1.1 Matematikk er meir enn berre Ô kunne rekne

1.1 Matematikk er meir enn berre Ô kunne rekne Du skal l re ^ kor viktig det er Ô gjere overslag og vurdere kor rimeleg svaret er ^ Ô tolke, vurdere og diskutere matematisk innhald i skriftlege framstillingar EKSEMPEL 1 «Flere og flere velger rådhuset framfor kirken når barnets start på livet skal feires. Oslo har hatt en vekst på over 50 % på tre år.» Dette skreiv Aftenposten i 2005. Tabellen i margen er saksa frå artikkelen. Eit foreldrepar som hadde valt dåp, vart intervjua. Avisa gjorde eit poeng av at dei valde dette «selv om trenden sier navnefest uten religiøse trekk». Meiner du at avisa gir korrekt informasjon? Om vi ikkje les tabellen, kan informasjonen tolkast som om det er stor nedgang når det gjeld dåp. Men tabellen syner at det er nokså stabilt kor mange som vel dåp gjennom heile perioden. Ein påstand i teksten er at talet på namnefestar hadde ein vekst på meir enn 50 %. Stemmer det med tabellen? 50 % vekst vil seie at vi legg til halvparten av det opphavlege talet. Dersom 50 % var korrekt, skulle overslagsrekning ha vist at ca. 460 þ 230 ¼ 690 barn hadde namnefest. Det stemmer ikkje med tabellen. UTVIKLING Oslo og Akershus r Borgarleg namnefest DÔp 2000 464 4580 2001 467 4562 2002 479 5218 2003 578 4416 2004 633 4582 Kjelde: Human-Etisk Forbund og Den norske kyrkja I artikkelen stod det 50 % vekst over ein treårsperiode. Tabellen viser ein fireårsperiode. Det kan vere at prosenten er korrekt, ettersom tabellen gjeld Oslo og Akershus, mens det stod Oslo i artikkelen. EKSEMPEL 2 Overslag. Kor rimeleg er svaret? Ein dag kom Kari over billig parkett på timesal. Dette tilbodet ville ho dra nytte av. Ho hadde ikkje tid til å få målt opp rommet sitt, men visste at det var litt under 5 meter langt og om lag 2;5 meter breitt. Kari gjorde overslag og bestemte seg for å kjøpe 17 m 2 parkett. a) Korleis kom ho fram til dette talet? Meiner du at det var nok? FØR 228,- per m 2 NO 75 % rabatt Då Kari skulle betale, var rekninga på 1938 kroner. Ho syntest det var mykje for 17 m 2 parkett. Ho kontrollrekna og fann at ho skulle betale halvparten av dette. b) Kva kan ekspeditøren ha gjort feil? 10 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

Løysing: a) Kari må vere sikker på at ho kjøper nok om ho ikkje skulle få tak i parkettypen seinare. 17 m 2 kan ho ha kome fram til ved å gjere overslag over breidda og rekne med ei breidd på 3m.Såhar ho gonga 5 og 3 med kvarandre og lagt til 2 m 2 med tanke på svinn. b) Dersom Kari skulle ha betalt full pris, ville det ha kosta 17 228 kroner ¼ 3876 kroner. Summen på kassa er halvparten av dette, så ekspeditøren har nok berre trekt frå 50 % rabatt. Ein måte å rekne ut rett sum på er å dele full pris på 4. 75 % rabatt vil seie at ho skal betale 25 % av prisen. Det er det same som ein firedel. AKTIVITETAR OppgÔve 1.1 Gjer først overslag. Rekn så ut dei eksakte svara: a) 23 þ 9 þ 48 þ 78 þ 129 þ 31 b) 347 62 39 117 c) 18 33 OppgÔve 1.2 Trine gjer overslag når ho handlar, for å vite om beløpet ho skal betale, stemmer. Ein dag handla ho 2 liter mjølk til 11;50 kr per liter, ca. 2 kg eple til 22;50 kr=kg, kjøttdeig til 58;69 kr, toalettpapir til 11;90 kr og eit tidsskrift som kosta 48;90 kr. Gjer overslag og finn ut om lag kor mykje ho skal betale. OppgÔve 1.3 Det er haustsal i ein klesbutikk. Lene finn mange gode tilbod, og ho ønskjer å handle inn julepresangar til familien. Ho har plukka med seg tre genserar til 160 kroner per stykk, og her gjeld «ta 3, betal for 2». Vidare ønskte ho å kjøpe to treningsdressar til 249 kroner per stykk, ei bukse som var sett ned til 119 kroner, og ein kjole til 180 kroner. Lene har med seg 1300 kroner og har ikkje meir pengar på bankkortet. Gjer eit overslag og vis om ho har råd til å kjøpe alt dette. ParoppgÔve 1.4 Ein ungdomsklubb vart pussa opp og modernisert. I tillegg vart det fleire aktivitetar. Som ei følgje av dette auka medlemstalet. Tabellen viser medlemstalet dei fire første månadene etter oppussinga: Månad januar februar mars april Medlemstal 35 42 58 84 Den siste fredagen i månaden blir det servert pizza, og då plar om lag 50 % av medlemmene å kome. Dei som har ansvaret for pizzakvelden i mai, skal rekne ut kor mykje pizza dei må bestille. Dei reknar fire personar per pizza. a) Individuell oppgåve: Prøv å rekne ut kor mange medlemmer det er i mai. b) Paroppgåve: Forklar korleis de har tenkt. Samanlikn svara. Kor mange pizzaer ville de ha gått inn for å kjøpe? Utfordring 1.5 Bjørn og Kristin går fottur. Ein dag valde dei ein tur der ein tredel av løypa gjekk i lett terreng og to tredelar i brattare terreng. I lett terreng held dei ein fart på ca. 5 km=h, mens dei bruker 3 km=h i brattare lende. Bjørn og Kristin byrja å gå klokka 10 og skal gå 30 kilometer. Dei håper å nå fram til middag klokka 19. Vil dei rekke det? KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 11

1.2 Vegen om 1 ^ ein praktisk framgangsmôte Du skal l re ^ Ô löyse praktiske oppgôver ved Ô gô ßvegen om1ý Butikkane sel varer i ulike pakningar. For at vi forbrukarar lett skal kunne samanlikne prisane, pliktar forretningane å opplyse om prisen i for eksempel kroner per kilogram eller kroner per liter. Gjennom nokre eksempel viser vi korleis du kan rekne med «vegen om 1». Det vi gjer, er å finne kor mykje som svarar til éi eining. Deretter kan vi finne kor mykje ein gitt storleik svarar til. EKSEMPEL 3 I ein butikk kostar safta Tropisk 23;90 kroner for ei flaske på 1;5 liter, og 16;90 kroner for ei literflaske. Literprisen er også gitt for den største flaska, men vi vil likevel kontrollrekne det. Kva slags flasketype av Tropisk lønner det seg å kjøpe? 23;90 kroner Saft i flaska på 1;5 liter: 15;93 kroner per liter 1;5 liter Det lønner seg å kjøpe saftflaska på 1;5 liter. EKSEMPEL 4 For ein kalkun på 3;8 kg betaler Eli 171 kroner. a) Kva er prisen per kilogram for kalkunen? b) Kva ville ein kalkun på 4;2 kg ha kosta? Løysing: 171 kroner a) Prisen er ¼ 45 kroner per kilogram 3;8 kg b) 4;2 kg kalkun ville ha kosta 4;2 45 kroner ¼ 189 kroner. EKSEMPEL 5 Du har fått 750 danske kroner av ei tante i Danmark. Du vekslar inn pengane i ein norsk bank ein dag det kostar 105;30 norske kroner for 100 danske kroner. Dette kallar vi kursen på danske kroner. Banken krev eit vekslingsgebyr på 35 kroner. Kor mange norske kroner får du utbetalt? 12 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

