Vannbølger Sindre Alnæs, Øistein Søvik Institutt for fysikk, NTNU, N-7491 Trondheim, Norge 12. april 2013 Sammendrag I dette eksperimentet ble overatespenningen til vann fastslått til (34,3 ± 7,1) mn/m, dette var 52,8 % lavere enn forventet fra den teoretiske verdien, sannsynligvis grunnen er systematisk feil. Det ble og foretatt måling av fase- og gruppehastighet, der den målte gruppehastigheten hadde verdi (46,2 ± 0,5) cm/s 2 som var 5,4 % høyere enn den teoretiske, dette skyldes antakeligis tilfeldige feil. 1 Innledning Forsøket var delt inn i to deler. Hensikten med første del var å gjøre seg kjent med begrepene frekvens, bølgelengde og fasehastighet til bølger. I siste del var hensikten å bli kjent med begrepene dispersjon og gruppehastighet, og hvordan disse kan måles og avledes fra dispersjonsrelasjonen. Gruppe- og fasehastighet for vannbølger i to ulike frekvensintervall skulle måles ved bruk av harmoniske bølger i et vannkar og bølgepakker i en bølgerenne. 2 Teori og metode 2.1 Harmoniske bølger i lite vannkar I dette delforsøket ble ulike bølgefenomener undersøkt ved hjelp av et vannkar og en stroboskopisk lyskilde. For en mer utfyllende teoridel se [1] Oppsettet for forsøket er vist i (gur 1). Først del av eksperimentet gikk ut på å bestemme bølgelengden λ til transversale bølger med en gitt frekvens. Ved hjelp av duppen kunne frekvensen i bølgene bestemmes. Når lyskilden belyste bølgene fungerte karet som en linse og laget dermed skygger av bølgene under karet, lyskilden blinket med samme frekvens som vannbølgene og dermed holdt de seg tilnærmet i ro slik at enn kunne måle λ se (gur 1). Når FY1002 Bølgefysikk, laboratoriekurs, Høsten 2012, Gruppe 12. 1
vinkelen θ er tilstrekkelig liten kan man si at λ a θ og λ bθ. Dermed vil λ kunne uttrykkes som: λ = a b λ, (1) hvor målingene ble tatt fra 10 Hz til 60 Hz med intervall på 5 Hz. Utrykket Lyskilde b a θ Dupp λ Vannoverflate (linse) λ Billedplan Figur 1: Strålegangen fra lyskilde til bildeplan. En dupp genererer vannbølger i vannkaret, sett fra siden. Lyskkilden blinker med samme freksens λ som bølgene. Avstanden mellom midtpunktet mellom to skygger er λ. Avstanden fra lyskilden til karet er gitt som a, og avstanden fra lyskilden til billedplanet er gitt som b. for λ ble videre brukt til å nne utrykket k = 2π/λ for bølgetallet. Deretter skulle fasehastigheten (c) til bølgen beregnes som funksjon av k. I [1] ble det utredet generelt for bølger at c = ω k = λf. (2) På vannoverata vil tyngdekraften G og overatespenningen σ hele tiden utøve en kraft på alle vannpartiklene for å opprettholde en likevektposisjon etter at de begynner å svinge. Vann er også en inkompressibel væske slik at vannpartiklene i en transversal bølge ikke bare vil gå vertikalt men også horisontalt. Vannpartiklene vil få en eliptisk bevegelse der hastigheten de dras tilbake vil påvirke frekvensen. Når man utleder bølgeligningen for ω med hensyn på k vil man da komme fram til et uttrykk kjent som dispersjonsrelasjonen: ω 2 = (g k + σρ ) k3 arctanh( 2kh), (3) 2
