Oppgavesamling Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 8 4.3 Andre funksjoner... 17 4.4 Vekstfart... 0 4.5 Eksamensoppgaver... 4 Noen av oppgavene er merket med symbolet Disse oppgavene bør du klare å løse uten hjelpemidler. Oppgaver og løsningsforslag Stein Aanensen og Olav Kristensen Eksamensoppgevene er hentet fra www.udir.no 1
4.1 Funksjonsbegrepet 4.1.1 Marker punktene 1, 1, 1,,, 1,, 3, 3,0 og 0, i et koordinatsystem. 4.1. Gitt koordinatsystemet til høyre. Angi koordinatene for punktene A til I. Utfordring! Kan du finne avstanden fra origo til punktet H?
4.1.3 Nedenfor har vi tegnet grafene til fire funksjoner, f, g, h og j. Bestem definisjonsmengden og verdimengden til hver av funksjonene. a) b) c) d) 3
4.1.4 Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. Lag skisser av grafene og sett benevning på aksene. a) Funksjonen f viser temperaturen gjennom et sommerdøgn på Sørlandet. b) Funksjonen g viser middeltemperaturen hvert døgn gjennom et år på Sydpolen. c) Funksjonen h viser vannstanden i forhold til normalvannstand i Bergen fra en flo måling til neste flo måling. d) Funksjonen i viser saldoen på kontoen din under en 5 timer lang handletur til nærmeste handlesenter. 4.1.5 Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. Lag skisser av grafene og sett benevning på aksene. a) Funksjonen B viser folketallet i verden fra 1900 til 000. b) Funksjonen S viser antall sau (og lam) gjennom et år i en besetning på 100 vinterforede sauer. c) Funksjonen R viser verdien på en bil fra den ble kjøpt ny for 40 000 kr og fem år framover. d) Funksjonen E viser antall elever på skolebussen fra den starter til den er framme på skolen en time senere. 4.1.6 Foreslå en rimelig definisjonsmengde og verdimengde for funksjonene. a) Funksjonen L viser antall lærere på en videregående skole i Norge som funksjon av antall elever på skolen. b) Funksjonen E viser antall elever på en videregående skole i Norge som funksjon av antall lærere på skolen. c) Funksjonen V viser hvor mye en bærepose med appelsiner veier som funksjon av antall appelsiner i posen. d) Funksjonen M viser melkeforbruket per uke i en husstand som funksjon av antall personer i husstanden. 4
4.1.7 Hvilken eller hvilke av grafene nedenfor representerer en funksjon? Begrunn svaret. a) b) c) d) 5
4.1.8 Skriv opp funksjonsuttrykket for en funksjon som a) viser hva du må betale for x liter melk når hver liter koster 1,40 kroner. b) viser strekningen du har kjørt etter t timer når hastigheten er 80 km/time. c) viser arealet av et rektangel når omkretsen er 36 m og du kaller grunnlinja x. d) viser hva hver elev må betale, dersom en gruppe elever skal leie en buss. Det koster 3000 kroner å leie bussen og x er antall elever i gruppa. 4.1.9 Tegn grafene til følgende funksjoner med digitalt verktøy. For hver graf skal du tilpasse vinduet og enhetene på aksene slik at du får et best mulig bilde av grafen. a) fx x x ( ) 10 0 D 15,3 f b) gx x x 3 ( ) D, g c) ix x x 3 () 0 D 5,5 i d) Ax ( ) 10x 0 D 1,1 A e) Kx x x ( ) 0,1 100 0000 D f 0,1000 f) Bx ( ) 00000 1,07 x D 0,0 f 4.1.10 Verdens beste maratonløpere løper med tilnærmet konstant fart og bruker ca. timer og 4 minutt på en maraton (4 195 meter). a) Hvor mange km tilbakelegger disse løperne per minutt? b) Lag en funksjon som viser sammenhengen mellom distansen, d, løperne tilbakelegger og tiden, t. c) Hva blir definisjonsmengden til funksjonen i b)? d) Lag en verditabell for følgende t verdier 30, 60, 90, 10 e) Tegn grafen og finn ut hvilken distanse løperne har tilbakelagt når de har løpt i 45 minutt. Marker i koordinatsystemet. f) Hva er verdimengden til funksjonen i b)? 6
