11 Nye geometriske figurer Det gylne snitt 1 a) Mål lengden og bredden på et bank- eller kredittkort. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Hvilket tall er forholdet nesten likt, og hva kaller vi dette forholdstallet? b) Mål lengden og bredden på et A4-ark. Regn ut forholdet mellom lengden og bredden. Er forholdstallet likt det gylne snitt? 2 Tegn en rett linje AB som skal være 15 cm. Merk av et punkt P, som deler linjen i det gylne snitt. Hvor langt er linjestykket AP? Vis at vi kan få to løsninger. 3 Tegn et linjestykke PQ som er 9,2 cm langt. Et punkt R ligger på linjen 5,7 cm fra P. Regn PR PQ ut forholdene og. Hvilket tall er forholdstallene ganske nær? QR PR 4 a) Tegn en likebent trekant ABC der sidene AC = BC = 8 cm. A = 38,2. Finn høyden h i trekanten. h BC b) Regn ut forholdet og forholdet med to desimaler. AC h c) Kommenter resultatene. 5 Konstruer en rettvinklet trekant ABC der A = 90, siden AB = 6 cm og siden AC = 3 cm. a) Regn ut lengden av hypotenusen BC. Avsett et punkt D på hypotenusen, 3 cm fra C. Slå en bue med lengden BD som har sentrum i B, på kateten AB og kall det nye punktet E. EB AB b) Regn ut forholdene og. AE EB c) Hva kan vi si om punktet E? 6 a) Bruk opplysningene som du fant i oppgave 5, og konstruer et gyllent rektangel. b) Hva blir arealet av dette rektanglet? Finnes det mer enn én løsning? 7 Linjestykket CD kan deles i to. Den lengste delen CE er 7 cm lang. Hvor langt er linjestykket CD hvis E høydeler CD (det gylne snitt)?
8 a) I et gyllent rektangel er den korteste siden 6,2 cm lang. Hvor lang er den lengste siden? b) I et annet gyllent rektangel er den lengste siden 4,1 cm lengre enn den korteste siden. Finn lengden av sidene i rektanglet. 9 Tegn et rektangel der den lengste siden er 5 5 cm lang og den korteste er 5 cm lang. Plasser et kvadrat sentralt i rektanglet slik at vi får to rektangler på hver side av kvadratet. a) Regn ut forholdet mellom den lengste og den korteste siden i de to rektanglene. b) Hva finner du ut? 10 Konstruer et kvadrat ABCD der sidene er 5 cm lange. Halver siden AB og trekk en linje fra halveringspunktet til C. Bruk dette til å konstruere et gyllent rektangel. AP AB 11 Punktet P skal høydele et linjestykke AB slik at forholdet er lik forholdet. Sett PB AP linjestykket AB lik 1 og linjestykket AP lik x. Vi kaller forholdstallet for φ (det gylne snitt). a) Vis at vi får sammenhengen φ 2 = φ +1 b) Kontroller svaret ved å sette φ = 1,618. 5 + 1 12 Den eksakte formelen for det gylne snitt er φ = 1,62. Det betyr at den lengste 2 siden i et rektangel er 1,62 ganger (62 %) større enn den korteste siden. Finn hvor stor den korteste siden er i forhold til den lengste siden i prosent. 13 Finn figurer som har et gyllent snitt-forhold på skolen, hjemme eller andre steder. Sjekk spesielt malerier eller andre ting som er nær knyttet til kunst. Regulære mangekanter 14 Konstruer vinklene 45, 60, 75, 105, 120, 135, 150, 67,5, 22,5 og 37,5. 15 a) Hva mener vi med en regulær mangekant? b) Hva er vinkelsummen i en trekant? Hva er den i en firkant? Femkant? Sekskant? Åttekant? Tikant? 20-kant? n-kant? c) Hva er henholdsvis trigon, tetragon, pentagon, heksagon, oktagon, decagon og icosagon?