Løysing: 100 danske kroner svarar til 105;30 norske kroner. 105;30 kroner Éi dansk krone svarar til ¼ 1;053 norske kroner 100 750 danske kroner svarar til 750 1;053 kroner ¼ 789;75 kroner. Før du får utbetalt pengane, trekkjer banken frå gebyret. Du får altså utbetalt 789;75 kroner 35 kroner ¼ 754;75 kroner. AKTIVITETAR OppgÔve 1.6 Ole og Petter skulle beise husa sine. Ole kjøpte beis i eit tilitersspann til 498 kroner. Per kjøpte ein annan type beis. Han betalte 188 kroner for beis i eit firelitersspann. Kven kjøpte den billigaste beisen? OppgÔve 1.7 I ei oppskrift på fårikål står det at 1;2 kg kjøtt og 1;6 kgkål er høveleg til fire personar. Kor mykje kjøtt og kor mykje kål måvi kjøpe inn til fem personar? OppgÔve 1.8 Vi skal handle sjokoladepulver. Vi plar kjøpe store boksar på 500 gram til 36;00 kroner. Ein dag er det tilbod på små boksar på 200 gram. Ein liten boks kostar 23;50 kroner, men på tilbod kan vi «ta tre og betale for to». Lønner det seg å kjøpe dei små boksane? OppgÔve 1.9 Bente trenar på stigar i ei rundløype som er 3;5 km lang. Rekorden hennar er 14 minutt 30 sekund. Trine plar springe ein runde på ein veg som er 4;8 km lang. Den raskaste tida ho har sprunge på, er 22 minutt. Kven har best kilometertid? OppgÔve 1.10 Ei forretning tilbyr pakkar med fire beger yoghurt til 14;90 kroner. Kvart beger inneheld 125 ml yoghurt. Den same forretninga tilbyr også enkeltbeger med 175 ml yoghurt til 4;90 kroner. Samanlikn prisane per liter yoghurt for dei to tilboda. OppgÔve 1.11 Du kjøper 2750 svenske kroner. Denne dagen opplyser banken at du må betale 80;40 norske kroner for 100 svenske kroner. Kor mange norske kroner må du betale når banken krev eit vekslingsgebyr på 40 kroner? Utfordring 1.12 Bjørnar kjøper eit smørbrød på danskebåten. Smørbrødet kostar 40 danske kroner. Bjørnar betaler med 100 norske kroner og får att 50 danske kroner i vekslepengar. a) Kva for ein kurs på 100 danske kroner svarar det til? Då Bjørnar kom heim, fann han ut at kursen den aktuelle dagen hadde vore 104;30. b) Samanlikn kursen rekna ut i a med den faktiske kursen. Kommenter. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 13

1.3 Dekadiske môleiningar. MÔlepresisjon Du skal l re ^ om dekadiske môleiningar ^ Ô gjere om mellom dekadiske môleiningar ^ ommôlepresisjon,gjeldandesi erogavrundingavsvar I margen repeterer vi nokre av dei dekadiske einingane du kjenner frå grunnskulen. Vi kallar einingane dekadiske fordi vi kan gjere om mellom dei ved å gonge eller dele med 10. Deka tyder ti. Når vi gjer om frå ei eining til ei anna, kan vi tenkje slik: For kvart steg vi går oppover i trappa, deler vi med 10. For kvart steg vi går nedover i trappa, gongar vi med 10. Vi lagar nye einingar ved hjelp av forstavingar: kilo tyder tusen, og desi tyder tidel. Vi får då for eksempel kilometer, km, som tyder tusen meter, og desimeter, dm, som tyder tidelen av ein meter. I tillegg har somme einingar eigne namn: 1 mil ¼ 10 km og 1 tonn ¼ 1000 kg. I margen gir vi eit oversyn over dei vanlegaste forstavingane. EKSEMPEL 6 Gjer om 4;2 cm til meter. Løysing: Vi skal dividere med 10 to gonger. Det gjer vi ved å flytte desimalkommaet to plassar mot venstre. Vi får 4;2 cm¼ 0;042 m. DEKADISKE EININGAR km kg hg hl m dm g cm mm l dl mg cl FORSTAVINGAR ml giga G milliard mega M million kilo k tusen hekto h hundre deka da ti desi d tidel centi c hundredel milli m tusendel mikro m milliondel Når vi måler avstandar i geometrien på skulen, bruker vi oftast linjal. Har du tenkt over at vi då ikkje kan måle lengder heilt nøyaktig? For eksempel ser du at lengda på figuren er ca. 2;4 cm. Vi skriv «ca.» for å streke under at det ikkje er mogleg å måle lengda heilt nøyaktig. Vi seier at 2;4 cm er ein tilnærmingsverdi med to gjeldande siffer for den gitte lengda. Det vil seie at den «korrekte» lengda ligg ein eller annan stad mellom 2;35 cm og 2;45 cm. 0 1 2 3 Når vi treng større presisjon, må vi bruke andre målereiskapar. Det vanlegaste i industrien er skuvelære og mikrometerskrue. Skuvelæret kan måle nøyaktig ned til ein tidels millimeter, mens mikrometerskruen kan måle nøyaktig ned til ein hundredels millimeter. Dei mest moderne måtane å måle større avstandar på baserer seg på laserteknologi. Ein laserpuls blir send ut, reflektert og motteken i utgangspunktet. Den tida laserlyset bruker på dette, blir så målt. Dermed kan vi rekne ut lengda. 14 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

Når vi reknar ut eit svar, må vi ikkje skrive svaret meir nøyaktig enn dei storleikane vi gjekk ut frå. Når vi gongar eller deler, rundar vi av svaret til like mange gjeldande siffer som det vi starta med. EKSEMPEL 7 SIFFERREGEL Rund av svaret til like mange gjeldande si er som det du gjekk ut frô. Finn arealet av eit rektangel med lengda 3;6 cm og breidda 2;4 cm. Løysing: Dei to storleikane vi går ut frå, har to gjeldande siffer. Då rundar vi også av svaret til to gjeldande siffer. Altså: 3;6 cm 2;4 cm 8;6 cm 2. Vi reknar ofte med kilometer per time, km=h, og meter per sekund, m=s: km h ¼ 1km 1h ¼ 1000 m 60 60 s ¼ 1000 m 3600 s ¼ 1 3;6 m=s Vi kan altså gjere om frå km=h til m=s ved å dividere med 3;6. Omvendt kan vi gjere om frå m=s til km=h ved å gonge med 3;6. MELLOM km/h OG m/s m s 3, 6 3, 6 km h EKSEMPEL 8 Gjer om 25 m=s til kilometer per time (km=h). Løysing: Vi gongar med 3;6 ogfår25m=s ¼ 25 3;6 km=h ¼ 90 km=h. AKTIVITETAR OppgÔve 1.13 Gjer om a) 34;7 ml til liter b) 1;57 kg til gram OppgÔve 1.14 Vi måler høgda til ei jente. Kva fortel vi a) dersom vi set høgda til 162 cm b) dersom vi set høgda til 162;0 cm OppgÔve 1.15 Rekn ut arealet av eit rektangel med lengda 4;38 dm og breidda 3;67 dm. OppgÔve 1.16 a) Gjer om 72 km=h til meter per sekund (m=s). b) Gjer om 30 m=s til kilometer per time (km=h). c) Ida syklar 20 km på 1 time 15 minutt. Rekn ut gjennomsnittsfarten i km=h og i m=s. DrÖfting 1.17 Ei alen tok utgangspunkt i ei olbogelengd, det vil seie avstanden frå olbogen til fingerspissen. Finn den gjennomsnittlege olbogelengda i klassen. Kva er problemet med ei slik måleining? Utfordring 1.18 Ein pasient skal få tilført medisin intravenøst med 16 dropar per minutt. Vi reknar at 1 milliliter (ml) svarar til 20 dropar. Pasienten skal ha tilført 0;1 liter væske til saman. Medisineringa byrjar kl. 09:45. Når er ho ferdig? Miniprosjekt 1.19 Søk på nettet og finn ut kva Justerstellet i Noreg arbeider med. Lag eit lite oversyn for gruppa. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 15

1.4 Lommereknaren Du skal l re ^ reknerekkjefölgja ved talrekning, som ogsô er lagd inn i lommereknaren ^ at vi kan rekne vidare med det siste svaret ved Ô bruke Ans ^ skilnaden pô rekneminus og forteiknsminus ^ at vi ofte mô hjelpe lommereknaren med Ô setje parentesar ^ korleis vi rettar feil inntasting pô lommereknaren Vi skal bruke lommereknaren mykje i dette kurset. Du skal få lære framgangsmåtane etter kvart som du treng dei. Men alt no skal vi øve inn nokre grunnleggjande operasjonar. La oss med ein gong kontrollere at lommereknaren er rett innstilt. CASIO Trykk MENY og vel RUN på Casio. Trykk SHIFT SETUP. Nedanfor ser du korrekt oppsett. Bruk pil ned og flytt markøren til linjer med feil. Gjer så rett val. Avslutt med EXIT. TEXAS Trykk MODE på Texas. Nedanfor ser du korrekt oppsett. Om det ikkje stemmer, bruker du piltastane, flytter markøren til rett felt og trykkjer ENTER. Avslutt med 2nd QUIT. I margen har vi repetert reknerekkjefølgja vi bruker for å kunne rekne rett. Vi viser ei utrekning der denne rekkjefølgja er brukt: 4 þ 5 2 3 ¼ 4 þ 5 8 ¼ 4 þ 40 ¼ 44 Denne reknerekkjefølgja er lagd inn i lommereknaren. Vi kan derfor trykkje 4 þ 5 2 3 nøyaktig som det står, og avslutte med EXE på Casio og ENTER på Texas. Legg merke til at lommereknaren har ein eigen tast for potens, ^: REKNEREKKJEFØLGJE 1Parentes 2Potens 3 Gonge og dele 4 Pluss og minus CASIO TEXAS I uttrykket 4 þ 5 2 3 er det altså gale å starte med å leggje saman 4 og 5. Dersom meininga var at vi skulle ha innleidd med det, ville reknestykket sett slik ut: ð4 þ 5Þ2 3 ¼ 9 2 3 ¼ 9 8 ¼ 72 Dette kan vi også trykkje nøyaktig som det står pålommereknaren: CASIO TEXAS 16 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

