Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Dato: 5.12.2018 FYS-1001 Mekanikk Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: Adm.bygget, rom B154 2 ark med egne notater (4 sider) Godkjent kalkulator Rottman. Matematisk formelsamling Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: Rute 5 Børge Irgens 46965703 Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl. 1030 NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / 77 64 40 00 / postmottak@uit.no / uit.no
Noen generelle råd Les raskt gjennom hele oppgaveteksten og lag en plan for bruken av eksamenstida. Tegn gode figurer. Skriv tydelig og presenter oppgavene oversiktlig. Ikke bare skriv opp formler, men forklar hvorfor du bruker dem og hvilken fysisk forståelse som ligger bak. Skriv svartekst. Forklar overganger fra ei ligning til ei annen. Skriv opp mellomregninger. Ved sensurering vil alle delspørsmål i utgangspunktet vektes likt, men vi forbeholder oss retten til justeringer. Lykke til! Oppgave 1 l Figur 1: Stang hengslet på ene enden og støttet på andre En homogen stang med masse m og lengde l er festet i et friksjonsløst hengsel på den ene enden og støttet opp på andre enden, som vist i figur 1. a. Finn kraften fra hengselet og støtten. b. Finn treghetsmomentet til stangen om hengselet. Du kan bruke at treghetsmomentet om en akse på tvers gjennom massesenteret er I = 1 12 ml2 c. Støtten blir fjernet. Hva er kraften fra hengselet rett etterpå? L Figur 2: Fysisk pendel og fjærpendel Stangen blir hengt opp som vist i figur 2. Fjæren er festet til en mekanisme slik at den hele tiden holdes horisontal. Når staven henger vertikalt så er fjæren i likevekt, det vil si 2
F = k x = 0. d. Vis at bevegelsesligningen for pendelen kan skrives som: e. Hva er vinkelfarten for små utslag? d 2 θ dt 2 = 3g 2l sin θ 3k sin θ cos θ. (1) m f. Likning 1 kan løses numerisk for vilkårlige vinkler. Listen under inneholder alle linjene som skal til for å implementere Eulers metode i Python. 1. I hvilken rekkefølge må de skrives inn? Marker innhopp/innrykk i koden 2. Hvordan kan jeg modifisere koden for å bruke Euler-Cromers metode istedenfor? 3. Hva er fordelen med Euler-Cromers metode? 1 2 plt.show() 3 import matplotlib.pyplot as plt 4 d_th[i] = d_th[i-1] + dd_th*dt 5 th[0] = 0.1 6 d_th = np.zeros(len(t)) 7 import numpy as np 8 for i in range(1,len(t)): 9 dt = 0.01 10 th[i] = th[i-1] + d_th[i-1]*dt 11 k = 4 12 plt.plot(t,th) 13 th = np.zeros(len(t)) 14 l = 0.3 15 g = 9.8 16 dd_th = -1.5*g*np.sin(th[i-1])/l - 3*k*np.sin(th[i-1])*np.cos(th[i-1])/m 17 t = np.arange(0,5,dt) 18 m = 0.2 Oppgave 2 Nå skal du undersøke bevegelsen til forskjellige gjenstander som glir eller ruller nedover et skråplan, se figur 3. Avstanden mellom punkt A og B er L. a. Bruk Lagrangemetoden til å finne tiden det tar for en kloss å gli fra A til B dersom det overflaten av skråplanet er friksjonsfri. b. Vis ved integrasjon at en tynn homogen skive med masse M og radius R har treghetsmoment I = 1 2 MR2 3
A θ B Figur 3: Skråplan c. Hvor lang tid vil det ta skiven å rulle uten å gli fra A til B? d. Hvor fort vil en kloss bevege seg når den kommer til bunnen av skråplanet dersom det virker en friksjon som øker lineært fra null ved A til µ ved B? Hint: husk at a = v dv dx. e. Vi gir nå skråplanet en akselerasjon a mot høyre. Hvor stor må den være for at klossen ikke skal begynne å skli ved A? Oppgave 3 a. Hva var problemet for klassisk fysikk som Einstein løste med det spesielle relativitetsprinsippet i 1905 og hva sier dette prinsippet? 1 b. Utled ligningen t = γt 0 hvor γ = 1 (v/c) 2 ved å betrakte en lysklokke eller bruke Lorentz-transformasjonen. En lysklokke består av to speil der det går en lysstråle i mellom. En fem meter lang bil står foran en tre meter lang garasje med dører i hver ende. Bilen kjører så mot garasjen med en fart på 4c/5. c. Svar på følgende spørsmål om lengdekontraksjon 1. Hvor lang er bilen i et treghetssystem hvor garasjen er i ro? 2. Vis at garasjen er 1.8 m lang i et treghetssystem hvor bilen er i ro. d. En mekanisme i garasjen stenger begge dørene mens hele bilen er inne og åpner dem igjen slik at bilen kan passere gjennom. Hvordan vil sjåføren til bilen oppleve dette? Vis at man kan bruke Lorentz-transformasjonen til å transformere mellom disse to beskrivelsene 4
( t = γ t v x ) c 2 (2) x = γ ( x v t) (3) Oppgave 4 En tversbølge på en streng, hvor tensjonen er den eneste kraften som virker, oppfyller bølgelikningen 2 y = T 2 y t 2 µ, men en annen mer realistisk modell kan gi bølgelikningen x 2 2 y t 2 = T 2 y ay (4) µ x2 a. Vis at y(x, t) = cos(kx ωt) er en løsning til likning 4 så lenge ω 2 = T µ k2 + a. b. Hva er sammenhengen mellom gruppe- og fasehastigheten i dette tilfellet? Det vil si: finn en likning som gir sammenhengen mellom v g og v. Likningen kan også inneholde parametrene T, µ og a. c. Men hva betyr dette? Ta utgangspunkt i to harmoniske bølger og forklar hva som beveger seg med disse hastighetene. Ordliste Engelsk Bokmål Nynorsk Angular velocity Vinkelfart Vinkelfart Angular momentum Drivmoment Drivmoment Degree of freedom Frihetsgrad Fridomsgrad Equilibrium position Likevektspunkt Jamvektspunkt Interaction Vekselvirkning Vekselverknad Lagrangian Lagrangefunksjon Lagrangefunksjon Moment of inertia Treghetsmoment Tråleiksmoment Momentum Bevegelsesmengde Rørslemengd Oscillations Svingninger Svingningar Torque Kraft/dreiemoment Kraft/dreiemoment Trajectory Bane Bane Inclined plane Skråplan Skråplan Disk Skive Skive Hinge Hengsel Hengsel 5