EKSAMENSOPPGAVE. Karl Rottmann: Matematisk formelsamling Kalkulator

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-0100 Generell fysikk Dato: 8. desember 2017 Klokkeslett: kl. 09:00-13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: Karl Rottmann: Matematisk formelsamling Kalkulator Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Rute Oppgavesettet er på 19 sider inkludert forside og vedlegg Bokmålsversjon: side 2 8 Nynorskversjon: side 9 15 Kontaktperson under eksamen: Carita E. Eira Varjola Telefon/mobil: / NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Side 2 av 19 Først noen generelle råd: Les raskt gjennom hele oppgaveteksten og lag en plan for bruken av eksamenstida. Les hver oppgavetekst nøye før du begynner på oppgaven. Tegn gode gurer. Skriv tydelig og presenter oppgavene oversiktlig. Ikke bare skriv opp formler og antakelser, men forklar hvorfor du bruker dem og hvilken fysisk forståelse som ligger bak. Forklar overganger fra en ligning til en annen. Skriv opp mellomregninger. Ved sensurering vil alle delspørsmål i utgangspunktet vektes likt, men vi forbeholder oss retten til justeringer. Lykke til!

3 Side 3 av 19 Oppgave 1 En kloss med masse m = 0, 500kg sklir fra punkt A til punkt C. Klossens fart ved punkt A er v A = 4, 00m/s, mens ved punkt B er farten v B = 2, 00m/s. Distansen AB er 2,50 m. Ved punkt B kolliderer klossen med en fjær. Klossen setter seg fast i fjæra. Fjæra presses sammen 19,6 cm til punkt C, der bevegelsen snur. Fjærens masse kan neglisjeres. Det virker en friksjon fra underlaget i hele bevegelsen. 1 a) Redegjør for hva som kjennetegner konservative og ikke-konservative krefter. Gi eksempler på hvilke krefter som er konservative/ikke-konservative i denne bevegelsen. Ta utgangspunkt i bevegelsen fra A til C og drøft hvorvidt den mekaniske energien er bevart i de to delintervallene AB og BC. 1 b) Finn fjærstivheten k til fjæren. Når klossen kolliderer med fjæra, vil systemet settes i svingning. 1 c) Forklar hvorfor systemet vil settes i svingning. Hva kalles denne typen svingning? Skissér en graf for klossen sin posisjon med hensyn på tiden. Gi en kort forklaring på hva som skjer underveis i bevegelsen (AC).

4 Side 4 av 19 Oppgave 2 Vi fester en bøyle på en sylinder. Bøylen blir festet slik at aksen går igjennom sylinderens massesenter. Sylinderen kan rotere friksjonsfritt om aksen. Sylinderen har radius R, masse m s og et treghetsmoment om massesenteret gitt ved I CM = 1 2 m sr 2. Vi knytter så en tynn, lett snor på bøylen. Snora blir festet til en kloss med masse m k = 2m s. Massen til bøylen og snora er neglisjerbar i forhold til klossen og sylinderens masse. Klossen og sylinderen ligger på et skråplan som danner en vinkel θ med horisontalen. Det virker en friksjonskraft fra underlaget. 2 a) Finn systemet sin akselerasjon dersom den kinetiske friksjonskoesienten mellom underlaget og klossen er µ k. Du kan anta at snora holdes stram i hele bevegelsen og at friksjonskoesienten mellom underlaget og sylinderen er stor nok til at sylinderen vil rulle uten å gli. Du kan videre også anta at hellingen på planet er stor nok til at systemet settes i bevegelse. Svaret skal uttrykkes ved g, θ og µ k. 2 b) Finn forandringen i mekanisk energi etter at systemet har beveget seg en distanse L ned langs skråplanet.