Når vi skal bruke svaret direkte vidare i ei utrekning, for eksempel 72, trykkjer vi berre gongetast og slik: CASIO TEXAS Lommereknaren gjer altså bruk av det siste svaret ved hjelp av Ans, som er ei forkorting for «answer». Du oppdaga kanskje også at lommereknaren har ein eigen tast for som vi bruker i staden for det unøyaktige 3;14. Vi kan òg plassere Ans midt i ei utrekning ved å trykkje SHIFT Ans på Casio og 2nd ANS på Texas: CASIO TEXAS I uttrykket 2 2 4 er det første minusteiknet eit forteiknsminus. 2 2 skal jo ikkje trekkjast frå noko tal. Minusteiknet i midten er eit rekneminus som fortel at vi skal trekkje 4 frå resultatet av utrekninga 2 2. Derfor finst det både forteiknsminus, ( ), og rekneminus,,pålommereknaren. Texas gir feilmelding når vi ikkje bruker rett minusteikn. Legg merke til at vi bruker tasten x 2 for å opphøgje i andre potens: CASIO TEXAS Brøkar og rotteikn skriv vi ofte utan parentesar, no som vi veit korleis dei skal reknast ut. For eksempel er 5 þ 7 2 3 ¼ 12 6 ¼ 2 Dersom vi vil rekne ut svaret utan mellomrekning på lommereknaren, må vi hjelpe til med å slå parentesar om teljaren og nemnaren: CASIO TEXAS pffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi På same måten må vi trykkje ð98 56Þ for å få 98 56. Vi kan gå attende og rette inntastingar ved å bruke venstrepil på Casio og 2nd ENTRY og venstrepil på Texas. Læraren hjelper deg med overskriving, DEL og INS. AKTIVITETAR OppgÔve 1.20 Rekn ut på lommereknaren: a) 4 þ 8 97 3 5 4 b) 3 þ 3 2 ð92 2 5Þ OppgÔve 1.21 Rekn ut på lommereknaren: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 5 52 a) b) 13 5 2 3 2 2 12 2 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 17

1.5 ReknerekkjefÖlgje og forteikn ^ nyttige reglar Du skal l re ^ Ô bruke reknerekkjefölgja i eigne utrekningar ^ Ô rekne med forteikn EKSEMPEL 9 Vi repeterer at lommereknaren kan gi feilmelding dersom vi ikkje skil mellom rekneminus,, og forteiknsminus, ( ). I reknestykket 8 5 ¼ 3 fortel minusteiknet at talet 5 skal trekkjast frå talet 8. Her fungerer minus som rekneminus, og vi bruker. I reknestykket 2 þ 5 ¼ 3 fortel minusteiknet at vi har det negative talet 2. Her er minusteiknet eit forteiknsminus, og vi bruker ( ). Feil som kjem av galen reknerekkjefølgje, kan samanliknast med å setje komma på feil stad: «Heng han ikkje, vent til eg kjem» tyder noko heilt anna enn «Heng han, ikkje vent til eg kjem»! MINUS PÅ LOMMEREKNAREN Rekneminus er tasten. Forteiknsminus er tasten ( ). REKNEREKKJEFØLGJE 1Parentes 2Potens 3 Gonge og dele 4 Pluss og minus EKSEMPEL 10 Trine, Ellen og Knut har prøvd å rekne ut denne oppgåva: 2 þ 3 6 2 ð 5 þ 2Þ Dei fekk ulike svar og kontrollerte utrekninga på lommereknaren. Det synte seg at Ellen hadde rekna rett. Hjelp Trine og Knut med å finne ut kva dei har gjort gale. Som reknerekkjefølgja viser, gjorde Trine feil fordi ho starta med å leggje saman dei to første tala. Å leggje saman og trekkje frå gjer vi etter å ha fullført dei andre rekneoperasjonane. Knut gjorde feil då han skulle gonge inn i parentesen. Talet som stod utanfor parentesen, gonga han berre med det eine talet inni parentesen. Knut ville ikkje gjort feil i denne oppgåva dersom han først hadde trekt saman inni parentesen. 18 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

EKSEMPEL 11 Her viser vi korleis vi i tillegg til rett reknerekkjefølgje må passe på forteikna: a) 3 2 ð 4Þð 2Þ ¼9 8 ¼ 72 (reglane 2 og 3) b) 3 2 þ 4 ð 2Þ ¼ 9 8 ¼ 17 (reglane 2, 3 og 4) c) ð 3Þ 2 þ 4 ð 2Þ ¼9 8 ¼ 1 (reglane 2, 3 og 4) d) 2 ð3 7Þ 2 ¼ 2 ð 4Þ 2 ¼ 2 16 ¼ 32 (reglane 1, 2 og 3) Kontroller at du får same svaret på lommereknaren. HUGS! 2 3 ¼ 6 ð 2Þ3 ¼ 6 2 ð 3Þ ¼ 6 ð 2Þð 3Þ ¼ 6 8 2 ¼ 4 8 2 ¼ 4 8 2 ¼ 4 8 2 ¼ 4 AKTIVITETAR OppgÔve 1.22 Rekn ut utan lommereknar: a) 8 þ 4 6 b) 8 : 2 3 c) 9 2 þ 18 : 3 d) 3 2 2 þ 6 : 2 þ 5 OppgÔve 1.23 Rekn ut med og utan lommereknar: a) 3 ð 4Þ 2 3 þ 4 ð 2Þ b) 2 3 ð 3 þ 4Þ 2 c) 3 ð 4Þð 2Þ : ð2 3Þ d) 5 þ 3 ð 2Þ 4 3 7 þ 3 þ 4 ð 2Þ OppgÔve 1.24 Trass i at vi kan la lommereknaren gi oss svaret, har hovudrekning den fordelen at det somme gonger går raskare. Tipset er å leggje saman eller gonge to tal som gir tal som er lette å rekne med. For eksempel kan vi raskt løyse oppgåva 2 þ 17 þ 8 þ 3 ved å leggje saman 2 þ 8og 17 þ 3 kvar for seg. Då får vi 10þ 20 ¼ 30. Rekn ut i hovudet: a) 26 þ 18 þ 14 þ 42 b) 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ 5 þ 6 þ 7 þ 8 þ 9 þ 10 c) 23 2 5 10 d) 3 15 0 47 ParoppgÔve 1.25 Løys denne oppgåva munnleg: Ole hadde 500 kroner. Han kjøpte to pølser til 19 kroner per stykk. Ein kveld han var på kino, betalte han 80 kroner for kinobilletten, to gonger 20 kroner for togbillettane, og han kjøpte 250 gram smågodt til 10 kroner per hektogram. Veka etter fekk han utbetalt lønn for å ha jobba fem timar. Timelønna hans var 110 kroner. Ole var skuldig Hanne 1000 kroner, og han fann ut at han kunne betale henne tre firedelar no. Har Ole råd til å ta ein ny tur på kino til same prisen som sist? Utfordring 1.26 Vi veit at 2 þ 3 4 ¼ 20 er gale, mens ð2 þ 3Þ4 ¼ 20 er rett. Føy til parentesar slik at desse stykka blir korrekte: a) 2 5 2 þ 6 ¼ 106 b) 3 4 þ 5 6 ¼ 162 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 19

