S1 Eksamen våren 010, Løsning S1 Eksamen våren 010 Løsning Del 1 Oppgave 1 f x x x. a) Gitt polynomfunksjonen 3 1) Regn ut f 1 og f 1 3 f 1 1 1 1 f x 3x x f 1 3 1 1 4 ) Bruk 1) til å beskrive hvordan grafen til f ser ut i et lite område rundt punktet som har førstekoordinat x 1. Punktet har koordinater 1,1 og den momentane vekstfarten i punktet er 4. Det betyr at hvis vi tegner en tangent i punktet, vil den ha stigningstall 4. b) Skriv så enkelt som mulig: 1) a b a ba b a ab b a b a ab a a b ) a 3 a a b b 3 a a b 6 3 a b b a 4 lg ab lga lg b lg1 lga lg b 3) lga b lga 1 c) Løs likningene: 1) 3x 310 3000 3x 10 1000 x 1000 1000 x 1 1
S1 Eksamen våren 010, Løsning ) 1 lg x lg 6 x lg x lg1 lg x 6 3lg x 6 lg x x 10 100 d) Løs ulikheten x x 3 1 0 Vi vet at uttrykket 3x 1x er lik 0 når x 1 og når x. Det er bare for disse verdier av x at uttrykket skifter fortegn. Vi tar stikkprøve for x-verdi mindre enn 1, x-verdi mellom 1 og og for x-verdi større enn. Setter inn x og finner: 1 " " negativ t Setter inn 0 Setter inn 3 x og finner: 0 1 0 " " positivt x og finner: 3 1 3 " " negati vt Vi kan da sette opp fortegnslinja x verdier 1 x x 3 1 0 0 Vår oppave var å finne ut for hvilke verdier av x det stemte at x x 3 1 0. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen: 1 x Alternativ måte å skrive løsningen på er: x 1,.
S1 Eksamen våren 010, Løsning Oppgave Den deriverte til en funksjon f er gitt ved a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor. f x x x. x -1 0 1 3 f x 3 0-1 0 3 b) Tegn grafen til f og bruk grafen til f til å bestemme hvor grafen til f vokser, og hvor den avtar. Grafen vokser når den deriverte er positiv. x,0, Grafen avtar når den deriverte er negativ. x 0, Oppgave 3 Per og Kari leker med terninger, kuler og stavformete klosser. To ganger klarer de å balansere en skålvekt. Den første gangen ligger det to terninger og én kule i den ene skåla og åtte staver i den andre. Den andre gangen ligger det én terning i den ene skåla og én kule og én stav i den andre. Se figuren under. Figur 1 Figur La x være vekten til én terning, la y være vekten til én kule, og la z være vekten til én stav. a) Skriv opp en likning som passer til figur 1, og en likning som passer til figur. 3
S1 Eksamen våren 010, Løsning Figur 1: x y 8z Figur : x y z Den tredje gangen legger de én terning i den ene skåla og bare staver i den andre skåla. Se figur 3. b) Hvor mange staver må de nå legge i skåla for å balansere vekten? Vi bruker likningene fra a) til å finne x uttrykt ved z : Figur 1: x y 8z Figur : x y z y x z xx z 8z 3x 9z x 3z De må legge tre staver i skåla. Figur 3 Del Oppgave 4 En bedrift har utviklet en medisin til behandling av en sykdom. Bedriften anslår at 80 % av pasientene som bruker medisinen, blir friske. Vi bruker dette anslaget i utregningene nedenfor. 0 tilfeldig utvalgte pasienter får medisinen. a) Skriv opp en formel for sannsynligheten for at akkurat x av de 0 pasientene blir friske. x P( X x) 0,80 (1 0,80) x 0 0 x b) Finn sannsynligheten for at akkurat 15 av pasientene blir friske. PX ( 15) 0,80 (1 0,80) 0,175 15 15 0 15 0 Utregning med digitalt hjelpemiddel c) Finn sannsynligheten for at minst 15 av pasientene blir friske. 0 0 x 0x P( X x) 0,80 (1 0,80) 0,804 x15 x15 Utregning med digitalt hjelpemiddel 0 x 4
