Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere. Altså i større utregninger. Den første tellemetoden vi skal se på er multiplikasjonsprinsippet. 4.1 Multiplikasjonsprinsippet Hvor mange ulike valgmuligheter har vi når vi gjør flere valg etter hverandre? Berit skal ha på seg bluse og skjørt. Hun kan velge mellom fire bluser og tre skjørt. Antall mulige kombinasjoner i klesveien er da 4 3 = 12. Når det er n 1 muligheter i første valg og n 2 muligheter i andre valg, er det totale antallet kombinasjoner n n. 1 2 Regelen gjelder også ved mer enn to valg. Fakultet Produktet av de hele tallene fra 1 til 4 kan skrives slik: 1 2 3 4 = 4! Vi leser dette: fire fakultet. For de positive hele tallene har vi ( n 2) ( n ) n n! = 1 2 3... 1 Det er bestemt at 0! = 1 Tre venninner skal sitte ved siden av hverandre på kino. På de tre setene kan da de tre venninnene sette seg på 3! Ulike måter. Vi kan tenke slik: Den første kan velge mellom tre seter. Det er da to seter igjen til den neste som setter seg og ett sete igjen til den som setter seg sist. Altså: 1 2 3 = 3! = 6 ulike måter. Erik Holst skolelab.uib.no Side: 1
De tre venninne i eksemplet heter Randi, Susanne og Camilla. Oppsettet nedenfor viser de 6 mulige plasseringene: RSC RCS SRC CRS SCR CSR Dersom det var fire eller flere venninner som skulle sitte ved siden av hverandre, så ville det bli tungvint å lage ett oppsett med bokstaver som vist i eksemplet ovenfor. Altså: Vi trenger regler i dette tilfellet multiplikasjonsprinsippet. For n elementer er det n! ulike rekkefølger. 4.2 Ordnet utvalg med tilbakelegging I en boks er det fem kuler med forskjellige farger: Svart (S), blå (B), rød (R), fiolett (F) og grønn (G). Vi skal trekke ut tre kuler og legge kulen vi trakk tilbake mellom hver trekning. At utvalget er ordnet betyr at rekkefølgen vi trekker kulene i gjelder. Oppsettet nedenfor viser at det da er 125 mulige utvalg. 1. kule 2. kule 3. kule 5 x 5 x 5 = 5 3 = 125 muligheter muligheter muligheter Legg merke til at vi i denne utregningen bruker multiplikasjonsprinsippet. Vi kan velge r elementer fra en mengde på n elementer på utvalget er ordnet med tilbakelegging. r n ulike måter dersom På en tippekupong skal vi trekke blant n = 3 elementer (H, U og B). Dette skal vi gjøre r = 12 ganger. Da er antallet mulige rekker på en tippekupong lik: r n = 3 12 = 521 441 4.3 Ordnet utvalg uten tilbakelegging I en boks er det fem kuler med forskjellige farger: Svart (S), blå (B), rød (R), fiolett (F) og grønn (G). Vi skal trekke ut tre kuler uten å legge kulene tilbake mellom hver trekning. At utvalget er ordnet betyr at rekkefølgen vi trekker kulene i gjelder. Oppsettet nedenfor viser at det da er 60 mulige utvalg. Naturlig nok mindre enn da vi kunne legge kulene tilbake mellom trekningene. Erik Holst skolelab.uib.no Side: 2
1. kule 2. kule 3. kule 5 x 4 x 3 = 60 muligheter muligheter muligheter I kombinatorikk er det vanlig å skrive regnestykket ovenfor som 5P3. Bokstaven P står for permutasjon, som betyr at rekkefølgen teller. Vi har altså at: 5P 3 = 512 43 = 60 3 kuler Skal vi trekke fire kuler får vi 5P4 mulige rekkefølger, som vi regner slik: 5P 4 = 51 42 4 3 43 2 = 120 4 kuler Vi kan velge r elementer fra en mengde på n elementer på n Pr = n ( n 1) ( n 2)... ( n r + 1) n! = ( n r)! ulike måter dersom utvalget er ordnet uten tilbakelegging. Legg merke til at dersom vi trekker alle fem kulene får vi: 5 P 5 = 5 4 3 2 1 = 5! = 120 Til en stafett skal det være sju løpere. Etappene har ulik lengde og profil, slik at rekkefølgen på løperne er viktig. Hvor mange ulike laguttak er det mulig å få til av en gruppe på 13 løpere? 13P 7 = 13 14 1244 112 10 4 49 48 3 7 = 7 løpere 13! = 8 648 640 7! ( 13 ) Det er altså mulig å lage mer enn 8,6 millioner laguttak! 4.4 Uordnet utvalg uten tilbakelegging I en boks er det fem kuler med forskjellige farger: Svart (S), blå (B), rød (R), fiolett (F) og grønn (G). Vi skal trekke ut tre kuler uten å legge kulene tilbake mellom hver trekning. At utvalget er uordnet betyr at rekkefølgen ikke teller. Vi kan da få 10 mulige utvalg som vist nedenfor: Erik Holst skolelab.uib.no Side: 3
