samtidig er ikke vårt skrog uendelig langt, men tvertimot ganske kort. Vi antar derfor at for vår sirkulære disk kan vi redusere faktoren med en faktor 54%, på samme måte som for den hydrodynamiske tilleggsmassen. Coeff( ω) 54 % A 8 gd πρ = 9.68 kn m s Basert på disse tallene setter vi at potensialdemping er lik C h ( u, ζ) := kn m if ( ζ u) < m C h ( m, m ) = 9.68 kn m s s Coeff( ω) 54 % A 8 gd πρ if m ζ u < H kn if ζ u H m s 3 Demping [kn/m/s] 3 Drag ved m/s Drag ved m/s Potenensialdemping Dypgang [m]

21 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: av Oppdrift og tyngdekraft Oppdrift er proporsjonal med flytelegemets dypgang så lenge det ikke er helt neddykket. Oppdrift representerer altså en stivhet. Når flytelegemet er helt neddykket er oppdriften konstant, slik at det i så fall er en kraft. Tyngdekraften er en konstant kraft. Flytelegemet er definert å ha forskyvning når bunnen ligger i overflaten. Positiv retning er oppover, slik at uten bølger vil altså flytelegemet ha en forskyvning lik den negative verdien av ubelastet dypgang. Oppdrift - stivhet Stivhet på grunn av flytelegemets dypgang (oppdrift) K oppdrift ( u, ζ) := N m if ( ζ u) < m π 4 D ρg if m ζ u < H N m if ζ u H Oppdrift - kraft Dersom flytelegemet er helt neddykket erstattes fjærstivheten med en konstant oppdrifts-kraft. F oppdrift ( u, ζ) := N if ζ u < H π 4 D Hρg if ζ u H Tyngdekraft Tyngdekraft på flytelegeme F statisk := M flytelegeme g Kraft [kn] 3 Oppdrift Tyngdekraft Dypgang

22 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: av Bølgekrefter De viktigste kreftene er Froude-Krylov kreftene som er kreftene på grunn av det dynamiske trykket i bølgen. I tillegg kommer diffraksjonskreftene. Men på samme måte som strålingskreftene er proporsjonale med flytelegemets akselerasjon og hastighet er diffraksjonskreftene proporsjonale med bølgenes akslerasjon og hastighet med de samme koeffisienter. Froude Krylov (dynamisk oppdrift) Trykk under flytelegemet hvor ζ er overflateheving ζ z ( xm,, t) F FK ( u, ζ, x, t) := N if ( ζ u) < m px (, u, t) π D if m ζ u < H 4 px (, u, t) π D π % px (, u H, t) D if ζ u H 4 4 Dragkrefter Dragkrefter F drag ( u, ζ, du, dζ) := C d ( u, ζ, du, dζ) dζ hvor ζ er overflateheving ζ z ( xm,, t) hvor dζ er partikkelhastighet under flytelegemet ( ) v z x, u A, t Potensialkrefter Potensialkrefter F h ( u, ζ, dζ) := C h ( u, ζ) dζ hvor ζ er overflateheving ζ z ( xm,, t) hvor dζ er partikkelhastighet under flytelegemet ( ) v z x, u A, t Treghetskrefter Treghetskrefter F am ( u, ζ, ddζ) := M h ( u, ζ) ddζ hvor ζ er overflateheving ζ z ( xm,, t) hvor ddζ er partikkelakselerasjon under flytelegemet ( ) a z x, u A, t

23 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 3 av Demper og vaier mellom flytelegeme og bunnfeste Diameter på vaier d vaier := mm Styrke (bruddlast) i vaier Masse av vaier π MBL 4 d vaier N := mm MBL = kN π Vekt pr lengde q vaier 4 d vaier kg := 63 m 3 q vaier =. kg m Masse av vaier før bunnfeste M vaier_ := q vaier h M vaier_ = 59kg Viskøse krefter på vaier Typisk Reynolds tall m hρ s Re := Re = ν Friksjonsfaktor ved Reynoldstall f :=. Vaier før bunnfeste C vaier_ ( du) := f ρ du π d vaierh C vaier_ m = 9.78 N s m s Demper under flytelegeme Valgt stivhet K demper := kn m Fleksibilitet i vaier 5 N π mm d 4 vaier Fleksibilitet i vaier før bunnfeste K vaier_ := K h vaier_.94 3 kn = m

