Eksamen 2P MAT1015 Høsten 2012 Oppgave 1 (4 poeng) Alle som går tur til Pollfjell, skriver navnet sitt i boka som ligger i postkassen på toppen av fjellet. Nedenfor ser du hvor mange som har skrevet seg inn i boka hver uke de 12 siste ukene. Bestem gjennomsnittet, medianen, typetallet og variasjonsbredden for dette datamaterialet. Gjennomsnitt blir: 4 5 6 8 10 10 12 12 12 15 18 20 132 11 12 12 Vi finner medianen ved å sortere antall turdeltakere per dag i stigende rekkefølge. Medianen er da den midterste verdien. For å finne den midterste verdien i dette tallmaterialet må vi finne gjennomsnittet av verdien på plass nummer 6 og 7. 456810 10 12 12 12 1518 20 Medianen blir dermed 10 12 11 2 Typetallet er det tallet som forekommer flest ganger. Vi ser at 12-tallet forekommer 3 ganger. Typetallet er dermed12 Variasjonsbredden er forskjellen mellom den største og den minste verdien i tallmaterialet. Variasjonsbredden er dermed 20 4 16 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 1 av 16
Oppgave 2 (2 poeng) Vi regner at verdien av en bil har avtatt med 15 % per år siden den var ny. I dag er bilen verdt 100 000 kroner. Sett opp et uttrykk som du kan bruke for å regne ut a) hvor mye bilen vil være verdt om seks år 15 Vi finner først vekstfaktoren. Vekstfaktoren er 1 0,85 100 Bilens verdi om 6 år kan da finnes slik: 6 100 000 kr 0,85. b) hvor mye bilen var verdt for seks år siden Bilens verdi for 6 år siden kan da finnes slik: 100 000 kr 0,85 6 Oppgave 3 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,0003 0,00000015 3,010 1,510 4,510 4,510 4 7 47 11 Oppgave 4 (1 poeng) Skriv så enkelt som mulig a 3 2 5 a 3 a a 0 a a a a 1 6 5 3 a 653 2 Oppgave 5 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret som et helt tall 2 3 0 a) 6 6 2 1 2 2 2 64 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 2 av 16
b) 2 2 1 1 1 2 2 2 4 3 3 3 4 3 81 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 3 av 16
Oppgave 6 (4 poeng) Tallsystemet vi vanligvis bruker, er et plassverdisystem med grunntall 10. Det finnes også plassverdisystemer med andre grunntall. Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, gjør beregninger, og fyll inn det som mangler. Plassverdisystem med grunntall 10 10 13 03 23 03 13 4 3 2 1 0 81 18 1 100 200 Plassverdisystem med grunntall 3 2 1 0 13 03 13 101 3 Plassverdisystem med grunntall 9 119 102013 1219 4 3 2 1 0 23 13 13 03 23 21102 3 2 1 0 29 49 29 242 9 Oppgave 7 (3 poeng) Tabellen nedenfor viser hvor mye penger hver av de 10 elevene i en 2P-gruppe bruker i kantinen i løpet av en uke. Gjør beregninger og avgjør om gjennomsnittet er større enn medianen for dette datamaterialet. For å finne gjennomsnittet multipliserer vi antall elever i hver klasse med klassemidtpunktet og deler på antall elever. 125 5751125 3175 25 375 125 525 1050 Gjennomsnitt: 105 10 10 10 I gjennomsnitt bruker hver elev 105 kroner i kantinen i løpet av en uke. Det er 10 elever i klassen. Det betyr at vi finner medianen (midtpunktet) midt mellom elev 5 og 6. Vi ser av tabellen at medianplassen ligger i klassen 50, 100. Det betyr at medianen er 75. Gjennomsnittet er større enn medianen. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 4 av 16
Oppgave 8 (2 poeng) Et fallskjermhopp kan deles inn i fire faser. I hver fase ser vi på farten fallskjermhopperen har loddrett nedover. Fase 1: Fallskjermhopperen forlater flyet. Etter tre sekunder er farten 25 m/s og etter åtte sekunder har fallskjermhopperen nådd den maksimale farten, som er 50 m/s. Fase 2: Fallskjermhopperen faller med maksimal fart i fire sekunder. Fase 3: Fallskjermen løses ut, og i løpet av ett sekund minker farten til 5 m/s. Fase 4: Fallskjermhopperen fortsetter med konstant fart 5 m/s i åtte sekunder før han når bakken. Lag en grafisk framstilling som viser hvordan farten til fallskjermhopperen varierer med tiden i løpet av hoppet. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 5 av 16
