Forelesning 0 MA000, Tirsdag 8/9-0 Asymptoter og skissering av grafer Bittinger:.-. Asymptoter Definisjon. La f være en funksjon. Vi sier at linjen l() = a + b er en skrå asymptote for f dersom minst ett av følgende utsagn er sant: [ f () l()] = 0 [ f () l()] = 0 Vi merker oss et spesialtilfelle med en gang: dersom a = 0, så er l() = b, og denne linjen er en asymptote hvis ett av følgende utsagn er sant: f () = b f () = b En slik asymptote kalles (ikke overraskende) en horisontal asymptote. Vi sier at linjen = c er en vertikal asymptote for f dersom minst ett av følgende utsagn er sant: f () = c f () = c f () = c + f () = c + Skrå og horisontale asymptoter sier altså noe om oppførselen til f langt unna origo - grafen nærmer seg altså en rett linje. Vertikale asymptoter er på en måte et grensetilfelle som fremkommer ved at vi lar a. Vi skal studere asymptoter først og fremst for rasjonale funksjoner, så la oss repetere kort hva disse er. En rasjonal funksjon f er en funksjon på formen f () = p() q() der p og q er polynomer, og q er ikke identisk lik 0 (altså q er ikke konstant lik 0). Som kjent er D f = { q() = 0} hvis ikke annet er oppgitt. Husk også at
dersom p() = a n n + a n n +... + a 0 med a n = 0, sier vi at polynomet p har grad n, og skriver deg(p) = n. La oss ta noen eksempler. Vi begynner med å se på vertikale asymptoter, som for rasjonale funksjoner p()/q() bare kan opptre i punkter der q() = 0. Eksempel. La f () = + siden + = 0 for =, så kan det se ut som om funksjonen har en vertikal asymptote i =. Dette viser seg imidlertid ikke å stemme, siden f () = + = ( + )( ) + slik at dersom =, så er f () =. Dermed er + = ( ) = og grensen eksisterer altså. Så grafen er en rett linje med ett punkt, altså (, ), fjernet (siden / D f ) slik som vist på figur. y Figur : Grafen til f () = ( )/( + ) (fra eksempel )
Dette tilsier at vi bør være litt forsiktige med å konkludere at en rasjonal funksjon p()/q() har en vertikal asymptote i punkter c der q(c) = 0. Problemet er at også p(c) kan være 0, og da vil teller og nevner i brøken ha felles faktorer av grad, slik vi så i eksempel over. For en rasjonal funksjon er dette faktisk det eneste som kan gå galt, så vi kan skrive ned følgende teorem: Teorem. Anta at f () = p() q() er en rasjonal funksjon, og at p(a) = 0 og q(a) = 0. Da har f en vertikal asymptote i = a. Resultatet over kan omformuleres litt: for polynomer er det slik at dersom p(a) = 0 så er ( a) en faktor i p(), altså p() = ( a)r() for et polynom r(). Vi sier at en rasjonal funksjon f () = p()/q() er redusert hvis p og q ikke har noen felles faktorer av grad. Dersom f () = p()/q() er redusert, så er = a en vertikal asymptote for f hvis q(a) = 0. Merknad. Merk at dette er spesielt for rasjonale funksjoner. Dersom h() = f () g() for to vilkårlige kontinuerlige funksjoner f og g (som ikke er polynomer), kan vi ikke automatisk konkludere at minst ett av følgende utsagn er oppfylt h() = a + h() = a + h() = a h() =, a dersom f (a) = 0 og g(a) = 0. Funksjonen g() der g() = { sin(/) hvis = 0 0 hvis = 0 () er et eksempel på dette. Funksjonen g er kontinuerlig i 0, men krysser -aksen uendelig ofte i nærheten av 0 (se figur). Tallverdien (absoluttverdien) til funksjonen /g() blir svært stor når nærmer seg 0, men fortegnet til /g() er aldri konstant uansett hvor nært = 0 vi kommer. Dermed går ikke /g() mot verken + eller når 0 (uansett hvilken side av = 0 vi nærmer oss fra). Slik oppførsel er imidlertid utelukket for rasjonale funksjoner, siden polynomer kun har et endelig antall røtter.