5 Side 5 av 19 Oppgave 3 En stokk med uniformt fordelt masse M og lengde L er festet til en hengsel. Stokkens treghetsmoment om massesenteret er gitt ved I CM = 1 12 ML2. I stokkens endepunkt er det festet en liten partikkel med masse m = 1 4M. Stokken blir innledningsvis holdt i ro i en vinkel θ 1 = 60, 0 fra horisontalen. Tauet som holder stokken oppe er festet på stokken i en avstand 2/3L fra hengselen. Tauet danner en vinkel θ 2 målt fra stokken. 3 a) Vis at snordraget er gitt ved T = 9 16 Mg sin(θ. 2) 3 b) Vis at massesenteret til systemet (stokk + partikkel) ligger på stokken i en posisjon x CM = 3 5L fra hengselen. Vis også at systemet sitt treghetsmoment om hengselen er gitt ved I h = 7 12 ML2

6 Side 6 av 19 Vi klipper av tauet. Systemet (stokk + partikkel) kan nå rotere friksjonsfritt om hengselen. 3 c) Finn systemet sin vinkelakselerasjon idet tauet klippes. Svaret skal uttrykkes ved g og L. Vi stopper stokken når den er i horisontal posisjon. Herifra slippes systemet på nytt fra ro. 3 d) Vis at stokken sin vinkelfart idet den passerer det laveste punktet i banen er gitt ved 18 g ω = 7 L

7 Side 7 av 19 Idet systemet er i sitt laveste punkt løsner partikkelen med masse m = 1 4 M. 3 e) Hvor langt opp på den andre siden svinger stokken før den stopper og begynner å svinge tilbake? Svaret skal uttrykkes som en vinkel målt i grader fra vertikallinjen.

8 Side 8 av 19 Oppgave 4 Vi har to homogene staver B og C som er satt sammen til en sammenhengende stav. Stavene har likt tverrsnittsareal A. Stav B har lengde L B og massetetthet ρ B, mens stav C har lengde L C og massetetthet ρ C. Den sammensatte staven senkes i en væske med ukjent massetetthet ρ x. Staven blir liggende i ro i en dybde der L x av stav B er nedsenket i væsken. Finn væskens massetetthet ρ x uttrykt ved ρ B, ρ C, L B, L C og L x. Oppgave 5 En diatomisk, ideell gass starter i en tilstand A der volumet er V 0, trykket er p 0 og temperaturen er T 0. Gassen utvides først adiabatisk til et nytt volum V B = 3V 0. Gassen varmes deretter opp under konstant volum, og føres til slutt isotermt tilbake til starttilstanden. Bruk tre gjeldende sier dersom du får sluttsvar med desimaler. 5 a) Tegn et pv-diagram for denne syklusen. Avgjør om dette kan være syklusen til en varmekraftmaskin (heat engine) eller en kjølemaskin (refridgerator). 5 b) Bestem trykk og temperatur i de to ukjente tilstandene. 5 c) Beregn utført arbeid og tilført varme under hver av de tre delprosessene. Svarene skal uttrykkes ved p 0 og V 0. 5 d) Finn virkningsgraden (eektivitet/eektfaktor) i denne syklusen.

9 Side 9 av 19 Først nokre generelle råd: Les raskt gjennom heile oppgåveteksten og lag ein plan for korleis du bruker eksamenstida. Les kvar oppgåvetekst nøye før du byrjar på oppgåva. Teikn gode gurar. Skriv tydeleg og presenter oppgåvene oversiktleg. Ikkje berre skriv opp formlar og føresetnader, men forklar kvifor du bruker dei og kva for ei fysisk forståing som ligg bak. Forklar overgangar frå ei likning til ei anna. Skriv opp mellomrekningar. Ved sensurering vil alle delspørsmål i utgangspunktet bli vekta likt, men vi tek atterhald om at dette kan bli justert. Lykke til!

