Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori. Multiplikasjonsprinsippet Hvis det finnes m måter og gjøre en ting på, og det for hver av disse m måtene finnes n måter å gjøre en annen ting på, så finnes det m. n kombinasjoner av disse to tingene. Eksempel: På en kafe finnes det tre forretter, fisk (F), kjøtt (K) og vegetarianerrett (V), og tre hovedretter som også er fisk, kjøtt eller vegetar. Hvor mange to retters menyer kan komponeres når man ikke skal ha det samme til forrett og hovedrett? Svar: m = 3 forretter, og når denne er valgt er det n=2 mulige hovedretter. Dermed er det 3. 2 = 6 slike menyer. Dette kan illustreres i et såkallt trediagram, og ved å se på strukturen i dette får man også begrunnelsen for multiplikasjonsprinsippet: K V F K V F V F K des 9 19:22
Urnemodell n : Antall kuler i urnen?...??? 3 1 4...... n 2... r : Antall kuler som trekkes ut Hvor mange måter kan r kuler trekkes ut blant n kuler? Ordnet og ikke ordent utvalg Ordnet utvalg: Rekkefølgen gjelder, for eksempel telles trekkseriene 3728 og 7832 som to forskjellige. Ikke ordnet utvalg: Rekkefølgen likegyldig, for eksempel telles trekkseriene 3728 og 7832 som samme utfall. Trekk med og uten tilbakelegging Trekk med tilbakelegging: Kula som trekkes ut legges tilbake i urna før neste trekk, og kan dermed komme igjen i et eller flere trekk seinere. Det vil si at gjentakelser er mulige, 3733873 er en mulig trekkserie. Trekk uten tilbakelegging: Kula som trekkes ut legges ikke tilbake i urna før neste trekk, og kan dermed ikke bli trukket flere ganger. Ordnet utvalg Med tilbakelegging Side 3 Uten tilbakelegging Ikke pensum Ikke ordnet utvalg Side 4 Side 5 og 6. mar 31 09:55
Ordnet utvalg med tilbakelegging Multiplikasjonsprinsippet gir at antall måter er: n. n. n..... n = n r Eksempel: Kast med terning det samme som å trekke tilfeldig fra en urne med n = 6 kuler, med tilbakelegging. To terninger: 6 2 = 36 kombinasjoner. Siden 6 av disse gir sum 7, blir summen 7 med sannsynlighet 6/36. Fem terninger: 6 5 = 7776 kombinasjoner Siden 6 av disse er 5 like (Yatzy) er sannsynligheten for Yatsy i et kast 6 / 7776=0.0007716. Kommentar: Selv om vi vanligvis ikke ser forskjell på terningene når vi spiller Yatzy er det i grunnen ikke ordnet utvalg vi er interessert i, men for å få uniformt utfallsrom må vi ha ordnet utvalg, og alle resonnementer om sannsynligheter i terningspill går via ordnet utvalg. Eksempel: Antall mulige måter å fylle ut en tippekupong: En vilkårlig tipperekke tilsvarer tolv trekk fra en urne med tre kuler, markert med H, U og B. Antall kombinasjoner er dermed 3 12 = 531441 mar 31 20:17
Ordnet utvalg uten tilbakelegging Antall kombinasjoner, fra multiplikasjonsprinsippet: n. (n 1). (n 2)..... (n r + 1) Eksempel: Det er 4. 3 = 12 måter å velge ut 2 elementer (kuler) blant 4 på. Hvis vi kaller elementene (kulene) A, B, C og D er disse 12 måtene: AB AC AD BA BC BD CA CB CD DA DB DC Spesialtilfelle: Alle kulene trekkes ut ( n = r ) : Antall måter å sortere n elementer på. n. (n 1). (n 2)..... (n n+ 1) = n. (n 1). (n 2)..... 3. 2. 1 = n! Eksempel: Det er 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 måter å sortere 4 elementer på. Disse er: ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA Eksempel: Antall måter å stokke en kortstokk på: 52! = 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 = 8.07. 10 67 Merk at 0! = 1 (per definisjon). apr 20 14:55