1.6 Enkel algebra Du skal l re ^ Ô rekne med parentesar ^ÔreknemedbrÖk Mellom anna i formelrekning kan det vere behov for å rekne med parentesar. Vi repeterer derfor nokre reglar. EKSEMPEL 12 Kva for reglar er nytta her? a) 2 þðx 1Þ ¼2 þ x 1 ¼ x þ 1 b) 2 ðx 1Þ ¼2 x þ 1 ¼ x þ 3 EKSEMPEL 13 Kva er regelen når eit tal skal gongast inn i ein parentes? 2 ðx 1Þ ¼2 x 2 1 ¼ 2x 2 I det neste eksemplet repeterer vi korleis vi gongar to parentesar med kvarandre. REKNING MED PARENTESAR 1Plussframforparentes: ^ Parentesen kan fjernast. 2Minusframforparentes: ^ Fjern parentesen og skift samstundes forteikn pô ledda inni parentesen. 3 Tal gonga med parentes: ^Gongtaletmedkvartledd iparentesen. 4Parentesgongamed parentes: ^Gongkvartleddideneine parentesen med kvart ledd idenandre. 5 Dra saman ledda inni parentesen dersom det berre er e in type ledd. EKSEMPEL 14 Her har vi to parentesar som skal gongast med kvarandre. Vi gongar då kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd i den andre: ðx þ 4Þð2x þ 1Þ ¼x 2x þ x 1 þ 4 2x þ 4 1 ¼ 2x 2 þ x þ 8x þ 4 ¼ 2x 2 þ 9x þ 4 PARENTES MED PARENTES Vi multipliserer kvart ledd i den eine parentesen med kvart ledd i den andre: EKSEMPEL 15 I desse reknestykka finst det parentesar med berre ein type ledd. Kva kan det då vere lurt å gjere? a) 2 ð3 þ 1Þ ¼2 4 ¼ 8 b) ð3x þ xþðx þ 2Þ ¼4x ðx þ 2Þ ¼4x x þ 4x 2 ¼ 4x 2 þ 8x Vi har også behov for brøkrekning i oppgåver. Vi repeterer den viktigaste rekninga frå grunnskulen. 20 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

EKSEMPEL 16 Rekn ut og skriv svaret som brøk: a) 3 4 þ 7 4 ¼ 3 þ 7 4 ¼ 10 4 ¼ 5 6 2 2 6 2 ¼ 5 2 b) 2 3 1 4 ¼ 2 4 3 4 1 3 4 3 ¼ 8 12 3 12 ¼ 8 3 ¼ 5 12 12 c) 5 4 2 3 ¼ 5 2 4 3 ¼ 10 12 ¼ 5 6 d) 2 3 x þ x 3 5 ¼ 2 3 x 1 þ x 3 5 1 ¼ 2x 3 þ 5x 3 ¼ 7x 3 ¼ 7 3 x 1 ¼ 7 3 x BRØK PLUSS OG MINUS BRØK ^ Utvid eventuelt brökane slik at dei fôr lik nemnar. ^ Dra saman teljarane og hald fast ved nemnaren. ^Kortsvaretommogleg. BRØK GONGA MED BRØK ^Gongteljarmedteljar og nemnar med nemnar. ^Kortsvaretommogleg. EKSEMPEL 17 1 ðx þ 2Þ 2x 5 3x 2 2 2 ¼ x 2 þ 2 2 2x þ 5 2 3x 2 ¼ x 2 þ 2 2 4x 2 þ 5 2 3x 2 x 4x 3x ¼ þ 2 þ 5 2 2 ¼ 6x 2 þ 7 2 ¼ 3x þ 7 2 AKTIVITETAR OppgÔve 1.27 Rekn ut: a) 3 ð2x þ 5Þ b) 2 ðx þ 3Þ c) 3 ðx 2Þþ2 ð2x þ 7Þ d) 3 2 ð5 xþ e) 2 ðx 4xÞ ð2x þ 7Þ f) x 2 x ðx 3Þ OppgÔve 1.28 Rekn ut: a) ðx þ 2Þðx þ 3Þ b) ðx 2Þðx 3Þ c) ð4 2Þð2x þ 7Þ d) ð3x 2Þð2x þ 7Þ OppgÔve 1.29 Rekn ut og skriv svaret som brøk: a) 1 3 þ 4 3 b) 1 4 3 4 c) 1 3 þ 5 d) 2 12 5 1 6 Kontroller svara på lommereknaren. OppgÔve 1.30 Rekn ut og skriv svaret som brøk: a) 1 3 2 b) 12 5 20 5 2 3 c) 10 15 d) 3 6 5 1 2 4 3 Kontroller svara på lommereknaren. OppgÔve 1.31 Rekn ut: a) 2x 3 1 3 ðx þ 2Þ b) 2 3 ðx 1Þ x 2 3 Utfordring 1.32 I testamentet sitt hadde Olsen delt arven mellom dei to nevøane sine, Knut og Per, og naboen Hansen. Hansen skulle få halve arven, Knut tre tidelar og Per resten. I arveoppgjeret fekk Per 640 000 kroner. Kor mykje fekk kvar av dei to andre? KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 21

1.7 Likningar Du skal l re ^ Ô löyse enkle likningar ^ Ô setje opp og löyse uoppstilte likningar I margen har vi sett opp forslag til reglar for å løyse likningar. Det er ikkje alle reglane som må brukast kvar gong. Det kjem an på oppgåva. Nedanfor viser vi nokre typiske eksempel. EKSEMPEL 18 5x 3 ¼ 9 x 5x þ x ¼ 9 þ 3 6x ¼ 12 6 6x 6 6 ¼ 12 6 x ¼ 2... Viflytteroverogskifterforteikn... Vi dreg saman pô kvar side... Vi deler med 6 pô kvar side... Vi kortar og reknar ut svaret LØYSING AV LIKNINGAR ^ Gong inn i og opne parentesane. ^ Gong alle ledd med samnemnaren. ^ Saml x-ledda pô venstre side og tala pô högre side. ^SkiftforteiknnÔrdu ytter over ledd. ^ Dra saman x-ane og tala kvar for seg. ^ Del med talet framfor x pô begge sider. Kort eventuelt svaret. EKSEMPEL 19 3 þ x ¼ 3 ðx þ 2Þ 4x 2 3 þ x ¼ 3x þ 6 4x 2 3 þ 2x ¼ 6x þ 12 8x 2x 6x þ 8x ¼ 12 3 4x ¼ 9 6 4x 6 4 ¼ 9 4... Vi gongar ut parentesen... Vi gongar overalt med 2... Vi löyser som i eksempel18 x ¼ 9 4 Mange praktiske problem kan løysast ved at vi set opp informasjonen som ei likning. Ein av dei ukjende kallar vi x. Ut frå opplysningane i oppgåva finn vi ut kva dei andre ukjende må kallast. Det kan lønne seg å la den minste storleiken vere x, eller vi lèt x vere det vi samanliknar med flest gonger. UOPPSTILT LIKNING NÔr x er eit tal, har vi: 2x er det doble av talet x þ 3 er 3 meir enn talet 2 ðx þ 3Þ er det doble av 3meirenntalet 22 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

EKSEMPEL 20 Ole, Trine og Bente er til saman 43 år. Ole er dobbelt så gammal som Trine, og Bente er tre år eldre enn Trine. Kor gamle er kvar av dei? Løysing: I denne oppgåva kan det vere lurt å kalle den yngste for x. Trine er då x år, Ole er 2x år, og Bente er ðx þ 3Þ år: Trine þ Ole þ Bente ¼ 43 år x þ 2x þðx þ 3Þ ¼43 4x ¼ 40 6 4x 6 4 ¼ 40 4 x ¼ 10 Trine er 10 år, Ole er 20 år, og Bente er 13 år. AKTIVITETAR OppgÔve 1.33 Løys likningane: a) 3x þ 2 ¼ 12 þ 2x b) 4 ðx 2Þ ¼3 ð5x þ 2Þ c) 3 þ 4 ðx 3Þ ¼9 2x d) 3x þ 2 ðx 5Þ ¼ 3x 2 OppgÔve 1.34 Per er dobbelt så gammal som Ola. Kari er ti år eldre enn Ola. Til saman er dei 78 år. a) Gå ut frå at Ola er x år gammal. Kva blir då uttrykket for alderen til Per og Kari? b) Set opp ei likning og finn ut kor gamle dei er. OppgÔve 1.35 Geir og Line har til saman 73 kroner. Line har 19 kroner meir enn Geir. Kor mange kroner har dei kvar? OppgÔve 1.36 Marit, Britt og Elin lagar keramikkfigurar som dei sel til turistar. Ei veke har dei til saman laga 70 figurar. Britt har laga ni fleire enn Marit, og Marit har laga fire færre enn Elin. Kor mange figurar har kvar av dei laga? OppgÔve 1.37 Lise, Erik og Petter har til saman 420 kroner. Kor mange kroner har Lise, Erik og Petter kvar når Erik har dobbelt så mykje som Lise, og Erik har 20 kroner mindre enn Petter? Løys oppgåva ved å setje opp ei likning. OppgÔve 1.38 Ellen, Mari og Per sel til saman 900 lodd. Ellen sel dobbelt så mange lodd som Per, og Mari sel 100 lodd meir enn Per. a) Set opp ei likning og finn kor mange lodd kvar av dei sel. b) Noko av inntekta frå loddsalet får dei som lønn. Kor mykje får kvar av dei i lønn når dei til saman får 540 kroner? Utfordring 1.39 I ein gymtime vel halvparten av elevane ballspel, tredelen vel styrketrening, mens resten, fire elevar, er sjuke eller har gløymt gymtøyet. Set opp ei likning og finn kor mange elevar som er med i gruppa. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 23