BRS BRF BRG BSF BSG BFG RSF RSG RFG SFG I avsnitt 4.3 så vi at antall mulige utvalg var 60 fordi rekkefølgen vi trekker kulene i teller. Sammenhengen mellom et ordnet og et uordnet utvalg er at hver fargekombinasjon ovenfor kan ordnes på 3! = 6 mulige måter. Vi ser på fargekombinasjonen BSG (understreket i oppsettet ovenfor). BSG BGS SBG GBS SGB GSB Vi har altså denne sammenhengen: 10 { 6 = 60 { uordnet ordnet I kombinatorikk bruker vi skrivemåtene ncr eller binomialkoeffisienten over r, for uordnede utvalg uten tilbakelegging. Vi har: n, som vi leser n r 5 5P3 = 5C 3 = = 3 3! 60 6 = 10 Bokstaven C står for kombinasjon. Vi kan velge r elementer fra en mengde på n elementer på n = ncr = r n Pr r! = n! ( n r)! r! ulike måter dersom utvalget er uordnet uten tilbakelegging. En trener kan velge mellom 9 spillere. Av disse skal 7 starte kampen. Hvor mange ulike laguttak kan treneren gjøre? 9 9P7 = 9C 7 = 7 7! = 9! = 36 7!7! ( 9 ) Det er altså mulig å lage 36 mulige laguttak når rekkefølgen, eller plassering på banen, ikke teller! Erik Holst skolelab.uib.no Side: 4
5 Stokastisk variabel Når vi ikke kan forutsi resultatet, men bare oppgi en sannsynlighet, har vi et stokastisk forsøk. Spillet som er beskrevet nedenfor er et stokastisk forsøk. 5.1 5.2 Stokastisk variabel og sannsynlighetsfordeling Et tivoli lokker publikum med et terningspill som gir følgende gevinster: 1. premie: 100 kr dersom kastet gir 6 øyne. 2. premie: 25 kr dersom kastet gir 4 eller 5 øyne. 3. premie: 10 kr dersom kastet gir 1, 2 eller 3 øyne. I dette tilfellet definerer vi den stokastiske variabelen X til å være gevinsten i kroner. X: Gevinsten i kroner Innverdiene er antall øyne på terningen og utverdien er gevinsten i kroner. Vi har: X(1) = X(2) = X(3) = 10 X(4) = X(5) = 25 X(6) = 100 En stokastisk variabel X er en funksjon som til hvert utfall i et forsøk gir et tall som funksjonsverdi. Sannsynligheten for de ulike gevinstene fordeler seg som vist i tabellen nedenfor. Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen til den stokastiske variabelen X: x 10 25 100 P ( X = x) 3 2 1 6 6 6 Vi ser at summen av sannsynlighetene er lik 1. 5.3 Forventningsverdi Hva skal spillet koste? Innsatsen må jo være slik at de som arrangerer spillet må gå med overskudd i det lange løp. For å svare på dette spørsmålet må vi finne den gjennomsnittlige utbetalingen i gevinster for hvert spill. Gjennomsnittsverdien av gevinstene er avhengig av gevinstenes størrelse og sannsynligheten for hver gevinst. Vi finner denne gjennomsnittsverdien slik: 3 2 1 Gjennomsnittsverdi = 10 + 25 + 100 = 30 6 6 6 Tallene i beregningen ovenfor har vi tatt fra sannsynlighetsfordelingen til X. Vi kaller gjennomsnittsverdien for forventet verdi eller forventningsverdien til X, som vi skriver: µ = E X ( ) = 30 Det er naturlig at innsatsen i spillet er større enn forventet utbetaling. I dette spillet kan vi da sette innsatsen til 35 kr. Erik Holst skolelab.uib.no Side: 5
6 Binomiske sannsynligheter 6.1 Binomisk forsøk Hva er et binomisk forsøk? For at et forsøk skal være binomisk, må det oppfylle visse krav: Utfallsrommet må være definert slik at det bare kan ha to mulige utfall, gjerne kalt suksess (S) og fiasko (F). Sannsynlighetene for de to utfallene må være konstante: P ( S ) = p og P( F ) = 1 p Delforsøkene må være uavhengige av hverandre. Tips: Les eksempel 6.1 side 115 118, som gir en grei innføring i regning med binomiske sannsynligheter. Dersom vi lar den stokastiske variabelen X være antall ganger av n delforsøk den bestemte hendingen inntreffer, har vi denne regelen: Sannsynligheten for at antallet suksesser er lik x ved n uavhengige delforsøk, er gitt ved: P n x ( ) p x ( ) n X = x = 1 p x Det er kort vei fra suksess til fiasko i