Oppgave 9 (6 poeng) Siri lager figurer av runde perler. Figurene ovenfor har hun kalt f1, f2, f 3. a) Følg samme mønster, og tegn figuren f. 4 Hvor mange perler vil det være i figuren f og i figuren f? 5 6 Vi teller først opp antall perler i de fire figurene vi har. Vi ser at antall perler øker med 5. I tabellen nedfor har vi skrevet opp antall perler i figuren f5 og f 6 Figur Antall perler Endring f 6 1 f 11 5 2 f 16 5 3 f 21 5 4 f 26 5 5 f 31 5 6 b) Sett opp en modell som viser antall perler i figuren f n, uttrykt med n. Bruk modellen til å bestemme hvor mange perler Siri trenger for å lage figuren f 36. Fra tabellen ovenfor vet vi at det øker med 5 perler for hver nye figur. Første figur har 6 perler. Vi kan finne antall perler i f slik, f 511, i figur f slik, f 521 osv. 1 1 En modell for f n kan da skrives slik f 5 1 5 1 n n n 2 2 Antall perler Siri trenger for å lage figuren f 36 blir f36 536 1 181 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 6 av 16
c) Hva er den største figuren f n Siri kan lage dersom hun har 1000 perler? Vi setter opp likningen 5n 11000. Vi ser her at dersom n 200, blir det 1001 perler. Det betyr at den største figuren Siri kan lage er f. 199 Oppgave 1 (5 poeng) Camilla vil kjøpe en kurv med epler. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom hvor mange kilogram epler hun fyller i kurven, og hva hun må betale for kurven med eplene. a) Hvor mye koster selve kurven, og hva er kiloprisen for eplene? Vi ser ut fra tabellen at prisen øker med 80 kroner fra 3 kilo til 7 kilo, dvs. 20 kr per kilo. Videre ser vi prisen øker med 60 kroner fra 7 kilo til 10 kilo, altså 20 kroner per kilo. Det betyr at 3 kilo epler koster 60 kroner. En kurv med 3 kilo epler koster 210 kroner. Det betyr at kurven koster 150 kroner. b) Bestem den lineære modellen som viser sammenhengen mellom antall kilogram epler og prisen for kurven med eplene. Fra oppgave a) har vi at kurven koster 150 kroner. Kiloprisen for eplene er 20 kroner. Lar x være antall kilo epler og Kx prisen for kurven med epler En lineær modell kan da skrives: K x 20x 150 Camilla betaler 320 kroner for kurven med eplene. c) Hvor mange kilogram epler har hun fylt i kurven? Vi velger å bruke modellen vi fant i b). Prisen for kurven Velger å løse likningen ved hjelp av CAS-verktøyet i GeoGebra. Kx er 320 kroner. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 7 av 16
Vi finner at Camilla har fylt kurven med 8,5 kilogram epler. Oppgave 2 (5 poeng) De gamle babylonerne brukte et plassverdisystem med 60 som grunntall. a) Skriv tallet i titallsystemet 2 1 0 260 3060 1160 23 600 1 800 11 9 011 Et pytagoreisk talltrippel er tre hele tall som oppfyller Pytagoras læresetning. 2 2 2 For eksempel er de tre tallene 3, 4 og 5 et pytagoreisk talltrippel, siden 3 4 5 b) Bestem a slik at a, 112 og 113 blir et pytagoreisk talltrippel, og skriv de tre tallene i det babylonske tallsystemet. Vi velger å løse likningen 2 2 2 a 112 113 i CAS-verktøyet i GeoGebra. Det er kun den positive løsning som er aktuell i dette tilfellet. Det betyr at tallene 15, 112 og 113 er et pytagoreisk talltrippel. Nedenfor er tallene skrevet i det babylonske tallsystemet: 15 = < I I I I I 112 = I < < < < < I I 113 = I < < < < < I I I Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 8 av 16