hvor ρ er vannets massetetthet, g er gravitasjonskonstanten og h er vannets dybde. Når 2kh blir større enn 1 ser man at det siste leddet blir nærme 1, noe en kan eksempelvis se fra rekkeutviklingen av arctanh(x) omkring uendelig, eller dens eksponensiallform. Man står da igjen med dispersjonsrelasjonen for dypvannsbølger ω 2 = g k + σ ρ k3. (4) Som oppfylles når 2kh 1. Videre antas det at alle bølger er dypvannsbølger, slik at kravet er oppfylt. Når (1) settes inn i (2) vil uttrykket for c bli: g c = k + σ k ρ. (5) Det neste steget var beregning av gruppehastigheten u. Fra [2, p. 318] er den oppgitt som: u = dω dk, (6) og settes ligning (4) inn i (6) ble gruppehastigheten følgelig u = g + 3σk2 /ρ 2 gk + σk 3 /ρ. (7) I fra forrige ligning ble σ, bestemt, denne skulle være konstant siden overatespenningen er en egenskap vannet har, ikke bølgene. Fra ligning (4) kunne overatespenningen σ uttrykkes som ( ω 2 σ = ρ k 3 g ) k 2. (8) 2.2 Bølgepakker i bølgerenna I dette delforsøket skal gruppehastigheten til bølgepakker studeres ved bruk av en bølgerenne. Oppsettet for dette forsøket er vist i (gur 2). Bølgerenna var delvis fylt med vann, som vist i (gur 2) og to sensorer er plassert i en avstand x fra hverandre og målte vannets ledningsevne. Denne endret seg følgelig med fasen til bølgen i forhold til sensorene. I den andre enden av renna lå det matter for å forsøke å dempe reeksjons bølgene så mye som mulig. I dette forsøket vil, for ikke å skape forvirring, fasehastigheten bli oppgitt som C g, den teoretiske verdien for bølgepakken u t og den målte verdien u r. Først skulle fasehastigheten C g bestemmes. Om det antas at den er konstant for en gitt bølge i vannet fås C g = x t. (9) 3
Dempende matter x Målestaver Bølgemaskin Figur 2: Oppsett for bølgerennen. Matter hindrer reeksjon av bølgene. genererert av bølgemaskinen. Bølgegene dannnes med en konstant frekvens basert på en variabel spenning og beveger seg gjennom rennen før bølgepakken passerer målestavene. Der t er tidsintervallet mellom målingene til de to sensorene. Matlab ble brukt til å logge dataene som registrertes. Bølgegeneratoren ble slått på og sendte ut en frekvens avhenge av spenningen. Det ble gjort målinger for tre ulike spenninger med tilhørende frekvenser f 1, f 2, f 3. Ut fra plottet som ble dannet kunne man lese av toppene for å nne t som så gjorde det mulig å bruke (9) til å nne C g. Før en bestemte u r ville det være logisk å regne ut den teoretiske verdien. Begge verdiene hadde spenning (5 V). Her er det viktig å merke seg at ligning (7) også gjelder for u t. Fra ligning (2) har man at λ g = x t 1, (10) f 2 hvor λ R er bølgelengden som skapes av spenningen 5 V. Setter man inn k = 2π/λ i ligning (7) kan gruppehastigheten uttrykkes ved u g = g + 3σ (2π/λ) 2 /ρ 2 2πg/λ + σ (2π/λ) 3 /ρ. (11) I neste punkt ble u g bli funnet. Bølgegeneratoren ble skrudd på i et kort tidsintervall med en spenning som ga frekvens f 2 før den ble slått av igjen slik at det en bølgepakke ble dannet med hastighet u r. Hastigheten ble lest av som u g = x, (12) t P hvor t P var tiden det tok bølgepakken å bevege seg mellom sensorene. For å klare å bestemme denne kan man studere grafen og ved å nne to symmetriske topper om toppunktet vil man værei stand til å se når midtpunktet passerte sensorene. 3 Resultat og diskusjon I forsøket ble verdiene for tyngdeakselerasjonen g og trykket ρ henholdsvis g = 9,82 m/s 2 og p = 1000 kg/m 3 fra [1] benyttet. Denne verdien for 4