1.8 Kvadratiske likningar.ulikskapar Du skal l re ^ löysingsformelen for ei kvadratisk likning ^ korleis vi löyser enkle ulikskapar I avsnittet framanfor løyste vi enkle likningar. Men har du tenkt over kva ei likning eigentleg er? For å forstå det må du kjenne til omgrepet open utsegn. Eg er høgare enn deg. «Eg er høgare enn deg» er ei utsegn vi kan avgjere om er sann eller usann. Når Nina seier det til Erik, er det jo sant. Slike påstandar som vi kan finne ut om er sanne eller usanne, kallar vi matematiske utsegner. «Heia Rosenborg» kan vi derimot ikkje ta standpunkt til på denne måten. Det er ikkje ei matematisk utsegn. «x er mindre enn 3» kan vi først ta standpunkt til når vifår vite kva x er. Er x lik 2, blir utsegna sann. Er x lik 4, blir ho usann. Vi kallar det ei open utsegn med variabelen x. Likningar og ulikskapar er slike opne utsegner. Å løyse ei likning eller ein ulikskap vil seie å finne alle verdiane av x som gjer at utsegna blir sann. Når variabelen i ei likning er opphøgd i andre potens, har vi ei kvadratisk likning. Likninga x 2 ¼ 9 er derfor eit eksempel på ei kvadratisk likning. Å løyse likningar vil seie å finne alle verdiar av x som gjer at likninga blir oppfylt. Vi ser med ein gong at x 2 ¼ 9 er oppfylt når x ¼ 3, fordi x 2 ¼ 3 2 ¼ 9. Likninga har også løysinga x ¼ 3, for vi har også x 2 ¼ð 3Þ 2 ¼ 9. Vi skriv dei to løysingane til likninga x 2 ¼ 9 under eitt som x ¼3. p Sidan 3 ¼ ffiffi 9, får vi løysingsformelen som er skriven i margen. EKSEMPEL 21 Løys dei kvadratiske likningane a) 2x 2 ¼ 32 b) ðx þ 3Þ 2 ¼ 25 Løysing: a) I likninga 2x 2 ¼ 32 dividerer vi med 2 på begge sider. p Vi får likninga x 2 ¼ 16, som har løysinga x ¼ ffiffiffiffiffi 16 ¼4. b) I likninga ðx þ 3Þ 2 ¼ 25 ser vi på x þ 3 som ein ny ukjend. Då kan vi bruke løysingsformelen for kvadratiske likningar. p ðx þ 3Þ 2 ¼ 25 gir x þ 3 ¼ ffiffiffiffiffi 25 ¼5 Så reknar vi ut for pluss og minus kvar for seg: x þ 3 ¼ 5 gir x ¼ 5 3 ¼ 2 x þ 3 ¼ 5 gir x ¼ 5 3 ¼ 8 KVADRATISKE LIKNINGAR Likninga x 2 ¼ a har løysinga p x ¼ ffiffi a 24 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

Vi løyser enkle ulikskapar på same måten som vi løyser likningar. Men det er ein skilnad, nemleg når vi multipliserer eller dividerer på begge sider av ulikskapsteiknet med eit negativt tal. Vi skal forklare det med 4 < 6, som vi veit er sant. Når vi dividerer begge tala med 2, får vi desse verdiane: 4 2 ¼ 2 og 6 2 ¼ 3 Men 2 er som kjent større enn 3. For at ulikskapen framleis skal vere sann, må vi derfor snu ulikskapsteiknet og skrive 2 > 3. Tilleggsregelen blir altså at vi må snu ulikskapsteiknet når vi multipliserer eller dividerer på begge sider av ulikskapen med eit negativt tal. EKSEMPEL 22 2 3 x þ 3 > 3x 2 1 3 6 6 2 2 6 3 x þ 6 3 > 6 63 3x 6 2 6 62 1 6 3 4x þ 18 > 9x 2... Vi multipliserer alle ledd med samnemnaren 6... Vi kortar og multipliserer ut... Viflytteroverogskifterforteikn ENKLE ULIKSKAPAR Vi bruker reglane for enkle likningar. I tillegg mô vi hugse pô Ô snu ulikskapsteiknet nôr vi multipliserer eller dividerer pô begge sider av ulikskapen med eit negativt tal. 4x 9x > 2 18 5x > 20 5x 5 < 20 5 x < 4... Vi reknar saman... Vi dividerer pô begge sider med talet framfor x. Sidan talet er negativt, mô vi snu ulikskapsteiknet.... Vi kortar og reknar ut x AKTIVITETAR OppgÔve 1.40 Løys likningane: a) x 2 ¼ 25 b) 3x 2 ¼ 27 c) ðx þ 2Þ 2 ¼ 36 OppgÔve 1.41 Løys ulikskapane: a) 2x > 12 b) x þ 3 < 4x 3 c) 4 x 2 < 1 x 3 d) 1 3 x > 2 3x 6 OppgÔve 1.42 Elham er seljar og får to tilbod om månadsbetaling: A: Kr 6000 fast og i tillegg kr 500 per sal B: Ingenting fast, men kr 800 per sal Gå ut frå at Elham har x sal per månad. Set opp ein ulikskap og finn ut når det lønner seg med tilbod A. Utfordring 1.43 Løys likninga x ðx 2Þþ 2 3 ¼ 1 2 x 5 2 ðx x2 Þ. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 25

1.9 Formelrekning Du skal l re ^ Ô setje inn i formlar for Ô rekne ut verdiar ^ Ô f nne verdiar i formlar ved Ô setje inn ein ukjend, x, og löyse ei likning ^ Ô löyse ein formel med omsyn til ein av dei andre variablane ved hjelp av reglane for likningslöysing EKSEMPEL 23 Når vigår ei strekning s på tida t, er gjennomsnittsfarten gitt ved formelen v ¼ s t. a) Yared køyrer 89 km på 1 time 45 minutt. Finn gjennomsnittsfarten. b) Eli held ein jamn fart på 4;5 m=s i 20 minutt. Kor langt har ho sprunge? c) Stein og Helge skal begge sykle 3;4 km. Trippteljarane på syklane viser at Stein greier å halde ein gjennomsnittsfart på 8;1 m=s, mens Helge berre greier 6;8 m=s. Kor lang tid bruker kvar av dei? Løysing: a) Når vi køyrer bil, er det naturleg å finne gjennomsnittsfarten i kilometer per time (km=h). Her kan vi setje rett inn i formelen berre vi hugsar å gjere om tida til timar: 45 minutt er 45=60 timar, det vil seie 0;75 timar: v ¼ s 89 km ¼ 51 km=h t 1;75 h b) Formelen gir oss ikkje s direkte. Frå grunnskulen er du her van med å kalle strekninga x m. Når visåpassar på å gjere om 20 minutt til 1200 sekund slik at einingane går i hop, får vi ei likning. Vi finn at 4;5 ¼ x 1200 gir 1200 4;5 ¼ 1200 x 1200 Vi får x ¼ 1200 4;5 ¼ 5400. Eli spring 5400 m, altså 5;4 km. c) Her skal vi svare på den same spørsmålstypen to gonger. Då lønner det seg først å løyse formelen med omsyn til tida t som vi skal finne: v ¼ s t v t ¼ s 6 t 6 t vt ¼ s 6 vt 6 v ¼ s v t ¼ s v... Vi multipliserer med samnemnaren, som her er t... Vi kortar... For Ô fô t Ôleine pô den eine sida dividerer vi med v pô begge sider... Vi kortar og finn ein formel for tida t 26 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