24 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 4 av Vaier med kjedelinje mellom bunnfeste og vinsj Kjedelinjen representerer en svært ikke-lineær fjær. Vekten av vaieren sørger for at det alltid er et strekk i vaieren helt til hele vaieren legger seg på bunnen - som ikke er definert. Denne fjæren har dermed ikke noe definert null-punkt, og modelleres som en kombinasjon av interne krefter og en fjær. Null-punktet velges som et punkt på kraft-deformasjons grafen som gir mest mulig lineær fjær ved høye laster. Ved høye laster er det stivheten av selve vaieren som dominerer. Masse av vaier ( ) b Masse av vaier etter bunnfeste M vaier_ := q vaier h + h v + M vaier_ = 33 kg Viskøse krefter på vaier Vaier etter bunnfeste Fleksibilitet i vaier C vaier_ ( du ) := f ρ du π d vaier h h + b h + h v C vaier_ m s = N m s 5 N π mm d 4 vaier Fleksibilitet i vaier etter bunnfeste K vaier_ := K vaier_ = kn ( h + h v ) + b m Kjedelinje Vaierens vekt pr m q vaier =. kg m Horisontal lengde av kjedelinjen b = 5 m Vertikal lengde av kjedelinjen h + h v = 5 m Horisontalt strekk BT Tenkt horisontal lengde fra bunnfeste til horisontal kjedelinje. (X= betyr at vaier er horisontal ved bunnfestet) ( ) q vaier BT h + h v X( BT) asinh b := q vaier q vaier b BT sinh BT Minste horisontale strekk i vaier før den legger seg på bunnen: Given X( BT) m BT := Find ( BT) BT = kg ( ) =.84 4 X BT m Lengde av kjedelinje Minste mulige lengde (ved uendelig høy kraft) BT q vaier ( X( BT) + b) q vaier X( BT) L kj ( BT) := sinh sinh L q vaier BT BT kj BT ( ) b + h + h v = 58.4 m ( ) = m

25 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 5 av 9 Vertikal kraftkomponent ved vinsj Totalt strekk i vaier Vinkel ved vinsj ( ( ) + b) q vaier X BT BT sinh BT = kg q vaier ( X( BT) + b) TT( BT) := BTcosh TT BT BT ( ( ) + b) q vaier X BT atan sinh BT ( ) = deg q vaier X BT Vinkel ved bunnfeste atan sinh = 7 5 deg BT Vektor for horisontalt strekk BT := ibt i BT :=.4 MBL BT.7 MBL MBL := BT := 8 g 9 g g ( ) = kg Vektor for strekk TTT := TT BT i i Vektor for forskyvning i forhold til et valgt -punkt (valgt for å ha mest mulig lineær stivhet ved høye laster) Δ := L i kj BT ( ) g ( ) L kj ( BT i ) + TTT i K vaier_ Dette null punktet medfører at vaier legger seg i bunn dersom forskyvning er mindre enn Δ =.46 m 4 3 TTT i kn 3 Δ i Ikke-lineær stivhet: K kj ( Δu ) := linterp ( Δ, TTT, Δu + mm) linterp ( Δ, TTT, Δu mm) mm if Δu > Δ N m otherwise Avvik mellom kjedelinjens kraft og kraft pga stivhet F kj ( Δu ) := linterp ( Δ, TTT, Δu ) K kj ( Δu ) Δu if Δu > Δ BT g otherwise K kj ( 3m ) = kn m Stivhet [kn/m] 4 3 Stivhet 4 Differanse i forskyvning [m] 3 Kraft Kraft [kn] 4 Differanse i forskyvning [m]

