UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys216 Eksamensdag: Tirsdag 8. desember 215 Tid for eksamen: 143 183 Oppgavesettet er på: 4 sider Vedlegg: ingen Tilatte hjelpemidler Elektronisk kalkulator, godkjent for videregående skole Rottman: Matematisk formelsamling Øgrim og Lian: Fysiske størrelser og enheter To A4 ark med notater (arkene kan beskrives på begge sider) Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare oppgavene. Du må i oppgavene begrunne dine svar. Oppgave 1 (a) Begrunn at T ds Q for en reversibel prosess. Vi vet at for en reversibel prosess gjelder den termodynamiske identiteten T ds de + pdv µdn, (1) og termodynamikkens første lov de Q + W. For en prosess hvor eneste arbeid er W pdv gjelder derfor at T ds de + pdv Q + W + pdv Q pdv + pdv Q. (b) Gi et eksempel på en Maxwell-relasjon og forklar hvordan denne fremkommer. Vi finner Maxwell-relasjoner fra den andre-deriverte av potensialer. For eksempel vet vi at df SdT + pdv + µdn. Fra dette vet vi at ( ) F S, (2) T og at V,N Hvis F har kontinuerlige andre-deriverte vet vi at ( 2 ) ( F 2 ) F T V V T ( ) F p. (3) V T,N hvor vi kun har endre rekkefølgen på derivasjonen. Vi setter inn uttrykkene ovenfor og får ( 2 ) ( ) ( F 2 ) ( ) T V V S F V T T p (5) (4) 1

som gir Dette er et eksempel på en Maxwell-relasjon. ( ) ( ) V S T p. (6) (c) Du har oppgitt hastighetene til alle atomene fra en simulering av en gass med 1 atomer. Hastighetene er lest inn i en 1 3 array vel. For eksempel er hastigheten til atom nr 1 vel(1,:) i Matlab og vel[9,:] i Python. Skriv et kort script som finner temperaturen til gassen. Du vet at energien til gassen er E (3/2)NkT, at k 1.3864852 1 23 m 2 kg s 2 K 1 og at massen til partiklene er m 6.63 1 26 kg. Python: N 1 kinenergy. for i in range(n): kinenergy kinenergy + m*norm(vel[i,:])**2 kb 1.3864852e-23 T (2./3.)*kinenergy/(N*kB) Matlab N 1; kinenergy.; for i (1:N) kinenergy kinenergy + m*norm(vel(i,:))^2; kb 1.3864852e-23; T (2./3.)*kinenergy/(N*kB) Oppgave 2 Vi skal i denne oppgaven studere oppførselen til en enkel modell for en flytende krystall i to dimensjoner ved konstant temperatur, T. Vi antar at den flytende krystallen består av N partikler. Hver partikkel kan ha to mulige orienteringer: vertikal eller horisontal. Figuren viser en illustrasjon av en slik krystall. Du kan i denne oppgaven bruke Stirlings forenklede tilnærming ln M! M ln M M. j i Figur 1: Illustrasjon av en flytende krystall. Hver partikkel i krystallen kan ha en av to mulige orienteringer: vertikal eller horisontal. Partikkel (i, j) er illustrert. Den har horisontal orientering. 2

