EKSAMENSOPPGAVE. Aud. Max Administrasjonsbygget Karl Rottmann: Matematisk formelsamling Kalkulator

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-0100 Generell fysikk Dato: 28. februar 2018 Klokkeslett: 09:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: Aud. Max Administrasjonsbygget Karl Rottmann: Matematisk formelsamling Kalkulator Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: Telefon/mobil: Rute Oppgavesettet er på 12 sider inkludert forside og vedlegg Carita E. Eira Varjola / Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Svar: JA Hvis JA: ca. kl. 10:30 NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Side 2 av 12 Først noen generelle råd: Les raskt gjennom hele oppgaveteksten og lag en plan for bruken av eksamenstida. Les hver oppgavetekst nøye før du begynner på oppgaven. Tegn gode gurer. Skriv tydelig og presenter oppgavene oversiktlig. Ikke bare skriv opp formler og antakelser, men forklar hvorfor du bruker dem og hvilken fysisk forståelse som ligger bak. Forklar overganger fra en ligning til en annen. Skriv opp mellomregninger. Ved sensurering vil alle delspørsmål i utgangspunktet vektes likt, men vi forbeholder oss retten til justeringer. Lykke til!

3 Side 3 av 12 Oppgave 1 I denne oppgaven skal vi se på en heisanordning som består av to massive sylindre som er festet sammen slik at de utgjør en sammensatt trinse med rotasjonsakse gjennom massesenteret. Den største sylinderen har masse M og radius R, mens den mindre sylinderen har masse m = 1 3 M og radius r = 1 3R. Om hver sylinder er det viklet et tau, slik guren viser. Vi antar at tauene er uelastisk og at de ikke glir. I det ene tauet har vi festet en kasse med masse m k = m. En lagerarbeider trekker i det andre tauet med en kraft F, slik at kassen løftes oppover med en konstant fart v 0. Massen til tauene er små, og tauene kan derfor behandles som masseløse. Vi ser bort fra friksjon i rotasjonsaksen. Treghetsmomentet til en sylinder om massesenteret gitt ved I CM = 1 2 mr2. 1 a) Vis at størrelsen til kraften F er gitt ved F = 1 3 mg. 1 b) Finn arbeidet utført av lagerarbeideren når kassen heves en høyde h. Du kan anta at kassen har farten v 0 i hele bevegelsen. Svaret skal uttrykkes ved m, g og h. Heisen har en sikkerthetsanordning der man fester et lodd med masse m l = 1 2m i tauet som er viklet om den store sylinderen. Dette gjøres i tilfelle det oppstår feil i heisens brems. I et øyeblikk der arbeideren ikke følger med skjer nettopp dette, og bremsen slipper helt. Systemet som nå består av trinsen(de to sylindrene), kassen og loddet slippes fra ro. 1 c) i) Vis at det totale treghetsmomentet for trinsa om rotasjonsaksen er gitt ved I tot = 14 9 mr2 ii) Hva blir sammenhengen mellom vinkelakselerasjon α, klossens akselerasjon a k loddets akselerasjon a l? og 1 d) Finn kassens akselerasjon uttrykt ved g. Angi også retningen.

4 Side 4 av 12 Oppgave 2 I denne oppgaven skal vi se på en fjernstyrt modellbil med masse m som kjører i en bane. Bilen kan behandles som en punktmasse gjennom hele oppgaven. Banen består av to svinger som begge har radius R og dosering der vinkelen med horisontalen er gitt ved β. Banen inneholder også en loop med radius R l. Vi har en friksjonskoesient µ mellom hjulene på bilen og underlaget. 2 a) Finn et uttrykk for farten bilen minst må ha i svingen ved punkt A for å ikke skli ned av banen. Svaret skal uttrykkes ved µ, β, g og R. Bør vi her bruke kinetisk friksjonskoesient µ k eller statisk friksjonskoesient µ s? Begrunn svaret. 2 b) Finn et uttrykk for den maksimale farten bilen kan ha ved punkt G for å ikke skli ut av banen. 2 c) Vis at farten ved punkt C må være v c = 5gR l for at bilen akkurat skal komme rundt loopen uten å falle ned. Se bort ifra bidraget fra friksjonskraften i denne deloppgaven. 2 d) For å nå farten v c = 5gR l ved punkt C, må bilen akselerere på den rette strekningen mellom B og C. Bilen har her en akselerasjon gitt ved a x (t) = αt, der α = 2, 50 m s 3. Finn et uttrykk for farten bilen må ha ved punkt B uttrykt ved v c, α og t.

5 Side 5 av 12 Oppgave 3 En stav med uniformt fordelt masse M og lengde L er festet til en hengsel. Staven henger innledningsvis i ro. Stavens treghetsmoment om massesenteret er gitt ved I CM = 1 12 ML2. Vi skyter et lite prosjektil med masse m = 1 4M mot staven. Prosjektilet treer staven i en avstand 2 3L fra hengselen og blir sittende fast. 3 a) Vis at vinkelfarten til det sammensatte legemet etter kollisjonen er ω 1 = 3 v 0 8 L. Etter kollisjonen vil det sammensatte systemet svinge opp før det stopper og snur. 3 b) Finn et uttrykk for massesenterets høyde h for det punktet der staven snur. Svaret skal uttrykkes ved v 0 og g. 3 c) Er vinkelakselerasjonen konstant idet staven svinger? Begrunn svaret ved bruk av formler!