16 a) Hva er en likesidet trekant? Kan du si noe om vinklene i en slik trekant? b) Hva er en likebent trekant? Hva kan vi si om vinklene i en slik trekant? 17 Tegn en likebent trekant ABC der sidene AC = BC = 6 cm. Vinkelen A er 72. a) Hvor store er vinklene B og C? Trekk høyden fra C ned på siden AB og kall punktet D. b) Regn ut sidene AD og AB. c) Regn ut forholdet mellom sidene AC og AB. Regn også ut forholdet mellom sidene AB og BC. d) Hva kan du konkludere med? 18 a) Konstruer en regulær trekant med sidene 5 cm. b) Konstruer en regulær firkant med sidene 5 cm. 19 a) Konstruer en regulær sekskant (heksagon) med sidene 5 cm innskrevet i en sirkel. b) Vis hvordan du kan lage en tolvkant (dodecagon) av sekskanten i oppgave a). c) Hvor lange blir sidene i denne tolvkanten? 20 a) Konstruer en likebent trekant ABS der siden AB er 4 cm og vinklene A og B er 75. b) Hva er vinkelsummen i en regulær tolvkant? Sett passerspissen i S og slå en sirkel som går gjennom A og B. c) Tegn tolvkanten innskrevet i denne sirkelen. 21 a) Hva er vinkelsummen i en regulær femkant (pentagon)? Hva er den i en regulær tikant (decagon)? b) Hvorfor er det en fordel å konstruere en regulær tikant før vi konstruerer en regulær femkant? c) Hvor stor blir radien hvis vi innskriver en regulær femkant med sidene 6 cm i en sirkel? Tegn en sirkel med radius 5,1 cm. Mål 6 cm mellom passerbena og avsett punkter på sirkelbuen. Trekk linjer mellom punktene. d) Hvilken figur får du?
22 a) Konstruer en regulær åttekant (oktagon) med sidene 5 cm. (Tegn først en trekant og deretter en sirkel med sentrum i toppunktet på trekanten som går gjennom de to andre hjørnene). Tegn linjer gjennom annethvert punkt på sirkelbuen i oppgave a). b) Hvilken figur får vi? Regn ut sidene på denne figuren. Flislegging 23 Lag mange regulære trekanter, firkanter, femkanter, sekskanter, osv. Bruk mangekantene til å flislegge en flate. Mange forskjellige mønstre kan dukke opp. Hva er imidlertid betingelsen for at flisleggingen kan gjennomføres med regulære mangekanter? ORIENTERINGSSTOFF Hvis vi skal legge fliser, må summen av vinklene for de regulære mangekantene være 360 der flisene møtes. Vi har skrivemåter for hvordan vi kan identifisere flisleggingen rundt et punkt. Vi starter alltid med den figuren som har færrest sider. Vi kan gå i klokkeretningen eller mot urviseren. På figur b må vi telle de to trekantene som ligger ved siden av hverandre. Deretter teller vi suksessivt oppover etter antallet sider i mangekanten. Vi kan altså ikke kalle kombinasjonen 3.4.3.4.3 på figur b. 24 Lag fliser rundt et punkt etter disse kombinasjonene: 3.3.3.4.4, 3.4.6.4 og 3.6.3.6 25 Prøv å flislegge et plan med kombinasjonen 3.4.4.6.
Spiraler Polarkoordinater (orienteringsstoff) Vi angir beliggenheten til et punkt i et plan i forhold til et kartesisk koordinatsystem med fastlagt origo og fastlagte akser. Vi har også andre måter for å angi beliggenheten til et punkt i planet. En av disse måtene er å angi beliggenheten ved hjelp av en linje og en vinkel. På figur 1 har vi fastlagt et origo O (polen), en stråle Ox ut fra origo (polaraksen) og en linje med lengden r som danner en bestemt vinkel, θ, med polaraksen, Ox. Punktet P kan da angis ved lengden r og vinkelen θ. Legg merke til at retningen på vinkelen dreies mot urviserne. En hel omdreining er 360, to omdreininger 720 og tre omdreininger 1080 (dvs. at vinkelen i grader = k 360 der k er antallet omdreininger). NB! Når vi skal regne med polarkoordinater på lommeregneren, må vi innstille den på polarform. Det gjøres slik: Bruk «table»-menyen. Der står det som regel «Table Func: Y =». Trykk F3 (Type) og trykk F2 (r =). Da står det «Table Func: r =» på lommeregneren. Når en funksjon er slått inn, er det viktig å trykke på F5 (Range) og velge «Start: 0», «End: 1440» og «Pitch: 10». Deretter kan vi trykke på Exit. Hvis «End = 1440», betyr det at vi tegner med fire omdreininger på spiralen (4 360 ). Det er lurt å bruke verditabellen når vi skal bestemme verdien på x min, x max, y min og y max. Vi kan tenke oss at vi legger inn et «vanlig» (kartesisk) koordinatsystem på figur 1. Hvis θ = 90, faller r sammen med den «positive y-aksen». Når θ = 180, faller r sammen med den «negative x-aksen», og når θ = 270, faller r sammen med den «negative y-aksen». Når θ = 360, faller r sammen med den «positive x-aksen». Da har r gått én omdreining. Slik kan vi fortsette i flere omdreininger. Hvis linjen r er gitt som en funksjon av vinkelen θ (r = f(θ)), må det svare til en kurve i planet.