Oppgave 3 (6 poeng) Ovenfor ser du verdensstatistikken fra 2010 for øvelsen lengdehopp for menn. a) Lag et sektordiagram som viser hvordan de 20 utøverne fordeler seg mellom de ulike verdensdelene. Vi finner at det er 9 utøvere fra Europa, 3 utøvere fra Nord-Amerika, 2 utøvere fra Oceania, 4 utøvere fra Sør-Amerika og 2 fra Afrika. Vi legger inn antall utøvere fra de ulike verdensdelene i regnearket Excel. Velger Sett inn og sektordiagram i menyen øverst i regnearket. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 9 av 16
b) Finn gjennomsnittslengden og standardavviket for resultatene til de 20 utøverne. Vi velger å lage en liste med resultatene i GeoGebra. Gjennomsnittet finner vi ved å bruke kommandoen Gjennomsnitt[Liste med data] Vi finner at gjennomsnittslengden er 8,28 meter Standardavviket finner vi ved å bruke kommandoen Standardavvik[Liste med rådata] Vi finner at standardavvik er 0,0825 meter Sondre har funnet resultatene for utøverne som står som nummer 21 40 på verdensstatistikken. Standardavviket for resultatene til disse 20 utøverne er tilnærmet lik 0,0258. c) Hva forteller dette om resultatene til utøverne som står som nummer 21 40, i forhold til resultatene til de 20 beste utøverne? Standardavviket er et mål for spredningen i datamaterialet. Vi ser at standardavviket er langt mindre for utøverne som står som nummer 21 40 sammenliknet med de første 20 utøverne på verdensstatistikken. Det betyr at det skiller mindre mellom resultatene til utøverne som står som nummer 21 40 enn de 20 første. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 10 av 16
Oppgave 4 (6 poeng) Tabellen ovenfor viser hvor mange landskamper Jan Åge Fjørtoft spilte, og hvor mange mål han skåret per år i perioden 1986 1996. a) Hvor mange mål skåret Fjørtoft i gjennomsnitt per kamp i denne perioden? Vi legger sammen antall mål Fjørtoft har skåret i denne perioden og dividerer det på antall kamper i perioden, se nedenfor. Gjennomsnitt antall mål per kamp blir: 2 3 3 2 5 1 4 20 0,28 12 4 10 9 6 4 9 11 11 4 71 I hvilket år skåret han flest mål per kamp? Vi studerer tabellen ovenfor og finner at han skåret flest mål per kamp i 1993. b) Tegn av tabellen nedenfor i besvarelsen din, og fyll inn tallene som mangler. Hva er den kumulative frekvensen for to mål per år, og hva forteller dette svaret? Antall mål per år Frekvens Kumulativ frekvens 0 4 4 1 1 5 2 2 7 3 2 9 4 1 10 5 1 11 Den kumulative frekvensen for to mål per år er 7. Det betyr at Fjørtoft i 7 av disse årene skåret 2 mål eller færre. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 11 av 16
Oppgave 5 (6 poeng) Tabellen ovenfor viser antall kilogram pølser som ble solgt i en butikk noen måneder i 2011. a) Framstill datamaterialet i tabellen ovenfor som punkter i et koordinatsystem der x -aksen viser måned og y -aksen viser antall kilogram pølser. (La x 1 svare til januar, x 2 til februar, x 3 til mars, osv.) Vi velger å bruke GeoGebra. Legger inn punktene i et koordinatsystem, se nedenfor. 3 2 b) Bruk regresjon til å bestemme en modell på formen f x ax bx cx d som kan brukes for å beskrive antall kilogram pølser som ble solgt per måned i løpet av dette året. Tegn grafen til f i samme koordinatsystem som du brukte i a). Vi bruker kommandoen RegPoly[Liste med punkt, Polynomgrad] i GeoGebra, se graf i a). f x 1,00x 10,41x 20,91x 14,65 Polynomregresjon av 3. grad gir 3 2 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 12 av 16