4.1.11 Temperatursvingningene gjennom et romjulsdøgn er gitt ved funksjonen 3 T x 0,005x 0,1x der x er antall timer etter midnatt. a) Forklar at definisjonsmengden til funksjonen T er fra og med 0 til og med 4. b) Tegn grafen til funksjonen T. c) Bruk grafen og finn når temperaturen er 6C. d) Finn verdimengden til funksjonen T og forklar hva verdimengden forteller om temperatursvingningene dette døgnet. 4.1.1 Camilla har et mobilabonnement. Hun betaler 99 kroner i fast pris per måned og 0,49 kroner per ringeminutt, t. Kostnadene, k, ved å bruke mobiltelefonen en måned kan vi skrive som 0,49t 99 kt der t varierer fra og med 50 til og med 00. a) Hva er definisjonsmengden til k? b) Lag en verditabell for k. c) Tegn grafen til k. d) Finn grafisk hvor mange minutt Camilla har ringt når kostnadene er 160 kroner. e) Finn verdimengden til k. 4.1.13 Et rektangel har en omkrets på 100 m. a) Sett grunnlinja lik x og forklar at høyden da blir 50 x. b) Forklar at funksjonen A gitt ved Ax ( ) x 50x gir arealet av rektangelet for ulike verdier av x. c) Tegn grafen til A. d) Bestem D A og V A e) Hva er den største verdien arealet kan få? f) For hvilke x verdier er arealet lik 400 m? Forklar hvorfor du får to løsninger. 7
4. Lineære funksjoner 4..1 a) De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved f x x 3x g x hx x Skriv ned stigningstallet og konstantleddet til hver av de tre funksjonene. b) Hva forteller stigningstallet og konstantleddet oss om grafen til en lineær funksjon? 4.. De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved 0,5x x x f x g x hx For hver av de tre funksjonene skal du - Lage en verditabell som inneholder 3 ulike x verdier - Markere punktene du finner i et koordinatsystem - Tegne ei rett linje gjennom punktene 8
4..3 De tre lineære funksjonene f, g og h er gitt ved f x g x h x x1 x x3 a) Tegn grafene til de tre funksjonene i samme koordinatsystem. b) Hvor skjærer hver av disse grafene andreaksen? c) Kan du si noe om hvordan disse grafene går i forhold til hverandre og hvorfor det er slik? 4..4 Bruk det du vet om stigningstallet og konstantleddet til en lineær funksjon til å tegne de rette linjene gitt ved a) fxx b) gxx c) hx x 0,5 4..5 På figuren til høyre ser du to rette linjer i et koordinatsystem. Hva er konstantleddet i funksjonsuttrykket til hver av disse to linjene? 9
4..6 a) Finn stigningstallet til den rette linja som er tegnet i koordinatsystemet til høyre. b) Skriv opp funksjonsuttrykket til den lineære funksjonen som gir denne rette linja. c) Hva er nullpunktet til funksjonen? 4..7 I koordinatsystemet ovenfor er det tegnet fire grafer. Forklar hvilket av funksjonsuttrykkene nedenfor som hører sammen med hvilken graf. x1 hx x ix f x g x x 10
4..8 I koordinatsystemet ovenfor har vi tegnet grafene til de fem funksjonene f, g, h, i og j. Skriv ned funksjonsuttrykket til hver av de 5 funksjonene. 4..9 Ei rett linje går gjennom punktene 0, 1 og 1, 1. a) Finn stigningstallet til denne rette linja. b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. 11
