Eksamen S1 høsten 015 løsning Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene nedenfor a) x 3x 0 x(x3) 0 x 0 x 3 0 3 x 0 x b) 3x1 17 4 x lg 3 1 34 lg 3 x1 34 3x 1 lg 34lg 3x 1 lg lg 34 lg lg 3x 1 34 3 x 33 3 3 x 11 Alternativ løsning. Siden grunntallene i potensene er like, må eksponentene være like. lg 3 x1 34 lg 3 x1 34 3x 1 34 3 x 33 3 3 x 11 Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
c) x lg 3 lg x lg x 0 lg x lg 3 10 10 3 x 1 1000 x 1 1000 x 999 Oppgave (3 poeng) Skriv uttrykkene så enkelt som mulig a) 8a a b 3 1 ab 3 1 3 3 1 a 8a a b a b ab a b a b) x yx y y xy x x yx y x yx y x y y x y x x y y x Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
Oppgave 3 (3 poeng) Løs likningssystemet x x y 7 3x y 5 3x y 5 y 3x 5 x x 3x 5 7 x x1 0 4 1 x 4 4 1 x 4 100 10 x 4 4 x 3 x y 3 3 5 14 y 3 5 1 Løsningene er,1 3, 14 Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten x x 3 1 0 Setter uttrykket lik null x x 3 1 0 x 0 x1 0 x x 1 Vi vet nå at uttrykket 3 1 x x er lik null når x 1 og når x. Det er bare for disse verdiene av x at ulikheten skifter fortegn. Vi tar stikkprøve for x - verdier mindre enn 1, x - verdier mellom 1 og og for x - verdier større enn. x x 3 1 Vi setter inn Vi setter inn 0 Vi setter inn x 3 x og finner: 3 1 " " negativt x og finner: 30 0 1 " " positivt og finner: 3 negativt Vi kan da sette opp fortegnslinjen - verdier -1 0 0 Oppgaven var å finne ut når 3 1 Løsning x, 1, x x var mindre enn null. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
Oppgave 5 (5 poeng) Funksjonen f er gitt ved 3 f x x x x 3 a) Bestem funksjonens gjennomsnittlige vekstfart i intervallet 0,. Gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen i intervallet 0, er 3 3 3 0 0 0 3 f x f x1 f f 0 1 x x 0 1 b) Bestem f' x og bruk denne til å avgjøre om grafen til f stiger eller synker for x 0. f ' x 3x x 1 Jeg finner f ' 0 30 0 1 1, Når den deriverte er negativ vil det si at stigningstallet til tangenten i punktet er negativ. Grafen til funksjonen synker. c) Bestem x-verdien til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f. I eventuelle topp- og bunnpunkt er den deriverte lik null. f' x 0 3x x1 0 4 3 1 x 3 4 1 4 x 6 6 1 x 1 x 3 Det betyr at 1 f ' x x 1 x 3 Jeg tar stikkprøver for å finne fortegnet til den deriverte i aktuelle intervall f ' 1 3 1 1 1 4 positivt f' 0 3 0 0 1 1 negativt f' 3 1 7 positiv Jeg lager fortegnslinje - verdier 1 0 0 Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
1 1 Grafen stiger for x, grafen synker for x 1 og grafen stiger for 1 3 3 x 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 9 81 86 5 f 3 3 3 3 3 3 3 7 9 3 7 7 7 Grafen har toppunkt i 1 1 1 5, f,3 3 3 3 7 3 f 1 1 1 1 3 Grafen har bunnpunkt i 1, f 1 1, Oppgave 6 (4 poeng) Funksjonen g er gitt ved g x x 3, x 1 x 1 a) Bestem grafens skjæringspunkter med koordinataksene. Grafen skjærer x-aksen når gx 0 x 3 0 x 1 x 3 0 x 3 x 3 Grafens skjæring med x-aksen er,0 3 Grafen skjærer y-aksen for x 0 0 3 g 0 3 01 Grafens skjæring med y-aksen er 0, 3 b) Lag en skisse av grafen til g med eventuelle asymptoter i et koordinatsystem. Horisontal asymptote finner jeg ved å finne grenseverdien når x blir uendelig stor eller uendelig liten. x 3 x 3 lim g x lim lim x x x x x 1 x x 1 x x Horisontal asymptote er i y =. Vertikal asymptote finner jeg ved å sette nevnere lik null. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
