26. Sterometria: Lineárne útvary v priestore metrické vzťahy

26. Sterometria: Lineárne útvary v priestore metrické vzťahy Úlohy na výpočet vzdialeností a odchýliek, tzn. metrické úlohy, riešime v analytickej geometrii pomocou vektorov. V stereometrii sa snažíme nájsť také útvary (väčšinou sú to trojuholníky), v ktorých vieme tieto vzdialenosti a odchýlky určiť. Uhly lineárnych útvarov Uhol dvoch priamok Priamky p,q vytvoria dvojicu vedľajších uhlov. Uhlom priamok nazveme tú z oboch veľkostí, ktorá patrí do intervalu, označujeme ho. Veľkosť uhla dvoch priamok v rovine, ale aj v priestore, počítame pomocou ich smerových vektorov. Nech smerový vektor priamky p je vektor u, smerový vektor priamky q je vektor v. Uhol dvoch priamok preto vypočítame zo vzťahu: V rovine môžeme použiť namiesto smerových vektorov vektory normálové. Uhol priamky a roviny Môžeme ho určiť aj pomocou kolmice na rovinu. Priamky p a k zvierajú uhol β, priamka p a rovina zvierajú uhol α. Smerový vektor kolmice je normálový vektor roviny. Uhol priamky a roviny preto vypočítame podľa vzťahu: Kde n je normálový vektor roviny a s je smerový vektor priamky. Uhol dvoch rovín Pre každé dve roviny a platí, že ich uhol α sa rovná uhlu dvoch priamok, z ktorých jedna je kolmá na rovinu a druhá na rovinu. Priamka kolmá na rovinu ma smerový vektor rovný normálovému vektoru roviny. Uhol dvoch rovín preto vypočítame podľa vzťahu Uhol dvoch priamok Strana 1

Vzdialenosti lineárnych útvarov Vzdialenosť dvoch bodov Nech je bod X určený usporiadanou dvojicou súradníc dvojicou, potom vzdialenosť bodov XY sa dá vypočítať podľa vzťahu: a bod Y Vzdialenosť bodu od priamky Zápis: je vzdialenosť bodu od päty kolmice vedenej daným bodom na danú priamku. V rovine: Vzdialenosť bodu A od priamky vypočítame: V priestore: 1. Spôsob smerový vektor priamky je kolmý na vektor AP, kde P je päta kolmice vedenej bodom A na danú priamku a veľkosť vektora AP je vzdialenosť bodu A od priamky p. 2. Spôsob bodom A položíme rovinu, nájdeme, vzdialenosť bodov A a P je hľadaná vzdialenosť Vzdialenosť bodu od roviny Zápis: je vzdialenosť bodu od päty kolmice vedenej daným bodom na danú rovinu. Nech bod A a rovina, potom vzdialenosť bodu od roviny vypočítame: Vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok úlohu prevedieme na vzdialenosť bodu od priamky. Vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín úlohu prevedieme na výpočet vzdialenosti bodu od roviny. Vzdialenosť priamky rovnobežnej s rovninou počítame ako vzdialenosť bodu od roviny. Strana 2

Kolmosť lineárnych útvarov Kolmosť priamok priamky sú na seba kolmé, ak sa skalárny súčin ich smerových vektorov rovná nule Priamka je kolmá na rovinu práve vtedy, keď je kolmá na každú priamku tejto roviny. Ak je priamka kolmá na dve rôznobežné priamky roviny, tak je kolmá na rovinu. Daným bodom možno viesť k danej rovine jedinú kolmú priamku. Daným bodom možno viesť k danej priamke jedinú kolmú rovinu. Dve roviny sú na seba kolmé práve vtedy, keď jedna z nich obsahuje priamku kolmú na druhú rovinu. Pravouhlý priemet bodu X do roviny je bod X, ktorý leží v rovine a na priamke idúcej bodom X kolmo na rovinu. Pravouhlý priemet priamky p do roviny je množina pravouhlých priemetov všetkých bodov priamky p do roviny. Kolmosť rovín roviny sú na seba kolmé, ak sa skalárny súčin ich normálových vektorov rovná nule Uhol priamky a roviny je uhol priamky a jej kolmého priemetu do roviny. Uhol dvoch rovín je uhol dvoch priamok, z ktorých jedna je kolmá na jednu a druhá na druhú rovinu. Ak jedna rovina obsahuje priamku kolmú na druhu rovinu, potom sú roviny na seba kolmé. Rovina je kolmá na dve rôznobežné roviny práve vtedy, keď je kolmá na ich priesečnicu. Priamka kolmá k rovine je priamka, ktorej smerový vektor je násobkom normálového vektora roviny. Strana 3