4..10 Ei rett linje har stigningstall og går gjennom punktet (,). a) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja. b) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. 4..11 Gitt funksjonen f x 3x 1. Grafen til en annen funksjon g er parallell med grafen til f og går gjennom punktet 1,. Finn funksjonsuttrykket til funksjonen g. 4..1 Ei rett linje går gjennom punktene, 100 og 5, 4800. a) Finn stigningstallet til denne rette linja. b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. 4..13 Ei rett linje går gjennom punktene 0,, 0,5 og 0,5,,6. a) Finn stigningstallet til denne rette linja. b) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja gjennom disse punktene. c) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. 1
4..14 Ei rett linje har stigningstall 0,01 og går gjennom punktet, 0,05. a) Bruk ettpunktsformelen og finn likningen for linja. b) Tegn linja og sjekk om du har funnet riktig løsning. 4..15 Gitt funksjonene 3 x 5 og gx x f x a) Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem. b) Finn skjæringspunktet mellom grafene grafisk. c) Finn skjæringspunktet mellom grafene ved regning. d) Finn nullpunktene til funksjonene grafisk og ved regning. 4..16 Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn per time på 105 kroner. I tillegg får han 10 kroner for hvert salg han oppnår. a) Lag en funksjon L som viser timelønnen i kroner når han oppnår s antall salg. b) D L 0,15. Tegn grafen til funksjonen L i et koordinatsystem. c) Hvor mange salg har Per hatt når timelønnen var 175 kroner? d) Finn verdimengden til funksjonen L. 13
4..17 På en terminprøve i matematikk har Trine tatt med seg en flaske med kaldt kildevann. Temperaturen i vannet var 5 C ved starten av prøven og stiger jevnt med 5,4 C i timen i løpet av de 3 første timene prøven varer. a) Lag en funksjon T for temperaturen i vannet etter x antall minutt. b) Hva er temperaturen i vannet etter 1,5 timer? c) Tegn grafen til T i et koordinatsystem. La x variere fra 0 til 180. d) Når var temperaturen i vannet 14 C? Anette hadde også med seg en flaske med kildevann på prøven. Funksjonen f viser temperaturen i vannet til Anette x antall minutt etter at prøven startet 0,08x 6,5 f x e) Hva var temperaturen i vannet til Anette da prøven startet? 4..18 Løs likningssettene grafisk. a) b) c) d) e) xy x3y 6 6xy8 xy6 5xy4 x3y6 4x3y 6y 8x 4 yx6 4y4x 14
4..19 Tabellen nedenfor viser folkemengden i Norge for noen utvalgte år i perioden fra 1950 til 000. År 1950 1960 1970 1980 1990 000 Folkemengde 3 49 954 3 567 707 3 863 1 4 078 900 4 33 116 4 478 497 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon f som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt verktøy. La x være antall år etter 1950 og f x folkemengden i millioner. b) Hvor mye øker folkemengden med per år ut fra uttrykket du fant i a)? c) Dersom denne utviklingen fortsetter, hva vil folkemengden i Norge være i år 050? 4..0 Tabellen nedenfor viser folkemengden i Mandal for noen utvalgte år i perioden 1990 til 006. År 1990 1995 1998 00 006 Folkemengde 1 465 1 910 13 181 13 417 14 69 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon f som beskriver sammenhengen mellom år og folkemengde ved å bruke et digitalt verktøy. La x være antall år etter 1990 og f x folkemengden i antall tusen. b) Hva blir folkemengden i Mandal etter denne modellen i år 050? c) Når vil folkemengden i Mandal passere 0 000 etter denne modellen? 15
