. til oppgaver i avsnitt... Regn ut (a) i j k, (b) j k i, (c) k ì j, (d) k j -j k -i (e) i i 0, (f) j j 0 Vektorene i, j og k danner et høyre-system, så derfor er i j k, j k i, k ì j, k j -j k -i. i i 0 følger av at ( i,i ) koordinatformlene: sin 0. Alternativt kan du bruke.. La a i 3j k og + 4 a. i j -3 - -3 4-4 gir k. gir i osv. b. Finn (a) a b, (b) b a, (c) ( a + b ) ( a - b ) gir a b i 3 4 + j + k 4 3 0i + 3j + k () ( ) ( ) b. b a a `b 0i 3j k c. ( a + b) ( a b) a a a b + b a b b 0 ( ) ( ( ) )..3 La a 3i j + k, b i + j k og + i j 3-3 - c. Finn (a) ( a b ) c, (b) ( ) a b c. gir - 65
(( ) ( ) ) ( ( )) ( ( ) ) a b i + j 3 + k 3 i + 7j + 5k ( ) a b c - 7 5 i 4 + 0 + j 5 + + k 7 4i + 7j 5k - b c - i + j 4 + k 4 5j 5k - ( ) a b c 3 - i 5 + 0 + j 0 + 5 + k 5 + 0 5i + 5j 5k 0-5 -5..4 Finn arealet av trekanten med hjørner P(,3,), Q(,-,), R(-,,3). PQ, 4, Vi har ( ) ( ) ( ) og PR (,,), og trekantens areal: PQ PR 4 i ( 4 ) + j ( ) + k ( 8) 5i + j 9k 5 + + 9 07..5 Forklar hvorfor ( a b ) ( a c ) er parallell med a. a b står normalt på a og b. a c står normalt på a og c. ( ) ( ) a b a c står dermed normalt på to vektorer som begge står normalt på a, og må da være parallell med a...6 Bevis at ( ) ( ) a b + a b a b ( a b) ( a b) ( a b sin( a, b) ) ( a b cos ( a, b) ) ( sin (, ) + cos (, )) + + a b a b a b a b 66
..7 Vis at hvis A, B og C er hjørner i en trekant, så er AB BC BC CA CA AB. Vis sin sin sin hvordan sinusproporsjonen A B C følger av dette. a b c Hvis p AB, q AC, er BC q p og AB BC p ( q p) p q, BC CA ( q p) ( q) p q og CA AB ( q) p p q. Det viser at AB BC BC CA CA AB Av denne følger at c a sin B a b sin C b c sin A. sin sin sin Divisjon med a b c gir A B C. a b c..8 Vis at om A, B, C og D er fire punkter i rommet, så er AB CD DA DB + CB CA AC AD + BD BC Hvis AB b, AC c, AD d, er AB CD b ( d c) b d b c, DA DB + CB CA ( d) ( b d) + ( b c) ( c) b d b c AC AD + BD BC c d + d b c b c d + d c d b b c b d b c..9 ( ) ( ) Regn ut ( i 3j) ( i + j - k ) ( 3i k ) 3 0 + 9 + 0 0 3 0 4 3 0..0 Vis at a a c a. ( ) 0 b. a ( b c) b( a c) c( a b ) og (b) ( a b) c b( a c) a( b c ) c. ( a b) ( c d) ( a c)( b d) ( a d)( b c ) d. a ( b c) + b ( c a) + c ( a b) 0 e. [ a, b, c + t a + u b] [ a, b, c ] f. [ a + b, b + c, c + a] [ a, b, c ] 67
a a c a, a, c a a b 0 b 0 a. ( ) [ ] ( ) b. ( ) ì j k a b c a b b b a a a 3 3 c c c b c b c b c b c b c b c 3 3 3 3 3 i ( a ( b c bc ) a3 ( b3c b c3 )) + j ( a3 ( bc3 b3c ) a ( b c bc )) + k ( a ( b3c b c3 ) a ( bc3 b3c )) i (( ac + ac + a3c3 ) b ( ab + ab + a3b3 ) c ) + j ( ac + ac + a3c3 ) b ( ab + a ) k (( ac + ac + a3c3 ) b3 ( ab + ab + a3b3 ) c3 ) ( a c) b ( a b) c ( a b) c c ( a b) a( b c) b( a c) b a c a b c c. d. ( b a3b3 c ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) a b c d a b c d b a c a b c d a c b d a d b c a b c + b c a + c a b b a c c a b + c a b a b c + a b c b a c 0 e. [ a, b, c + t a + u b] + t[ a, b, a] + u[ a, b, b] + 0 + 0 [ a, b, c ] f. [ a b, b c, c a] [ a, b c, c a] [ b, b c, c a] [ a, b, c a] [ a, c, c a] [ b, b, c + a] + [ b, c, c + a] + [ a, b, a] + [ a, c, + [ a, c, a] + [ b, c, + [ b, c, a] + 0 + 0 + 0 + 0 + [ a, b, + + + + + + + + + + + +.. Forklar at volumet av et tetraeder med hjørner A, B, C og D er V 6 AB, AC, AD Volumet av et tetraeder er 3 av arealet av grunnflaten ganger høyden, og arealet av trekanten i grunnflata er halvdelen av arealet av parallellogrammet utspent av to av sidene... Beregn volumet av tetraederet med hjørner A(-,3,0), B(,7,-), C(-,7,-5) og D(,5,-3). AB ( 3, 4, ) 3 4 AC ( 0, 4, 5 ), så V 0 4 5 36 60 + 0 + 30 0 + 4 7 6 6 AD ( 3,, 3) 3 3, + + 68