26 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 6 av Vinsj Diameter på vinsj d vinsj := 4 mm Bredde på vinsj b vinsj := 5 mm b vinsj = 5 mm ( ) d vinsj π Treghetsmoment av trommel (solid aksling) I vinsj 8 4 d vinsj kg := b vinsj 785 I m 3 vinsj = 4.9 kgm I vinsj Masse i forhold til vaierens angrepspunkt M vinsj := M vinsj = kg d vinsj d vaier Fjærende kobling mellom vinsj og gir 3 knm Valgt stivhet i kobling K gk_rot := 36 deg Stivhet i forhold til vaierens angrepspunkt Antar liten demping i kobling. Dette er altså en mekanisk fjær K gk_rot K gk := MBL =.39m K d vinsj d vaier K gk.83 3 kn = gk m + K gk C gk := % C π Hz gk = kn m s

27 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 7 av Girsystem, frikrans, sentrifugalkobling og pumpe Utveksling gir gir = 3. Utveksling gir gir =.5 Utveksling gir 3 gir 3 =.5 Når pumpen er i driftmodus drives alle tre gir. Når pumpen er i returmodus drives systemet kun gjennom gir, men gir og gir 3 roterer også. Alle masser nedenfor girene blir ganget opp med kvadratet av giringen. gir gir gir 3 = Diameter hydraulikkrør d hydr :=. in d hydr = 5.4 mm Deplasement i pumpe Δ pumpe = 5 cm 3 Sammenheng mellom hastighet på vaier og hastighet i hydraulikk RPS vinsj v vaier π d vinsj + d vaier ( ) RPS pumpe RPS vinsj gir gir gir 3 v hydraulikk RPS pumpe Δ pumpe π 4 d hydr Utveksling mellom hydraulikkens hastighet og hastighet på vaier dersom pumpe var koblet direkte på vinsj v vaier gir π ( d vinsj + d vaier ) gir gir 3 v vaier gir gir gir 3 Δ pumpe gir π gir gir 3 gir 4 v vaier 4 d hydr π( d vinsj + d vaier ) Δ pumpe gir 4 := gir π 4 d hydr π ( d vinsj + d vaier ) 4 =.75 Kobling Koblingen løper fritt når rotasjonshastigheten på koblingen overstiger en viss verdi. Vi setter denne til Dette tilsvarer en hastighet på vaier lik Dette tilsvarer en hastighet på hydraulikk lik gir gir gir 3 gir 4 = gir gir 4 = min RPM krit := RPM gir gir krit = 3 3 min RPM krit π d gir vinsj + d vaier ( ) =.594 m s ( ) du krit := RPM krit gir gir 3 gir 4 π d vinsj + d vaier du krit = m s Dette tilsvarer en strømning lik 45 Δ min pumpe 75 liter π = du min krit d 4 hydr = 75 liter min

28 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 8 av 9 La oss sette at denne koblingen er enten er innkoblet, slurer, eller løper fritt. Dette gjøres ved å sette inn et dempeledd mellom nodene. "du" er hastighet i noden etter koblingen. Momentkapasiteten i koblingen er avhengig av rotasjonshastigheten. Ved rotasjonshastighet vil koblingen slure ved et trykk mellom 5 bar og 3 bar. Ved lavere trykk enn 5 bar er den innkoblet. Ved høyere trykk enn 3 bar løper koblingen fritt. Ved positiv rotasjon vil disse kapasitetene reduseres. Ved hastighet tilsvarende pumpens kritiske hastighet er kapasiteten lik. 5 % MBLgir gir gir 3 gir 4 C sentr := du krit ( % % ) C kobling ( du, V) := if du > m s C kobling du D du E gir total du D C kobling du E V C sentr if p V V V C sentr if p V V C sentr otherwise κ > κ < 3bar 5bar du du krit du du krit C sentr otherwise For å inkludere efekten av giring, legges det inn usymmetriske dempere inn i dempematrisen. Dette betyr at bevegelsen til nodene etter giret får en hastighet som er giret opp i forhold til nodene før giret. Giringen er ulik avhengig av rotasjonsretning. Overgangen mellom positiv og negativ rotasjon gjøres gradvis. gir total ( du ) := gir gir gir 3 gir 4 if du >.5 m s m gir gir 4 if du <.5 s du+.5 m s.5.5 m s gir ( gir gir 3 ) gir 4 otherwise => C kobling C kobling gir total C kobling ( du, V) := C kobling ( du, V) gir total ( du) C kobling du D C kobling du E C kobling => C kobling3 gir total ( C kobling du D C kobling3 du E ) gir total C kobling3 ( du, V) := C kobling ( du, V) gir total ( du )