4..1 Tabellen nedenfor viser utslipp av svoveldioksid til luft i Norge for noen utvalgte år fra 1973 til 000. År Utslipp til luft SO i 1000 tonn 1973 1980 1987 199 1996 000 156,4 136,4 73,1 37,0 33,1 7,3 a) Plott punktene i et koordinatsystem og finn et tilnærmet lineært uttrykk for en funksjon S som beskriver sammenhengen mellom år og utslipp. La x være antall år etter 1973 og b) Når var utslippet av svoveldioksid 100 tusen tonn? Sx utslippet av svoveldioksid i tusen tonn. c) Hva vil utslippet være i år 010 dersom vi følger denne modellen. Kommenter svaret. 4.. Gjør oppgavene 4..19 og 4..1 uten å bruke digitale verktøy. Får du andre resultater nå? 16
4.3 Andre funksjoner 4.3.1 a) Se på de fire funksjonsuttrykkene nedenfor og finn ut ved regning - hvilken vei grafene til funksjonene krummer (smil eller sur ) - hvilke av grafene som har toppunkt og hvilke som har bunnpunkt - hvor grafene skjærer andreaksen - likningen for symmetrilinja til hver av grafene - koordinatene til topp eller bunnpunktet til hver av grafene - verdimengden til funksjonene - nullpunktene til funksjonene x f x x 7x 1 g x x x 4 hx 8 i x 3x 1x b) Sjekk svarene i a) ved å tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem. 4.3. Funksjonen f er gitt ved f x x x6 for x verdier mellom 4 og 3. a) Tegn grafen til f. b) Bestem bunnpunktet til grafen til f grafisk og ved regning. c) Bestem grafisk hvor grafen til f skjærer koordinataksene. d) Bestem ved regning hvor grafen til f skjærer koordinataksene. e) Hva er verdimengden til f? 17
4.3.3 Camilla kaster en ball rett opp i lufta. Etter t sekund er høyden h meter over bakken gitt ved andregradsfunksjonen ht 14,1t 4,9t 1,8 D h 0, 3 a) Tegn grafen til h.. b) Når er ballen 10 meter over bakken? Løs oppgaven både grafisk og ved regning. c) Når treffer ballen bakken? Løs oppgaven både grafisk og ved regning. d) Når er ballen 15 meter over bakken? Løs oppgaven både grafisk og ved regning. e) Hvor høyt når ballen og når er ballen på sitt høyeste punkt? Løs oppgaven både grafisk og ved regning. f) Finn verdimengden til h. Hva forteller verdimengden oss? 4.3.4 Gitt grafene nedenfor. Sett riktig bokstav (A, B, C) foran den andregradsfunksjonen du mener tilhører Graf A, Graf B og Graf C. OBS! Tre av funksjonsuttrykkene hører ikke til noen av grafene. 18
f x x x f x x x f x x x 0,5 f x x x 0,5 6 f x x x 4 6 f x x x 4.3.5 a) Tegn grafen til funksjonen f gitt ved 3 - toppunkter - bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene b) Tegn grafen til funksjonen g gitt ved 3 - toppunkter - bunnpunkter - skjæringspunkter med koordinataksene f x 0,5x 3x 3x 3 og finn grafisk eventuelle g x 0,0x 0,60x 4 og finn grafisk eventuelle 4.3.6 Gitt en sylinder der summen av diameter og høyde er, dm. a) Kall høyden i sylinderen h og vis at et utrykk for radius r uttrykt ved h er, h rh () Vh h h 4 b) Vis at volumet av sylinderen, Vh kan uttrykkes som (), c) Hva slags funksjon er V? d) Finn volumet når høyden er 1,0 dm. e) Finn høyden når volumet er 1,0 liter. f) Finn radius i de sylindrene som har et volum på 1,0 liter. 19