No kan vi setje direkte inn i formelen framanfor: Stein: Helge: t ¼ s v ¼ 3400 m 8;1 m=s t ¼ s v ¼ 3400 m 6;8 m=s 420 s, dvs. 7 minutt ¼ 500 s, dvs. 8 minutt 20 sekund EKSEMPEL 24 Til vanleg møter du formelrekning i praktiske oppgåver, som i det siste eksemplet. I dette eksemplet skal vi likevel øve oss på formelrekning utan å gi nokon praktisk samanheng mellom storleikane som inngår. Vi skal løyse formelen nedanfor med omsyn til c: p ¼ a þ 1 2 bc2 2 p ¼ 2 aþ 6 2 1 6 2 bc2 2p ¼ 2a þ bc 2 2p 2a ¼ bc 2 2p 2a b 2p 2a b ¼ 6 bc2 6 b ¼ c 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2p 2a c ¼ b... Vi multipliserer med 2... Vi kortar... Vi flytter over 2a og skifter forteikn... Vi dividerer med b... Vi kortar... Vi bruker löysingsformelen for ei kvadratisk likning AKTIVITETAR OppgÔve 1.44 a) Skriv opp formelen for arealet av ein trekant. b) Finn arealet av ein trekant med grunnlinja 4;5 cm og høgda 3;8 cm. c) Ein trekant med arealet 5;70 dm 2 har høgda 22;3 cm. Finn grunnlinja. d) Ein trekant har arealet 8;34 m 2. Kva er høgda dersom grunnlinja er 1) 2;28 m 2) 3;44 m 3) 4;73 m OppgÔve 1.45 Løys desse formlane med omsyn til t: a) s ¼ vt b) s ¼ 1 2 at2 c) v ¼ v 0 þ at d) s ¼ ðv 0 þ vþt 2 Miniprosjekt 1.46 Finn ut korleis poengutrekninga er i tikamp for menn. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 27

1.10 Potensar Du skal l re ^ def nisjonen av ein potens med grunntal og eksponent, og reknereglar for potensar ^ def nisjonen av potensar med eksponenten null og med negative eksponentar Ein potens er ein kort og effektiv skrivemåte for å seie at vi gongar talet med seg sjølv fleire gonger. For eksempel har vi 5 gonger zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflfflffl{ 3 3 3 3 3 ¼ 3 5 Vi seier at 3 er grunntalet i potensen, og at 5 er eksponenten. Legg særleg merke til at 3 ¼ 3 1. Franskmannen René Descartes innførte denne potensnotasjonen i 1637. Med ein slik notasjon får vi eigne reknereglar for potensar med likt grunntal. For eksempel har vi 3 gonger a 3 a 4 zfflfflffl} fflfflffl{ ¼ a a a 4 gonger zfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflffl{ a a a a ð3 þ 4Þ gonger zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{ ¼ a a a a a a a ¼ a 3 þ 4 ¼ a 7 DEFINISJON AV POTENS n gonger a n zfflfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflfflffl{ ¼ a a... a Grunntalet er a. Eksponenten er n. Merk s rleg at a ¼ a 1. PRODUKTREGELEN a m a n ¼ a m þ n Vi kan altså multiplisere potensar med likt grunntal ved å summere eksponentane. Dette er regelen for eit produkt av potensar. Ein tilsvarande brøkregel seier at vi kan dividere potensar med likt grunntal ved å subtrahere eksponenten i nemnaren frå eksponenten i teljaren. BRØKREGELEN a m a n ¼ am n EKSEMPEL 25 Desse potensreglane reduserer multiplikasjon til addisjon og divisjon til subtraksjon. Produktregelen gir for eksempel a 10 a 7 ¼ a 10 þ 7 ¼ a 17 Vi kan òg bruke regelen på fleire potensar med likt grunntal: 3 32 3 3 45 ¼ 3 32 3 1 3 45 ¼ 3 32 þ 1 þ 45 ¼ 3 78 Brøkregelen gir på tilsvarande måte 5 23 5 22 ¼ 523 22 ¼ 5 1 ¼ 5 Den neste regelen gjeld det vi litt unøyaktig kallar potens av potens: a 4 3 gonger zfflfflfflfflfflffl} fflfflfflfflfflffl{ 3 ¼ a 4 a 4 a 4 3 gonger zfflffl} fflffl{ ¼ a 4 þ 4 þ 4 ¼ a 4 3 ¼ a 12 Regelen er at vi held fast ved grunntalet og multipliserer eksponentane. POTENS AV POTENS a m n ¼ a m n 28 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

EKSEMPEL 26 Regelen for potens av potens gir a 9 8 ¼ a 9 8 ¼ a 72. Vi har også at a n 3 a n ¼ a n 3 a n ¼ a 3n þ n ¼ a 4n. Legg merke til at 2a 5 3 ¼ 2 3 a 5 3 ¼ 2 3 a 5 3 ¼ 8a 15. Vi har ikkje definert potensar med eksponentar som er negative eller lik null. Det skal vi gjere no. Då er det viktig at vi definerer dei slik at potensreglane gjeld for desse tala også. Isåfall må for eksempel a 0 ¼ a 2 2 ¼ a2 a 2 ¼ 6 a 6 a 6 a 6 a ¼ 1 Vi definerer dermed: a 0 ¼ 1: I margen har vi skrive opp ein liknande definisjon av potensar med negative eksponentar. Diskuter i klassen korleis de på tilsvarande måte kan grunngi denne definisjonen. EKSPONENTEN NULL a 0 ¼ 1 NEGATIV EKSPONENT a n ¼ 1 a n EKSEMPEL 27 Definisjonen av negativ eksponent gir 2 3 ¼ 1 2 3 ¼ 1 8. 1 Vi kan òg rekne motsette vegen: 100 ¼ 1 10 2 ¼ 10 2. Potensreglane gjeld altså for negative eksponentar. Derfor er a 2 b 2 3 ¼ a 2 3 b 2 3 ¼ a 2 ð 3Þ b 2 ð 3Þ ¼ a 6 b 6 I kompliserte oppgåver byrjar vi med parentesane, og vi reknar ut grunntala kvar for seg. Vi har for eksempel 2 x 2 3 x 2 2 2x 3 ¼ 21 x 6 x 1 2 2 2 3 x ¼ 3 21 ð 2Þ 3 x 6 þ 1 3 ¼ 2 0 x 4 ¼ x 4 AKTIVITETAR OppgÔve 1.47 Skriv som potensar: 1 a) 2 2 2 b) 1000 c) 1 3 OppgÔve 1.48 Rekn ut for hand: a) 3 2 b) 9 0 c) 3 2 d) 2 1 2 OppgÔve 1.49 Rekn ut: a) x 3 x 2 b) x14 x 13 c) a 4 a 3 d) a 4 a 3 OppgÔve 1.50 Rekn ut: a) x 2 3 x 5 b) y 2 y 1 2 c) OppgÔve 1.51 Rekn ut: a) x 3 x x 4 b) b2 b 3 2 OppgÔve 1.52 Rekn ut: a) x 3 y 1 2 x2 y 2 b) b 7 c) 2 x 3 y 2 3 2 2 x 5 y 3 2 a 2 n a n x 2 2 x 2 4 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 29

1.11 Store og smô tal Du skal l re ^ Ô skrive tal pô standardform ^ Ô rekne med tal pô standardform bôde for hand og med lommereknar Den gjennomsnittlege avstanden mellom jorda og sola er 149 600 000 km. Det er vanleg å skrive slike store tal som eit tal mellom 1 og 10 multiplisert med ein tiarpotens. Dermed skriv vi avstanden slik: 149 600 000 km ¼ 1;496 100 000 000 km ¼ 1;496 10 8 km Vi har skrive den gjennomsnittlege avstanden på standardform. Legg merke til at standardform gjer at vi slepp å skrive mange nullar. STANDARDFORM a 10 k MÔltalet a er mellom 1 og 10.Eksponentenk er eit heilt tal. Standardform har også ein annan fordel, nemleg at det tydeleg går fram kor mange gjeldande siffer det er i talet. Dersom vi får gitt lengda 4500 m, kan vi lure på om dei to siste nullane skal reknast som gjeldande siffer eller ikkje. Blir lengda opplyst til 4;5 10 3 m, er saka klar. Det er to gjeldande siffer. EKSEMPEL 28 Skriv 2360 kg på standardform med tre gjeldande siffer og med to gjeldande siffer. Løysing: Med tre gjeldande siffer blir svaret 2;36 10 3 kg. Med to gjeldande siffer må vi her runde av oppover og skrive 2;4 10 3 kg. Også små tal skriv vi på standardform. Ein partikkel med radien 0;0020 mm skriv vi på standardform slik: 0;0020 mm ¼ 2;0 1000 mm ¼ 2;0 10 3 mm ¼ 2;0 10 3 mm Lommereknaren gir ofte svara på standardform. Då må vi sjølve klare å tolke talet. Dersom lommereknaren skriv svaret 1:35 E 5, vil det seie talet 1;35 10 5 ¼ 135 000. EKSEMPEL 29 1 Rekn ut på lommereknaren: 128 000 Løysing: Svaret på lommereknaren er 7:8125 E - 6. Det vil seie talet 7;8125 10 6 ¼ 0;000 007 812 5 VI FLYTTER DESIMALKOMMAET 10 2 vil seie Ô gonge med 10 to gonger.vi ytter desimalkommaet to plassar mot högre: 1:5 E2¼ 1,5 10 2 ¼ 150 10 2 vil seie Ô dele med 10 to gonger.vi ytter desimalkommaet to plassar mot venstre: 1:5 E- 2 ¼ 1,5 10 2 ¼ 0,015 30 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