29 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 9 av 9 Masser I gir_ :=.96kg m I gir_ :=.3kg m I gir_3 :=.3kg m ( mm) I kobling_f := kg 8 ( mm) I kobling_e := kg + 5 kg( mm) 8 34mm + mm I frikrans_ :=.4 kg 34mm + mm I frikrans_ :=.4 kg I kobling_f =.5 kgm I kobling_e =.5 kgm I frikrans_ =.54 kgm I frikrans_ =.54 kgm Pumpe (Inkluderer ikke svinghjul) I pumpe :=.46 kgm + kg m Masse før sentrifugalkobling i forhold til vaieren Masse etter sentrifugalkobling i forhold til hydraulikk I gir_ gir +.5 I frikrans_ + I kobling_f gir M gir_f := M gir_f = 6.75kg d vinsj d vaier + I kobling_e +.5 I frikrans_ I gir_ M gir_e := ( gir gir 3 ) + + I gir_3 + I frikrans_ + I pumpe gir 3 π π d 4 hydr Δ pumpe M gir_e = 3.59kg

30 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 3 av Hydraulikk med akkumulator, pumpe og turbin Masser Hydraulikk fra reservoar til akkumulator via pumpe M hydr_f π 4 d hydr kg := mm95 m 3 M hydr_f =.48 kg Hydraulikk fra akkumulator til reservoar via turbin M hydr_e π 4 d kg := hydr mm95 m 3 M hydr_e =.48 kg Turbin I turbin :=.46kgm Generator I generator :=.kgm Deplasement i turbin Δ turbin := cm 3 Masse av hydraulikk, turbin og generator i forhold til hydraulikk π π d 4 hydr M turbin := M hydr_e + ( I turbin + I generator ) M Δ turbin = 3.58tonne turbin Viskøse krefter i hydraulikk Forhold mellom ruhet i trekte rør og diameter.5 6 m = d hydr Typisk Reynolds tall Friksjonsfaktor ved dette forholdet Koeffisient for viskøst trykktap m gir s gir gir 3 gir 4 d hydr ρ Re := Re = 9939 ν f :=.36 Re.5 f =.4 fmm =.53 d hydr Dette betyr at alle bend, innløp og utløp vil dominere trykktapene (drag). La oss anta en tapskoeffisient på 3 på hydraulikken før akkumulator, samt en like stor koeffisient for tap i akkumulator. Etter akkumulatoren vil oljen gå gjennom en ventil (som stenger ved for lavt trykk). Vi kan derfor anta en langt høyere tapskoeffisient her. Dersom oljen strupes slik at hastigheten 3-dobles gjennom denne ventilen, vil tapskoeffisienten i ventilen være ca 9. Trykktap Δp := 3 ρdu du Hydraulikk før akkumulator C hyd_ ( du, V) := mm kg d 95 hydr m 3 f du π d 4 hydr Hydraulikk etter akkumulator C hyd_ ( du ) fmm kg π := d 95 hydr m 3 du d 4 hydr C hyd_ m s = 3.6 N m s

