Geometri Vi på vindusrekka Rektangel og kvadrat... 2 Trekant... 3 Sirkel... 6 Omkrets... 7 Omkrets av sirkel... 9 Pi... 11 Areal... 13 Punkt... 18 Linje... 19 Kurve... 20 Vinkel... 21 Normal... 22 Parallelle linjer... 23 Parallellogram... 24 Symmetri... 26 Tegneredskaper... 27 Tegne trekant... 29 Tegne firkant... 30 2D og 3D... 31 Prisme... 33 Terning og volum... 34 Sylinder... 35 Læringssenteret Oslo 2001 Utskrift fra http://skolenettet.no/programvare/vindusrekka
Geometri side 2 Rektangel og kvadrat Hva er et rektangel? Rektangelet er en firkant der to og to sider er like lange og alle hjørnene er rette vinkler. Å sette navn på rektangelet Her har vi satt en stor bokstav på hvert hjørne. Da kan du lage et navn ved å nevne hjørnene i rekkefølge (mot klokka). På denne tegningen ser du rektangelet ABCD. Hva er et kvadrat Kvadratet er en firkant der alle sider er like lange og alle hjørnene er rette vinkler. Når en firkant er et kvadrat, er den også et rektangel. Etter som alle sidekantene er like lange, er det bare nødvendig å kjenne ett mål på kvadratet; kvadratets side.
Geometri side 3 Trekant Trekanten Trekanten har tre sidekanter og tre hjørner. Sidene kan ha ulik lengde og hjørnene kan være vinkler av ulik størrelse. Grunnlinje Vi velger ofte å kalle en av trekantens sider for grunnlinja. Du kan velge hvilken side som skal være grunnlinje. Men når trekanten tegnes med en vannrett side, er det ofte denne vannrette siden som kalles grunnlinja. Høyde Trekantens høyde er avstanden mellom grunnlinja og det hjørnet som ikke ligger på grunnlinja. Høyden tegner vi ved å trekke normalen fra dette hjørnet og ned på grunnlinja. Vinkelsum Hvis du måler alle tre vinklene i en trekant og summerer dem, vil du alltid få 180 som resultat. Du kan prøve selv ved å tegne trekanter i kladdeboka og måle de tre vinklene med gradskive.
Geometri side 4 Navn Når vi har flere trekanter i en tegning, er det nødvendig å kunne sette navn på trekantene, slik at vi kan skille dem fra hverandre. Setter vi en stor bokstav på hvert hjørne, lager vi navn ved å nevne hjørnene i rekkefølge (mot klokka). På denne tegningen ser du trekantene ABD og BCD. Vi setter også navn på trekantens vinkler (hjørner). Når det ikke er til å misforstå, kan vi bruke hjørnets bokstav som vinkelnavn. Vinkel A og vinkel C på figuren er eksempler på vinkler som kan navnes slik. Men hva for en vinkel er vinkel B? Slike vinkler må vi bruke tre bokstaver for å navne. Vinkelen som på figuren er merket med grønt, heter vinkel BDA. Vinkelen som er merket med grått heter vinkel DBC. Vinkelens topp svarer til den midtre bokstaven.
Geometri side 5 Rettvinklet En rettvinklet trekant er en trekant der en av vinklene er 90 (rett). Legg merke til hvordan vi merker en rett vinkel på tegningen. De to sidene som danner den rette vinkelen, vil bli grunnlinje og høyde i trekanten. For grunnlinjen og høyden må alltid danne rett vinkel med hverandre. Likesidet En likesidet trekant er en trekant der alle de tre sidene er like lange Når alle de tre sidene er like, blir også de tre vinklene like. Summen av vinklene i en trekant er alltid 180. Hvor store er da vinklene i alle likesidete trekanter? Likebeint En likebeint trekant er en trekant der to av sidene er like lange. Disse sidene er det vi kaller "beina" i trekanten. Når du står med føttene et stykke fra hverandre, danner beina dine og gulvet en likebeint trekant... hvis beina dine er like lange!