10 Side 10 av 19 Oppgåve 1 Ein kloss med masse m = 0, 500kg sklir frå punkt A til punkt C. Klossen si fart ved punkt A er v A = 4, 00m/s, mens ved punkt B er farta v B = 2, 00m/s. Distansen AB er 2,50 m. Ved punkt B kolliderer klossen med ei fjør. Klossen set seg fast i fjøra. Fjøra blir pressa saman 19,6 cm til punkt C, der rørsla snur. Fjøra sin masse kan neglisjerast. Det verkar ein friksjon frå underlaget i heile rørsla. 1 a) Gjer greie for kva som kjenneteiknar konservative og ikkje-konservative krefter. Gje eksempel på kva for krefter som er konservative/ikkje-konservative i denne rørsla. Ta utgangspunkt i rørsla frå A til C og drøft om den mekaniske energien er bevart i dei to delintervalla AB og BC. 1 b) Finn fjærstivleiken k til fjøra. Når klossen kolliderer med fjøra, vil systemet setjast i svinging. 1 c) Forklar kvifor systemet vil setjast i svinging. Kva kallar ein denne typen svinging? Skissér ein graf for klossen sin posisjon med omsyn på tida. Gje ei kort forklaring på kva som skjer undervegs i rørsla (AC).

11 Side 11 av 19 Oppgåve 2 Vi festar ein bøyel på ein sylinder. Bøyelen blir festa slik at aksen går igjennom sylinderen sitt massesenter. Sylinderen kan rotere friksjonsfritt om aksen. Sylinderen har radius R, masse m s og eit tregleiksmoment om massesenteret gjeve ved I CM = 1 2 m sr 2. Vi knyter så ei tynn, lett snor på bøyelen. Snora blir festa til ein kloss med masse m k = 2m s. Massen til bøyelen og snora er neglisjerbar i høve til klossen og sylinderen si masse. Klossen og sylinderen ligg på eit skråplan som dannar ein vinkel θ med horisontalen. Det verkar ei friksjonskraft frå underlaget. 2 a) Finn systemet sin akselerasjon dersom den kinetiske friksjonskoesienten mellom underlaget og klossen er µ k. Du kan anta at snora haldast stram i heile rørsla og at friksjonskoesienten mellom underlaget og sylinderen er stor nok til at sylinderen vil rulle utan å glide. Du kan vidare også anta at hellinga på planet er stor nok til at systemet blir sett i rørsle. Svaret skal uttrykkjast ved g, θ og µ k. 2 b) Finn endringa i mekanisk energi etter at systemet har bevega seg ein distanse L ned langs skråplanet.

12 Side 12 av 19 Oppgåve 3 Ein stokk med uniformt fordelt masse M og lengd L er festa til eit hengsel. Stokken sitt tregleiksmoment om massesenteret er gjeve ved I CM = 1 12 ML2. I stokken sitt endepunkt er det festa ein liten partikkel med masse m = 1 4M. Stokken blir innleiingsvis halde i ro i ein vinkel θ 1 = 60, 0 frå horisontalen. Tauet som held stokken oppe er festa på stokken i ein avstand 2/3L frå hengselet. Tauet dannar ein vinkel θ 2 målt frå stokken. 3 a) Vis at snordraget er gjeve ved T = 9 16 Mg sin(θ. 2) 3 b) Vis at massesenteret til systemet (stokk + partikkel) ligg på stokken i ein posisjon x CM = 3 5L frå hengselet. Vis også at systemet sitt tregleiksmoment om hengselet er gjeve ved I h = 7 12 ML2

13 Side 13 av 19 Vi klipper ov tauet. Systemet (stokk + partikkel) kan no rotere friksjonsfritt om hengselen. 3 c) Finn systemet sin vinkelakselerasjon idet tauet blir klipt. Svaret skal uttrykkkjast ved g og L. Vi stoppar stokken når den er i horisontal posisjon. Herifrå blir systemet sleppt på nytt frå ro. 3 d) Vis at stokken si vinkelfart idet han passerer det lågaste punktet i banen er gjeve ved 18 g ω = 7 L

14 Side 14 av 19 Idet systemet er i sitt lågaste punkt løsna partikkelen med masse m = 1 4 M. 3 e) Kor langt opp på den andre sida svingar stokken før han stoppar og byrjar å svinge tilbake? Svaret skal uttrykkjast som ein vinkel målt i grader frå vertikallinjen.

