1 Innledning. 1.1 Hva er statistikk?

1 Innledning 1.1 Hva er statistikk? I et forsøk på å svare på hva statistikk er for noe, skal vi først betrakte et par praktiske situasjoner. Situasjon 1. Arne, Berit, Dina og Even sitter i samme gruppe på skolen. En dag teller de hvor mange blyanter de har i penalene sine. Antall blyanter finner de ut er henholdsvis 6 9 5 8 Situasjon 2. Arne, Berit, Dina og Even ville at alle elevene i klassen skulle telle hvor mange blyanter de har i penalene sine. Hver elev skrev antallet på en lapp som de viste læreren samtidig. På lappene sto det: 8 6 10 7 5 9 6 8 6 7 5 9 6 8 5 10 9 5 8 6 5 10 7 4 4 6 9 8 oooooo Felles for disse situasjonene er at elevene gjør en undersøkelse og registrerer (teller opp) antall blyanter de har. Elevene vil erfare at antall blyanter varierer fra elev til elev; ikke alle elevene har samme antall blyanter. En kaller denne samlingen av elevenes antall for et datamateriale. Hva skal en gjøre med et slikt datamateriale? Hva er hensikten med å samle inn disse opplysningene? Svaret er at Arne, Berit, Dina og Even ønsker å skaffe seg en oversikt over hvordan det forholder seg med (i dette tilfellet) antall blyanter i elevenes pennal. I neste omgang kan en spørre seg hva en skal med denne oversikten? Svaret på dette er gjerne at en vil ha rede på hvor stort antall blyanter en har selv i forhold til resten av klassen. Andre ganger kan det være slik at en vil formidle (gi informasjon) videre om det en har undersøkt. I situasjon 1 vil en lett registrere at datamaterialet består av 4 observasjoner. En mottaker av elevenes informasjon vil i rimelig grad ha en grei oversikt over dette datamaterialet både i det tilfellet en kun ser blyantene og i det tilfellet en hører elevene oppgi sine KAPITTEL 1 7

antall. Grunnen til dette er at det er relativt få observasjoner å forholde seg til. I situasjon 2 blir det sikkert noe verre for læreren å få en grei oversikt over antall blyanter elevene har i penalene. Dette skyldes at læreren må forholde seg til et større antall observasjoner, et antall som er for stort til at en med ett blikk kan ha mulighet til å få en fullstendig oversikt over datamaterialet. Dersom en tenker seg at en elev skal informere elevene i parallellklassen om antall blyanter, vil dette fortone seg som en grei oppgave når det gjelder situasjon 1, men altså en del verre når det gjelder situasjon 2. Så et nærliggende spørsmål er hva en kan gjøre for å kunne formidle resultatet fra situasjon 2 på en fornuftig måte. En innser lett at en oppramsing av observasjonene 8, 6, 10, 7, 5, 9, ikke er en fullgod måte å formidle denne informasjonen på (prøv selv!). Det er i grunnen litt merkelig fordi dette kan sees på å være den mest fullstendige måten å gjøre det på. Siden en oppramsing ikke er en brukbar framgangsmåte, må en finne alternative formidlingsformer; former som i størst mulig grad ivaretar den informasjonen som ligger i datamaterialet. En mottaker av denne informasjonen bør i tillegg ha mulighet til å trekke konklusjoner på bakgrunn av informasjonen som blir gitt. I situasjon 2 er det åpenbart en fordel å strukturere/ordne observasjonene på en hensiktsmessig måte slik at en lettere kan skaffe seg et overblikk over situasjonen. Det er dette faget statistikk bl.a. handler om. Men kan vi si mer om hva som er statistikk? Foran har vi nevnt statistikk i forbindelse med presentasjon av informasjon. Ofte gjelder dette resultater av undersøkelser. Slike undersøkelser kan betraktes som forsøk hvor en ut fra nærmere bestemte utgangsbetingelser skal registrere hvilket utfall (resultat) forsøket gir. Det er allerede verdt å merke seg at i slike forsøk er en på forhånd ikke sikker på hva resultatet av undersøkelsen blir. La oss se på et eksempel. Eksempel 1.1 Terningkast. Kaster vi en terning, vet vi ikke på forhånd hvilken side som vil vende opp (dvs. antall «øyne» terningen viser). Det eneste vi vet, er at resultatet av forsøket enten blir 1, 2, 3, 4, 5 eller 6. Gjentar vi forsøket, er det faktisk stor sjanse for at resultatet ikke blir det samme som i første forsøk. Antall «øyne» terningen viser vil altså variere fra kast til kast. oooooo Eksempel 1.1 beskriver altså en forsøkssituasjon hvor vi på forhånd ikke vet resultatet av forsøket, men at dette kan variere fra gang til gang. Imidlertid legger vi merke til at vi i dette tilfellet kan snakke 8 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