Geometri side 6 Sirkel Disse figurene kalles sirkler. En sirkel tegner du lettest med et tegneredskap som heter passer. Sentrum er sirkelens midtpunkt - der du setter passerspissen når du tegner en sirkel. Radius er en linje fra sentrum og ut til sirkellinja. Radien er like lang uansett hvor på sirkelen du tegner den! Diameter er en linje gjennom sentrum som deler sirkelen i to like store halvsirkler. Diameteren er alltid dobbelt så lang som radien. Passer Passeren brukes sammen med linjalen til konstruksjon. Men også når du skal tegne er passeren et nyttig redskap. Passeren bruker du da til: å tegne sirkler og buer å merke av lengder
Geometri side 7 Omkrets Tenk deg en gressplen formet som en trekant. Trekantens omkrets forteller hvor mange meter gjerde vi må ha for å sette opp et gjerde langs plenens sidekanter. Tenk deg et basseng formet som et rektangel. Rektangelets omkrets forteller hvor langt du må gå for å spasere én runde rundt bassenget når du går langs kanten. Omkrets er et mål for hvor langt det er rundt en figur, langs sidekantene. Omkrets er et mål for lengde. Derfor måles omkrets i meter eller i en lengdeenhet avledet av meter. Omkretsen av et rektangel Et bilde med lengde 24 cm og bredde 20 cm skal rammes inn. Geir skal kjøpe rammelist og vil være sikker på å få nok. Derfor vil han regne ut omkretsen på bildet. Løsningen: Lag alltid en tegning og sett på alle kjente mål før du begynner å regne. Omkretsen er summen av alle sidene. Omkrets: 24+20+24+20 = 88 Omkrets = 88 cm Omkretsen av en trekant En trekantet gressplen har sider på 23 m, 15 m og 9 m. Hvor mange meter gjerde trenges for å gjerde inn plenen? Løsningen: Lag alltid en tegning og sett på alle kjente mål før du begynner. Omkretsen er summen av alle sidene. Omkrets: 23+15+9 = 47 Omkrets = 47 m
Geometri side 8 Omkretsen av et kvadrat Denne oppgaven krever at du kjenner til formler og matematiske uttrykk. Du finner mer om dette i Emnehefte Algebra. Skriv ned en formel for omkretsen av et kvadrat med side s. Kall omkretsen O. Løsningen: Lag alltid en tegning og sett på alle kjente mål før du begynner. Omkretsen er summen av alle sidene. O = s+s+s+s O = 4 s O = 4s
Geometri side 9 Omkrets av sirkel Omkretsen av en sirkel er lengden av én runde langs sirkellinja. Sirkellinja er krum, men også krumme linjer har en lengde! Tre måter å måle omkretsen på Metode A Metode B Metode C Har du et målbånd som er bøyelig, kan du bare legge målbåndet langs sirkellinja når du måler. Du kan bruke en snor eller liknende. Legg snora én gang rundt sirkelen langs sirkellinja. Etterpå måler du lengden på snora. Dersom gjenstanden du skal måle kan trilles (et lokk, et hjul e.l.), gjør du slik: 1. Merk av et punkt på sirkellinja. 2. Start med dette punktet mot underlaget og sett et merke på underlaget. 3. Trill gjenstanden én runde inntil merket igjen berører underlaget. 4. Sett et nytt merke på underlaget og mål avstanden mellom startmerke og stoppmerke.
Geometri side 10 Slik regner du ut omkretsen Omkretsen er alltid litt mer enn tre ganger så lang som diameteren. Det tallet vi må multiplisere diameteren med er 3,14. Dette tallet kalles pi (π). omkrets=3,14 diameter. Bruker vi bare O for omkretsen og d for diameteren, kan vi lage en formel for omkretsen av en sirkel: O = π d.
Geometri side 11 Pi Pi er en matematisk konstant - et tall som går igjen så ofte i matematikken at det har fått sitt eget navn Navnet Pi kommer fra bokstaven π (uttales pi) i det greske alfabetet. Pi angir forholdet mellom lengden av sirkelens omkrets og sirkelens diameter. Omkretsen er pi ganger så lang som diameteren! Finn PI selv Bruk en sykkel eller et hjul du kan trille. 1. Pass på at dekket er pumpet hardt slik at hjulet former en perfekt sirkel. 2. Mål hjulets diameter så nøyaktig som mulig. En metode er å måle radien ved å måle fra senter av navet og ned på bakken. Radien ganges så med 2. 3. Sett et merke med merkepenn et sted på dekket. 4. Still sykkelen så dette merket berører bakken. Sett et merke på bakken der merket på dekket treffer. 5. Trill sykkelen forover så hjulet dreier akkurat én runde og merket på dekket igjen berører bakken. 6. Sett et nytt merke på bakken der merket på dekket nå berører. 7. Mål avstanden mellom de to merkene på bakken. dette er hjulets omkrets. 8. Divider omkretsen på diameteren. Da finner du tilnærmet π. Sammenlign med π og diskuter nøyaktigheten av denne målingen i klassen.