x 10 x 1 er vertikal asymptote Oppgave 7 (6 poeng) a) Skriv ned de 6 første radene i Pascals talltrekant. 1 11 1 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 I kjøleskapet står det fem flasker brus: sitronbrus, appelsinbrus, pærebrus, champagnebrus og cola. Erik skal hente tre av flaskene. b) Hvor mange mulige kombinasjoner av flasker kan han velge? Antall mulige kombinasjoner når du tar 3 av 5 ulike brus, finner jeg ved å se på Pascals talltrekant i oppgave a). 5. linje og tall nummer 3 er 10. Erik tar tilfeldig tre flasker. c) Bestem sannsynligheten for at colaflasken er én av de tre. Sannsynligheten for at colaflasken er en av de tre er Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
1 4 43 1 1 1 3 P(én er cola) 0,6 5 10 5 3 Det er 60 % sannsynlighet for at én av de tre flaskene er cola. Oppgave 8 (6 poeng) En bonde eier et område som er 15 dekar stort. Han vil dyrke poteter og gulrøtter. Det tar 5 timer å klargjøre 1 dekar for gulrotdyrking og,5 timer å klargjøre 1 dekar for potetdyrking. Han kan maksimalt bruke 50 timer på å klargjøre området. Bonden lurer på hvor stor del av arealet han bør bruke til gulrøtter, og hvor stor del han bør bruke til poteter, for at inntekten skal bli størst mulig. Vi tenker oss at han bruker x dekar til gulrotdyrking og y dekar til potetdyrking. a) Forklar at situasjonen ovenfor gir oss følgende ulikheter x 0 y 0 x y 15 x y 0 Antall dekar som skal dyrkes må være større enn eller lik null, fordi bonden ikke kan dyrke et negativt areal. Derfor må både x og y være større enn eller lik null x0 og y 0. Bonden har totalt 15 dekar, derfor kan ikke antall dekar gulrøtter og poteter bli større enn dette til sammen xy 15 Bonden bruker 5 timer på gulrot (5x) og,5 timer på potet (,5y) og dette skal til sammen bli under 50. Jeg setter opp en likning og forkorter 5x,5 y 50 5x,5 y 50,5,5,5 x y 0 Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
b) Skraver i et koordinatsystem området som er begrenset av ulikhetene. Bonden regner med at inntekten fra avlingen er 1 000 kroner for hvert dekar han bruker til gulrøtter, og 8000 kroner for hvert dekar han bruker til poteter. c) Hvor stor del av arealet må han bruke til gulrøtter, og hvor stor del må han bruke til poteter, for at den samlede inntekten skal bli størst mulig? Hvor stor blir inntekten da? Jeg undersøker hva inntekten blir i de tre hjørnene på området 0,15, 5,10 og 10,0. x0 og y 15 gir inntekten 01000kr 15 8000kr 10000kr x5 og y 10 gir inntekten 51000kr 10 8000kr 140000kr x10 og y 0 gir inntekten 101000kr 08000kr 10000kr Bonden får høyest samlet inntekt om han dyrker 1 3 av jorden med gulrøtter og 3 av jorden med poteter. Da blir inntekten 140 000 kr. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
Oppgave 9 ( poeng) Løs likningen x x 4 6 8 0 x x x 6 8 0, setter u u 6u 8 0 6 6 4 1 8 u 1 6 36 3 u 1 6 u u u 4 x x 4 x x 1 x 1 x Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
Oppgave 1 (5 poeng) I en S1-gruppe er det 10 gutter og 15 jenter. Geir er elev i gruppen. Seks av elevene skal trekkes ut til muntlig eksamen i faget. Vi går ut fra at det skjer ved loddtrekning. a) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut 3 gutter og 3 jenter. Dette er en hypergeometrisk fordeling med i GeoGebra. n 10. Jeg bruker sannsynlighetsverktøyet Sannsynligheten for at tre jenter blir trukket ut er 30,8 %. b) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut både gutter og jenter. Dette er en hypergeometrisk fordeling med n 15. Jeg bruker sannsynlighetsverktøyet i GeoGebra. Sannsynligheten for at både jenter og gutter blir trukket ut er 97,1 %. c) Bestem sannsynligheten for at det blir trukket ut 3 gutter og 3 jenter, der Geir er én av guttene. 1915 1 3 P Geir blir trukket ut 5 6 Sannsynligheten for at Geir er en av guttene som trekkes ut er ca. 9,5 %. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