om hvor stor sannsynlighet (sjanse) vi har for at forsøket skal resultere i f.eks. en sekser. En nærmere analyse av denne forsøkssituasjonen tilsier at en kan sette sannsynligheten for en sekser lik 1/6 (mer om dette i kapitlene om sannsynlighetsregning). Av den grunn beskrives slike forsøk ved en såkalt sannsynlighetsteoretisk modell. Det er slike forsøkssituasjoner vi behandler i statistikken. I situasjon 1 og 2 kan vi ikke uten videre tallfeste noen sannsynlighet for hvor mange blyanter elevene har i penalene sine, men på grunn av at antall blyanter åpenbart kan variere fra elev til elev, er også dette en situasjon som kan beskrives ved en sannsynlighetsteoretisk modell. Oppsummering: Registrering, innsamling og bearbeiding av opplysninger i slike forsøk som er beskrevet i eksempel 1.1, kaller vi STATISTIKK. Arbeidet i statistikk kan vi inndele i to hovedområder; 1. Samle inn og ordne opplysninger/data på en hensiktsmessig måte. 2. Tolke og trekke slutninger på grunnlag av disse opplysningene på en vitenskaplig forsvarlig måte oooooo I grunnskolen arbeides det hovedsaklig med punkt 1. Denne delen går under betegnelsen Beskrivende statistikk (også kalt deskriptiv statistikk), og omfatter bl.a. bruk av tabeller og diagrammer. Hva folk flest forbinder med begrepet statistikk er gjerne punkt 1. Formuleringen i punkt 2 inneholder mye. Her har vi bl.a. skrevet «vitenskaplig forsvarlig måte». Denne formuleringen gir en antydning om at det eksisterer et sett av «nøytrale» beslutningsregler eller samling metoder som kan anvendes i de situasjonene en undersøker. Dette er momenter som inngår i den såkalte analytiske statistikken. Denne omtales like gjerne som metodedelen innen fagområdet statistikk. Så kan en spørre hva det er som skiller metodedelen fra den beskrivende statistikken. I hovedsak består forskjellen i at en trekker konklusjoner/slutninger om en samling individer uten at en har oversikt over hele samlingen, men kun med bakgrunn i kunnskaper om en liten del av denne samlingen individer («stikkprøve»). De fleste undersøkelser vi leser og hører om, er nettopp gjennomført på denne måten. Som vi senere skal se, er en imidlertid aldri 100 % sikker i de slutninger som tas. Denne delen av statistikken omtales derfor ofte som en samling metoder hvor en trekker konklusjoner forbundet med usikkerhet. Ellers er det å bemerke til dette punktet at en selvsagt også opplever at det blir trukket konklusjoner på bakgrunn av data- KAPITTEL 1 9