Geometri side 12 Pi er et merkelig tall. Det kan ikke skrives helt nøyaktig, for det er alltid mulig å finne flere desimaler. I dag er det datamaskiner som har funnet de første 480 000 000 desimalene! Til hoderegning og overslag kan du bruke π =3 Vanligvis bruker vi π =3,14 Skal du være svært nøyaktig, holder det nok med π =3,14159
Geometri side 13 Areal Arealet er et mål for hvor stor flate en figur dekker. Vi måler ved å sammenlikne med en "måle-flate". Måler vi sidene i meter, er måle-flaten et kvadrat med sider 1 meter. Måler vi sidene i cm, er måle-flaten et kvadrat med sider 1 centimeter.
Geometri side 14 Rektangel På figuren er det plass til 7 måleflater langs lengden. I bredden er det plass til 11 slike rader med 7 måle-flater. Arealet får vi ved å multiplisere lengden (7) med bredden (11). Areal = 7m 11m = 77m 2 For et rektangel finner vi arealet ved å undersøke hvor mange måle-flater som kan plasseres på rektangelet. Formel for rektangelets areal Av eksempelet ovenfor ser vi at vi får arealet ved å multiplisere rektangelets lengde og bredde: areal = lengde bredde Bruker vi bare A for arealet, l for lengden og b for bredden, kan vi lage en formel for arealet av et rektangel: A = l b Slik fører du
Geometri side 15 Kvadrat På figuren er det plass til 7 måleflater langs lengden og 7 måleflater langs bredden. I alt er dette 7 7 måleflater. Areal = 7m 7m = 49m 2 Formel for kvadratets areal Av eksempelet ovenfor ser vi at vi får arealet ved å multiplisere siden med seg selv: areal = side side Bruker vi bare A for arealet og s for siden, kan vi lage en formel for arealet av et kvadrat: A = s s Slik fører du Trekant For å forstå trekantens areal, er det viktig å forstå rektangelets areal
Geometri side 16 Alle rektangler kan deles i to like store trekanter. Rektangelets lengde blir trekantens grunnlinje. Rektangelets bredde blir trekantens høyde. Trekantens areal blir halvparten av rektangelets areal. Areal rektangel: 7m 11m = 77m 2 Areal trekant: 77 m² : 2 = 35,5 m 2 Formel for areal av trekant Arealet av en trekant er halvparten av arealet til en firkant med samme grunnlinje og høyde: Bruker vi bare A for arealet, g for grunnlinjen og h for høyden, kan vi lage en formel for arealet av en trekant: Slik fører du
Geometri side 17 Sirkel Sirkelens areal er helt sikkert mindre enn arealet av de fire kvadratene med side r. Altså litt mindre enn 4 r r. Men hvor mye mindre? Det tallet vi må multiplisere r r med, er 3,14. Dette tallet kalles pi (π). Formel for areal av en sirkel For å regne ut arealet av en sirkel, må vi vite hvor lang radien er: areal = 3,14 radien radien Bruker vi bare A for arealet, r for radien og for 3,14, kan vi lage en formel for arealet av en sirkel: A = π r r Slik fører du
Geometri side 18 Punkt Når vi skal tegne et punkt, tegner vi et kryss. Punktet ligger da akkurat der linjene krysser hverandre. Har vi markert flere punkter i en tegning, må vi sette navn på dem. Det er vanlig å bruke en bokstav som navn på et punkt, f. eks P eller A. Et punkt på en flate er en nøyaktig markering av et sted på flaten. Punkter i et koordinatsystem Har vi et koordinatsystem, kan vi bestemme et punkt ved å oppgi punktets koordinater. Første koordinat forteller hvor linja fra punktet treffer førsteaksen. Andre koordinat forteller hvor linja fra punktet treffer andreaksen. De to koordinatene danner et tallpar. Vi skriver tallparet slik: ( 5, 3 ), og kan da snakke om punktet (5,3).