Vi skal kunne rekne på standardform både for hand og med lommereknar. Med lommereknaren kan vi sjølvsagt bruke potenstasten, men lommereknaren har også ein eigen tast som gjer at vi berre tastar inn måltalet og eksponenten. Denne tasten bruker vi i neste eksempel. EKSEMPEL 30 Rekn ut 6;70 10 9 2;00 10 4 for hand og med lommereknar. Skriv svaret på standardform. STANDARDFORM PÅ LOMMEREKNAREN Lommereknaren har ein tast som gjer at vi kan skrive inn tal pô standardform: ^ EXP pô Casio ^EEpÔTexas Løysing: For hand reknar vi måltala for seg og potensane for seg: 6;70 2;00 10 9 10 4 ¼ 13;4 10 9 þð 4Þ ¼ 13;4 10 5 ¼ 1;34 10 6 CASIO TEXAS Bruk EXP på Casio. Bruk 2nd EE på Texas. Vi må sjølve gjere om svaret til 1;34 10 6. HUGS! E9 tyder 10 9 E - 4 tyder 10 4 EKSEMPEL 31 Planeten Saturn er 1;43 10 12 m unna oss. Ein romsonde sender ut eit signal til jorda frå Saturn. Signalet går med farten 3;00 10 8 m=s. Kor lang tid bruker signalet? Løysing: tid ¼ strekning fart ¼ 1;43 1012 m 3;00 10 8 m=s 4;77 103 s AKTIVITETAR OppgÔve 1.53 Skriv på standardform: a) 235 b) 0;053 c) 350 10 2 d) 0;072 10 3 OppgÔve 1.54 Skriv som vanlege tal: a) 5;3 10 3 b) 6;5 10 5 c) 8;7 10 4 d) 7;5 10 1 OppgÔve 1.55 Rekn ut 6;2 10 17 for hand og med lommereknar. 2;0 10 27 OppgÔve 1.56 Den næraste nabostjerna til sola i verdsrommet heiter Proxima Centauri og ligg 4;2 lysår unna. Eit lysår er den avstanden lyset går påeit år. Vi kan gå ut frå at lysfarten er 3;0 10 8 m=s. Kor langt er det frå sola til Proxima Centauri? OppgÔve 1.57 Mikroben C har ein masse på 3;45 10 5 g. Mikroben Q har ein masse på 4;50 10 6 g. a) Kva for ein mikrobe har størst masse? b) Kor mange gonger større er massen? KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 31

1.12 Prosent Du skal l re ^ kva vi bruker prosent til, og korleis vi reknar ut prosentvis auke og nedgang ^ korleis vi reknar ut prosentvis del, og kor mange prosent ei endring utgjer ^ Ô rekne ut den opphavlege verdien nôr vi kjenner endringa og prosenten Når vi skal vise kor mykje ein del er av det heile, er det vanleg å uttrykkje det i hundredelar. Fem prosent tyder fem av hundre like delar: 5 % ¼ 5 100 ¼ 0;05 Ordet prosent er ei omskriving av det italienske «per cento» (for, av hundre), som tyder «per hundre» eller «hundredel». SKRIVEMÅTAR FOR PROSENT 5%= 5 100 =0,05 EKSEMPEL 32 Du kjøper eit par sko i butikken. Skoa kostar ordinært 1200 kroner. a) Kor stort er avslaget i kroner? b) Kor mykje betaler du for skoa? Løysing: a) Avslaget er 40 % av kr 1200. Dette kan vi rekne ut på to måtar: kr 1200 40 ¼ kr 480 100 eller kr 1200 0;40 ¼ kr 480 Avslaget er altså kr 480. b) Du betaler kr 1200 kr 480 ¼ kr 720. EKSEMPEL 33 På ein skule er det 840 elevar. Kor mange prosent er jenter når 400 av elevane er gutar? Løysing: Det er 440 jenter. Vi må rekne ut kor stor del det utgjer av alle elevane på skulen: 440 0;524 ¼ 52;4 % 840 Når vi hugsar at 100 % berre er ein annan måte å skrive talet 1 på, kan vi gjere slik: 440 100 % 52;4 % 840 DEL SOM PROSENT Vi mô ofte rekne ut kor mange prosent ein del er av det heile. DÔ kan vi rekne slik: ein del det heile I sô fall mô vi sjölve gjere svaret om til prosent. For Ô sleppe Ô gjere omrekninga pô eiga hand kan vi bruke denne utrekninga: ein del det heile 100 % 32 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

EKSEMPEL 34 Publikumsgjennomsnittet på heimekampane til eit fotballag har auka frå 5200 til 6500. Kor mange prosent er auken på? Løysing: Her er det ein auke på 6500 5200 ¼ 1300. Vi må rekne ut kor mange prosent denne auken utgjer av den opphavlege verdien, som er det gamle tilskodartalet på 5200. Det finn vi slik: 1300 5200 ¼ 0;25 ¼ 25 % eller 1300 100 % ¼ 25 % 5200 ENDRING SOM PROSENT Vi kan rekne slik: endring opphavleg verdi Vi kan o' grekneslik: endring opphavleg verdi 100 % EKSEMPEL 35 Ida fekk eit lønnstillegg på 4;2 %. Då auka månadslønna med kr 1029. Finn den gamle månadslønna. Løysing: 1 Vi veit altså at 4;2 % svarar til kr 1029. kr 1029 Då svarar 1 % til 4;2 %. kr 1029 2 Dermed vil 100 % svare til 100 % ¼ kr 24 500. 4;2 % Den gamle lønna var altså kr 24 500. FRÅ ENDRING TIL OPPHAVLEG VERDI NÔr vi kjenner endringa og skal finne opphavleg verdi, reknar vi i to steg: 1Finnkva1 % svarar til. 2Finndenopphavlege verdien ved Ô bruke at han skal svare til 100 %. Svaret blir alltid endring prosent 100 % AKTIVITETAR OppgÔve 1.58 a) Ei jakke kostar kr 1300. Prisen blir sett ned 30 %. Finn avslaget og tilbodsprisen. b) Jens står i kiosk om kvelden og har ei timelønn på kr 120. Lønna aukar med 5 %. Finn tillegget og den nye timelønna. c) På ein boks med 150 gram leverpostei står det at han inneheld 15 % feitt. Kor mange gram feitt inneheld leverposteien? OppgÔve 1.59 a) I ein klasse med 29 elevar er det 13 gutar. Kor mange prosent gutar er det i klassen? b) Det skal veljast ny leiar i elevrådet. Oda fekk 245 røyster, mens Atif fekk 329 røyster. Kor mange prosent av røystene fekk Atif? c) Vi blandar råsaft og vatn i forholdet 1 : 4. Kor mange prosent råsaft er det i blandinga? OppgÔve 1.60 a) Ved eit val aukar eit parti oppslutninga frå 20 prosentpoeng til 30 prosentpoeng. Kor mange prosent auka oppslutninga? b) Under eit sal blir ein datamaskin sett ned frå kr 13 300 til kr 9999. Kor mange prosent er avslaget på? OppgÔve 1.61 På eit sal er alt sett ned 40 %. Anne får kr 350 i avslag på ein genser. Kva er full pris på genseren? Utfordring 1.62 Vi blandar 50 gram 35 % eddik med 700 gram 5 % eddik. Finn eddikprosenten i blandinga. Miniprosjekt 1.63 Finn ut korleis prosentteiknet har utvikla seg gjennom historia. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 33

