S1 eksamen våren 016 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Løs likningene a) x x 0 4 1 x 1 9 8 x 1 x x 1 x b) lg(4x ) lg7 10 10 lg(4 x) lg7 4x 7 4x 7 4x 4 x 1 Oppgave (4 poeng) Skriv uttrykkene så enkelt som mulig a) x x x 1x 1 4x 1x 9 ( x 4x 4) x 1 4x 1x 9 x 1x 1 x 1 x 4 Eksamen REA06 Matematikk S1 Våren 016 Side 1 av 18
b) ab ab ab ( 6) ( ) 8 5 a b a b ab Oppgave ( poeng) Et rektangel med sider x og y har areal 6 og omkrets 11. a) Sett opp et likningssystem som svarer til opplysningene ovenfor. Areal: xy 6 Omkrets: xy 11 b) Bestem lengden av sidene i rektangelet ved å løse likningssystemet. xy 6 6 x y 6 y 11 y 1 y 11 y y 1 y 11y y 11y1 0 11 11 4 1 y 11 5 y 4 y y 4 6 6 6 6 x 4 x y y 4 Den ene siden i rektangelet må være 4 og den andre siden må være. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side av 18
Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten 5x x 0 Vi finner først nullpunktene. x 5 x 0 x 0 5 x 0 x 0 x 5 Faktoriseringsformelen gir 5x x xx 5 Vi bruker fortegnsskjema og finner når xx 5 0 0 0 Vi finner at 5x x 0 for x 0,5 Oppgave 5 (4 poeng) a) Skriv opp de 7 første radene i Pascals talltrekant. Bestem 7 4. 1 1 1 1 1 1 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 0 15 6 1 1 7 1 5 5 1 7 1 Bruker talltrekanten til å bestemme 7 5 4 resultat markert med oransje.) (Markert med lyseblå, 7 trinn ned, fire trinn inn, Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side av 18
b) Beskriv en praktisk situasjon der du får bruk for 7 4. I praksis snakker vi om hvor mange kombinasjoner av fire elementer du kan sette sammen ut fra syv elementer til sammen. Et eksempel kan være å sette opp et lag på 4 spillere på et sandvolleyballag, og det er 7 spillere å velge mellom. Det er da 5 ulike lagkombinasjoner som kan settes opp. Oppgave 6 ( poeng) En type pinkode består av fire siffer. Det er ikke lov å la koden begynne med 0. a) Hvor mange slike pinkoder finnes det? Dette er et ordnet utvalg med tilbakelegging. Du har 9 valgmuligheter for første siffer, og 10 valgmuligheter for de neste sifrene. 91010 10 9000 ulike kombinasjoner b) Hvor mange pinkoder finnes det om som ikke bruker samme siffer flere ganger? Dette er et ordnet utvalg uten tilbakelegging. Du har 9 valgmuligheter for første siffer, 9 valgmuligheter for andre siffer, 8 valgmuligheter for det tredje sifferet og 7 valgmuligheter for det siste sifferet. 9987 8156 456 ulike kombinasjoner. Oppgave 7 (4 poeng) Funksjonen g er gitt ved g x ax b x c Følgende opplysninger er gitt om grafen til g Den har vertikal asymptote x 1. Den skjærer x-aksen i x. Den skjærer y-aksen i y 4. a) Bestem funksjonsuttrykket til g. Bruker opplysningene til å sette opp noen likninger. Grafen av funksjonen har vertikal asymptote når nevneren er lik null x c 0 når x 1 1 c 0 c 1 Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 4 av 18
Skjæringen med y-aksen gir g 0 4 a0 b 4 0 c b 4 1 b 4 Skjæringen med x-aksen gir g() 0 a b 0 c ab0 b 4 a Funksjonsuttrykket blir g x x 4 x 1 b) Tegn grafen til g med asymptoter i et koordinatsystem. Markerer kjente punkter (A og B), og finner horisontal asymptote x 4 x 4 0 lim g x lim lim x x x x x 1 x x 1 1 0 x x Linjen x er horisontal asymptote. Regner ut punktene bruke symmetri for å finne C og D.,,8 og 4, 4 4,4 C g D g. Vi kan også Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 5 av 18
Oppgave 8 (6 poeng) En bedrift produserer en vare. De regner med at kostnadene K ved å produsere x enheter av varen per dag er K x 0,1x 0x 1000, 0 x 00 a) Bestem den gjennomsnittlige vekstfarten til K i intervallet 0, 100 Gjennomsnittlig vekstfart til K i intervallet er K 0,1 100 0100 1000 1000 K 100 0 1000 000 40 100 0 100 100 b) Bestem K 100. Hva forteller dette svaret oss? Kx 0,1x 0 0,x 0 K100 0, 100 0 50 Svaret sier at stigningstallet til tangenten til grafen når x 100 er 50, som betyr at når bedriften produserer 100 enheter, koster det 50 kr å produsere én ekstra enhet (antar at det er kroner, selv om det ikke står i