Kap. 9+10 Rotasjon av stive legemer Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakselerasjon (rask rekap) Sentripetalakselerasjon, baneakselerasjon (rask rekap) Rotasjonsenergi E k Treghetsmoment I Kraftmoment τ Rulling Spinn (dreieimpuls): L Spinnsatsen (Newton 2 for rotasjon): τ = dl/dt Stive legemer: L = I, τ = I d/dt Eksempler: gyroskop, m.m.m
z Stivt legeme som roterer om z-akse: Sylinderkoordinater (r, φ, z) hensiktsmessig φ
Vinkler måles i radianer: φ = s/r s = φr s = r φ Vinkelhastighet: = dφ/dt
Viktige størrelser (rotasjon) Vinkelpos. φ = s/r Vinkelhastighet = dφ/dt = v/r Vektorstørrelse: langs akseretning Periode T = tid/omdr = 1/f Frekvens f = 1/T Vinkelfrekvens = vinkelhastighet = = 2πf Vinkelaksel. α = d/dt = d 2 φ /d 2 t Banefart v = v = ds/dt = r Vektorstørrelse: v = x r Baneaksel. a t = α r Sentr.aksel. a c = v 2 /r = v = 2 r Vektorstørrelse: Total aksel = a a r a ac v ( r) c t
Vektorer: v = x r a c = x v = x ( x r) v = x r v = x r r a c = x v
Lik for hele legemet: Vinkelhastighet = dφ/dt Øker med radien r : Banefart v = ds/dt = r Vinkelaksel. α = d/dt v s = rφ φ Tang.aksel. a t = α r Sentr.aksel. a c = 2 r
Translasjon: E k = ½ m v 2 Massens plassering ingen betydning for E k v v Samme v, samme E k Rotasjon: E k = ½ I 2 der I = Σ r i2 m i E k øker med (massens avstand) 2 fra aksen Samme, men ulik E k
E k = ½ I 2 r i I = Σ r i2 m i m i Her må vi integrere: r I = r 2 dm dm
Sirkelskive som roterer om symmetriakse I = ½ M R 2 r R
Halvsirkelskive som roterer om «sirkelsentrum» R I = ½ M R 2 Halvsirkelskive som roterer om c.m. y cm = R 4/(3π) = 0,42 R R I =? r cm Mye vanskeligere å beregne. Skal heller bruke Steiners sats ( kommer) I = 0,32 MR 2
Rotasjonshjul som energilager Brukes for å stabilisere rotasjonshastighet i motorer Kan lagre store energimengder (hvis store dimensjoner og stor hastighet)
Brukes i motorkjøretøy: KERS = Kinetic Energy Recovery System: en.wikipedia.org/wiki/kers Ett eksempel: R=12 cm M=5,0 kg f= 64 500 rpm => E = 400 kj KERS i sykler (f.eks. lagre bremseenergi) https://www.youtube.com/watch?v=5fjcevijjks Med KERS kan trolleybusser kjøre uten strøm (Zürich):
Kap. 9+10. Rotasjon av stive legemer Vi har sett på: Vinkelhastighet = dφ/dt, vinkelakselerasjon α = d /dt Banehastighet v = r Sentripetalaks. a c = - r 2 = - v = - v 2 / r c Baneakselerasjon a t = r α Rotasjonsenergi E k = ½ I 2 Treghetsmoment I = Σ r i2 m i = r 2 dm (om en gitt akse) Ring om sentrum: I = M R 2 Skive om sentrum: I = ½ M R 2 Lang, tynn stav om midtpunkt: I = (1/12) M L 2 (Alle disse gjennom massefellespunktet = cm ) Steiners sats (parallellakseteoremet): Treghetsmoment om annen parallell akse i avstand d: I = I 0 + M d 2 dvs. I 0 (akse gjennom cm) er alltid minst mulige treg.moment http://en.wikipedia.org/wiki/parallel_axes_rule Vektorer: v r a v r
Kap. 9+10 Rotasjon av stive legemer Vi skal se på: Vinkelhastighet, vinkelakselerasjon (rep) Sentripetalakselerasjon, baneakselerasjon (rep) Rotasjonsenergi E k Treghetsmoment I Kraftmoment τ (N2-rot) stive legemer: τ = I d/dt Rulling Spinn (dreieimpuls): L (N2-rot) alle legemer: τ = dl/dt Stive legemer: L = I, τ = I d/dt Eksempler: gyroskop, m.m.m
Kraftmoment = arm x kraft x sinφ Φ Matematisk: τ = r x F r F τ