S1 Eksamen våren 010, Løsning d) Bestem x slik at sannsynligheten for at minst x pasienter blir friske er større enn 0,9. Vi må løse ulikheten være mindre enn 15. 0 nx n 0,80 (1 0,80) 0,90. Ut fra svaret i c) vet vi at antallet må n 0 0n Vi bruker digitalt hjelpemiddel og prøver med x 14. Sannsynligheten for at minst 14 pasienter blir friske er større enn 0,90. Oppgave 5 Kostnaden K og inntekten I ved produksjon og salg av x enheter av en vare er gitt ved K x 0,x 00x I x 0,3x 400x Vi antar at produksjonen er mindre enn 500 enheter. Både kostnaden og inntekten oppgis i kroner. a) Finn kostnaden og inntekten når bedriften produserer og selger 300 enheter. Hvor stort blir overskuddet? K 300 0,300 00300 78000 I 300 0,3300 400300 93000 Overskuddet er 93000 78000 15000 b) Bestem et uttrykk for overskuddsfunksjonen P. Løs likningen Px 0. P x I x K x P x 0,3x 400x 0,x 00x P x 0,5x 00x P x 0 0,5x 00x 0 0,5x x 400 0 x 0 x 400 c) Bruk derivasjon til å finne den produksjonen som gir størst overskudd. Hvor stort er det største overskuddet? 5
S1 Eksamen våren 010, Løsning x P x 0,5x 00x P x x 00 P 0 x 00 0 x 00 P 00 0,500 0000 0000 En produksjon på 00 enheter gir størst overskudd. Overskuddet er da 0 000 kroner. Oppgave 6 Nedenfor følger et sett med ulikheter: x 0 y x y16 4x a) Lag et koordinatsystem og skraver/fargelegg det området som er avgrenset av ulikhetene. x 0 faller sammen med y -aksen. Vi studerer følgende situasjon: Et laboratorium skal analysere vannprøver. Det har kapasitet til å utføre inntil 570 slike analyser. En uerfaren assistent og en erfaren tekniker deler på arbeidet. Assistenten analyserer 4 prøver per time, og teknikeren analyserer 6 prøver per time. Det kan brukes inntil 10 timer på analysene. Teknikeren kan ikke bruke mer enn 70 timer på analysen av disse vannprøvene. b) Bestem et sett med ulikheter som beskriver betingelsene i teksten over. Assistenten bruker x timer og teknikeren bruker y timer. De kan ikke bruke et negativt antall timer. Det gir ulikhetene 6
S1 Eksamen våren 010, Løsning x 0 og y 0. Laboratoriet har en kapasitet på 570 prøver. Det gir ulikheten 4x6y 570. Det skal brukes inntil 10 timer på analysene. Det gir ulikheten xy 10 Teknikeren skal ikke bruke mer enn 70 timer. Det gir ulikheten y 70 c) Lag et koordinatsystem og skraver/fargelegg det området som er avgrenset av ulikhetene i b). Assistenten lønnes med 100 kroner per time, og teknikeren lønnes med 175 kroner per time. De får i oppdrag å analysere 570 vannprøver. Ellers gjelder de samme betingelsene som i spørsmål b). d) Hvor mange timer må assistenten arbeide, og hvor mange timer må teknikeren arbeide for at de to til sammen skal tjene mest mulig? Legger inn nivålinjen 100x175 y 0 000. Den berører ikke det skraverte området. Vi trekker ei linje parallell med denne nivålinja som berører det merkede området i punktet 37,5, 70. Dette punktet representerer den timefordelingen de må ha for å tjene mest mulig. Assistenten må arbeide 37,5 timer og teknikeren 70 timer for at de skal tjene mest mulig. 7