Príklady 1. Vypočítajte uhol priamok a 2. Vypočítajte uhol priamok a 3. Určte veľkosť uhla priamky a roviny 4. Určte veľkosť uhla rovín a 5. Vypočítajte vzdialenosť bodu od priamky 6. Vypočítajte vzdialenosť bodu od priamky 7. Vypočítajte vzdialenosť priamok a 8. Napíšte rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom a má od bodu vzdialenosť v=4. 9. Vypočítajte vzdialenosť bodu 10. Vypočítajte vzdialenosť rovín a 11. Napíšte rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom tak že s priamkou zviera uhol 12. Napíšte všeobecnú rovnicu roviny, ktorá prechádza priesečnicou rovín : x - y + 1 = 0, : 2x + y + z = 0 a je kolmá na rovinu : 2x + y + z + 3 =0. 13. Na priamke p: 5x - 4y = 28 určte bod, ktorý má od bodov M*1; 5+, N*7; -3] rovnakú vzdialenosť. 14. Vzdialenosť bodu A od roviny σ predstavuje stranu štvorca ABCD. Vypočítajte obsah tohto štvorca ak platí: 15. Vrcholy štvorstena sú body A,B,C,D. Určite odchýlku hrany AD od roviny ρ = ABC ak platí: 16. Určte rovnice dvoch navzájom kolmých priamok, ktoré prechádzajú bodom A[7,1] a od začiatku súradnej sústavy majú rovnakú vzdialenosť. 17. Sú dané body M[- 2,3], A[5,-1], B[3,7]. Nájdite všetky priamky, ktoré prechádzajú bodom M a majú od bodov A, B rovnakú vzdialenosť. 18. Je daný kváder ABCDEFGH s rozmermi AB=12cm, BC=8cm, CG=5cm. Určte vzájomnú polohu priamok a vypočítajte ich uhol a) EB, HC b) AF, CD c) EG, DG 19. Body M, N sú stredmi hrán CD, AB pravidelného štvorstena ABCD. Dokážte, že a) AMB CD b) MN AB a MN CD c) AB CD 20. Pomer výšky pravidelného šesťbokého ihlana ABCDEFV k veľkosti jeho podstavnej hrany je 6 : 4. Určte uhol rovín BCV a DEV. Strana 4

