Problemløsning i norske og russiske matematikklærebøker for videregående skole En sammenlignende studie av eksempler i norske og russiske lærebøker Natalia Aaseth, USN Oslo, 19. september 2018
Problemstilling: Hva er forskjeller og likheter i presentasjonen av problemløsningsmetoder i eksemplene i norske og russiske matematikklærebøker? Forskningsspørsmål: 1. Hva sier læreplanen i matematikk om problemløsning i Norge og i Russland? 2. Hvordan blir problemløsningsmetoder benyttet i eksempler i norske og russiske matematikklærebøker?
Hva er et problem? Hva er problemløsning? Definisjonen av begrepet problem: Tradisjonell Individrelatert
Problemløsningsprosessen Polyas fire-trinns modell: 1. Forstå problemet 2. Legg en plan 3. Gjennomfør planen 4. Se tilbake
Problemløsningsprosessen Mason et al. (2010) Faser i løsningsprosessen Inngang «Angrep» Tilbakeblikk Polya (1973) Schoenfeld (1989) Forstå problemet Legg en plan Utfør plan Se tilbake Lese Analysere Utforske Planlegge Implementere Verifisere Borgersen Analysere/ Tegning/ Kvalifisert Finne Utvikle bevis Refleksjon Gener (1994) Definere Modell gjetting hypotese a liserin g Carlson og Orientere Planlegge Utføre Sjekke Bloom
Norsk læreplan vs. Russisk læreplan Godkjenningsordning Kompetansemål /innholdselementer og kompetansemål Hvordan læreplan brukes Norge vs. Russland Timetall Problemløsning
Timetall Norge: 374 timer (187 timer (VG1 ) + 187 timer (VG2)) Russland: mellom 420 og 840 timer fordelt på to år (vanlig 560 timer)
Problemløsning I formålet med faget (Norsk læreplan): «å bruke problemløysing og modellering til å analysere og omforme eit problem til matematisk form» I formålet med faget (Russisk læreplan): «utvikle logisk tenkning, algoritmisk kultur, matematisk tenkning og matematisk intuisjon kreative egenskaper»
Metode Både kvalitativ og kvantitativ Hoved undersøkelse: 1. Generelle strategier 2. Spesifikke problemløsningsstrategier/problemløsningsmetoder
Problemløsningsstrategier: 1. Se etter et mønster 2. Lag en systematisk tabell 3. Lag en illustrasjon 4. Prøv og feil 5. Løs deler av problemet 6. Jobb baklengs 7. Tenk på et liknende problem 8. Gjør problemet enklere 9. Se problemet fra en annen side 10. Bruk digitale hjelpemidler 11. Introduser hjelpeelementer
Utvalg Norske: Sinus 1T Sinus R1 Sigma 1T Sigma R1 Russiske: Algebra og grunnleggende matematisk analyse. For spesialiserende retning i matematikk for 10.trinn Algebra og grunnleggende matematisk analyse. For spesialiserende retning i matematikk for 11.trinn
Funn 496 eksempler/ 654 strategibruk Bruken/funksjonen av eksempler er forskjellig
496 eksempler / 654 tilfeller av strategibruk 250 200 207 150 100 50 69 88 82 56 81 0 24 11 3 8 25
Metode Lærebok Sinus 1T Sinus R1 Sigma 1T Sigma R1 AGMA, 10.trinn AGMA, 11.trinn 1. Se etter et mønster 7,6 % 7,5 % 10,5 % 18,7 % 8,8 % 14,5 % 2 Lag en systematisk tabell 2,5 % 0,9 % 7,0 % 4,0 % 0,0 % 5,3 % 3. Lag en illustrasjon 35,0 % 29,2 % 36,0 % 32,0 % 20,6 % 27,6 % 4. Prøv og feil 1,3 % 0,0 % 0,0 % 2,7 % 4,4 % 5,3 % 5. Løs deler av problemet 7,6 % 26,4 % 12,2 % 6,7 % 22,1 % 9,2 % 6. Jobb baklengs 0,0 % 0,0 % 0,0 % 1,3 % 1,5 % 1,3 % 7. Tenk på et liknende problem 2,5 % 0,0 % 0,0 % 1,3 % 2,9 % 1,3 % 8. Gjør problemet enklere 11,5 % 16,0 % 14,0 % 18,7 % 8,8 % 3,9 % 9. Se problemet fra en annen side 8,3 % 2,8 % 10,5 % 2,7 % 13,2 % 14,5 % 10. Bruk digitale hjelpemidler 22,3 % 16,0 % 9,9 % 12,0 % 2,9 % 1,3 % 11. Introduser hjelpeelementer 1,3 % 0,9 % 0,0 % 0,0 % 14,7 % 15,8 %
Metode «Lag en illustrasjon» Del av problemtekst. Del av problemtekst. Informativ Dekorativ Del av løsningsprosessen Til sammen Sinus 1T 1 14 40 55 Sinus R1 0 3 28 31 Sigma 1T 7 23 32 62 Sigma R1 1 4 19 24 SUMMEN 9 44 119 172 PROSENTDEL 5 % 26 % 69 % AGMA, 10.trinn 2 0 12 14 AGMA, 11.trinn 1 1 19 21 SUMMEN 3 1 31 35 PROSENTDEL 9 % 3 % 89 %
Begrensninger Kvalitativ vs. Kvantitativ Løse standardoppgaver vs. Større intensjonsdybde Norsk eksempel vs. Russisk eksempel