4.4 Vekstfart 4.4.1 Funksjonene g, h og i er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du først tegne grafen. Deretter velger du ut punkter på grafen og bruker disse punktene til å regne ut vekstfarten. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av grafen. a) gx x 4 b) hx x 8 c) ix 1x 4.4. Funksjonene g, h, i og f er gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor. For hver av funksjonene skal du velge ut to verdier for x. Deretter regner du ut veksthastigheten ved å regne ut funksjonsverdiene til de valgte x verdiene. Sjekk om vekstfarten er lik stigningstallet du kan lese direkte av funksjonsuttrykket. a) gx x 4 b) hx 3x c) ix 600 5x d) fx x 3 7 0
4.4.3 Grafen til en lineær funksjon går gjennom to oppgitte punkter. Regn ut stigningstallet a til grafen når de oppgitte punktene er a) 3,7 og 5,9 b) 1, 8 og 4,1 4.4.4 Du får oppgitt at funksjonen f er en lineær funksjon. Du får videre oppgitt at f f 4 9. Finn vekstfarten a til f. 3 og at 4.4.5 Funksjonen hx 0.003x 3 0.09x 1 x 0,0 viser høyden til et morelltre x antall år etter at det ble plantet i 1986. a) Finn grafisk hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 1994 til 1999. b) Finn videre hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 003 til 006. 1
4.4.6 Funksjonene f og g 3 3 er gitt ved f x 0,5x 3x 3x 3 og gx x x 0,0 0,60 4 For hver av funksjonene skal du a) Finne gjennomsnittlig vekstfart når x vokser fra x1 1 til x b) Finne gjennomsnittlige vekstfarten når x vokser fra x1 1 til x 1.1 c) Sammenlikn svarene i a) og b). Hvilket av disse svarene gir en mest korrekt verdi for vekstfarten når 1 x? 4.4.7 Forskere har undersøkt vekstutviklingen til trær i et bestemt skogområde. Det viser seg at høyden til et tre, () ht, målt i meter tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder funksjonen: 3 ht 0,0t 0,5t 1,15t 0,15 der ter antall år etter utplanting. a) Hva er den gjennomsnittlige vekstfarten fra år 1 til år 4? b) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år. 4.4.8 Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per minutt når han ringer. Kostnadene K per minutt for Mortens mobilbruk en måned når han ringer x minutt kan skrives som K x 0,49x 59 x Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten når ringetiden øker fra a) 0 minutt til 00 minutt per måned? b) 00 minutt til 400 minutt per måned? c) 400 minutt til 100 minutt per måned? d) Hvilken benevning får du? Kan du forklare hva det betyr i praksis?
4.4.9 Russen skal ha fest. De leier et selskapslokale. Prisen per deltaker, er gitt ved f x 8500 175 hvor x er antall festdeltakere. x fx kroner, a) Hva er den gjennomsnittlige veksthastigheten når antall festdeltakere øker fra 50 til 60? b) Hva betyr i praksis det svaret du fikk i a)? 4.4.10 Funksjonen f gitt ved f x x x D R 6 f a) Finn grafisk den momentane vekstfarten til f for x x 1 x 0 x 1 b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane vekstfarten og formen til grafen? 4.4.11 g x x x 4 Funksjonen g er gitt ved a) Finn grafisk den momentane vekstfarten for x 1 x 0 x 1 x b) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane veksfarten og formen til grafen? 4.4.1 Gå tilbake til oppgave 4.4.9. Finn grafisk den momentane vekstfarten for x 50 og x 60. Hva forteller svarene deg? 3