1.13 Vekstfaktor Du skal l re ^ kva vi meiner med vekstfaktor i prosentrekning ^ Ô rekne ut sluttverdiar ved Ô multiplisere med vekstfaktoren ^ Ô rekne ut opphavleg verdi ved Ô dividere med vekstfaktoren ^ Ô utnytte vekstfaktoren nôr det er eire prosentvise tillegg eller frôdrag Dersom vi tener 110 kr per time og får ein lønnsauke på 5 %, blir den nye timelønna kr 110 5 kr 110 þ ¼ kr 115;50 100 Vi slepp å skrive leddet i midten dersom vi multipliserer med vekstfaktoren 1;05 på denne måten: kr 110 1;05 ¼ kr 115;50. Ved ein auke på p % finn vi vekstfaktoren slik: 1 þ p 100. Ved ein nedgang på p % finn vi vekstfaktoren slik: 1 p 100. VEKSTFAKTOR p % auke: 1 þ p 100 p % nedgang: 1 p 100 EKSEMPEL 36 Ved eit lønnsoppgjer får alle tilsette ein lønnsauke på 3;5 %. Finn den nye lønna til Kari og Tore, som før lønnsauken tente kvar for seg kr 260 000 og kr 240 000. Løysing: Vi finn vekstfaktoren på lommereknaren: 1 þ 3;5 100 ¼ 1;035. Ny lønn for Kari: kr 260 000 1;035 ¼ kr 269 100. Ny lønn for Tore: kr 240 000 1;035 ¼ kr 248 400. Når vi kjenner den opphavlege verdien, finn vi altså sluttverdien ved å multiplisere med vekstfaktoren. Vi kan også rekne omvendt. Når vi kjenner sluttverdien, finn vi den opphavlege verdien ved å dividere med vekstfaktoren. REKNING MED VEKSTFAKTOR opphavleg v erdi v ekstf aktor v ekstf aktor sluttv erdi EKSEMPEL 37 Etter at ei jakke er sett ned 40 %, kostar ho kr 510. Kor mykje kosta jakka opphavleg? Løysing: Vekstfaktor: 1 40 100 ¼ 0;60 kr 510 Opphavleg pris: ¼ kr 850 0;60 34 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

EKSEMPEL 38 I 1990 kosta ein kroneis kr 8. Frå 1990 til 1998 auka prisen med 62;5 %, mens han auka med 15;4 % frå 1998 til 2005. a) Kor mykje kosta kroneisen i 2005? b) Kor mange prosent auka prisen frå 1990 til 2005? Korfor blir det gale å leggje saman prosentane? Løysing: Vekstfaktorane er 1 þ 62;5 100 ¼ 1;625 og 1 þ 15;4 100 ¼ 1;154. a) Først må vi gonge med vekstfaktoren 1;625. Deretter gongar vi med vekstfaktoren 1;154. I 2005 er prisen kr 8 1;625 1;154 ¼ kr 15. b) Prisen har auka med kr 7. Auken i prosent er kr 7 100 % ¼ 87;5 %. kr 8 Den siste auken på 15;4 % blir rekna av eit større tal enn kr 8. Derfor blir den samla auken større enn 62;5 % þ 15;4 % ¼ 77;9 %. EKSEMPEL 39 Eli eig ein bil som er verd kr 200 000. Verdien fell 20 % per år. a) Finn kor mykje bilen er verd om to år. b) Kva var bilen verd for to år sidan? Løysing: Vekstfaktoren er 1 20 100 ¼ 0;80. a) Vi gongar med vekstfaktoren to gonger: kr 200 000 0;80 2 ¼ kr 128 000. kr 200 000 b) Vi deler med vekstfaktoren to gonger: 0;80 2 ¼ kr 312 500. AKTIVITETAR OppgÔve 1.64 Ein mobiltelefon kostar kr 2560. Kor mykje kostar han når prisen a) aukar 12;5 % b) blir sett ned 12;5 % OppgÔve 1.65 Etter eit lønnstillegg på 4;5 % tener Cecilie kr 265 430. Kva tente ho før lønnstillegget? OppgÔve 1.66 Kvart år har ein kommune auka ungdomsbudsjettet med 4 %. I 2006 var budsjettet på 12;5 millionar kroner. a) Rekn ut budsjettet i 2010. b) Finn den prosentvise auken frå 2006 til 2010. OppgÔve 1.67 I 1960 var det om lag 71 000 fiskarar i Noreg. Frå 1950 til 2000 minka talet med om lag 3;1 % per år. a) Kor mange fiskarar var det i 2000? b) Kor mange fiskarar var det i 1950? Utfordring 1.68 På ein kaninfarm aukar kaninbestanden med 7 % per veke. Kor lang tid går det før bestanden er fordobla? Miniprosjekt 1.69 Studer ein finanskalkulator på nettet. KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 35

1.14 Samansett eksempel EKSEMPEL 40 Ein satellitt som bruker like lang tid som jorda på ei omdreiing, ligg alltid i same posisjonen i høve til jordoverflata. Ein slik satellitt kallar vi geostasjonær satellitt. Han blir brukt til telekommunikasjon. Vi reknar at satellitten går i ein bane som er tilnærma sirkelforma, 3;6 10 4 km rett over hovudet til Anna, som bur i ein by ved ekvator. Jordradien er 6;4 10 3 km. Figuren er ikkje teikna i målestokk. a) Finn farten til Anna på grunn av jordrotasjonen. Kor mange gonger raskare er denne farten enn ein bil som køyrer i 100 km=h? b) Rekn ut radien i satellittbanen for hand utan å gjere om tala på standardform til vanlege tal. c) Kor mange prosent større fart har satellitten enn Anna? d) Fartsendring kallar vi akselerasjon, a. Når farten er målt i meter per sekund (m=s) og tida i sekund (s), finn vi akselerasjonen i m=s 2. For satellitten har vi at a ¼ v2 r, der r er radien i sirkelbanen. Rekn ut akselerasjonen til satellitten. e) Løys formelen for akselerasjon med omsyn til farten v. Løysing: a) Jorda sviv ein gong rundt på 24 timar. Anna følgjer omdreiinga. Under rotasjonen flytter ho seg ei strekning lik omkrinsen av jorda: s ¼ 2r ¼ 2 6;4 10 3 km 4;0 10 4 km Farten til Anna på grunn av jordrotasjonen blir då v ¼ s t ¼ 4;0 104 km 1;7 10 3 km=h 24 h Kor mange gonger raskare enn ein bil i 100 km=h: 1;7 103 km=h 100 km=h ¼ 17 b) Når vi skal rekne saman 3;6 10 4 km og 6;4 10 3 km for hand, må vi gjere om til same tiarpotensen, for eksempel slik: r ¼ 6;4 10 3 km þ 3;6 10 4 km ¼ 0;64 10 4 km þ 3;6 10 4 km ¼ 4;24 10 4 km 36 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS

c) På 24 timar gjennomfører satellitten omkrinsen av den sirkelbanen satellitten går i, det vil seie s ¼ 2r ¼ 2 4;24 10 4 km 2;66 10 5 km Farten blir då: v ¼ s t ¼ 2;66 105 km 1;1 10 4 km=h 24 h Fartsskilnad: 1;1 10 4 km=h 1;7 10 3 km=h ¼ 9;3 10 3 km=h Rekna i prosent av farten til Anna: 9;3 103 km=h 1;7 10 3 100 % 547 % km=h Det vil seie ikring 550 % større fart. d) Vi gjer farten om til meter per sekund: v ¼ Så må vi uttrykkje radien i meter: 1;1 104 3;6 m=s 3;1 10 3 m=s r ¼ 4;24 10 4 km ¼ 4;24 10 4 10 3 m ¼ 4;24 10 7 m Akselerasjonen blir: a ¼ v2 r ¼ ð3;1 103 m=sþ 2 4;24 10 7 m 0;23 m=s2 e) Vi multipliserer med r, kortar og byter sider i formelen: a ¼ v2 gir a r ¼ v2 r 6 r 6 r dvs. v2 ¼ ar p Ettersom farten er positiv, gir dette v ¼ ffiffiffiffiffi ar. AKTIVITETAR OppgÔve 1.70 Forbruket av ein ressurs var 120 millionar kg iår 2000. Deretter har forbruket auka 7 % per år. a) Rekn ut forbruket i 2003. b) Kor stort var forbruket i 1997? c) Kor mange prosent auka forbruket frå 1997 til 2003? d) Korfor er svaret i c større enn 6 7 %? OppgÔve 1.71 a) Skriv opp formelen for arealet av ein sirkel. b) Løys formelen med omsyn til r. c) Finn omkrinsen av ein sirkel med arealet 9;0 cm 2. OppgÔve 1.72 Ein laserpuls blir reflektert frå ein vegg og kjem attende til utgangspunktet etter 1;5 mikrosekund. Kor langt er det frå utgangspunktet til veggen når laserpulsen går med lysfarten på 3;00 10 8 m=s? OppgÔve 1.73 Skriv på enklaste måten: a) 3 ðx 2Þ 2 ðx 3Þ b) 1 4 ðx 3Þ 2 x 3 8 c) ðx3 Þ 2 y 3 ðx 4 y 2 Þ 2 KAPITTEL1 MATEMATIKKEN RUNDT OSS 37