skiskyting. For en skiskytter på landslagsnivå regner vi med en treffprosent på 85 % for hvert av de fem skuddene. Vi ser da bort fra at et skudd har noen innvirkning på de etterfølgende skuddene. Vi skal beregne sannsynligheten for å treffe på akkurat 3 skudd og akkurat 4 skudd. Vi har at da X = 3 og X = 4 når n = 5 og p = 0, 85. Det gir oss samtidig at 1 p = 1 0,85 = 0, 15. Vi får: P P 5 3 5 = 0,85 4 3 2 ( X = 3) = 0,85 0,15 = 0, 138 4 1 ( X = 4) 0,15 = 0, 392 Å bruke tabellen i boken til å finne binomiske sannsynligheter For å lage en sannsynlighetsfordeling for alle mulige utfall i forsøket, altså fra 0 til 5 treff, bruker vi tabell 3 bak i boken binomiske sannsynligheter. I tabellen er det ikke oppgitt sannsynligheten p = 0, 85. Vi må da snu på hva som er suksess og fiasko, det vil si at vi må se på sannsynligheten 1 p = 1 0,85 = 0, 15 og deretter snu sannsynlighetsfordelingen på hodet. Vi finner n = 5 I tabellen, snur sannsynlighetene på hodet, og får: Erik Holst skolelab.uib.no Side: 6
x 0 1 2 3 4 5 P X = x 0,0001 0,0022 0,0244 0,1382 0,3915 0,4437 ( ) Vi ser at tabellen i boken bruker fire desimaler, mens vi bare viste sannsynlighetene med tre desimaler i utregningen ovenfor. Stort sett er det nok med tre desimaler. 6.3 Forventning I et binomisk forsøk Hvor mange skudd kan vi forvente at skiskytteren vil treffe under et løp med 10 skudd? Når løperen treffer på 85 % av skuddene, kan vi forvente at han treffer 8,5 blink i ved 10 skudd. I et løp er det ikke mulig å treffe på 8,5 skudd. Forventningsverdien i et forsøk trenger altså ikke å være et mulig resultat i selve forsøket. En enkel regel gir oss forventningsverdien i et binomisk forsøk. Vi har: ( X ) = n = 10 0,85 = 8, 5 µ = E p 7 Hypergeometrisk sannsynlighet I et hypergeometrisk forsøk har vi en mengde med to eller flere delmengder. I en klasse kan mengden være elever, mens delmengdene er gutter og jenter. Tips: Les eksempel 7.2 side 135 136, som gir en grei innføring i regning med hypergeometriske sannsynligheter. 7.1 Hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling Dersom vi lar den stokastiske variabelen X være antall spesielle i utvalget, har vi denne regelen: Sannsynligheten for å trekke x spesielle elementer fra delmengden m, og r x elementer fra delmengden n m, er lik antall gunstige dividert med antall mulige. Vi har P ( X = x) n n m x r x = n r Selve tankegangen kan kanskje best illustreres dersom vi har flere delmengder. La oss trekke 13 kort fra en kortstokk med 52 kort. Antall mulige kombinasjoner er da 52 = et ganske stort tall 13 Når vi skal beregne sannsynligheter, er det viktig at delmengdene vi velger til sammen gir alle kortene. Vi ønsker å finne sannsynligheten for akkurat 4 spar og 3 hjerter er blant de 13 kortene vi trekker. Da har vi to delmengder, spar og hjerter, men vi skal også ha 6 kort til, som ikke skal være spar eller hjerter. Det er da lurt å samle kløver og ruter i en delmengde. Erik Holst skolelab.uib.no Side: 7
Dersom vi ikke gjør det, må vi regne ut sannsynligheten for alle de ulike kombinasjonene med nettopp kløver og spar. Vi kan trekke 4 spar på 13 over 4 måter, 3 hjerter på 13 over 3 måter, og de 6 andre kortene, som da består enten av kløver eller ruter eller en blanding av disse, på 26 over 6 måter. Vi bruker multiplikasjonsprinsippet for å finne antall gunstige kombinasjoner 13 4 13 26 = et stort tall det også, men mindre enn det ovenfor 3 6 Sannsynligheten i et hypergeometrisk er antall gunstige dividert med antall mulige. Vi får 13 13 26 ( ) 4 3 6 P 4 spar, 3 hjerter = = et tall mellom 0 og 1 52 13 Legg merke til at summen av de øverste tallene i telleren er lik det øverste tallet i nevneren. Det samme gjelder for det nederste tallet. Eks: 13 + 13 + 26 = 52 og 4 + 3 + 6 = 13. Det finnes en tabell over noen mindre binomialkoeffisienter bak i boken. Til slutt Jeg håper at dette kompendiumet kan være til hjelp. Hilsen Erik Erik Holst skolelab.uib.no Side: 8