Geometri side 19 Linje Rette linjer Med ordet linje mener vi vanligvis en rett linje med et startpunkt og et endepunkt. Det helt riktige navnet på dette er et rett linjestykke. En rett linje følger korteste vei mellom to punkter Et linjestykke har en lengde. Men linjen har ingen bredde! Andre linjer En linje som bare har et startpunkt og strekker seg uendelig langt den andre veien, kalles en stråle. Linjer kan også være uten start- og endepunkter, og de kan være krumme. Du finner mere om krumme linjer i neste kapittel. Navn på linjer Linjer kan navnes på to måter: Dersom endepunktene har navn, kan vi bruke disse. På figuren ser du linja AB. Vi kan gi linja en liten bokstav som navn. På figuren ser du linja m som krysser linja n.
Geometri side 20 Kurve En kurve er en linje som ikke trenger å være rett. Vi kaller også kurver for krumme linjer. Lukket kurve Åpen kurve Når kurven "biter seg selv i halen", sier vi at kurven er lukket. En lukket kurve har en innside og en utside. Når kurven har et startpunkt og endepunkt som ikke faller sammen, er kurven åpen.
Geometri side 21 Vinkel En vinkel formes av to rette linjer som skjærer hverandre. De to linjene kalles vinkelbein. Linjene møtes i toppunktet. Vinkelens størrelse Vinkelens mål forteller hvor mye vinkelbeina spriker. Vinkelens størrelse måles i grader (º). Tegne og konstruere Når du bruker gradskive for å lage en vinkel, sier vi at du tegner vinkelen. Hvis du bruker passer for å lage vinkler, sier vi at du konstruerer vinkelen. Alle vinkler kan tegnes, men bare noen få kan konstrueres. Noen vinkeltyper En vinkel på 90º kalles rett vinkel. En vinkel mindre enn 90º kalles spiss vinkel. En vinkel større enn 90º kalles stump vinkel.
Geometri side 22 Normal En normal er en linje som krysser en annen linje og danner en rett vinkel med denne. Vi sier at de to linjene står normalt på hverandre. Å tegne en normal Du kan tegne en normal til en linje ved å bruke gradskive eller vinkelhake. Å reise opp normalen i et punkt på linja. Du har en linje med et punkt P. I dette punktet skal det reises en normal til linja. Plasser gradskiva med diameteren langs linja og sentrum i punktet P, Merk av ved 90º. Trekk normalen ved å legge linjalen fra punkt til punkt. Å felle ned en normal på linja. Du har en linje og et punkt A ovenfor linja. Gjennom punktet A skal du tegne en normal til linja. Plasser vinkelhaka med den rette vinkelen som på figuren. Pass på at den ene siden ligger langs linja og den andre går gjennom A. Trekk normalen fra A til linja.
Geometri side 23 Parallelle linjer To rette linjer er parallelle hvis de er like langt fra hverandre alle steder langs linjene. Det betyr altså at linjene verken nærmer seg hverandre eller fjerner seg fra hverandre. Og de krysses aldri. Vi har et eget tegn som forteller at to linjer er parallelle. Er m og n to parallelle linjer, kan vi skrive dette slik: m n De to lengste sidene i et rektangel er parallelle. Og det er de to korteste også. Alle parallelle linjestykker i denne figuren AB CD, BC DA, EF BC, EF DA, AF ED, AF CE, AF CD, FD ED, FD CE, FD CD
Geometri side 24 Parallellogram Et parallellogram er en firkant der to og to sider er parallelle. I parallellogrammet er også to og to sider like lange. I parallellogrammet må ikke hjørnene være 90º. Rektangler er også parallellogrammer, men parallellogrammer er ikke rektangler!