31 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 3 av 9 Volum av akkumulator V T = liter Trykk med tom akkumulator p T = 45bar Arbeidstrykk p = 45bar Volum ved arbeidstrykk V = 6.69liter Isentropisk gasskonstant for Nitrogen κ.4 Vi antar at vi har en isentropisk kompresjon av gassen. I praksis vil man ha en isoterm kompresjon / ekspansjon fra ladetrykket til et gjennomsnittlig (faktisk) arbeidstrykk, mens kompresjonen / ekspansjonen for hver bølgeperiode vil være isentropisk. Ved å anta en isentropisk kompresjon blir resultatene avhengig av at det initielle arbeidstrykket og det faktiske arbeidstrykket er omtrent like. Gasskonstant for isoterm prosess κ :=.4 Ligning for sammenheng mellom trykk og deplasement i akkumulator κ p V p ( V V) κ hvor V er deplasement ut fra volum fylt av væske ved arbeidstrykk V V Δu π + d i+ i 4 hydr hvor "?u" er forskjell i forskyvning av fluid før og etter akkumulator Trykk beregnes ved p p V κ ( ) κ V V Ligning for sammenheng mellom trykk og kraft F p π d 4 hydr κ π Kombinerer disse to ligningene V F p d 4 hydr V V κ π κ p V d Deriverer denne ligningen d dv F 4 hydr ( V V) κ+ Stivheten er lik stigningen på kraft - deformasjons kurven. K d du F d dv F d du V κ κ p V π 4 d hydr κ p κ+ π ( V V) κ+ V 4 d V hydr V V Når deplasementet er negativt tømmes akkumulatoren.når den tømmes slik at den blir mer enn helt tom gir akkumulatoren ingen fleksibilitet. Avviket mellom kraft og kraft pga denne fjærstivheten modelleres som motsatt rettede krefter på de to nodene i tillegg til fjærstivhet. K akk ( V) := κ p π 4 d hydr κ+ V V V V if V < V T V N m otherwise π F akk ( Δu, V) := p d 4 hydr N otherwise V V V κ K akk ( V) Δu if V < V T V?u er forskjell i forskyvning mellom de to nodene

32 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 3 av 9 Dersom akkumulator tømmes helt, kobles frihetsgradene foran og etter akkumulator sammen ved hjelp av en kraftig demping. C akk ( V) := Ns m C sentr if V < V T V otherwise Akkumulatorens volum er ganske stort i forhold til den slaglengden den vil ha. Dette betyr at akkumulatoren er ganske lineær i sitt virkeområde. Slaglengde tilsvarende akkumulatorenes volum V T = 6.389m π gir gir gir 3 gir 4 d 4 hydr V T = m π gir gir 4 d 4 hydr Demping - uttak av energi kw Turbinens design-effekt Q krit = 9.5 (uttak ved 5% av kritisk hastighet) liter s kw Koeffisient for trykkfall over turbin C p := Q krit C p = 9.5 liter s C p = s bar m 3 Effekt ut på generator Q C p du π d 4 hydr Tilsvarende kraft på vinsj F Q du C p du π 4 d hydr π Dempeleddet er dermed gitt som: C turbin C p 4 d := hydr C turbin N = m s Tap i turbin Antar % tap i turbin og generator Dersom trykket blir lavere enn en viss grense lukkes en ventil. Dette modelleres ved å øke demping i turbin. p krit = 6bar Dempeleddet er dermed gitt som: C turbin_tap ( V) := C turbin % % % κ V if p V V > p krit 3 C turbin otherwise C turbin_tap ( liter) = 7.6 N m Tap i pumpe s Pumpen har en typisk mekanisk virkningsgrad på rundt 95 %. Dette betyr at 5% av den overførte effekten tapes Overført effekt V TrykkFlow p V V κ V π Effekttap 5% p V V du d 4 hydr κ du π d 4 hydr Kraft Kraft Effekttap du 5% p V V V κ π d 4 hydr F pumpe ( V) := 5 % p V V V κ π d 4 hydr F pumpe ( liter) = N