Vi skal først se på en enkelt slik partikkel. Denne partikkelen kan være i to tilstander: vertikalt eller horisontalt orientert. Energien til en enkelt partikkel er null, uavhengig av orientering. (a) Finn partisjonsfunksjonen til dette systemet. Vi finner partisjonsfunksjonen fra summen over alle tilstander. Det er to mulige tilstander for systemet, begge med energi ɛ i. Da blir Z i e ɛi/kt 1 + 1 2. (7) (b) Finn sannsynligheten for at partikkelen er vertikalt orientert. Sannsynligheten er gitt av Boltzmann faktoren: P (1) 1 Z e ɛi/kt 1 2 1 1 2. (8) Vi skal nå se på et system med to slike partikler. Energien for en enkelt partikkel er null uavhengig av orientering. To partikler som er inntil hverandre vil ha en energi ɛ > hvis en er horisontalt orientert og den andre er vertikalt orientert, og null hvis de er orientert i samme retning. (c) Nummerer og skisser de mulige tilstandene til to-partikkel-systemet. Angi energien til hver tilstand. i1 i2 i3 i4 ε 1 ε 2 ε 3 ε ε 4 ε Figur 2: Illustrasjon av de mulige tilstandene for en to-partikkel-tilstand. (d) Vis at partisjonsfunksjonen for dette systemet er ( ) Z 2 1 + e ɛ/kt. (9) Sammenlikn med resultatet ovenfor og kommenter. Vi finner partisjonsfunksjonen ved å summere over de fire tilstandene i figuren: Z i e ɛi/kt e + e + e ɛ/kt + e ɛ/kt. (1) Vi ser at når ɛ finner vi tilbake resultatet fra oppgaven over. Da er Z 4 2 2 som er det vi ville forvente for to uavhengige (ikke-vekselvirkende) partikler. 3

(e) Finn den indre energien, E, til to-partikkel systemet. Vi kan finne den indre energien direkte ved derivasjon av Z eller ved først å finne F, så finne S og tilslutt finne E F + T S. Vi finner energien direkte ved derivasjon av Z: E kt 2 ln Z T kt 2 1 1 + e ɛ/kt e ɛ/kt ( 1) e ɛ/kt ɛ 1 + e. ɛ/kt ( ) ɛ kt 2 (11) Vi skal nå lage en numerisk simulering av et to-dimensjonalt system. Anta at en tilstand til systemet kan beskrives av en matrise m. Du har fått oppgitt en funksjon energy(m) som returnerer energien til en tilstand beskrevet av m, og at du har fått oppgitt en funksjon m rndstate() som returnerer en tilfeldig tilstand m. (f) (Denne oppgaven teller dobbelt) Skisser et program som finner en tilnærmet verdi for partisjonsfunksjonen og gjennomsnittet av energien til systemet basert på 1 tilfeldige tilstander ved en gitt temperatur T. Matlab: Z.; E.; kt...; for i 1:1 m rndstate(); en energy(m); ee exp(-en/kt); Z Z + ee; E E + en*ee; end E E/Z Vi skal nå lage en forenklet modell for dette systemet. I den forenklede modellen antar vi at energien til et system med N partikler hvorav N v f N er vertikalt orientert, er E 4 N ɛ f (1 f), (12) hvor ɛ > er vekselvirkningsenergien i systemet, N er antallet partikler, og f N v /N er andelen av partiklene som er vertikalt orientert. Vi antar at det eneste bidraget til entropien til systemet kommer fra blandingsentropien for systemet. (g) (Denne oppgaven teller dobbelt) Vis at entropien til systemet er tilnærmet lik S Nk (f ln f + (1 f) ln (1 f)). (13) Vi finner entropien til systemet ved å se på antall måter systemet kan organiseres på. Hvis vi har gitt antall partikler som er i den vertikale orienteringen: 4

N v. Antall måter vi kan velge ut N v fra N er Ω N!/(N v!(n N v )!) slik at entropien til systemet er S k ln Ω k (ln N! ln N v! ln(n N v )!). (14) Vi bruker Stirlings tilnærming og finner: S/k N ln N N N v ln N v + N v (N N v ) ln(n N v ) + (N N v ), (15) hvor vi nå setter inn at N v fn og N N v (1 f)n: S/k N ln N Nf ln Nf (1 f) ln N(1 f) som gir N ln N (Nf + (1 f)n) ln N Nf ln f N(1 f) ln(1 f), (16) S/k N (f ln f + (1 f) ln(1 f)). (17) (h) Finn Helmholtz frie energi og skisser Helmholtz frie energi som funksjon av f for lave T og for høye T. Forklar hvordan du kan bruke denne kurven til å finne likevektstilstanden til systemet. Helmholtz frie energi er gitt som: F E T S 4 N ɛ f (1 f) + NkT (f ln f + (1 f) ln(1 f)). (18) Vi kan skrive denne som: F kt f (1 f) + (f ln f + (1 f) ln(1 f)). (19) 4Nɛ 4ɛ Helmholtz frie energi er plottet i figuren. Likevekt er gitt av den verdien for f som gjør F (f) minimal. Vi kan derfor lese ut likevekten som minimum av F (f). Merk at det er mulig å lage en likevektsposisjon som er en blanding av de to minimumsverdiene. (Det er ikke nødvendig å svare dette for å få riktig på oppgaven)..3.2 FN.1 -.1 -.2.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 f d(fn)df 1.5 -.5 T *. T *.15 T *.3 T *.45 T *.6-1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 f Figur 3: Plot av F (f)/(4nɛ) for forskjellige verdier av kt/4ɛ. 5

