3. Ensidige grenser La oss studere funksjonen f() =, Hvis vi nå spør hva funksjons- kr 8 6 5 5 5 335 gr FIGUR 3. 3 FIGUR 3. 3 3 3 5 3 FIGUR 3.3 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3
3. Kontinuerlige funksjoner 3. Litt upresist kan vi si at en funksjon f er kontinuerlig = f() a b FIGUR 3. g() a c b FIGUR 3.5 a c b FIGUR 3.6 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3
(a) (b) c c FIGUR 3.7 a 6 5 3 f() 3 3 FIGUR 3.8 FIGUR 3.9 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 3
3.3 Den deriverte til en funksjon Vi vil starte med et eksempel som de fleste har en intuitiv forståelse av, nem- s(m) 5 5 t (sek) s (meter) 3 9 6 5 5 3 FIGUR 3. 5 t(s) Tidsintervall (s) 5 3,,, Forfltning (m) 5,,, Gjennomsnittshastighet (m/s) 7 6 5,,, TABELL 3. f( Δ) L f() Δ f( Δ) - f() = Δ Δ FIGUR 3. Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3
FIGUR 3. 3.6 Derivasjon av sammensatte funksjoner g() u u = g() f(u) = f(g()) FIGUR 3.3 3.7 Implisitt derivasjon Vi skal nå bentte kjerneregelen til å foreta såkalt implisitt derivasjon. Funk- (3, ) 5 FIGUR 3. Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 5
3.9 Tangenten til en graf De neste avsnittene er meget sentrale da de legger grunnlag for me av det T (, f( )) FIGUR 3.5 8 6 (, ) FIGUR 3.6 3 3. Lokale ekstremalpunkter = f() a b c d f () positiv negativ positiv FIGUR 3.7 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 6
3 FIGUR 3.8 = f() f () > f () < f () > f () < f () > a b c d e f g f () positiv negativ positiv negativ positiv positiv FIGUR 3.9 f'() Min. Maks. Min. FIGUR 3. Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 7
8 6 FIGUR 3. f'() Min. Maks. Min. FIGUR 3. 5 5 5 6 FIGUR 3.3 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 8
f '() Maks 5 5 5 5 5 3 KSEMPEL 5 FIGUR 3. 3 f'() f() 3 5 5 3 5 FIGUR 3.5 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 9
3 3 f'() f() FIGUR 3.6 8 6 6 3 3 FIGUR 3.7 3. Globale ekstremalpunkter c d FIGUR 3.8 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3
8 6 3 3 FIGUR 3.9 FIGUR 3.3 6 6 FIGUR 3.3 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3
3 f'() f() FIGUR 3.3 6 8 3 8 f'() f() 6 FIGUR 3.33 8 6 3 FIGUR 3.3 3 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3
f () 6 f () 6 FIGUR 3.35 6 ( ) f'() f() FIGUR 3.36 3 3 6 f'() f() FIGUR 3.37,5,,3,, 3 3 FIGUR 3.38 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 3
P P 5 P 3 P P Konkav Konveks FIGUR 3.39 Forbruk Tid t FIGUR 3. Tangenten ligger over kurven V.p. Konkav FIGUR 3. c Tangenten ligger under kurven Konveks Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3
P P Konkav P 3 P = f() P 5 Konveks FIGUR 3. f'() FIGUR 3.3 f''() Konkav Konveks FIGUR 3. 6 f() f'( ) 6 f''() 3 3 8 8 3 3 8 8 FIGUR 3.5 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 5
6 f() er konkav 3 Vendepunkt f() er konveks FIGUR 3.6 8 6 6 FIGUR 3.7 5 f'() Maks. Min. 6 f''() Vend Vend Vend FIGUR 3.8 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 6
f() 3 5 FIGUR 3.9 6 ( ) f''() Konkav Konkav Konveks FIGUR 3.5 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 7
3.3 Funksjonsdrøfting a = f() b c d e a D f = [a, e] Fortegnene langs kurven angir fortegnene til f '() b d e f'() = f'() a b c d e a = b : lokalt maks. = d : globalt min. = a : lokalt min. = e : globalt maks. c e f''() Konkav Konveks = f''() a b c d e [a, c konkav funksjon c, e] konveks funksjon = c vendepunkt a er lokalt minimumspunkt b er lokalt maksimumspunkt d er globalt (og lokalt) minimumspunkt e er globalt (og lokalt) maksimumspunkt FIGUR 3.5 ( ) 3 f () FIGUR 3.5 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 8
( ) ( ) f ''() FIGUR 3.53 3 6 8 FIGUR 3.5 5 3 g() 3 5 6 7 f() FIGUR 3.55 3 - - 3 5-3 f() g() FIGUR 3.56 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 9
B A a FIGUR 3.57 b 3. Grensekostnad, grenseinntekt, grenseprofitt, kostnadsoptimum K'() A() FIGUR 3.58 K() 8 6 5 5 FIGUR 3.59 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3
9 8 7 6 5 3 5 A() 5 FIGUR 3.6 3.5 Profittmaksimering. Vinningsoptimum 3,6 P'() P() FIGUR 3.6 3 P'() P() 3 FIGUR 3.6 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3
3.6 Elastisiteter P Tilbud Tilbud P Etterspørsel P Etterspørsel P P P a) b) FIGUR 3.63 5 pris (p 5) p Brøk FIGUR 3.6 SAMMENDRAG AV KAPITTEL 3 Δ Δ L Δ Δ FIGUR 3.65 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3
a = f() b c d e a D f = [a, e] Fortegnene langs kurven angir fortegnene til f '() b d e f'() = f'() a b c d e a = b : lokalt maks. = d : globalt min. = a : lokalt min. = e : globalt maks. c e f''() Konkav Konveks = f''() a b c d e [a, c konkav funksjon c, e] konveks funksjon = c vendepunkt a er lokalt minimumspunkt b er lokalt maksimumspunkt d er globalt (og lokalt) minimumspunkt e er globalt (og lokalt) maksimumspunkt FIGUR 3.66 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 3
OPPSUMMERENDE OPPGAVER TIL KAPITTEL 3 3 FIGUR 3.67 8 FIGUR 3.68 FIGUR 3.69 FIGUR 3.69 FIGUR 3.7 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3
A 6 FIGUR 3.7 FIGUR 3.7 - - -3 6 8 f'() FIGUR 3.73 Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 5
Matematikk for økonomi og samfunnsfag 9. utgave kapittel 3 6