S1 Eksamen våren 010, Løsning Oppgave 7 Alternativ 1 Ved en kjemisk reaksjon i en sur løsning endrer konsentrasjonen av et stoff seg med tida. Konsentrasjonen, målt i millimol per liter, etter t sekunder er gitt ved 0,0007 3,00 3,00 10 f t a) Tegn grafen til f når t 3600. t b) Bestem ved regning hvor lang tid det tar før konsentrasjonen er millimol per liter. f t 0,0007t 3,00 3,0010 0,0007t 3 10 3 1 log 3 t 0,0007 t 68 Det tar 68 sekunder før konsentrasjonen er millimol per liter. c) Bestem ved regning den gjennomsnittlige veksthastigheten de 10 første minuttene. 0,0007 600 0 1060 0 3,00 10 3,00 10 f f 0,003 1060 600 Den gjennomsnittlige veksthastigheten de første 10 minuttene er 0,003 millimol per liter per sekund d) Finn en tilnærmet verdi for den momentane veksthastigheten når t 600 t t f t 3,00 3,0010 0,0007t 0,0007t f 3,000,0007 10 ln10 f 0,001ln1010 f 600 0,001ln1010 f 600 0,00 0,0007t 0,0007600 Den momentane vekstfarten når t=600 er 0,00 millimol per liter/sekund 8
S1 Eksamen våren 010, Løsning e) Vi lar den sure løsningen stå i mange timer. Bruk modellen til å avgjøre hvilken konsentrasjon vi da kan vente oss. 0,0007 lim f t lim (3,00 3,00 10 ) 3,00 x x Vi kan vente oss at konsentrasjonen nærmer seg 3,00 millimol per liter. t Oppgave 7 Alternativ I deler av denne oppgaven er det en fordel å bruke digitalt verktøy. Prisindeks er et mål for pris. Tabellen viser hvordan prisindeksen for leiligheter i Stavanger varierte i perioden fra 1. kvartal 008 til. kvartal 009. Ett år deles inn i fire kvartaler som hvert er på tre måneder. Tidspunkt 1. kvartal 008. kvartal 008 3. kvartal 008 4. kvartal 008 1. kvartal 009. kvartal 009 x 0 1 3 4 5 Prisindeks 100 99, 96,5 89,7 93,3 97,9 Vi lar x være antall kvartaler etter 1. kvartal 008. a) Bruk digitalt verktøy og finn en 4. gradsfunksjon f som passer best mulig med dataene i tabellen. Bruker regresjon i GeoGebra og finner funksjonsuttrykket 4 3 f x 0,15x,04x 7,70x 5,98x 99,84 b) Tegn grafen til f i et koordinatsystem sammen med punktene som er gitt i tabellen. Bruk x - verdier fra 0 til 8 og y -verdier fra 80 til 10. Hvordan synes du funksjonen passer? Funksjonen passer ganske godt for de gitte punktene, men det ser ikke ut som den egner seg som en modell for fremtiden. 9
S1 Eksamen våren 010, Løsning c) Bruk derivasjon til å bestemme når prisen på leiligheter vil nå sitt høyeste nivå, ut fra funksjonen i a). Hvilken prisindeks gir funksjonen da? Vi deriverer funksjonen i GeoGebra og tegner grafen til den deriverte. Vi ser at funksjonen får toppunkt for x0,47 og for x 6,44. Avlesning på grafen til f viser at det er x 6,44 som gir den høyeste verdien(se under). Prisindeksen er da 105,0 d) 1) Vis at det også finnes en 3.gradsfunksjon g som gir en god tilnærming til dataene i tabellen over. Tredjegradsfunksjonen 3 g x 0,54x 3,10x 1,70x 100,10 er tegnet med rødt. ) Hvilke tall gir de to funksjonene f og g for prisindeksen på leiligheter i. kvartal 010?. kvartal 010 svarer til x 9 f(9) 30,6 g(9) 56,1 Fjerdegradsfunksjonen gir en prisindeks på 30,6 og tredjegradsfunksjonen en prisindeks på 56,1. 10