En lineær likning mellom r og θ, f.eks r = aθ a > 0 danner en kurve som kalles Arkimedes spiral. Kjennetegnet på slike spiraler er at når vinkelen øker med like mange grader, øker r (radius) med like mange enheter. Det betyr for eksempel at når θ øker fra 60 til 120 og fra 120 til 180, øker radien r med det samme tallet. På figur 3 har vi tegnet en slik spiral etter dette funksjonsuttrykket: θ r = 2 180 Verditabellen fra 0 til 1125 er satt opp. I begynnelsen av tabellen er intervallene på 45. Disse intervallene kan selvfølgelig gjøres mindre. Bruk gradskive! Legg merke til at når vinkelen for eksempel øker med 90, øker radien r med 1.
På figur 4 har vi tegnet en logaritmisk spiral. Denne typen spiral har er funksjonsuttrykk på denne formen: r = b aθ I vårt eksempel har vi brukt r = 2,5 1 θ 720 1 det vil si at a = 720 og b = 2,5. Her er det laget en verditabell med intervaller på 90 og med fire omløp. Det spesielle med denne spiralen er at en stråle fra O skjærer spiralen med samme vinkel. Derfor blir også spiralen kalt en equiangulær spiral (equi = lik, angle = vinkel). Hva får vi hvis vi tegner funksjonen r = 4? 1 26 Tegn spiralen r = θ. Velg θ-verdier fra 0 til 720. Velg 2 cm som enhet langs begge 360 aksene. 0,025θ 27 Tegn spiralen r = 1,2. Velg verdier fra 0 til 720. Bruk tabellmenyen til å velge passende enheter langs aksene. 28 Undersøk på Internett om det finnes andre typer spiraler.
Fraktaler 29 Gå inn på Internett og se på noen fraktaler. Fraktalene forener på en måte matematikk og kunst. Kanskje det kan motivere noen til å fortsette med matematikk? Med fraktalgeometri kan vi lage modeller som visualiserer mye av det vi ser i naturen. Fraktalene på Internett er laget av datamaskiner som er matet med matematiske formler. Nedenfor er det laget oppgaver som viser prinsippet bak en prosess som fører til en fraktal. Det kalles en iterativ prosess (iterativ = gjentakelse). 30 Tegn en likesidet trekant med sidene 18 cm. Del sidene deretter i tre like store deler og fjern den midterste delen. Tegn trekanter som vender innover i den store trekanten, med sider lik den delen som ble fjernet. Fortsett på den samme måten én gang til. (Hvis du ønsker å gjøre flere prosesser, bør du starte med større trekanter som har sider på 27 cm, 81 cm, osv). Etter uendelig antall prosesser får vi den fraktalen vi kaller anti snøfnuggskurve. Sammenlign med Kochs snøfnuggskurve på side 182 i læreboka. 31 a) Tegn et kvadrat med sidene 9 cm. Del sidene i tre like store deler og fjern den midterste delen. Tegn et nytt kvadrat over den delen som ble fjernet. Gjenta prosessen. Den fraktalen som vi får etter uendelig mange prosesser, kalles kvadratkurven. b) Tegn et kvadrat med en side på 9 cm. Del alle sidene i tre og fjern de midterste delene. Gjenta den samme prosessen med de nye kvadratene. Etter uendelig mange prosesser får vi fraktalen anti kvadratkurven. 32 Tegn et kvadrat med sidene 9 cm. Del kvadratet i ni like store deler og fjern det midterste kvadratet. Del de gjenstående kvadratene i ni like store deler og fjern det midterste kvadratet. Gjenta prosessen (det er lettere å tegne hvis du velger et kvadrat med en side på for eksempel 81 cm). Denne fraktalen kaller vi Sierpinski-teppet. Jamnfør med Sierpinskitrekanten på side 183 i læreboka.
33 Brett en papirstrimmel én gang slik at endene møtes. Sett papirstrimmelen på kant og sørg for at du får en vinkel på 90 ved folden. Da får du figur 1 nedenfor. Brett én gang til og du får figur 2. Legg merke til at figur 2 består av to kopier av figur 1. Når du bretter én gang til, får du figur 3. Figur 3 er to kopier av figur 2 som er satt sammen. Brett enda en gang og du får figur 4. Figur 4 er sammensatt av to kopier av figur 3. Tegn to kopier av figur 4 og sett dem sammen. Se om du får en figur som figur 5. Lag to kopier av figur 5. Får du en figur som likner på figur 6? På datamaskinen kan vi fortsette denne iterasjonen (gjentakelsen) i det uendelige. Da får vi en fraktal som kalles for Jurassic Park Fractal. Hvis du leser boka om Jurassic Park, finner du de iterasjonene som er omtalt ovenfor.