6 Side 6 av 12 Oppgave 4 Vi skal se på et vannkraftverk som består av en demning og en rørgate. Innløpet (d 1 ) til rørgata ligger 25.0m under vannets overate mens utløpet (d 2 ) ligger 105m lavere enn innløpet til røret. Vi har atmosfærisk trykk p 0 = 1, Pa både ved vannets overate i demningen og ved rørgatens utløp (d 2 ). Rørgatas diameter ved innløpet er d 1 = 20.0cm og diameteren ved utløpet er d 2 = 15.0cm. Vannet har tetthet ρ = 1000 kg me. Inkluder antagelser og betingelser 3 som er nødvendige for å løse oppgaven. 4 a) i) Hvor stor fart har vannet ved utløpet av rørgata(d 2 )? ii)hvor stor fart har vannet ved rørets innløp (d 1 )? Kraftverkets generator har en eekt på 1.65MW når det går for fullt. 4 b) i) Hvor mye energi produserer generatoren i løpet av ett døgn? Gi svaret i kilowattimer (kwh) ii) Hvor mye vann har strømmet ut av røret i løpet av dette døgnet? Gi svaret i liter (L)

7 Side 7 av 12 Oppgave 5 En varmluftsballong holdes svevende ved at luft varmes opp ved atmosfærisk trykk. Volumet av ballongen vår er 450m 3. Luften utenfor ballongen har en temperatur på 15, 0 C. Ved 15, 0 C og atmosfærisk trykk har luft en tetthet på ρ luft = 1, 23 kg m. Luftballongen skal kunne løfte og 3 holde en masse på 250kg (i tillegg til massen av den varme luften). 5 a) Vis at tettheten til den varme luften inni ballongen er gitt ved der ρ luft ρ v,l = ρ luft m V = 1, 23 kg m 3, m = 250kg og V = 450m 3. 5 b) Hva må temperaturen til luften inni ballongen være for å kunne løfte disse 250kg (pluss den varme luften)? Du kan anta at både luften utenfor og inni ballongen holdes ved atmosfærisk trykk. Oppgave 6 Du har blanda ei mugge med 1,00 liter hjemmelaget bringebærsaft som du har invitert noen venner til å komme og smake på. Gjestene blir forsinket, og når de endelig kommer har safta stått i romtemperatur så lenge at den holder en temperatur på 22,0 grader Celsius. Du vil gjerne servere vennene kald saft, og for å få nedkjølt safta raskt, tilsetter du isbiter fra frysen som holder en temperatur på -22,0 grader Celsius. Du har kommet fram til at safta smaker best når den holder en temperatur på 3,00 grader Celsius ved servering. Hvor mye is må du tilsette safta for å oppnå en likevektstemperatur på 3,00 grader? Anta at safta har de samme egenskapene som vann, og at materialet til mugga ikke påvirker resultatet.

8 Side 8 av 12 Vedlegg Tabell I: Spesifikk- og molar varmekapasitet Tabell II: Smelte- og fordampingsvarme

9 Side 9 av 12 Formelsamling FYS-0100 Oppdatert 21.februar 2018 Mekanikk K = 1 2 mv2 (6.5) v x = v 0x + a x t (2.8) x = x 0 + v 0x t a xt 2 (2.12) v 2 x = v 2 0x + 2a x (x x 0 ) (2.13) x x 0 = ( v 0x + v x )t (2.14) 2 v x = v 0x + x = x 0 + t 0 t v av = r 2 r 1 = r t 2 t 1 t r v = lim t 0 t = d r dt 0 a av = v 2 v 1 t 2 t 1 a x dt (2.17) v x dt (2.18) = v t v a = lim t 0 t = d v dt (3.2) (3.3) (3.8) (3.9) a rad = v2 (uniform sirkul r bevegelse) R (3.27) v P/A = v P/B + v B/A (3.35) F = m a (4.6) F AB = F BA (4.10) f k = µ k F n (5.3) f s µ s F n (5.4) F g = G m 1m 2 r 2 (13.1) W = W = F s cos φ (6.2) W = F s (6.3) P2 P 1 F d l (6.14) W tot = K 2 K 1 (6.6) P av = W t (6.15) U grav = mgy (7.2) W grav = U grav (7.3) U el = 1 2 kx2 (7.10) K 1 + U 1 = K 2 + U 2 (7.4/7.12) K 1 + U 1 + W other = K 2 + U 2 (7.14) J = p = m v (8.2) J = F t (8.5) P2 r cm = m 1 r 1 + m 2 r m 1 + m P 1 F dt (8.7) P = p 1 + p p n (8.14) i m i r i = i m i (8.29) α z = dω z = d2 θ z dt dt 2 (9.6) ω z = ω 0z + α z t (9.7) θ z θ 0z = 1 2 (ω 0z + ω z )t (9.10) θ z = θ 0z + ω 0z t α zt 2 (9.11) ω 2 z ω 2 0z = 2α z (θ θ 0 ) (9.12) v = rω (9.13) a tan = dv dt = d(rω) = rα dt (9.14) a rad = ω 2 r (9.15) I = m 1 r m 2 r = i mr 2 i (9.16) K = 1 2 Iω2 (9.17)