g stemmer bedre på laboratorium [3] enn den standardiserte verdien g = 9,806 65 kg/s 2 [2, s.395]. Fra ligning (8) ble σ beregnet, mens den teoretiske verdien er gitt som σ = 72 mn/m [1]. Snittverdien er vist i (tabell 1). Tabell 1: Data for vannkaret. Størrelse Målt verdi Usikkerhet Enheter a 32,8 0,3 (cm) b 66,5 0,2 (cm) h 0,5 0,1 (cm) σ 43,995 0,059 (mn/m) Avviket mellom snittverdi og teoretisk verdi ble 47,5 %. Hovedgrunnen til dette kan være at vannkaret hadde stått over lengre tid med en begrenset mengde vann. Støv og andre partikler ville da ha lagt seg på vannet og ført til uregelmessigheter i vannaten, og dermed endret overatespenningen. I hvor stor grad dette påvirket måleresultatene er vanskelig å si. Dette vil føre til en systematisk målefeil i resultatene. De teoretiske og målte verdiene σ er gitt ved (gur 3). Hverken den teoretiske grafen, eller den målte samsvarer med 4.5 10 2 Overflatespenning - σ 4 Overflatespenning 3.5 3 2.5 2 1.5 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 Bølgetall - k Figur 3: Overatespenningen som en funksjon av bølgetallet.de stipledde linjene viser standardaviket. 5
hva som kunne forventes. Det kan forventes fra (5) at det første leddet skullel dominere når k er stor, mens det andre leddet dominere når k er liten. I så fall burde den teoretiske og den målte verdien vokse for lave k og øke for store k. Den korrigerte c oppfyller dette til en viss grad da den vokser noe for små k. Den teoretiske verdien gjør ikke det, grunnen til dette er usikker. Det kan ha noe å gjør med måleområdet, antall målepunkter eller matlab-koden. De teoretiske og målte verdiene ω 2 er gitt ved (gur 4). Målepunktene ga ikke et 2.5 3 105 Vinkelfrekvensen kvadrert som en funksjon av bølgetallet Målt ω 2 Teoretisk ω 2 Korrigert teoretisk ω 2 2 ω 2 1.5 1 0.5 0 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 Bølgetallet - k m 1 Figur 4: Kvadratet av vinkelfrekvensen som en funksjon av bølgetallet. Kurvene viser forholdet mllom teoretisk verdi og korrigert teoretisk verdi, med henholdsvis teoretisk og korrigert σ. urimelig stort avvik fra den teoretiske grafen ettersom punktene lå innenfor standardavviket på 8,3 10 3. Avviket i de siste målepunktene som observeres kan forklares med at målt σ ble benyttet samt at de siste punktene kan ha kommet av tilfeldige feil. Dypvannsrelasjonen oppfylles når 2kh > 1, for å få enda bedre resultater velges 3 og ikke 1. Dette gjøres fordi det siste leddet ikke blir lite nok for 2kh > 1. Men hvis enn bytter ut 1 med 3 vil forholdet mellom totalverdien av leddene bli 95% - 5% som gjør at det strengt tatt er mulig å neglisjere siste ledd. Dette ble anbefalt at laberatorioum assistent. Med innsatte verdier for h se (tabell 1) ble relasjonen oppfylt når k > 300. Fra [1] er det utledet at dypvannsrelasjonen er gyldig for λ > 1,7 cm innsatt 6
for k, fås k > 369. Avrunding gir at ligning (3) stemmer med god margin for bølgetall større enn 400. De to første målepunktene i (gur 3) oppfyllte ikke dispersjonsrelasjonen for dypvannsbølger. Likning (3) var dermed ikke lenger gyldig og for å få en korrekt beskrivelse av σ måtte ligning (3) benyttes på to første målepunktene. Dette førte til en større usikkerhet i σ, og det er tydelig fra (gur 3) at det var de to første punktene som avvek mest fra middelverdien. Lambda ble målt ved å måle en gitt avstand, og telle antall bølgetopper mellom punktene. Dette gav en lavere usikkerhet i λ enn å måle hver topp individuelt å ta middelverdien [1]. tabell (2) Når spenningene satt 1.8 2 10 2 Bølgelengde λ(f) Målepunkter 1.6 1.4 λ [m] 1.2 1 0.8 0.6 0.4 