15 Side 15 av 19 Oppgåve 4 Vi har to homogene stavar B og C som er sett saman til ein samanhengande stav. Stavane har likt tverrsnittsareal A. Stav B har lengd L B og massetettleik ρ B, mens stav C har lengd L C og massetettleik ρ C. Den samansatte staven blir senka i ei væske med ukjend massetettleik ρ x. Staven blir liggjande i ro i ei djupn der L x av stav B er nedsøkkt i væska. Finn væska sin massetettleik ρ x uttrykt ved ρ B, ρ C, L B, L C og L x. Oppgåve 5 Ein diatomisk, ideell gass startar i ein tilstand A der volumet er V 0, trykket er p 0 og temperaturen er T 0. Gassen utvidast først adiabatisk til eit nytt volum V B = 3V 0. Gassen blir deretter varma opp under konstant volum, og blir til slutt ført isotermt tilbake til starttilstanden. Bruk tre gjeldande sier dersom du får sluttsvar med desimalar. 5 a) Teikn eit pv-diagram for denne syklusen. Avgjer om dette kan vere syklusen til ei varmekraftmaskin (heat engine) eller ei kjølemaskin (refridgerator). 5 b) Bestem trykk og temperatur i dei to ukjende tilstandane. 5 c) Bereikn utført arbeid og tilført varme under kvar av dei tre delprosessane. Svara skal uttrykkjast ved p 0 og V 0. 5 d) Finn verknadsgraden(eektivitet/eektfaktor) i denne syklusen.

16 Side 16 av 19 Formelsamling FYS-0100 Oppdatert 08.august 2017 Mekanikk K = 1 2 mv2 (6.5) v x = v 0x + a x t (2.8) x = x 0 + v 0x t a xt 2 (2.12) v 2 x = v 2 0x + 2a x (x x 0 ) (2.13) x x 0 = ( v 0x + v x )t (2.14) 2 v x = v 0x + x = x 0 + t 0 t v av = r 2 r 1 = r t 2 t 1 t r v = lim t 0 t = d r dt 0 a av = v 2 v 1 t 2 t 1 a x dt (2.17) v x dt (2.18) = v t v a = lim t 0 t = d v dt (3.2) (3.3) (3.8) (3.9) a rad = v2 (uniform sirkul r bevegelse) R (3.27) v P/A = v P/B + v B/A (3.35) F = m a (4.6) F AB = F BA (4.10) f k = µ k F n (5.3) f s µ s F n (5.4) F g = G m 1m 2 r 2 (13.1) W = W = F s cos φ (6.2) W = F s (6.3) P2 P 1 F d l (6.14) W tot = K 2 K 1 (6.6) P av = W t (6.15) U grav = mgy (7.2) W grav = U grav (7.3) U el = 1 2 kx2 (7.10) K 1 + U 1 = K 2 + U 2 (7.4/7.12) K 1 + U 1 + W other = K 2 + U 2 (7.14) J = p = m v (8.2) J = F t (8.5) P2 r cm = m 1 r 1 + m 2 r m 1 + m P 1 F dt (8.7) P = p 1 + p p n (8.14) i m i r i = i m i (8.29) α z = dω z = d2 θ z dt dt 2 (9.6) ω z = ω 0z + α z t (9.7) θ z θ 0z = 1 2 (ω 0z + ω z )t (9.10) θ z = θ 0z + ω 0z t α zt 2 (9.11) ω 2 z ω 2 0z = 2α z (θ θ 0 ) (9.12) v = rω (9.13) a tan = dv dt = d(rω) = rα dt (9.14) a rad = ω 2 r (9.15) I = m 1 r m 2 r = i mr 2 i (9.16) K = 1 2 Iω2 (9.17) 16