21. Je daná kocka ABCDEFGH. Vypočítajte odchýlku priamok: a) AC, CH b) AC, EC c) AG, BH d) AF, CH e) AE, BH f) AS EG, S AB S BC g) AF, BH h) DE, BH i) AC, BH 60,3516,7032,90,5444,5444,90,90, 90 22. Je daná kocka ABCDEFGH. Určte konštrukčne odchýlku daných priamok. Veľkosť odchýlky odmerajte uhlomerom. a) BH, DF b) AS BC, CH c) DH, BS GH asi 71, asi51, asi48 23. Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte odchýlku priamok: a) AV, DV b) AV, CV c) AB, VS AB d) BC, AV e) BD, AV f) AC, BV g) AC, VS BC h) AS CV, CS AV i)as CV, BS DV 35 06,5029,90,7227,90,90,7705,7032,7032 24. Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Určte konštrukčne odchýlku daných priamok. Veľkosť odchýlky odmerajte uhlomerom: a) AD, BV b) CD, BS CV c) BD, CV asi 72, asi77, 90 25. Je daná kocka ABCDEFGH. Vypočítajte odchýlku priamky od roviny: a) BH, ABC b) BH, BCF c) AG, BCG d) AS EG, BDH e) AS EG, CDH f) AS EG, BCF e) CE, CDH f) EC, AGH i) AC, EGS CD 35 16,3516,3516,3516,2406,2406,3516,5444, 0 26. Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte odchýlku priamky od roviny: a) VS AC, ABC b) VS AC, BCV c) AV, ABC d) AV, BCV e) BS DV, ABC f) BS DV, S AB S CD V 90,1826,6446,3454,3516,3516 27. Je daná kocka ABCDEFGH. Vypočítajte odchýlku daných rovín: a) ACG, BDH b) ABC, BDG c) EFC, AGH d) ABC, S BF S CG S EH e) ABG, BEG f) ABG, ACE 90,5444,90,2634,3516, 60 28. Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte odchýlku daných rovín: a) ABC, ADV b) ADV, BCV c) BCV, VS AB S CD d) ABV, BCV e) BCS AV, ADS BV f) ADV, BCS AV 71 34,3652, 1826,8416,90,6326 29. Je daný pravidelný 6 boký ihlan ABCDEFV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte odchýlku daných rovín: a) ABV, ABC b) ABV, DEV c) ABV, BCV d) ABV, CDV 60,60,5119,8249 30. Je daná kocka ABCDEFGH, a = 4 cm. Vypočítajte vzdialenosť daných bodov: a) A, G b) A, S GH c) A, S EG d) B, S AH e) S AC, S CG f) S BG, S AF 4 3,6,2 6,2 6,2 3,2 2 31. Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte vzdialenosť daných dvoch bodov: a) A, V b) V, S BC c) A, S CV d) A, S DV e) S AC, S CV f) S AD, S CV 2 11,2 10,3 3, 19, 11, 19 32. Je daná kocka ABCDEFGH, a = 4 cm. Vypočítajte vzdialenosť daného bodu od danej priamky: a) F, AB b) F, AC c) F, AD d) F, AH e) E, BH f) A, FH g) H, AS CG h) S AD, BG 4 i) B, S AH S FH 4,2 6,4 2,2 6, 6,2 6,4,3 2, 22 3 33. Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte vzdialenosť daného bodu od danej priamky: a) V, BC b) A, CV c) S CV, AV d) S CV, BD e) B, S AV S DV f) A, 12 6 S CV S DV 2 10, 22, 22, 11, 17,3 2 11 11 Strana 5

34. Je daná kocka ABCDEFGH, a = 4 cm. Vypočítajte vzdialenosť rovnobežných priamok: a) AE, CG b) S AB S BC, S EH S GH c) AS BG, S AE S FG 1 4 2,2 6, 30 3 35. Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Dokážte, že dané priamky sú rovnobežné a vypočítajte ich vzdialenosť: a) AB, S CV S DV b) AV, S AB S BV 2 6 110, 11 c) CV, S AC S AV 3 2, 22 11 36. Je daná kocka ABCDEFGH, a = 4 cm. Vypočítajte vzdialenosť: a) bodu F od roviny BEH; b) bodu F od roviny BEG; c) bodu F od roviny BCS AE ; d) bodu E od roviny S EH S EF S AB ; e) bodu S EF od roviny ABG; f) bodu S EF od roviny ABS CG 4 8 8 2 2, 3, 5, 2,2 2, 5 3 5 5 37. Je daný pravidelný 4 boký ihlan ABCDV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte vzdialenosť bodu od roviny: a) S AV, ABC b) S AV, BCV c) A, S AV S BV S CV d) S BV, BCS AV 3 3, 10,3, 2 5 38. Je daný pravidelný 6 boký ihlan ABCDEFV, AB = 4 cm, v = 6 cm. Vypočítajte vzdialenosť: a) bodu A od roviny CFV b) bodu A od roviny BCV c) bodu A od roviny DEV d) bodu A od roviny CDV 2 3,3,6,6 Strana 6