33 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 33 av Flytelegemets horisontale bevegelse Bølgekreftene består av 3 ledd [R]: Diffraksjonskrefter på grunn av vannpartiklenes hastighet Diffraksjonskrefter på grunn av vannpartiklenes akselerasjon Froude-Krylov krefter, som i horisontal retning reduseres til krefter på grunn av fortrengt masses akselerasjon I tillegg har vi følgende krefter på flytelegemet: Strålingskrefter på grunn av flytelegemets hastighet Strålingskrefter på grunn av flytelegemets akselerasjon Massekrefter på grunn av flytelegemets vekt og akselerasjon Horisontal kraftkomponent i vaier på grunn av avdrift. Det siste punktet utgjør kobling fra vertikal frihetsgrad til horisontal frihetsgrad. Kobling motsatt vei er effekten av at flytelegemets dypgang øker ved økt avdrift ved samme lengde av vaier ned til bunnfeste. Beregning av disse kreftene er gitt på de neste sidene. Diameter på flytelegeme D = 5m Høyde på flytelegeme H =.5 m Nominell masse av flytelegeme (estimat stål) M flytelegeme = 4.9tonne Hydrodynamisk tilleggsmasse på flytelegeme Ulike verdier for hydrodynamisk tilleggsmasse i horisontal retning: Neddykket sylinder, uendelig lang Deplasement ρ Neddykket kvadrat, uendelig langt:.5 π 4 Deplasement ρ.5 π =.86 4 Flytende rektangulært skrog, uendelig langt:.67deplasement ρ (Bai 977, Flagg and Neumann 97) Basert på disse tallene setter vi at hydrodynamisk tilleggsmasse er lik M hx ( u, ζ) := tonne if ( ζ u) < m 4.67A( ζ u) ρ if.5π 4.67AHρ if ζ u.5π m ζ u H < H M h ( m, m ) = 8.47tonne Masse [tonn] Dypgang [m] Flytelegeme Hydrodynamisk tilleggsmasse

34 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 34 av 9 Viskøs demping (drag) på flytelegeme Neddykket, lang sylinder:. ρdh du (NS3479) Flytende sylinder: Dette gir en ikke-lineær dempekoeffisient Antar at dragkreftene reduseres på samme måte som for hydrodynamisk tilleggsmasse Basert på disse tallene setter vi at demping pga drag er lik C dx ( u, ζ, du, dζ) := N m if ( ζ u) < m s ρd( ζ u).5 π du dζ if m ζ u < H ρdh.5 π du dζ if ζ u H 3 Demping [kn/m/s].5.5 Drag ved m/s Drag ved m/s Dypgang [m] Avdrift - stivhet Stivhet på grunn av at strekket i vaieren har en horisontal komponent K vaier_ + K demper Δu K avdrift ( Δu ) := K h avdrift (. m) = 4.5 kn m K avdrift (.m) u i kn u i m

35 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 35 av 9 Froude Krylov Trykk integrert rundt flytelegemet hvor ζ er overflateheving ζ z ( xm,, t) ( ) M FKx u, ζ M FKx ( u, ζ) := kg if ( ζ u) < m F FKx u, ζ, a x := ρa( ζ u) if m ζ u < H ρah if ζ u H ( ) a x Dragkrefter Dragkrefter F dragx ( u, ζ, du, dζ) := C dx ( u, ζ, du, dζ) dζ hvor ζ er overflateheving ζ z ( xm,, t) hvor dζ er partikkelhastighet under flytelegemet ( ) v x x, u A, t Treghetskrefter Treghetskrefter hvor ζ er overflateheving F amx ( u, ζ, ddζ) := M hx ( u, ζ) ddζ ζ z ( xm,, t) hvor ddζ er partikkelakselerasjonen under flytelegemet ( ) a x x, u A, t Avdriften vil også medføre at flytelegemet blir litt mer neddykket. Økt dypgang er gitt av formelen ΔB() x := x + h h Denne økte oppdriften legges inn som et tillegg i bølgehøyde i matrisene.

36 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 36 av 9 6. Oppbygging av matriser Ut fra alle koeffisienter gitt ovenfor bygges matrisene opp. Den ikke-lineære modellen løses ved numerisk integrasjon, og settes opp på samme formen: Ma + Cv + Ku F hvor M a er systemets treghetskrefter a er frihetsgradenes akselerasjon M er varierende massematrise C v er systemets dempende krefter, det vil si krefter som tar ut energi av systemet v er frihetsgradenes hastighet C er varierende dempematrise K u er systemets opprettende (stivhets) krefter u er frihetsgradenes posisjoner. For frihetsgrad A er dette flytelegemets bunn i forhold til middel havoverflate (positiv oppover) K er varierende stivhetsmatrise Massene i systemet legges på matrisens diagonal. "u" er flytelegemets posisjon oppover. ζ er bølgenes overflate, og er også positiv oppover. "du" er positiv når pumpen fungerer som pumpe. M flytelegeme + M h ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x ) +.5 M vaier_ Mu ( A, du E, du F x, ) := M m, m, m, m, sec 68 = kg s s M vaier_ +.5 M vaier_.5 M vaier_ + M vinsj M gir_f M gir_e + M hydr_f M turbin + M hydr_e M flytelegeme + M FKx ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x ) + M hx ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x ) +.5 M vaier_ be disclosed in whole or in part, by any other party without the written permission of PROTOTECH AS.