17 Side 17 av 19 I p = I cm + Md 2 (9.19) τ = rf sin θ (10.2) τ = r F (10.3) τz = Iα z (10.7) x = Ae (b/2m)t cos(ω t + φ) (14.42) k ω = m b2 4m 2 (14.43) Fluidmekanikk K = 1 2 Mv2 cm I cmω 2 (10.8) v cm = Rω (10.11) W = θ2 θ 1 τ z dθ (10.20) L = r p = r m v (10.24) L = I ω (10.28) dl τ = (10.29) dt Likevektsbetingelser: F = 0, τ = 0 (11.1 / 11.2) Y = F /A = F l 0 l/l 0 A l (11.10) B = p (11.13) V/V 0 S = F /A x/h = F h A x f = ω 2π = 1 2π f = ω 2π = 1 2π (11.17) f = 1 T (14.1) ω = 2πf (14.2) F x = kx (14.3) k (14.11) m g (14.33) L E = 1 2 mv2 x+ 1 2 kx2 = 1 2 ka2 = konstant ω = mgd I (14.21) (14.38) 17 ρ = m V (12.1) p = df da (12.2) p = p 0 + ρgh (12.6) A 1 v 1 = A 2 v 2 (12.10) p 1 + ρgy ρv2 1 = p 2 + ρgy ρv2 2 (12.18) Termodynamikk L = αl 0 T (17.6) V = βv 0 T (17.8) Q = mc T (17.13) Q = nc T (17.18) Q = ±ml (17.20) H = dq dt = kat H T C L H = A T H T C R (17.21) (17.23) R = L k (17.24) H = AɛσT 4 (17.25) H net = Aɛσ(T 4 T 4 s ) (17.26) m total = nm (18.2) pv = nrt (18.3) pv = NkT (18.3) Monoatomisk ideell gass: K tr = 3 nrt (18.14) m(v2 ) av = 3 kt (18.16) 2

18 Side 18 av 19 v rms = (v 2 ) av = 3kT m (18.19) C v = 3 R punktpartikler (18.25) 2 C v = 5 R diatomisk gas (18.26) 2 C v = 3R monoatomisk fast sto (18.7) V2 W = p dv (19.2) V 1 Dersom p = konstant: W = p V = p(v 2 V 1 ) (19.3) U = Q W (19.4) C p = C V + R (19.17) γ = C p C V (19.18) C V = R γ 1 Adiabatisk prosess - ideel gass: T 1 V γ 1 1 = T 2 V γ 1 2 (19.22) p 1 V γ 1 = p 2V γ 2 (19.24) W = nc V (T 1 T 2 ) (19.25) W = 1 γ 1 (p 1V 1 p 2 V 2 ) (19.26) e = W Q H = 1 Q C Q H (20.4) Virkningsgrad Otto-syklus: e = 1 1 r γ 1 (20.6) K = Q C W (20.9) e carnot = 1 T C T H (20.14) T C K Carnot = (20.15) T H T C S = 2 1 dq T (20.19) S = k ln w (20.22) Tabell 1: Prekser Symbol Navn Verdi p piko n nano 10 9 µ mikro 10 6 m milli 10 3 k kilo 10 3 M mega 10 6 G giga 10 9 T terra

19 Side 19 av 19 Tabell 2: Konstanter Atommasseenhen u = 1, kg Avogadrokonstanten N A = 6, mol 1 Boltzmannkonstanten k = 1, J/K Element rladningen e = 1, C Elektronvolt 1eV = 1, J Elektronmassen m e = 9, kg Protonmassen m p = 1, kg Gravitasjonskonstanten G = 6, Nm 2 /kg 2 Lyshastigheten i vakuum c = 2, m/s Molar gasskonstant R = 8, 314 J/(mol*K) Planckkonstanten h = 6, Js Permitiviten i vakuum ɛ 0 = 8, C 2 /Nm 2 1 4πɛ 0 = k = 8, Nm 2 /C 2 Permeabiliteten i vakuum µ 0 = 4π 10 7 Wb/Am Normalt lufttrykk p 0 = 1, Pa = 1atm Stefan-Boltzmannkonstanten σ = 5, W/m 2 K 4 Tabell 3: Sammenheng translasjon og rotasjon Translasjon Rotasjon Sammenheng x θ x = rθ v x ω z v x = rω z a x α z a x = rα z F τ τ = r F m I I = i=1 m i r 2 i K = 1 2 mv2 K = 1 2 Iω2 W = F s W = τ θ W = F d s W = τdθ W tot = K 2 K 1 W tot = K 2 K 1 p = m v L = I ω L = r p F = m a τz = Iα z F = d p dt Dersom F = 0 p =konstant τ = dl dt Dersom τ = 0 L =konstant 19