materialer uten å ta i bruk slike nøytrale beslutningsregler. I grunnskolearbeid med statistikk bør vi ha en arbeidsform som stimulerer elevene til å trekke konklusjoner om det de undersøker. Selv om vi ikke skal forvente at konklusjonene er på et «vitenskaplig forsvarlig» nivå, bør vi arbeide på en slik måte at elevene får best mulig grunnlag for å trekke sine konklusjoner om det de undersøker. Gjennom denne oppsummeringen har vi nå sett at faget statistikk består av komponentene beskrivende statistikk, sannsynlighetsregning og analytisk statistikk. Følgende visuelle oversikt viser sammenhengen mellom de ulike komponentene: Beskrivende statistikk Metodelære (analytisk statistikk) Sannsynlighetsregning I denne boken vil vi komme innom alle disse tre områdene som i stor grad influerer på hverandre (markert med pilene). En vil finne at flere begreper som en benytter i metodelæren også anvendes i den beskrivende delen av statistikken. Sannsynlighetsregningen er en selvstendig disiplin, men virker som et bindeledd mellom deler av den beskrivende statistikken og metodelæren. 1.2 Statistikk i samfunnet Vi kjenner alle til at det i sin tid «gikk ut befaling fra keiser Augustus om at hele verden skulle innskrives i manntall», jfr. Lukas evangelium 2. kapittel 1. vers. Dette viser at fra tidlig av hadde et rikes hersker behov for å få samlet inn opplysninger om alle innbyggerne i landet. Imidlertid er det helt på det rene at denne type virksomhet startet på et enda tidligere tidspunkt i menneskets historie. En kjenner til at allerede rundt 1500 f.kr. fødsel eksisterte det i Judea offisielle data som viste at det var 100 tusen innbyggere i landet. Grunnen til at de som regjerte landet trengte slike opplysninger, 10 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

skyldtes trolig et generelt behov for kontroll og ikke minst en sikring av at alle skulle betale sin skatt. Noe senere i tid, nærmere bestemt på 1700-tallet, kjenner en til at enkelte stater i Europa samlet inn data i et litt større omfang (over sine innbyggere) når det gjelder folketall, fødsler, dødsfall, osv. Siden datamaterialene opprinnelig beskrev samfunnsmessige forhold, ble statistikk mer betraktet som et samfunnsfag enn et matematisk fag. Disse eksemplene viser at statistikk er et eldre fagområde og at det har vært et nyttig «verktøy» til å styre samfunnet og til å holde oversikt over diverse forhold i samfunnet. En skal legge merke til at bruken av statistikk i disse eksemplene, baserer seg på såkalte fullstendige tellinger, dvs. hvert enkelt individ i samfunnet ble registrert. Presentasjonen av opplysningene ble gjort i form av f.eks. tabeller og diagrammer. Men også tallstørelser som angir sentrale tendenser og variasjoner i datamaterialet ble angitt. Det er dette som vi i dag altså kaller Beskrivende statistikk. I nyere tid er statistikk som metodefag utviklet. Prinsippet bak disse metodene er at en har muligheter til å skaffe seg informasjon om bestemte forhold (og trekke konklusjoner) uten at en foretar fullstendige tellinger. Med basis i et tilfeldig utvalg observasjoner (stikkprøve) er en i stand til å trekke konklusjoner om hele samlingen utvalget er hentet fra. Denne delen av faget bygger på fagområdene matematikk og sannsynlighetsregning. Alt i alt er nå fagområdet statistikk betraktet som en del av matematikken; en del som viser seg å vokse i aktualitet og omfang. Fagområdet er såvidt allsidig at det benyttes som hjelpemiddel innen såvel forskningsmiljøer som i næringslivet og i massemedia. Begreper og prinsipper i statistisk metodelære blir benyttet i høyere utdanning innen pedagogikk, psykologi, sosiologi, statsvitenskap, medisin, farmasi, økonomi m.fl. Innen disse fagområdene er statistikk et nødvendig hjelpemiddel til å sette navn på ulike fenomener, treffe beslutninger og avdekke mulige sammenhenger mellom fenomenene. I massemedia støter vi på statistikken først og fremst gjennom tabeller og grafiske framstillinger. Det emnet som kanskje er hyppigst framme i samfunnsdebatten, er de politiske meningsmålingene. Nokså hyppig ser en også oppslag om ulike undersøkelser som er blitt gjennomført. Disse er gjerne basert på den samling metoder som hører til den analytiske delen av statistikken. 1.3 Statistikk i grunnskolen Med mønsterplanen av 1974 (MP74) var det for første gang duket for statistikk som eget emne i grunnskolematematikken. Både i denne planen og i mønsterplanen av 1987 (M87) foreslås emnet KAPITTEL 1 11