Eksempel 9 (Sinus 1T, 2014, s.138)
Finn ut med hvilke parameter a har likningen 3x 2 = x + a bare en løsning. (Eksempel 3 i Matematikk: AGMA, 11.trinn, 2014, s. 164)
Løsning 1: Vi introduserer et hjelpeelement 3x 2 = y. Da 3x - 2 = y 2 Og x = * + (y2 + 2). Da ser vår opprinnelig likning slik ut: Y = = * + (y2 + 2) + a Y 2 3y + 2 + 3a = 0
Den opprinnelige likningen 3x 2 = x + a har bare en løsning, når bare den ene løsningen av likningen y 2 3y + 2 + 3a = 0 er større eller lik 0. Dette er mulig i tre følgende tilfeller: 1. Når vår ny likning har bare en løsning og den ene løsningen er positiv. 2. Når den første løsningen er positiv, og den andre løsningen er negativ. 3. Når den ene løsningen er lik 0, og den andre løsningen er negativ. Vi skal se nærmere på de tre tilfellene: 1. Hvis likningen har bare en løsning, er da 9 4(2+3a) = 0. Da er a = 1 12 (og da har likningen vår y 2 3y + 2 + 3a = 0 har bare en løsning + - ). 2. I dette tilfelle må 2 + 3a < 0. Da er a < - 2 3 3. Den ene løsningen er lik 0 : 2 + 3a = 0, a = - - +. Når a = - - + er den andre løsningen lik 3. Løsningen er ikke negativ og passer ikke inn. Fordi da har den opprinnelige likningen to løsninger som er motsatt for vår betingelse. Svar: a < - 2 3, a = 1 12
Løsning 2: Vi får grafen til funksjon Y= 3x 2 av grafen Y= x ved: Å forskyve grafen horisontalt med 2 enheter mot høyre. Å krympe grafen horisontalt med faktor 3. Grafen til funksjonen y=x + a for hver verdi av a er en rett linje som er parallell til linjen y = x. I følge illustrasjonen har grafene et felles punkt ved a = a 1 (når den rette linjen tangerer grafen til funksjon Y= 3x 2 ), og når a < a 2. Det kan merkes at a 2 = - - +. Da er a < - 2 3
For å finne a 1 kan vi løse likningen: 3x 2 = x + a 3x - 2= (x + 2) 2 x 2 + x (2a -3) + a 2 +2 = 0 Vi bruker formelen: x = b ± b- 4ac 2a Og får a = 1 12 Svar: a < - 2 3, a = 1 12
Oppsummering Liten vekt på eksplisitt presentasjon Forbedringspotensialet
Minoritetspråklige elever i møte med problemløsning og tekstoppgaver En undersøkelse av hvilke utfordringer og muligheter møter minoritetspråklige elever når de jobber med tekstoppgaver og problemløsning og deltar i problemløsningsaktiviteter
To sider av en sak: Å feilbedømme et barns språkkompetanse Minoritetsspråklige blir diagnostisert som «svake elever»
Minoritetsspråklige elever skårer betydelig lavere enn barn av norske foreldre (Kjærnsli & Jensen, 2016)
Matematikklæring handler om å bli en deltager i en matematikkdiskurs (Moschkovichs modell av språkbytte hos minoritetspråklige elever)
Må gjennom flere «språktrinn» for å lære et fag For minoritetsspråklige elever blir ikke matematikken det første fremmedspråket, men det andre (Lunde, 2015)
Avspeiler matematikklærebøkene flerkulturell Norge? Bøkene avspeiler i liten grad norsk, flerkulturell virkelighet (Laugerud, Askeland & Aamotsbakken, 2014, Flottorp & Poorgholam, 2003) Det matematiske spraket er abstrakt og konsentrert og kan lett virke fremmedgjørende på minoritetselever
En tomt har форму прямоугольника. Периметр av tomta er 200 м, mens площадь av tomta er 2100 м 2. Finn стороны участка.
En tomt har form som et rektangel. Omkretsen av tomta er 200 м, mens arealet av tomta er 2100 м 2. Finn tomtesidene.
En flaggstang på 10 meter er hengslet slik at toppen møter bakken 8,4 m fra rota når flaggstangen svinges ned. Hvor høyt opp er flaggstangen hengslet?
Tekstoppgaver: Sliter med tekstoppgaver med mye tekst og ukjente ord 2/3 av tekstoppgavene i matematikklærebøker for 5.trinn inneholder ukjente ord eller formuleringer (Flottorp & Poorgholam, 2003) oppgaver som inneholder irrelevant eller skjult informasjon og flerstegsoppgaver (Nortvedt, 2013)
Det å bli en matematikkelev er nært knyttet til begrepet identitet matematisk dyktigheten som en motvekt til elevers følelse av lokal utelukkelse «people of education and culture» (Sfard & Prusak, 2005) matematikk har en mye høyere status blant minoritetsspråklige (Flottorp, 2005)
Takk for meg!