oppgaven). Bedriften selger varen for 60 kroner per enhet til en butikk som kjøper alt bedriften klarer å produsere. c) Hvor mange enheter må bedriften produsere per dag for å få størst mulig overskudd? Vi finner overskuddsfunksjonen ved å trekke kostnadene fra inntektene O x I x K x O x 60x 0,1x 0x 1000 0,1 x 0x 1000 O x har sin maksimale verdi i definisjonsområdet. Størst mulig overskudd oppnås når Overskuddsfunksjonen er en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd, og vi kan derfor finne et toppunkt der den deriverte er lik null. O x 0,1 x 0 0,x 0 x Setter O 0 0,x 0 0 0,x 0 x 150 Bedriften kan forvente størst overskudd ved en produksjon av 150 enheter. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 6 av 18
Oppgave 9 (6 poeng) Funksjonen f er gitt ved f x x x, 1 x 5 a) Bestem nullpunktene til f. f x 0 x x 0 x x 9 0 9 x 0 x b) Bestem eventuelle topp- og bunnpunkt på grafen til f. Setter f x 0 f x x x x 6x x 6x 0 x x 0 x 0 x Faktoriseringsformelen gir fx x x Vi bruker fortegnsskjema for å se når funksjonen stiger og synker. Vi tar stikkprøver for x- verdier mindre enn 0, x-verdier mellom 0 og og x-verdier større enn. 0 0 Bunnpunkt: Toppunkt: 0, f 0 0,0, f,,9 c) Lag en skisse av grafen til f. Markerer nullpunkter, topp og bunnpunkt (A, B og C). Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 7 av 18
d) Bestem likningen for linjen som tangerer grafen til f i punktet 1, 1 Finner stigningstallet til tangenten f 1 1 61 4 9 7 Finner f 1 1 1 Bruker ettpunktsformelen y y a x x y 7 4 x 1 7 y 4x 4 5 y 4x 1 1 f. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 8 av 18
Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (5 poeng) Fire personer deltar i et terningspill. Hver deltaker kaster en terning tre ganger i første runde. Sannsynligheten for at en bestemt deltaker får minst én sekser i løpet av de tre kastene, er p. a) Vis at p 0,41 Vi har en binomisk sannsynlighet med to mulige utfall, enten sekser eller ikke sekser. Sannsynligheten for hvert kast er den samme er P sekser 1. Alle delforsøk er 6 uavhengige. Sannsynligheten for at en deltaker får minst én sekser er 5 p 1 P (ikke sekser) 1 6 Regner i CAS GeoGebra b) Bestem sannsynligheten for at bare de to første deltakerne får minst én sekser i løpet av første runde. Sannsynlighet for at de to første deltakerne får minst én sekser og de to siste deltakerne ikke får minst én sekser er P føste får sekser p (1 p ) Regner i CAS GeoGebra Sannsynligheten er ca. 0,059 = 5,9 %. c) Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av deltakerne får minst én sekser i løpet av første runde. Vi bruker sannsynlighetskalkulatoren for binomisk fordeling i GeoGebra med n 4 forsøk. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 9 av 18
Sannsynligheten for at nøyaktig to deltakere får minst én sekser i løpet av første runde, er ca. 5,7 %. Oppgave (6 poeng) Tabellen nedenfor viser produksjonen av norsk oppdrettslaks i noen år fra 1997 til 01. Årstall 1997 001 005 009 01 Produsert laks, i tonn (t) 5 000 45 000 585 000 86 000 1 170 000 a) La x være antall år etter 1997. Framstill tallene i tabellen ovenfor i et koordinatsystem. Bestem en eksponentiell modell som passer bra med tallene i tabellen. Hvor mange prosent vokser produksjonen per år? La verdiene inn i regneark i GeoGebra, og velger regresjonsanalyse med eksponentiell modell. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 10 av 18
Regresjonen gir modellen 1,08 1100% 8,% f x 755 1,08 x som gir en årlig vekst på I resten av oppgaven vil vi bruke modellen fx b) Når vil produksjonen passere 000 000 t? Definerer funksjonen i GeoGebra, og løser likningen 4000 1,08 x Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 11 av 18
Produksjonen vil passere 000 000 tonn,8 år etter 1997, det vil si helt på slutten av 019. c) Når vil produksjonsveksten for første gang være større enn 100 000 t per år? Deriverer funksjonen i GeoGebra, og løser likningen Produksjonsveksten vil først være større enn 100 000 t per år etter omtrent 17 år, det vil si i årsskiftet 01/014. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 1 av 18