4.5 Eksamensoppgaver 4.5.1X (Eksamen 1MX med IKT, Våren 00) I en rettvinklet trekant er lengden av hypotenusen 10 cm og den ene kateten er x cm. a) Vis at arealet av trekanten kan skrives som x Ax () 100x b) Hvilken verdi av x gir størst areal? c) Hvordan kan du vurdere om svaret i b) er rimelig? 4.5.X (Eksamen 1MX, Våren 004) Du kan bruke linjene i koordinatsystemet til høyre for å løse et likningssystem. a) Hva blir løsningen på dette likningssystemet? b) Skriv et likningssystem som svarer til disse to linjene. 4.5.3X (Eksamen 1MX, Våren 004) I koordinatsystemet til høyre er det tegnet inn tre punkter. Undersøk ved regning om de tre punktene ligger på ei rett linje. 4
4.5.4X (Eksamen 1MX, Våren 004) Funksjonen f er gitt ved fx x x ( ) 4 6 a) Tegn grafen til f i et koordinatsystem. Velg x verdier i intervallet,6. b) Finn bunnpunktet på grafen. Hva er verdimengden til f? Ei rett linje går gjennom punktet 4,6 og har stigningstall 1. c) Vis at uttrykket for linja er gx () x d) Løs likningen f () x g() x grafisk og ved regning. En ny funksjon h er gitt ved hx () g x f x e) Finn maksimalverdien til h. 5
4.5.5X (Eksamen 1MY, Våren 004) Forskere har undersøkt vekstutviklingen til trær i et bestemt skogsområde. Det viser seg at høyden til et tre ht (), målt i meter, tilnærmet kan beskrives med en matematisk modell. De første åtte årene gjelder funksjonen 3 ht 0,0t 0,5t 1,15t0,15 der t er antall år etter utplantingen. a) Hvor høyt var treet da det ble plantet? b) Tegn grafen til h. c) Hvor mange prosent har treet vokst fra år 1 til år? d) Skriv noen ord om hvordan høyden til treet forandrer seg fra år til år. e) Finn ut hvor lang tid det tar før treet er,5 meter høyt. 6
4.5.6X (Eksamen 1MY, Våren 005) Oppgaven er noe utvidet Ved en bedrift blir det produsert sykkelhjelmer. Ved produksjon av x hjelmer er totalkostnaden Kx kroner. Kx er gitt ved 150x 10 500 K x a) Hva er totalkostnaden ved produksjon av 300 hjelmer? b) Vis at gjennomsnittskostnaden f x kroner per hjelm er gitt ved c) Tegn grafen til f i et koordinatsystem. Bruk x verdier fra 0 til 500. f x 10 500 150 x d) Hva er gjennomsnittskostnaden per hjelm når totalkostnaden er 84 300 kroner? e) Bestem den horisontale asymptoten til grafen til f. Forklar med egne ord hva denne asymptoten beskriver. 7
4.5.7X (Eksamen 1MX, Våren 006) Til høyre ser du et bilde av Preikestolen. Dette platået ligger ved Lysefjorden i Ryfylke og er 604 meter over havet. Tenk deg at du kaster en liten ball rett opp fra platået slik at den lander oppå platået igjen. Funksjonsuttrykket ht () 0t 4,9t viser omtrent hvor høyt ballen er over Preikestolen etter t sekund. Høyden a) Løs likningen 0t 4,9t 0. Forklar hva løsningene betyr i praksis. ht måles i meter. Vi tenker oss at du kaster ballen på nytt. Denne gangen kaster du den litt på skrå opp fra Preikestolen. Ballen ender da opp med å treffe havflaten. Også nå viser uttrykket for ht omtrent hvor høyt ballen er over Preikestolen etter t sekund. b) Tegn grafen til funksjonen h. Bruk t verdier fra 0 til 5. c) Finn ut når ballen er på sitt høyeste punkt. Hvor høyt over havet er den da? d) Finn ved regning hvor lang tid det tar før ballen når havflaten. 4.5.8X (Eksempeloppgave 1T +T, April 007) Funksjonen f er gitt ved x fx () x 1 a) Finn definisjonsmengden til f. b) Tegn grafen til f for x 10,10. Grafen til en lineær funksjon g går gjennom punktene,0 og 3,5. c) Finn funksjonsuttrykket gx og tegn grafen til g i samme koordinatsystemet som grafen til f. d) Løs likningen f() x g() x grafisk. e) Løs likningen i d) ved regning. 8