10 Side 10 av 12 I p = I cm + Md 2 (9.19) τ = rf sin θ (10.2) τ = r F (10.3) τz = Iα z (10.7) K = 1 2 Mv2 cm I cmω 2 (10.8) v cm = Rω (10.11) W = θ2 θ 1 τ z dθ (10.20) L = r p = r m v (10.24) L = I ω (10.28) dl τ = (10.29) dt Likevektsbetingelser: F = 0, τ = 0 (11.1 / 11.2) Y = F /A = F l 0 l/l 0 A l (11.10) B = p (11.13) V/V 0 S = F /A x/h = F h A x f = ω 2π = 1 2π f = ω 2π = 1 2π (11.17) f = 1 T (14.1) ω = 2πf (14.2) F x = kx (14.3) k (14.11) m g (14.33) L E = 1 2 mv2 x+ 1 2 kx2 = 1 2 ka2 = konstant ω = mgd I (14.21) (14.38) x = Ae (b/2m)t cos(ω t + φ) (14.42) k ω = m b2 4m 2 (14.43) Fluidmekanikk ρ = m V (12.1) p = df da (12.2) p = p 0 + ρgh (12.6) A 1 v 1 = A 2 v 2 (12.10) dv dt = Av (12.11) p 1 + ρgy ρv2 1 = p 2 + ρgy ρv2 2 (12.18) Termodynamikk L = αl 0 T (17.6) V = βv 0 T (17.8) Q = mc T (17.13) Q = nc T (17.18) Q = ±ml (17.20) H = dq dt = kat H T C L H = A T H T C R (17.21) (17.23) R = L k (17.24) H = AɛσT 4 (17.25) H net = Aɛσ(T 4 T 4 s ) (17.26) m total = nm (18.2) pv = nrt (18.3) pv = NkT (18.3) Monoatomisk ideell gass: K tr = 3 nrt (18.14) 2

11 Side 11 av 12 Tabell 1: Prekser Symbol Navn Verdi p piko n nano 10 9 µ mikro 10 6 m milli 10 3 k kilo 10 3 M mega 10 6 G giga 10 9 T terra Adiabatisk prosess - ideel gass: 1 2 m(v2 ) av = 3 kt 2 (18.16) v rms = 3kT (v 2 ) av = m (18.19) C v = 3 R punktpartikler (18.25) 2 C v = 5 R diatomisk gas (18.26) 2 C v = 3R monoatomisk fast sto (18.7) W = V2 Dersom p = konstant: V 1 p dv (19.2) W = p V = p(v 2 V 1 ) (19.3) U = Q W (19.4) C p = C V + R (19.17) γ = C p C V (19.18) C V = R γ 1 T 1 V γ 1 1 = T 2 V γ 1 2 (19.22) p 1 V γ 1 = p 2V γ 2 (19.24) W = nc V (T 1 T 2 ) (19.25) W = 1 γ 1 (p 1V 1 p 2 V 2 ) (19.26) e = W Q H = 1 Q C Q H (20.4) Virkningsgrad Otto-syklus: e = 1 1 r γ 1 (20.6) K = Q C W (20.9) e carnot = 1 T C T H (20.14) T C K Carnot = (20.15) T H T C S = 2 1 dq T (20.19) S = k ln w (20.22)

12 Side 12 av 12 Tabell 2: Konstanter Atommasseenhen u = 1, kg Avogadrokonstanten N A = 6, mol 1 Boltzmannkonstanten k = 1, J/K Element rladningen e = 1, C Elektronvolt 1eV = 1, J Elektronmassen m e = 9, kg Protonmassen m p = 1, kg Gravitasjonskonstanten G = 6, Nm 2 /kg 2 Lyshastigheten i vakuum c = 2, m/s Molar gasskonstant R = 8, 314 J/(mol*K) Planckkonstanten h = 6, Js Permitiviten i vakuum ɛ 0 = 8, C 2 /Nm 2 1 4πɛ 0 = k = 8, Nm 2 /C 2 Permeabiliteten i vakuum µ 0 = 4π 10 7 Wb/Am Normalt lufttrykk p 0 = 1, Pa = 1atm Stefan-Boltzmannkonstanten σ = 5, W/m 2 K 4 Tabell 3: Sammenheng translasjon og rotasjon Translasjon Rotasjon Sammenheng x θ x = rθ v x ω z v x = rω z a x α z a x = rα z F τ τ = r F m I I = i=1 m i r 2 i K = 1 2 mv2 K = 1 2 Iω2 W = F s W = τ θ W = F d s W = τdθ W tot = K 2 K 1 W tot = K 2 K 1 p = m v L = I ω L = r p F = m a τz = Iα z F = d p dt Dersom F = 0 p =konstant τ = dl dt Dersom τ = 0 L =konstant