..3 A(,3,-), B(5,,), C(,4,3), A (,-,6), B (6,-,8) og C (3,0,0) er seks punkter i rommet. Vis at de er hjørner i et trekantet prisme, og beregn volumet av dette prismet. AA' BB ' CC ' DD ', 4,7 Vi finner ( ), så da må trekanten A B C være en parallellforskjøvet kopi av trekanten ABC. Volumet blir 4 AB, AC, AA' 4 8 4 8 64 7 85 4 + + 4 7..4 Punktene A(4,0,), B(3,-,5) og C(,3,6) bestemmer et plan. a. Hva må til for at et punkt P(x,y,z) skal ligge i dette planet? b. Påvis at punktet Q(3,,)ikke ligger i planet. c. Bestem punktene A(a,0,0), B(0,b,0) og C(0,0,c) slik at QA, QB og QC alle parallelle med planet ABC. d. Undersøk om noen av punktene D(,4,-3), E(-5,3,0) eller F(3,3,3) ligger på samme side som Q av dette planet. a. P(x,y,z) ligger i planet utspent av A, B og C hvis og bare hvis x 4 y z AP, AB, AC 4 ( x 4) ( 5 ) + y ( 8 + 5) + ( z ) ( 3 ) 3 5 7x + 7 4 3y 5z + 5 7x 3y 5z + 73 0 eller ekvivalent 7x + 3y + 5z 73 b. 7 3 + 3 + 5 73 viser at Q(3,,) ikke ligger i planet utspent av A, B og C. c. Normalen til planet utspent av A, B og C er AB AC - - 4 i -5- + j -8+5 + k -3-7i 3j 5k 7i + 3j + 5k - 3 5 ( ) Et vektor som er parallelt med dette planet må stå normalt på n 7 i+3 j+5k. Skal QA være parallell med planet, der A(a,0,0), må 7 a 3 + 3 + 5 0 7a 0, så Hvis B(0,b,0) og QB skal være parallell med planet, må 7 3 3 b 5 3b 0 b a. A må være punktet ( ) ( ) + ( ) + ( ). B må være punktet ( ) Hvis C(0,0,c) og QC skal være parallell med planet, må 7 3 3 5 c 5c 0 c 3 7 0,,0. ( ) + ( ) + ( ), så C må være punktet ( ) 5 3 7,0,0 0,0,. 5 69
d. 4 AB, AC, AQ 3 5 6 0 + 8 5 4 4 4 4 AB, AC, AD 3 5 + 5 3 + 0 + 8 + 36 59 3 4 4 4 AB, AC, AE 3 5 3 + 45 4 + 5 + + 08 49 9 3 4 AB, AC, AF 3 5 6 + 5 4 + 5 4 + 3 Q og F ligger på samme side av planet, D og E ligger på motsatt side...5 Vis ved å bruke regnereglene for trippelproduktet at hvis AB, AC, AD 0, så er også AD, BD, CD 0. Hva uttrykker ligningen AB, AC, AD 0 geometrisk? AD, BD, CD AB BD, BD, CD AB, BD, CD BD, BD, CD + + AB, BA + AC + CD, CD AB, AC, CA + AD AB, AC, AD Det følger at AD, BD, CD 0 AB, AC, AD 0 AD, BD, CD 0 er ekvivalent med at A, B, C og D ligger i samme plan, eventuelt at to eller flere av dem faller sammen..6 a b b c c a a b c Vis at [,, ] [,, ] Vi har x ( c a) c( x a) a( x c ) Det gir (med x b c ) [ a b, b c, c a] ( a b) ( x ( c a) ) ( a b) c( x a) a( x c) [ b, c, a] a [ b, c, a, b, c ( ) [ ] 70
..7 La a, b og c være tre vilkårlige vektorer, og la Vis at hvis [ a b c ] a' b c,,,, 0, så er (a) a' a b ' b c ' c, (b) a ' b a ' c 0, b ' a b ' c 0 (c) Hvis [ a, b, c ] V, så er [ a b c ] ', ', ' V b ' c a,, c' a b a, b, c. [ a b c ], [ a b og [ ] (d) Hvis a, b og c ikke ligger i ett plan, så heller ikke a, b og c i ett plan. ( b c) a [ b, c, a] ( c a) b [ c, a, b] ( a b) c (a) a ' a, b ' b, c' c a, b, c a, b, c a, b, c a, b, c a, b, c [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) (b) [ a, b, b c c a a b [ a b, b c, c a] [ a ', b ', c' ],, 3 3 [ a, b, [ a, b, b c b b c c c a a c a a a' b 0, a' c 0, b ' a 0, b ' c 0 7