Oppgave (6 poeng) Kroppsmasseindeksen BMI er en internasjonal standard som brukes for å si noe om vekt i forhold til høyde hos voksne mennesker. Formelen som brukes, er BMI m h Her er m vekten i kilogram, mens h er høyden i meter. a) Bestem BMI for en person som veier 78 kg og er 177 cm høy. BMI for en person som veier 78 kg og er 1,77 m høy er ca. 4,9 kg/m. b) Bestem høyden til en person som veier 85 kg og har BMI lik 8. Jeg bruker CAS i GeoGebra til å løse likningen Den negative løsningen er ikke relevant. Høyden til personen er 174 cm. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
Svein er 4 kg tyngre og 4 cm høyere enn Terje. Begge har BMI lik 8. c) Sett opp et likningssystem og bruk CAS til å bestemme høyde og vekt for Svein og Terje. Terje er 177 cm høy og veier 87,3 kg, mens Svein er 181 cm høy og veier 91,3 kg. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
Oppgave 3 (8 poeng) Tabellen nedenfor viser gjennomsnittlig månedslønn for heltidsansatte norske arbeidstakere i noen år i tidsrommet 1998-008. a) Bruk regresjon til å finne en eksponentialfunksjon som beskriver månedslønnen som funksjon av antall år etter 1998. Hva er den årlige prosentvise lønnsveksten ifølge denne modellen? Jeg bruker regresjonsanalyse i GeoGebra, setter 1998 som x 0, og velger eksponentiell modell En eksponentiell funksjon som modell for gjennomsnittlig månedslønn er gitt ved g x 1649,9 1,046 x Den prosentvise årlige endringen er i følge modellen 4,6 %. b) Hva blir gjennomsnittlig månedslønnen i 015 ifølge denne modellen? Jeg finner gjennomsnittlig månedslønn i år 015 når x 17 Gjennomsnittlig månedslønn i 015 vil i følge modellen være omtrent 46 500 kroner. Prisene på varer og tjenester har økt med ca.,5 % per år de siste tiårene. c) Lag en modell for den gjennomsnittlige månedslønnen x år etter 1998 dersom lønnen følger prisutviklingen. Om prisveksten skal være,5 % får vi en vekstfaktor på 1,05 og en startverdi på 1600. En modell for situasjonen kan være funksjonen hx 1600 1,05 x. d) I hvilket år ville modellen i oppgave a) ha gitt en gjennomsnittlig månedslønn som er 10 000 kroner høyere enn den gjennomsnittlige månedslønnen i modellen i oppgave Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
c)? Jeg definerer funksjonen h i GeoGebra og løser likningen På slutten av 011, vil modellen i a) gi 10 000 kroner høyere gjennomsnittslønn enn modellen i c). Oppgave 4 (5 poeng) På figuren nedenfor ser du grafen til funksjonen f gitt ved f x 5, x 0 x Rektangelet OABC er laget slik at B ligger på grafen til f. a) Vis at arealet F til rektangelet kan skrives som F x 5x x Areal av et rektangel er lengde multiplisert med høyde. Lengden er x og høyden er f(x). 5 5x A x f x x x x Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
b) Bruk graftegner til å bestemme x slik at rektangelet får areal lik 1,0. Jeg tegnet grafen til F x i GeoGebra sammen med linjen y 1,0, Deretter valgte jeg kommandoen «Skjæring mellom to objekt» og fant de to punktene A og B. Arealet er lik 1,0 når x0,44 og x 4,56. c) Bruk CAS til å bestemme eksakt x-verdi når rektangelet har størst mulig areal. Bestem det største arealet. Jeg bruker CAS i GeoGebra til å derivere funksjonen for arealet, F(x). Setter deretter den deriverte lik null for å finne eventuelle topp og bunnpunkter. Funksjonen har ekstremalpunkt for x. Jeg kan se bort fra den negative løsningen fordi funksjonen bare er definert for positive tall. Jeg ser også av grafen i b) at dette er et toppunkt. 5 Det største mulige arealet er F 4 Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning
Kilder Oppgaver med bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Løsninger: Elisabet Romedal, NDLA matematikk. Eksamen MAT306 Matematikk S1 høsten 015 - løsning