Geometri side 25 Omkretsen Høyden Det er viktig å huske at to parallelle sider i et parallellogram er like lange. På figuren er AB = CD og BC = AD Du trenger derfor bare vite lengden på én side av hvert slag for å regne ut omkretsen som summen av alle sidene. Omkrets = 2 AB +2 CD Avstanden mellom to parallelle sider i parallellogrammet kaller vi høyden. Du ser sikkert sammenhengen med høyden i en trekant når vi tegner høyden som normalen fra hjørne D ( se figuren). Arealet For å kunne regne ut arealet av et rektangel, må vi kjenne én side og høyden på denne siden. Den siden som hører sammen med høyden kaller vi grunnlinja, akkurat som i trekanter. Arealet av rektangelet finner du ved å gange grunnlinja med høyden: Areal=grunnlinje høyde
Geometri side 26 Symmetri Naturen er full av vakre eksempler på symmetri. Sommerfuglen på tegningen er speilsymmetrisk - den kan deles i to halvdeler som er speilbilder av hverandre. Delelinja kalles symmetriaksen. Når sommerfuglen slår sammen vingene, vil vingene nøyaktig dekke hverandre. Når du har en speilsymmetrisk tegning på papiret og bretter papiret langs symmetriaksen, vil de to halvdelene falle sammen. Bruk dette som en sjekk på om du har speilsymmetri. Symmetri er viktig i naturen. Kan du finne andre eksempler på naturens symmetri? Symmetri er også viktig i geometri. Mange av de geometriske figurene du har lært om har én eller flere symmetriakser. Rektangelet har to symmetriakser. En likesidet trekant har tre symmetriakser.
Geometri side 27 Tegneredskaper Blyant Tegn med blyant og ikke med kulepenn eller filtpenn. Dette gjelder både i kladd og i innføring Blyantstreken kan du viske ut og da får du alltid et pent resultat. Linjal Linjalen bruker du alltid når du skal tegne rette linjer. I tillegg brukes linjalen til å måle lengder og til å få rett lengde på de linjene du tegner. Gjennomsiktig plastlinjal egner seg best til dette tegnearbeidet. Ruteark Gradskive Dersom du tegner på rutepapir, kan du bruke rutene når du skal lage rette vinkler. Du kan også telle hele og halve centimetre ved hjelp av rutene. Men linjal må du bruke for å få strekene rette - å tegne på frihånd er ikke godt nok, selv om du prøver å følge rutemønsteret. Etter hvert kan du frigjøre deg fra rutepapiret og tegne på blankt papir bare ved hjelp av de andre tegneredskapene. Gradskiva har form som en halvsirkel. Langs sirkellinja er det vinkelinndeling fra 0º til 180º. Bruk gradskiva når du skal tegne vinkler med kjent gradtall.
Geometri side 28 Vinkelhake Passer Vinkelhaken kan du bruke både som linjal og til å tegne de vanligste vinklene. Det er to typer vinkelhaker å få; en med vinkler på 30º, 60º og 90º og en med vinkler på 45º, 45º og 90º. Den førstnevnte er nok den mest anvendelige. Gjennomsiktig plastlinjal egner seg best til dette tegnearbeidet. Passeren brukes sammen med linjalen til konstruksjon. Men også når du skal tegne er passeren et nyttig redskap. Passeren bruker du da til: Tegning eller konstruksjon? å tegne sirkler og buer å merke av lengder I geometrien kalles tegningen en konstruksjon hvis du bare bruker passer, linjal og blyant. Det er metoder for konstruksjon av vinkler, normaler, paralleller osv. Når du ikke følger de nøyaktige reglene for konstruksjon, men fritt bruker alle tegneredskapene, sier vi at vi lager en tegning. Tegning med datamaskin I dag foregår tegne- og konstruksjonsarbeidet stort sett på datamaskiner. Kanskje ligger det et konstruksjons- eller tegneprogram på den datamaskinen du bruker nå? Spør læreren eller dataveilederen på skolen.
Geometri side 29 Tegne trekant Hva må du vite? Trekantens form og størrelse er avhengig av lengden på sider og høyde og størrelsen på vinkler. Lengdene og vinklene er trekantens mål. Dette er det lurt å huske: For å kunne tegne en trekant, må du alltid kjenne minst tre av trekantens mål. Tre viktige steg 1. Let i oppgaveteksten etter trekantens mål. Du må ha minst tre mål. 2. Tegn en hjelpefigur på frihånd og sett på målene. Det er den eneste måten å få oversikt på! 3. Tegn trekanten med tegneredskapene dine. Den rekkefølgen du tegner i er avhengig av hvilke mål du kjenner.