Oppgave 3 Vi skal i denne oppgaven studere en ideell gass inne i en liten nano-pore. For en ideell gass med N partikler ved temperaturen T i et volum V er Helmholtz frie energi ( (2πmkT ) ) 3/2 F (T, V, N) NkT ln V + NkT ln N NkT. (2) (a) Finn det kjemiske potensialet til gassen. h 2 Vi finner det kjemiske potensialet ved å derivere Helmholtz fri energi: ( ) F µ kt ln V n Q +kt ln N +NkT/N kt kt ln n Q /n. (21) N T,V hvor n Q (2πmkT/h 2 ) 3/2 og n N/V. Når en ideell gass er inne i et lite hulrom med en overflateladning vil gassens partikler vekselvirke med overflaten. Vi antar at det gir hver enkelt partikkel i gassen en bindingsenergi ɛ. Energien ɛ kan være positiv eller negativ. (b) Hva blir Helmholtz frie energi for gassen i hulrommet? Begrunn svaret. Vi ser at Helmholtz frie energi når må modifiseres for å ta hensyn til bindingsenergien til hvert enkelt atom. Det gir en endring i den indre energien som svarer til Nɛ slik at Helmholtz frie energi for en gass inne i en pore er F 1 F + Nɛ. Dette kan også begrunnes ved å gå tilbake til partisjonsfunksjonen for systemet. Vi vet at energitilstandene for en enkelt gass-partikkel er ɛ i. Når det i tillegg innføres en bindingsenergi får vi nye tilstander, ɛ i + ɛ. Dette betyr at vi får en ny en-partikkel-partisjonsfunksjon z 1 z e ɛ/kt, og det betyr at den nye Helmholtz frie energi blir F 1 kt ln Z 1 kt ln z N 1 /N! kt ln z N /N! kt ln e Nɛ/kT F + Nɛ. (c) Vis at det kjemiske potensialet til gassen i hulrommet blir hvor n Q (2πmkT/h 2 ) 3/2 og n N/V. µ kt ln n/n Q + ɛ. (22) Vi finner det kjemiske potensialet på samme måte som ovenfor: ( ) ( ) ( ) F1 F + Nɛ F1 µ 1 + ɛ µ + ɛ. (23) N N N T,V T,V Vi skal nå se på en ideell gass med tetthet n i et stort rom uten overflateladning. Gassen er i termisk og diffusiv kontakt med en ideell gass av de samme partiklene som er i et lite rom med overflateladning. (d) Finn et uttrykk for tettheten, n 1, til gassen inne i hulrommet uttrykt ved tettheten, n, til gassen utenfor hulrommet. T,V 6