Oppgave (7 poeng) En fiskebutikk lager fiskekaker av typene A og B. Tabellen nedenfor viser mengden av torsk og sei per kilogram fiskekaker for hver av de to typene. Type Torsk Sei A 0,6 kg 0, kg B 0,4 kg 0,4 kg En uke har butikken tilgang til 00 kg torsk og 00 kg sei. De vet fra tidligere erfaringer at de ikke får solgt mer enn 550 kg fiskekaker. La x være antall kilogram de produserer av type A, og y være antall kilogram de produserer av type B. a) Begrunn at ulikhetene nedenfor passer med opplysningene. x 0 y 0 xy 550 0,6x0,4 y 00 0,x0,4 y 00 Antall kg av type A og B må begge være større eller lik null. Summen av antall kg av A og B må være mindre enn eller lik 550 kg. Summen av antall kg torsk i type A og B må være mindre enn eller lik 00 kg. Summen av antall kg sei i type A og B må være mindre enn eller lik 00 kg. b) Skraver det området ulikhetene avgrenser, i et koordinatsystem. Vi tegner de lineære funksjonene i GeoGebra, og bruker kommandoen «Skjæring mellom to objekt» for å finne krysningspunktene. Så bruker vi kommandoen «Mangekant» til å Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 1 av 18
markere området som ulikhetene avgrenser. Ved innkjøp betaler butikken 55 kroner per kilogram for torsk og 5 kroner per kilogram for sei. Butikken har i tillegg faste kostnader på 5000 kroner per uke. Fiskekakene selges for 70 kroner per kilogram for type A og 61 kr per kilogram for type B. c) Butikken lager og selger x kg av type A og y kg av type B. Forklar at fortjenesten er gitt ved 0x5y 5000 Vi finner fortjenesten ved å trekke kostnadene fra inntektene. Vi bruker CAS i GeoGebra til å regne ut fortjenesten for type A og type B Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 14 av 18
Fortjenesten for x kg av type A er 0 kr pr kg og for y kg av typen B er fortjenesten 5 per kg, trekker vi fra fast utgift, blir fortjenesten 0x5y 5000 d) Hva er den største fortjenesten butikken kan få? Setter fortjenesten lik null og tegner funksjonen 0x 5y 5000 0 i GeoGebra. Forskyver linjen opp i det skraverte området og finner punktet C 400,150 hvor fortjenesten er størst. Regner ut fortjenesten i CAS Den største fortjenesten butikken kan få er 10750 kr per uke. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 15 av 18
Oppgave 4 (6 poeng) Salgsprisen P i kroner per kilogram for et bestemt fiskeslag er gitt ved P x 0,5x 10x 60, 0 x 8 Der x er antall tonn fisk som selges per uke. a) Forklar at den totale inntekten I fra fiskesalget en uke er gitt ved I x 1000 x P x Den totale inntekten er antall tonn som selges, x, multiplisert med salgsprisen i kroner per kg, P x, multiplisert med 1000 for å få salgsprisen per tonn. b) Bruk graftegner til å bestemme hvilken fiskemengde som gir størst inntekt. Hvor stor er inntekten da? Tegner grafen av funksjonen med kommandoen «Funksjon, Start, Slutt», og finner toppunktet A med kommandoen «Ekstremalpunkt». Størst inntekt oppnås ved salg av 4,56 tonn fisk, inntekten er da ca. 11 07 kr. Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 16 av 18
En annen modell F for prisen per kilogram er gitt ved F x 0,5x ax 60, 0 x 8 der a er et positivt tall. For en bestemt verdi av a blir inntektene størst når det selges t. c) Bruk CAS til å bestemme denne verdien av a. Finner funksjonen for inntekten på samme måte som i a). Deriverer funksjonen i CAS. Vi vet at det er størst inntekt når x, setter derfor den deriverte lik null i dette punktet for å finne a. Sjekker at grafen har toppunkt ved å se om x- verdier mindre enn gir positiv funksjonsverdi for den deriverte funksjonen, og x- verdier større enn gir negativ funksjonsverdi for den deriverte funksjonen. For å få størst inntekt når x, må a 49. 4 Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 17 av 18
Bildeliste Bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Eksamen REA06 Matematikk S1 våren 016 Side 18 av 18