4.5.9X (Eksempeloppgave 1P+P, Desember 007) For å legge opp et effektivt treningsprogram er det lurt at du kjenner makspulsen din (den høyeste hjertefrekvensen du kan oppnå). Den nøyaktigste måten å finne makspulsen på, er å gjennomføre en fysisk test. Det betyr i praksis å presse seg maksimalt for å se hvor høy puls det er mulig å oppnå. 5 personer har gjennomført en slik test. Resultatene ser du i tabellen nedenfor. a) Bruk regresjon og vis at fx ( ) 0,66x 06 er en matematisk modell som viser sammenhengen mellom alder og makspuls, dersom en tar utgangspunkt i datamaterialet ovenfor. Tegn grafen til f i et koordinatsystem. Bruk y verdier fra 150 til 0. En forenklet metode for å finne en tilnærmet verdi for makspulsen din er å bruke formelen b) Finn et funksjonsuttrykk makspuls = 0 minus alder. g x som illustrerer denne sammenhengen mellom alder og makspuls. Tegn grafen til g i samme koordinatsystem som grafen til f. f x og gx gir litt ulike verdier for makspuls for hvert alderstrinn. Studer De to modellene modellene i området fra og med x 15 til og med x 60. c) For hvilket alderstrinn er forskjellen mellom makspuls minst, og for hvilket alderstrinn er den størst? 4.5.10X (Eksempelsett 1T+T, Desember 007) La funksjonen f være gitt ved fx x x 3 ( ) 3 5 a) Tegn grafen til f. Bruk x verdier fra til 5. b) Tegn linja yx i samme koordinatsystem som grafen til f, og finn de tre skjæringspunktene. Finn så summen av x koordinatene til skjæringspunktene. c) Gjenta det du gjorde i b) med to andre linjer som også skjærer grafen til i tre punkter. Kommenter de resultatene du får. 9
d) Sett opp en hypotese på grunnlag av det du har gjort, som sier noe om summen av x koordinatene til de tre skjæringspunktene mellom en linje og grafen til en tredjegradsfunksjon. 4.5.11X (Eksamen 1T+T, Våren 008) La funksjonen f være gitt ved fx x x x 3 ( ) 6 9 1 a) Tegn grafen til f for x verdier mellom 1 og 5. Finn koordinatene til topp og bunnpunktet. b) Finn stigningstallet til linja l gjennom toppunktet og bunnpunktet. La m være gjennomsnittet av x koordinatene til toppunktet og bunnpunktet. c) Finn stigningstallet for tangenten t til f gjennom, m f m. Vis at forholdet mellom stigningstallene til linjene l og t er 3. d) Gjennomfør spørsmål a), b), og c) med to andre tredjegradsfunksjoner som har både topp og bunnpunkt. Sett opp en hypotese som uttaler seg om forholdet mellom stigningstallene til linja l og tangenten t. 4.5.1X (Eksamen 1T+T, Høsten 008) La funksjonen f være gitt ved fx () x x a) Tegn grafen til f for x verdier mellom og 4. b) Finn gjennomsnittlig veksthastighet for funksjonen fra x til x 3. c) Finn likningen for ei rett linje som skjærer x aksen i punktet 3,0, og som ikke har fellespunkter med grafen til f. 30
4.5.13X (Eksamen 1T+T, Våren 009) Figuren viser grafene til tre andregradsfunksjoner f, g og h. fx () x 4 gx () x 4 hx () x 4x4 Hvilken graf hører til hvilken funksjon? Husk at du må begrunne svarene dine. 4.5.14X (Eksamen 1T+T, Våren 009) Sebastian har en tank som han fyller med vann. Vannstrømmen er jevn. Grafen nedenfor viser høyden h dm til vannoverflaten i tanken som funksjon av tiden t minutter. a) Finn høyden når t 7. b) Bruk grafen til å bestemme hvor raskt vannoverflaten stiger når t og når t 8. c) Nedenfor har vi tegnet en skisse av tre vanntanker. Hvilken av de tre vanntankene mener du ligner mest på tanken til Sebastian? Husk at du må begrunne svaret ditt. 31