Løysingsforslag for oppgåvene veke 17. Oppgåve 1 Reningsfel for differensiallikningar gi i oppg. 12.6.3 med numeriske løysingar for gi inialkrav (og ei par il). a) b) c) d) Oppgåve 2 a) c)
b) Reningsfele i a) hinar om løysingar som er ree linjer gjennom origo; y=k x. Semmer dee? Vensre side i diff.-likninga: y'=k. Høgre side i diff.-likninga: y/x=kx/x=k. De semmer. Vidare: For kvar sarkrav y(x0)=y0 skal vi ha nøyakig éi løysing. Se inn: y0=k x0 k=y0/x0 Vi har alså få besem k og dermed også y(x) einydig for alle x0 0. c) Figuren ser u il å hine om andregradsfunksjonar. Vi prøver y= k x 2 : y'=2kx y/x= 2 kx 2 /x = 2kx. Joda, den generelle løysinga er y(x)=k x 2. Oppgåve 3 a) Om vi overse pseudokoden il «malabsk», kan han sjå slik u: N=3000; % anall seg for n=1:n % nese høyde disp([ h]) % skriver punkene il skjerm Slik som dee er koda nå, får vi u ein abell med drøssevis av og h-verdiar når vi køyrer skripe: >> EulersMeLaerebok 0.1000 0.9996 0.2000 0.9992 0.3000 0.9987 0.4000 0.9983 0.5000 0.9979 0.6000 0.9975... 299.9000 0.1337 300.0000 0.1335 Li meir ineressan er de nok å ploe de. Om vi gjer de, og ikkje mins: varierar d, kan ploe sjå slik u:
Vi ser a d=0.1, som vi brukar i skripe over, er rikeleg fin nok. b) Skripe kan nå sjå slik u: while h>=0.01 % nese høyde Merk a variabelen N er bore. Når vi køyrer skripe, finn vi a de ar 425.5 sekund før høgda er 1 cm. c) Vi gjer ei lia jusering i linje 5 og skriv den elege h-verdien il skjerm il sis: while <5000 h % nese høyde Vi får ei li rar svar: >> EulersMeLaerebok h = -0.0020 + 0.0000i h har bli negaiv; anken skuldar van! (h ser il og med u il å ha bli «li» kompleks.) Dee viser vel ganske ydeleg a vi ikkje uan vidare skal sole på svara som ein pc-en gir oss. d) Den derivere av vannsanden, h', er jo gi ved differensiallikninga. Om vi samanliknar linja som reknar u den nese h-verdien med skjemae for Eulers meode, yn+1=yn+f(xn,yn) h, der y'=f(x,y), ser vi a differensiallikninga er h = 4.23 10 3 h Dermed kan vi implemenere krave slik: while -4.23*1e-3*sqr(h)<-1e-4 h % nese høyde
Når vi køyrer krave finn vi a h' bikkar -10-4 i de =461.5 og h=5.537 10-4. Svare på de sise kunne vi renok le ha funne eksak direke frå differensiallikninga: h'=-10-4 gir a 10 4 = 4.23 10 3 h slik a 10 4 h = ( 4.23 10 3)2 = 5.562 10 4. Her ser vi svare vi fekk med Eulers meode ikkje var veldig nøyakig; vi burde nok ha bruk ein lågare d for å få bere samsvar. e) Tanken er om når h=0: while h>0 % nese høyde Når vi køyrer de, finn vi a de ar =472.4 sekund å ømme anken. Oppgåve 4 Vi brukar Eulers meode for å løyse sarverdiprobleme, v'=9.8- (30/75) v 2 v(0)=10 der ida er gi i sekund og faren er gi i meer per sekund. Skripe kan sjå slik u: % Implemenering av Eulers meode % Differensiallikning F=@(x,y) 9.81-30/75*y^2; % Sarkrav og epunk x0=0; y0=10; xmax=3; % Oppdeling N=inpu('Kor mange seg skal vi bruke? ') h=(xmax-x0)/n; xvekor=x0:h:xmax; % Eulers meode y=y0; yvekor(1)=y; for i=1:n x=x0+(i-1)*h; y=y+f(x,y)*h; yvekor(i+1)=y; % Ploing hold on plo(xvekor,yvekor)
Vi sjekkar a vi har fin nok oppdeling ved å ploe de vi får med sadig høgare N: Figuren ser u il å yde på a erminalfaren er ca. 5 m/s. Dee kunne vi ha funne u av ved å enke slik: Når yngdekrafa og lufmosanden balanserar kvarandre, vil ikkje faren re seg akselerasjonen er null. Med v'=0 gir differensiallikninga a 0=mg-bv 2, slik a v = mg b = 75 9.81 m s = 4.95 m s, eller ca. 18 km/h. 30