Geometri side 30 Tegne firkant Hva må du vite? Firkantens form og størrelse er avhengig av størrelsen på vinklene og lengden på sider, diagonal og høyde. Lengdene og vinklene er firkantens mål. Ofte får du ikke vite alle målene direkte. I stedet får du vite hvilken type firkant det er ( kvadrat, rektangel, parallellogram ). En slik opplysning er like viktig som målene. Når du får vite at det er et rektangel, vet du samtidig at alle vinklene er 90º. Tre viktige steg 1. Let i oppgaveteksten etter firkantens mål og andre opplysninger. 2. Tegn en hjelpefigur på frihånd og sett på målene. Bruk eventuelle opplysninger om firkantens type og sett på de målene du da får. Dette er den eneste måten å få oversikt på! 3. Tegn firkanten med tegneredskapene dine. Den rekkefølgen du tegner i, er avhengig av hvilke mål du kjenner.
Geometri side 31 2D og 3D 3D - hva er det? 3D er en forkortelse for tredimensjonalt. Du har kanskje hørt om 3D kinoforestilling eller 3D fjernsyn? I 3D-film vil det se ut som om gjenstandene på lerretet ligger bak hverandre, nærmere eller lenger bort enn lerretet. Spesielle fargeteknikker brukes for å lure øyet ditt til å tro at bildet har dybde. Papiret er todimensjonalt Et vanlig bilde på papir eller på en skjerm er jo egentlig helt flatt, selv om noen tegnere er flinke til å tegne i perspektiv. Bildet er 2D eller todimensjonalt. En flate har bare to hovedretninger. Koordinatsystemet med 1. og 2. koordinat kan brukes til å beskrive alle punkter på en flate. To koordinater, to retninger - eller to dimensjoner. Virkeligheten er tredimensjonal Vi ser ikke bare en flate foran oss. Rommet vi ser har også en dybde - den 3. dimensjonen. For å beskrive hvor et punkt i rommet ligger, trenger vi tre koordinater - vi bruker et tredimensjonalt koordinatsystem. 3D i geometrien De figurene vi har arbeidet med i de foregående kapitlene - kvadrater, rektangler, sirkler og trekanter, er alle sammen todimensjonale. Dette er flate-figurer som lar seg
Geometri side 32 tegne helt riktig på et flatt papir. Men i geometrien arbeider vi også med rom-figurer som har 3 dimensjoner. En murstein og et malingspann er eksempler på gjenstander som har tre dimensjoner. Mursteinens form kalles prisme og spannets form kalles sylinder. De har det felles at de ikke kan tegnes korrekt på et flatt papir. Vi må lære oss noen små triks for å tegne dem.
Geometri side 33 Prisme Prismer er romfigurer med en ganske enkel form. Et rektangulært prisme har et rektangel som bunnflate. Dette rektangelet har en lengde og en bredde. I tillegg har prismet en høyde. Du tegner ofte prismet som en gjennomsiktig figur.
Geometri side 34 Terning og volum Terningen er et prisme der bunn-, toppog sideflatene alle er like store kvadrater. Kvadratenes side blir også terningens side. Et annet navn for terning er kube. Å tegne terninger Denne terningen er tegnet litt annerledes en terningen over; den er tegnet med perspektiv. Slike tegninger ser litt finere ut- de gir inntrykk av dybde. Likevel skal du tegne terningen slik den første er tegnet når du skal arbeide med terninger i matematikk. Terningen tegner du slik som du tegner prismer. Volum Når vi skal måle hvor mye "plass" et romlegeme tar - volumet - bruker vi en terning til å sammenlikne med. Denne terningen har side 1m. Volumet av denne standardterningen er 1 m 3. Vi kan også måle med en terning som har side 1 cm. Da måler vi volumet i cm 3.
Geometri side 35 Sylinder Sylinderen er en romfigur med like sirkler som bunn- og toppflate. Sylinderens viktigste mål er høyden og diameteren i bunnflaten. Du tegner ofte sylinderen som en gjennomsiktig figur.