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 f [Hz] Figur 5: Bølgelengden λ som funksjon av frekvensen f. til 5 V kunne T gis som tidsintervallet t ved den målte gruppehastigheten u r. Tidsintervallet T ble videre brukt til å beregne den teoretiske gruppehastigheten u t. tabell (3) Når den teoretiske gruppehastigheten ble regnet ut ved spenning 5 V og tilhørende gruppehastighet, kk den verdien 0,403. For å regne ut den relative usikkerheten i gruppehastigheten ble Gauss feilforplantningslov benyttet [4]. Gruppehastigheten består bare av størrelser som anslås som konstante 1, foruten k. Usikkerheten i gruppehastigheten ville da anslagsvis være den samme som usikkerhet i k. Fra Gauss feilforplantingslov 1 Feilen i g som ble målt i gamle kjemi, ble anslått til å ligge ute i 7 sier [2]1. I forhold til feilen i k er denne neglisjerbar. 7
0.34 0.32 Fasehastighet c(k) Målepunkter Teoretisk verdi Korrigert teoretisk verdi 0.3 Fashehastighet [m/s] 0.28 0.26 0.24 0.22 0.2 0.18 200 400 600 800 1,000 1,200 1,400 1,600 Bølgetall [m 1 ] Figur 6: Fasehastigheten c som funksjon av bølgtallet. Med henholdsvis målt og teoretisk korrigert σ. 8
kk vi at feilen i k er 0,501. Denne feilen kom av usikkerheten i tidsmålingene T og avstanden x. Den målte verdien ligger på 0,462 og er dermed så vidt utenfor feilestimatet. En mulig årsak til dette kan ses i (gur 7) der det kan observeres at avstanden mellom de to målepunktene er svært liten slik at grafen overlapper hverandre. Figur 7: Bølgepakken i bølgerennen. Toppene til bølgene viser midtpunktet til bølgepakken når den passerer første og andre målestav. 4 Konklusjon Fra målte dataene ble vannets overattespenning beregnet til (34,3 ± 7,1) mn/m. Dette var 52,8 % lavere enn forventet og ligger da ikke innenfor standardaviket. Det høye avviket fra kommer av ere faktorer, men den største er nok forurensningen i vannet. Ut i fra forsøket var det umulig å si nøyaktig hvor stor påvirning denne har hatt. De målte dataene samsvarer mye bedre om enn bruker en korrigert verdi for overatespenningen, dette gir god grunn til å anta at det avikket i overatespenningen skyldes en systematiske feil. Gruppehastigheten til en bølgepakke ble og beregnet. Hastigheten ble (46,2 ± 0,5) cm/s 2 som er et prosentvis avvik på 5,4 % avvik. Den målte hastigheten ligger da også utenfor standardaviket. Siden målingene bestod av vann i bevegelse, er det lite trolig med forurensing av vannet. Lengden mellom målestavene kan ha en innvirkning, men mest sannsynlig skyldes avviket tilfeldige feil. 9
Referanser [1] Institutt for fysikk, NTNU, http://home.phys.ntnu.no/brukdef/ undervisning/tfy4160_lab/kompendie/vannbolgertfy.pdf, September (2012). [2] Jan R. Lien og Gunnar Løvhøiden, Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 1, Universitetsforlaget, Oslo, 2010 [3] Egil V. Herland, Iver B. Sperstad, Knut Gjerden, Mari H. Farstad, Troels A. Bojesen, Amund G. Gjendem og Thor B. Melø. Laboratorium i emnene TFY4145 mekanisk fysikk, FY1001 mekanisk fysikk for studenter ved studieprogrammene MTFYMA, MLREAL, BFY, BKJ, NTNU, Trondheim, 2011. [4] Institutt for fysikk, NTNU, Knut S. Gjerden, http://home.phys.ntnu. no/brukdef/undervisning/fy1001_lab/orientering/gaussbruker. pdf, Oktober (2012) [5] Peter Ceperley, http://resonanceswavesandfields.blogspot.com/ 2008/04/water-waves-mathematical-derivation.html, Oktober (2012). 10