37 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 37 av 9 Dempe matrisen Dempeleddene i systemet legges inn i matrisen på de aktuelle frihetsgradene. "u" er flytelegemets posisjon oppover. ζ er bølgenes overflate, og er også positiv oppover. "du" er positiv når pumpen fungerer som pumpe. Inkluderer grensebetingelser ved å nulle ut første rekke og kolonne N m s C d ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x, du A, v z ( x, u A, t) ) + C h ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x ) +.5 C vaier_ ( du A ).5 C vaier_ ( du B ) + C( u A, du A, du B, du C, du E, du F, du G, V, x, t) := C m, m, m, m, m, m,. m , liter, m, sec N s s s s s s = m s C vaier_ ( du B ) C gk C gk C gk C gk + C kobling ( du E, V) C kobling ( du E, V) C kobling3 du E, V C kobling ( du E, V) + (, ) + C akk ( V) C akk ( V) C akk ( V) C akk ( V) + C hyd_ ( du F ) + C turbin + C turbin_tap ( V) C dx ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x, du G, v x ( xm,, t) ) ( ) C hyd_ du E V be disclosed in whole or in part, by any other party without the written permission of PROTOTECH AS.

38 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 38 av 9 Stivhets matrisen Stivhetsleddene i systemet legges inn i matrisen på de aktuelle frihetsgradene. "u" er flytelegemets posisjon oppover.? er bølgene overflate, og er også positiv oppover. "du" er positiv når pumpen fungerer som pumpe. Inkluderer grensebetingelser ved å nulle ut første rekke og kolonne N m K oppdrift ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x ) K vaier_ + K + demper K vaier_ + K demper K vaier_ + K demper K vaier_ + K demper + K kj ( u B u C ) K( u A, u B, u C, V, x, t ) := K kj ( u B u C ) kn K( m,. m, m, liter, m, sec) = m ( ) ( ) + K gk K kj u B u C K kj u B u C K gk K gk K gk K akk ( V) K akk ( V) K akk ( V) K akk ( V) K avdrift ( u A u B ) be disclosed in whole or in part, by any other party without the written permission of PROTOTECH AS.

39 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 39 av 9 Last matrisen Dempeleddene i systemet legges inn i matrisen på de aktuelle frihetsgradene. "u" er flytelegemets posisjon oppover.? er bølgenes overflate, og er også positiv oppover. "du" er positiv når pumpen fungerer som pumpe. F statisk + F oppdrift ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x ) + F FK ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x, x, t ) + F drag ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x, du A, v z ( x, u A, t )) + F h ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x, v z ( x, u A, t )) + F am ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x, a z ( x, u A, t )) F kj ( u B u C ) F kj ( u B u C ) F( u A, u B, u C, u E, u F, du A, du G, V, x, t ) := F akk ( u E u F, V) F pumpe ( V) F akk ( u E u F, V) F FKx ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x, a x ( xm,, t ) ) + F dragx ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x, du G, v x ( xm,, t ) ) + F amx ( u A, ζ z ( xm,, t) + ΔB() x, a x ( xm,, t ) ) F m, m, m, m, m, m,. m, liter, m, sec.599 = kn s s be disclosed in whole or in part, by any other party without the written permission of PROTOTECH AS.