Butikken regner med at pølsesalget vil være 20 % høyere hver måned i 2012 sammenliknet med tilsvarende måned i 2011. c) I hvilke måneder i 2012 vil butikken da selge mer enn 300 kg pølser per måned dersom vi tar utgangspunkt i modellen i b)? Vi tegner grafen til 1,2 f x, se stiplet graf i oppgave a). Tegner så grafen til linjen y 300 og finner skjæringspunktene mellom disse grafene ved å bruke kommandoen Skjæring mellom to objekt i GeoGebra. Leser av grafen at butikken vil selge mer enn 300 kg pølser fra slutten av april til begynnelsen av oktober, se oppgave a) Oppgave 6 (4 poeng) Guri setter et pengebeløp i banken. Grafen ovenfor viser hvordan beløpet vokser de 15 første årene. Vi antar at renten er den samme hvert år. a) Sett opp et matematisk uttrykk som kan være en modell for hvor mye penger Guri har i banken etter x år. Vi ser at grafen begynner på 10 000. Det betyr at beløpet Guri setter i banken er 10 000 kroner. Rentefoten er den samme hvert år. Det betyr at vi har eksponentiell vekst. Legger inn utvalgte verdier for de første 15 årene i en liste i GeoGebra og bruker kommandoen RegEksp[Liste med punkt] for å finne et matematisk uttrykk. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 13 av 16
Vi finner at fx 10000 1,05 x er en god modell for hvor mye penger Guri har i banken etter x år. Vi kan lese ut av funksjonsuttrykket at rentefoten er 5 %. b) Hvor mye penger vil Guri ha i banken etter 20 år ifølge modellen du satte opp i a)? Når vil beløpet hun har i banken, passere 50 000 kroner ifølge modellen? Vi finner hvor mye penger Guri har i banken ved å bruke modellen vi fant i a). 20 f 20 10 000 1,05 25 533. Guri vil etter denne modellen ha 25 533 kroner i banken etter 20 år. Vi kunne også valgt å løse dette grafisk ved å legge inn en linje x 20 i samme koordinatsystem som grafen til f. Skjæringspunktet mellom disse to grafene ville da gitt oss beløpet etter 20 år. Vi finner når beløpet har passert 50 000 kroner ved å tegne linja y 50000 i samme koordinatsystem som grafen til f. Bruker kommandoen skjæring mellom to objekt og finner at det tar 33 år før beløpet passerer 50 000 kroner. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 14 av 16
Oppgave 7 (6 poeng) Ovenfor ser du en pyramide av hermetikkbokser. Det antallet bokser vi trenger for å bygge pyramider på denne måten, kaller vi pyramidetall. Det første pyramidetallet er P er P 2 5 1 1. Da er det én boks i pyramiden. Det neste pyramidetallet. Da har pyramiden fire bokser i det nederste laget og én på toppen. 2 2 2 a) Forklar at pyramidetall nummer n er gitt ved summen 12 3 n og bruk dette til å finne de tre pyramidetallene, P3, P4 og P 5. For hvert nytt lag får vi et nytt kvadrat som øker med 1 boks i lengde og bredde. P P 3 4 5 2 2 1 2 3 1 4 9 14 2 14 4 14 16 30 P 2 30 5 30 25 55 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 15 av 16
I en lærebok står det en formel for pyramidetall. Ifølge denne formelen er pyramidetall nummer n gitt ved n n P n 12n 1 b) Vis at formelen i læreboka er riktig for P 6. Vi setter n 6 inn i begge formlene. 2 P6 55 6 55 36 91 6 6 6 1 26 1 6713 P6 91 6 6 Vi ser at formlene fra læreboka i hvert fall stemmer for n 6. Bjarni har 1000 bokser. Han vil lage en pyramide. c) Hvor mange bokser må han begynne med i det nederste laget dersom han skal bruke så mange som mulig av boksene i pyramiden? Hvor mange bokser har han til overs når han er ferdig med pyramiden? Vi velger å sette opp likningen P n 1000. Løser likningen ved hjelp av CAS-verktøyet i GeoGebra. Vi ser av løsningen at det største heltallet er 13. Det betyr at Bjarni kan ha 13 bokser i det nederste laget. Det største antall bokser han kan ha i nederst rad er 2 13 169 Vi finner hvor mange bokser Bjarni bruker i alt når han har 169 bokser i det nederste laget. P 13 13 13 1 2 13 1 6 819 Antall bokser Bjarni har til overs blir 1000 819 181 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Høsten 2012 Side 16 av 16