τ = r x F τ = r F sinφ τ r og τ F Høyrehåndsregelen: τ peker langs tommelen Φ F Evt. skrå kraft F τ plasseres gjerne langs rotasjonsaksen Husk også vektor :
Translasjon: F = m dv/dt = m a Rotasjon: τ = I d/dt = I α
Liknende eksempel: Atwoods (fall)maskin Øving 5 Trinsa med treghetsmoment I skal akselereres i tillegg til akselerasjon av m 2 og m 1
Rulling (uten å glippe) YF 10.3, LL 6.7 Translasjon v + rotasjon = rulling v cm = r ½ m v 2 + ½ I 2 = ½ m v 2 (1+c)
Treghetsmoment ulike skapninger: Rullbare: I = c m R 2 c =1/2 + R 1 2 /2R 2 2 c=1/2 c=1 c=2/5 c=2/3
Oppsummering: Rulling Rein rulling: v = r ; a = αr (dvs. translasjonshastighet = banefart til periferien) E k = ½ mv 2 + ½ I 2 = ½ m v 2 (1+c) - med I = c mr 2 og = v/r Statisk friksjon F f μ s F N vesentlig for rulling og gir vinkelakselerasjon α: F f r = Iα Spinne/skli/rutsje (ikke rein rulling): v r. Kinetisk friksjon F f = μ k F N i retning som prøver å oppnå rein rulling Kinetisk friksjon gjør et friksjonsarbeid som endrer kinetisk energi Rein rulling: ser vi bort fra energitap (ingen rullemotstand). Slure/skli : friksjonsarbeidet er vesentlig.
Hvilken ruller fortest: massiv kule ring? hul sylinder hul kule massiv sylinder stor eller liten? raskest seinest A E k = ½ m v 2 (1+c) = lik alle Størst v for den med minst c i tregh.momentet I = c mr 2 1. vannfylt flaske c =? 2. massiv kule c = 2/5 3. massiv sylinder, c = 1/2 4. kuleskall, c = 2/3 5. hul sylinder = ring, c = 1 Uavhengig av størrelsen (når rulleradius = legemets radius) Y & F, Ex. 10.5 B
Rulle / skli / slure på flatt underlag A B C Rulle Skli Slure v = r v > r v < r F F f F f F f =0 hvis konst v F f reduserer v (og øker ) F f øker v (og redus. ) Finne retning for F f : 1. F f i retning som prøver å oppnå rein rulling. eller 2. Sett minste verdi lik null.
Alle 6 muligheter for kombinasjon v på skråplan v ned F f Rutsje ned v > r v < r F f Biler uten ABS er utsatt Biler uten antispinn er utsatt v og motsatt retn. v v > r Slure nedover F f Gli nedover, forsøke komme opp v opp Rutsje oppover F f v < r F f Slure oppover v Gli oppover, forsøke komme nedover v og motsatt retn. F f i retning som prøver å oppnå rein rulling. F f
Rulle / skli / slure på flatt underlag A B C Rulle Skli Slure v = r v > r v < r F F f F f F f =0 hvis konst v F f reduserer v (og øker ) F f øker v (og redus. ) hvis v øker => F f mot venstre for å øke hvis v minker => F f mot høyre for å redusere hvis øker => F f mot høyre for å øke v (akselererer) hvis minker => F f mot venstre for å minke v (bremser) Hvis ytre kraft F årsak til endring i v Hvis bilmotor/hjulrotasjon årsak til endring i v (mer avansert)
Rulleradius r legemets radius R M 2R = legemets diameter m 2r = rullediameter OBS: rulling: v = r I ½ M R 2 (hvis r << R og m << M ) E k = ½ M v 2 + ½ I 2 = ½ M v 2 + ¼ M R 2 (v/r) 2 = ½ M v 2 ( 1 + ½ (R/r) 2 ) = ½ M v 2 ( 1 + c ) c >> 1 E k,rot >> E k,trans
Rulleradius r legemets radius R Utrulling av jojo, øving 5 rullediameter «ut»rulling: v = r m M I ½ M R 2 (hvis r << R og m << M ) E k = ½ M v 2 ( 1 + ½ (R/r) 2 ) = ½ M v 2 ( 1 + c ) c >> 1 E k,rot >> E k,trans
Test
Test r 45 o v Eksamensstatistikk: A) 4 B) 9 C) 67 Riktig D) 6 E) 83 blank 1 Tot 170 Periferihastighet r = rullehastighet v
Test
Test uendret F f =0 F f reduserer F f øker F F f f Ytre kraft (mg sinα) endrer v F f gir moment til rotasjonen