I likevekt må det kjemiske potensialet i gassen utenfor og innenfor poren være det samme. Det betyr at Det gir at og µ kt ln n /n Q µ 1 kt ln n 1 /n Q + ɛ. (24) ln n /n Q ln n 1 /n Q + ɛ/kt, (25) n n 1 e ɛ/kt n 1 n e ɛ/kt. (26) Det betyr at dersom energien til et atom er høyere når det er inne i poren (ɛ > ) så blir konsentrasjonen mindre, og dersom energien er lavere blir konsentrasjonen høyere selvfølgelig. I virkelige nanoporer kan energien til et atom inne i poren være så stor at ingen atomer kommer inn i poren. Slik kan man f.eks. lage porer som ikke slipper gjennom salt, men som slipper gjennom vann pga overflateladning i poren. Oppgave 4 Vi skal i denne oppgaven studere en kvantegass i den klassiske grensen. Du kan i denne oppgaven få bruk for at integralet e u u 1/2 du π/2 og e u u 3/2 du (3/2) π/2. (a) Fermi-Diracs foredelingsfunksjon for Fermioner er f F D (ɛ, µ, T ) 1 e (ɛ µ)/kt + 1, (27) Forklar symbolene (f, ɛ, µ, T ) og skisser fordelingsfunksjonen for to forskjellige temperaturer, T 2 > T 1. (b) Forklar hva vi mener med den klassiske grensen og vis at Fermi-Diracs fordelingsfunksjon blir f(ɛ, µ, T ) e (ɛ µ)/kt i den klassiske grensen. I den klassiske grensen er ikke de kvantemekaniske effektene viktige. Det er i grensen hvor det er få partikler i hver tilstand, fordi det da er lite sannsynlig at Fermion-betingelsen vil ha betydning. Dette skjer når f F D blir svært liten. I denne grensen er eksponensialfunksjonen under brøkstreken svært stor, og vi kan se bort fra +1 under brøkstreken. Da blir f F D 1 e (ɛ µ)/kt + 1 1 e (ɛ µ)/kt e (ɛ µ)/kt. (28) For en ideell gass av Fermioner i en tre-dimensjonal boks med størrelse V L 3, er de mulige energitilstandene ɛ(n x, n y, n z ) an 2 a ( n 2 x + n 2 y + n 2 z), (29) hvor n x, n y, n z 1, 2, 3,..., a h 2 /(8mL 2 ), m er massen til partiklene i gassen og V L 3 er volumet til gassen. (c) Vis at tilstandstettheten til gassen er D(ɛ) π 2a ɛ a. (3) 7

Vi vet at i n-rommet er tilstandstettheten 2 hvis vi ser på Ferioner med spinn 1/2. Det betyr at i et sfærisk skall av tykkelse dn fra n er det 2 4πn 2 dn tilstander. Siden vi kun skal se på positive verdier for n x, n y, n z blir det kun 1/8 så mange tilstander fra n til n + dn. Det betyr at D(n) πn 2. Vi ønsker så å finne tilstandstettheten i ɛ-rommet. Det gjør vi ved å endre integrasjonsvariabelen: D(ɛ)dɛ D(n)dn D(ɛ) D(n) dɛ/dn πn2 2an π n 2a, (31) hvor vi setter inn at ɛ an 2 n ɛ/a: D(ɛ) π n 2a π 2a ɛ a π 2a 3/2 ɛ. (32) (d) Vis at forventningsverdien til antallet partikler i gassen er: N e µ/kt π (kt )3/2 2a3/2 π 2. (33) Vi finner antallet partikler ved N f(ɛ)d(ɛ)dɛ e (ɛ µ)/kt e µ/kt π 2a 3/2 e µ/kt π (kt )3/2 2a3/2 e µ/kt π (kt )3/2 2a3/2 π ɛdɛ 2a 3/2 e ɛ/kt ɛdɛ π 2. e x xdx (34) (e) Finn forventningsverdien til energien, E E(T, V, N), til gassen. Vi finner forventningsverdien til energien ved E ɛf(ɛ)d(ɛ)dɛ ɛe (ɛ µ)/kt e µ/kt pi 2a 3/2 pi 2a 3/2 ɛdɛ e µ/kt pi 2a 3/2 (kt )3/2 kt e ɛ/kt ɛ 3/2 dɛ e x x 3/2 dx e µ/kt pi 2a 3/2 (kt )3/2 kt (3/2) π/2 (3/2) kt e µ/kt pi 2a 3/2 (kt )3/2 π/2 (3/2) kt N (3/2)NkT. Som er det vi forventer for en ideell gass! (35) 8