innført i løpet av de tre første skoleårene. I Læreplanen av 1997 (L97) er «Behandling av data» som eget målområde lagt til mellomtrinnet og ungdomstrinnet, men det er rom for å starte på et tidligere tidspunkt. Mange lærere starter allerede i første eller andre klasse med å la elevene samle inn og ordne ulike data om f.eks. været. Senere øker omfanget gradvis på en slik måte at hovedinnføringen skjer på ungdomstrinnet. En studie av de tre siste planverkene for grunnskolen viser at omfanget av fagområdet statistikk øker. Nye områder i M87 var kombinatorikk og sannsynlighetsregning. Med innføringen av L97 kom nok et nytt område, nemlig beskrivelse av variasjon i et datamateriale (variasjonsbredden). Dette viser fagområdets økende aktualitet. Arbeidet med statistikk i grunnskolen dreier seg i det vesentligste om å samle inn og systematisere datamaterialer på en hensiktsmessig måte. Dette bidrar til å gi elevene en nødvendig innsikt i hvordan tabeller og diagrammer de ser i massemedia blir til. Denne systematiseringen har mye til felles med hva folk flest forbinder med begrepet statistikk. Gjennom fjernsyn, aviser og tidsskrifter blir informasjon av ulike slag presentert ved hjelp av tabeller og diagrammer. Kunnskaper om disse vil derfor bidra til å øke forståelsen og rekkevidden av den informasjonsstrømmen som vi daglig mottar. Selv om digrammer ofte øker lesbarheten, skal en være klar over at disse også kan benyttes (bevisst eller ubevisst) til å tilsløre sammenhenger. På den måten kan en risikere at diagrammene virker manipulerende. Et viktig mål med statistikkundervisningen i skolen bør derfor være at en oppøver elevene til en kritisk holdning til måter informasjon kan presenteres på. Vi avslutter dette kapitlet med et eksempel som kan beskrives av en sannsynlighetsteoretisk modell. Eksemplet knytter sammen noen av de ord og uttrykk som er benyttet i dette kapitlet. Eksempel 1.2 I en førsteklasse vil vi undersøke hvor mange søsken elevene har. Før vi spør den enkelte elev, vet vi selvsagt ikke hvor mange søsken eleven har, men det er opplagt at antallet er enten ingen (dvs. enebarn), en, to, tre, osv. Når vi så spør hver elev hvor mange søsken han eller hun har, registrerer vi antall søsken vedkommende har. Når alle er spurt, er vi ferdig med innsamlingen av datamaterialet, og det gjenstår å systematisere dette. Dette innebærer at en teller opp hvor mange av elevene som er enebarn, hvor mange som har en søster/bror osv. Denne oversikten kan vi f.eks. sette opp i en tabell. Mer om dette i kapittel 2. 12 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHETSLÆRE

1.4 Litt om den videre framstilling De fleste studenter kjenner fagområdene statistikk og sannsynlighetsregning fra grunnskolen og første klasse i videregående skole. Mange har også møtt disse fagområdene senere i videregående skole. I denne framstillingen vil vi for helhetens skyld gi en orientering om begreper som skulle være kjent for de fleste fra før, men også gå noe i dybden ved å analysere hvilke egenskaper de ulike begrepene har. Mye av dette fagstoffet er tenkt benyttet som selvstudium, spesielt de fire første kapitlene. Nye emner er behandlet mer omstendelig. KAPITTEL 1 13