y Figur : Funksjonen g() definert i () over. Et eksempel på en funksjon som faktisk har vertikale asymptoter, er f () = + = + ( )( + ) Mer presist, f har vertikale asymptoter i = og = (vi ser at f er redusert). Grafen er tegnet på figur. Vi kan også merke oss i forbifarten at grafen til en kontinuerlig funksjon aldri kan krysse en vertikal asymptote. La oss fortsette med samme funksjon, altså f () = + og se på horisontale asymptoter. Da er vi nødt til å bestemme f () eller f (), noe vi kan gjøre ved å dividere med over og under brøkstreken f () = + / + / = / og dermed blir + = / + / / = 0 = 0 4
y Figur : Grafen til f () = ( + )/( ) Vi har brukt at = = 0. (Tilsvarende blir f () = 0.) Dermed er linjen y = 0 en horisontal asymptote for funksjonen f. Et annet eksempel er g() = + Igjen kan vi dividere med over og under brøkstreken, som gir at + = + / / = = så y = er en horisontal asymptote for g (vi har igjen også at g() = 0). Generelt ser vi at dersom deg(p) deg(q), så har f () = p()/q() en horisontal asymptote. Vi kan vise dette ved hjelp av samme triks som vi har brukt over, nemlig å dividere over og under brøkstreken med den høyeste potensen av som inngår i nevneren q(). Dersom deg(p) = deg(q) får vi a n n + a n n +... + a 0 b n n + b n n +... + b 0 a n + a = n / +... + a 0 / n b n + b n / +... + b 0 / n = a n b n 5
som per definisjon er = 0. Hvis derimot deg(p) < deg(q) får vi a n n + a n n +... + a 0 b m m + b m m +... + b 0 a n / = m n + a n / m n +... + a 0 / m b m + b m / +... + b 0 / m = 0 = 0 b m Skrå asymptoter y = a + b for a = 0 opptrer dersom deg(p) = deg(q) +. La oss se på noen eksempler på slike også. La Ved bruk av polynomdivisjon ser vi at f () = + (/) + f () = + (/) + = + + + / og siden + / = 0 så er y = + / en skrå asymptote for f. Vi har tegnet grafen på figur 4. Vi y 5 4 () 4 5 Figur 4: Funksjonen f definert i () og dens skrå asymptote y = + /. kan gjøre tilsvarende utregninger for vilkårlige polynomer p og q der deg(p) = deg q +. For alle polynomer p og q kan vi skrive p() = h()q() + r() (r() kan finnes ved polynomdivisjon) slik at f () = p() q() = h()q() + r() q() 6 = h() + r() q()
og dersom deg(p) = deg(q) + så er deg(h) =, altså h = a + b. Skissering av grafer Vi har tidligere sett at fortegnet til f bestemmer hvorvidt f er voksende eller avtagende, og at punkter der f () = 0 (kritiske punkter) eller f () ikke eksisterer er gode kandidater for lokale ekstrempunkter. Dersom vi ønsker å skissere en graf, er dette nyttig informasjon (naturligvis kombinert med funksjonsverdiene i disse punktene). Videre er det nyttig å regne ut f og se på hvordan fortegnet varierer - dette bestemmer nemlig grafens konkavitet. Grafen til en funksjon f sies å være konkav oppover på et intervall I dersom f er voksende på I, og konkav nedover på I dersom f er avtagende på I. Det følger fra et tidligere teorem at Teorem. Dersom f () > 0 på et intervall I, så er grafen til f konkav oppover på I, og dersom f () < 0 på I, så er grafen til f konkav nedover på I. Noen eksempler er vist på figur 5 og 6. y Figur 5: Funksjoner med grafer som er konkave oppover. Definisjon. Et vendepunkt for en funksjon f er et punkt der grafens konkavitet skifter, altså går fra å være konkav opp til konkav ned eller omvendt. Teorem. Dersom 0 er et vendepunkt for f, så er enten f ( 0 ) = 0 eller så eksisterer ikke f (). 7
y Figur 6: Funksjoner med grafer som er konkave nedover. Dersom vi kombinerer denne informasjonen (konkavitet og vendepunkter) med asymptoter, monotoniegenskaper og lokale ekstrempunkter, har vi en strategi for å lage en skisse av grafen til en funksjon. I tillegg vil det være nyttig å se hvor grafen skjærer og y-aksen, og også eksplisitt bestemme noen punkter på kurven som veiledning. Se listen på side 4 i læreboka, der en slik strategi er skrevet ned eksplisitt. Vi tar et eksempel. Eksempel. Skissér grafen til funksjonen f () = + Løsning: Funksjonen er definert for alle = 0. Vi begynner med funksjonens asymptoter: siden 0 + = = 0, så er = 0 en vertikal asymptote. Videre er f () = + = + = + og dermed er y = en skrå asymptote. Vi kan også merke oss at for < 0, så er / < 0, og dermed er f () < 0, så grafen ligger under den skrå asymptoten for < 0 og over den skrå asymptoten for > 0. Videre har vi f () = f () = 8
Vi har altså kritiske punkter der = /, eller = altså = ± ( f () er ikke definert i = 0, men 0 er ikke i definisjonsmengden til f ). Siden f ( ) = /( ) = < 0 og f () = / = > 0, har vi at er et lokalt maksimum for f og at er et lokalt minimum for f. Vi merker oss at f ( ) = = og at f () = + / =. Siden f () < 0 for < 0 og f () > 0 for > 0 er grafen konkav nedover på (, 0) og konkav oppover på (0, ). Grafen er tegnet på figur 7. y Figur 7: Grafen til funksjonen + / fra eksempel. 9