40 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 4 av 9 6. Numerisk integrasjon av ikke-lineær modell Numerisk integrasjon innebærer at man finner respons ved tid t+δt ut fra respons ved tid t. Δt er et kort tidsskritt på.5 ms. På denne måten kan de ikke-lineære matrisene endre verdi for hvert tidsskritt. Vi bruker en Newmark-β metode der vi bruker konstant gjennomsnittsakselerasjon [R4]. Dette er en ubetinget stabil metode dersom systemet var lineært. På de neste sidene vises programmeringen for løsning av den ikke-lineære modellen. Vi lar bølgen svinge typisk til 3 svingninger for å stabilisere løsningen, og bruker typisk de siste 4 svingningene for å beregne effekt. Inititiell forskyvningsvektor t := π ω u u A u B u C u D u E u F u G B + ζ z ( m, m, t ) v.933 z xm,, t ( ).. v B + ζ z ( m, m, t ) z ( xm,, t ).933. u := v z ( xm,, t ). m u = m du := du = v z ( xm,, t ) ddu := u ω V := liter. s v z ( xm,, t ) gir gir gir 3 gir 4.. v ζ x ( m, m, t z ( xm,, t ) gir gir gir 3 gir 4.7 ).4 v x ( xm,, t )

41 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 4 av 9 Numerisk løsning T Δt :=.5sec I := Perioderround Δt = U num := γ β 4 t t for i.. I x ( u i)8 ( ) du ( i ) 6 ( ) 7 Mm M u,, du, x, t i i Cm C ( u i ), du i ( ), du i ( ), du i 3 ( ), du i 4 ( ), du i 6 ( ), du i 7 ( ), V, x, t i 8 Km K ( u i ), u ( i ), u 3 ( i ), V, x, t 4 i Fm F ( u i ), u i ( ), u i 3 ( ), u i 4 ( ), u i 6 ( ), du i 7 ( ), du i ( ), V, x, t i 8 γ Keff Mm + Cm + Km βδt βδt Feff Fm β Mm Δt γ + Cm β ddu γ + + Mm i βδt + β u Keff Feff i+ ddu u i+ βδt i+ β ddu du u i βδt i βδt i du du + ( γ ) Δt ddu + γδt ddu i+ i i i+ π V V u i+ i ( i+ ) u i+ 6 ( ) u i 7 ( ) u i 6 ( ) 7 4 d + hydr t t + Δt U u m U du sec m U 3 ddusec m U 4 V liter U Cm du + i βδt Mm + γ βδt Cm u i

42 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 4 av 9 6. Eksempler på resultater Grafene nedenfor viser resultater for beregningene gitt ovenfor, det vil si en bølgeamplitude på. m og bølgeperiode 6 sekunder. Grafen nedenfor viser flytelegemets og bølgenes horisontale bevegelse. Figuren for bølgebevegelsen inkluderer effekten av at bølgebevegelsen er avhengig av flytelegemets horisontale posisjon (gir tilsynelatende varierende periode). Vi ser at flytelegemets bevegelse repeteres for annenhver bølge. Dette er på grunn av høy egenperiode i horisontal retning. Ved avdrift er det ingen opprettende krefter, altså uendelig lang egenperiode. (m) Bevegelse Tid (sec) Horisontal bevegelse av flytelegeme Horisontal bølgebevegelse, inkludert effekt av avdrift

43 Prosjekt: 3874 Matematisk modell Dok.nr.: RP_3874_PR_ Utgave: D Dato: 9..9 Side: 43 av 9 Figurene nedenfor viser vertikale bevegelser på flytelegeme og bølger, samt bevegelse for vaier ved bunnfeste og ved vinsj. Grafen for bølgebevegelsen inkluderer både effekten av at bølgebevegelsen er avhengig av flytelegemets horisontale posisjon (gir tilsynelatende varierende periode), og også effekten av at flytelegemets dypgang er avhengig av horisontal bevegelse (gir varierende amplitude). (m) Bevegelse Tid (sec) Vertikal bevegelse av flytelegeme Bunnfeste Vinsj Overgang til gir Bølgebevegelse, inkludert ekstra dypgang pga avdrift Dypgang (m) Forskjell i bevegelse Tid (sec) Flytelegeme - bunnfeste Bunnfeste - vinsj Vinsj - Gir Bølgebevegelse - Flytelegeme (vertikalt)