Ikke ordnet utvalg uten tilbakelegging Binomialkoeffisienter. Av og til kan det være nyttig å tenke på ikke ordnet utvalg uten tilbakelegging som at man grafser r kuler fra de n kulene totalt i neven på en gang, framfor å trekke dem ut en og en. Anta at vi først grafser r kuler på denne måten, og deretter sorterer disse kulene. Virkningen (antall kombinasjoner) av dette er det samme som å trekke kulene en og en, og regne med ordnet utvalg. Det er r! = r. (r 1). (r 2)..... 3. 2. 1 måter å ordne de r uttrukne kulene på, så hvis vi kaller antall kombinasjoner i ikkeordnet utvalg uten tilbakelegging for x gir da multiplikasjonsprinsippet at antall kombinasjoner er x. r. (r 1). (r 2)..... 3. 2. 1 Fra formelen for ordnet utvalg er antall kombinasjoner også n. (n 1). (n 2)..... (n r + 1) Ved å sette disse to uttrykkene like, og løse likningen med hensyn på x får vi: Merk at det er like mange faktorer i teller og nevner når vi tar med 1 som en faktor i nevneren. Dette er en grei måte å holde styr på antall ledd som skal være med. Tallene som kommer fram ved denne formelen kalles binomialkoeffisienter. Standard skrivemåte for binomialkoeffisienter er: Eksempel: Antal måter å velge ut r = 2 kuler (ikke ordnet) utvalg fra n = 4 kuler er Disse 6 kombinasjonene (av A,B,C og D) er AB, AC, AD, BC, BD og CD På kalkulatorer er ofte binomialkoeffisienter betegnet med ncr apr 20 14:55
Binomialkoeffisienter tolket som antall måter å fylle ut r av n plasser. Ved å tenke på kulene som parkeringsplasser er antall måter å fylle opp r plasser blant n For eksempel er det måter å plassere 4 biler på 6 plasser. Hvis X står for plassert bil og O for ledig plass er disse 15 kominasjonene: XXXXOO XXXOXO XXXOOX XXOXXO XXOXOX XXOOXX XOXXXO XOXXOX XOXOXX XOOXXX OXXXXO OXXXOX OXXOXX OXOXXX OOXXXX Symmetri for binomialkoeffisienter: Å velge ut 4 plasser til å plassere to biler på de 6 plassene er det samme som å velge ut 2 plasser som skal stå ledige. Dermed er Dette kan generaliseres til formelen mar 31 10:03
Binomisk fordeling. I kast med en vanlig terning er sannsynligheten for å få sekser p=1/6, uavhengig av tidligere utfall. Sannsynligheten for at de to første kastene blir sekser, mens de tre neste blir ikke sekser er da p. p. (1 p). (1 p). (1 p) = p 2. (1 p) 3 Nøyaktig to seksere kan også komme ved at sekserne kommer i to av de andre kastene, men produktet er fortsatt p 2. (1 p) 3. Antall slike muligheter er lik antall måter å plassere de 2 p ene på de 5 plassene. Og dette antallet er Ved å summere p 2. (1 p) 3 10 ganger får vi da den samlede sannsynligheten for å få nøyaktig 2 seksere i 5 terningkast: Generalisering: En Bernoulli forsøksrekke er et "forsøk" som gjentas flere ganger er slik at i hvert enkeltforsøk er sannsynligheten for gunstig utafall p, uavhengig av tidligere utfall. Sannsynligheten for nøyaktig x gunstige utfall i en slik forsøksrekke av lengde n er da gitt ved Sannsynligheter som er gitt ved denne formelen sier vi har en Binomisk fordeling. Formelen finnes i avsnitt 2.3.2 i formelsamlinga. Vi kommer mer tilbake til Binomisk fordeling i kapittel 4, 5 og 6. I oppgavene skal du også se på en beslektet situasjon: Hypergeometrisk fordeling. apr 1 13:21
Til slutt i denne forelesningen: Pensumoppgave 3.4 Kombinatorikk Forsøk å ikke la det gå mye lenger enn til tredje undervisningsuke før du går videre til kapittel 4, selv om du ikke syns du har 100% kontroll på dette kapitlet. Sannsynlighetsregning er IKKE lett, men vi vektlegger/prioriterer ikke dette mer enn et par uker av semesteret tilsier. des 9 19:22