LYDHASTIGHETEN I RØR OG ORGELPIPER

Transkript

1 LYDHASTIGHETEN I RØR OG ORGELPIPER Eirik Bratbak a, Helge Skarestad b a FY1002 Bølgefysikk, NTNU 2013 b TFY4160 Bølgefysikk, NTNU 2013 Sammendrag Denne rapporten omtaler målinger av fasehastigheten til lydbølger i luft. Målingene ble gjort ved eksitasjon av luftsøylen i rør med luftpulser og hvit støy. I tillegg blir resonansfrekvensene til orgelpiper undersøkt ved hjelp av eksitasjon med hvit støy. Det primære formålet bak rapporten er ikke å gjøre presise beregninger av lydfarten, men å kaste lys over lydbølger og den matematiske beskrivelsen av bølger. Ved å samkjøre resultatene fra flere forskjellige målinger ble lydfarten med usikkerhet målt til å være v lyd = 343 ± 5 ms Innledning Hørselen er en av de viktigste sansene vi har. I tillegg til å samle inn inntrykk i form av lyd, kan den også gi opplysninger om romlig dimensjon. I tordenvær kan man observere at tordenskrallet som forårsakes av et lynnedslag alltid kommer etter lysglimtet. Når et fly flyr over himmelen høres lyden i etterkant av at flyet passerer. Tiden lyd bruker på å nå oss i sammenligning med lys fra den samme kilden gir en oppfattelse av hvor langt det er mellom oss og kilden. De første målingene av lydfarten ble gjennomført ved dette prinsippet. Den første som fikk kreditert en presis måling av lydhastigheten var den engelske fysikeren William Derham. I sin andre utgave av Principia (1713) inkluderte Newton lydhastigheten som Derham hadde funnet. Derham målte lydfarten ved å observere kanonskudd på lang avstand og finne hvor lang tid lyden brukte på å nå ham. Deretter kunne han finne lydhastigheten ved å dele lengden lyden hadde reist på tiden den hadde brukt. [1] Det samme konseptet, å måle avstand og tid for å finne fart, vil bli brukt senere i rapporten. Matematikken som brukes til å beskrive lydbølger i rør faller inn under kategorien harmonisk analyse. Innen dette feltet av matematikk står fourieranalyse svært sentralt i beskrivelse av bølger i superposisjon i rør. Fourieranalyse vil bli brukt til å beskrive bølgebevegelse i rapporten. Analyse av harmonier i musikkinstrumenter ble utført av pytagoreerne så tidlig som i antikken. Av moderne vitenskapsmenn er tyske Hermann von Helmholtz gjerne trukket frem som en foregangsmann for studier av musikk på 1900-tallet. Helmholtz brukte harmonisk analyse til å undersøke ulike frekvenser i musikalsk lyd. Hensikten med denne rapporten er å undersøke lydbølger, lydfarten og den matematiske beskrivelsen av dem begge. Laboratoriearbeidet som har blitt gjort var ment å gi en praktisk innsikt i hva lydbølger er og hvilke egenskaper de har. Ved å se på et rør med luft og hva som skjer når det utsettes for pulsert eksitering, stående bølger og hvit støy, vil lydfarten bli funnet på fire forskjellige måter. 2. Teori, metode og apparaturoppsett Det meste av den følgende teoriutredningen er basert på utledningene som er gjort i oppgaveteksten til laboratoriekurset i TFY4160 og FY1002, bølgefysikk ved NTNU høsten 2013.[2] I tillegg er noen opplysninger hentet fra et kompendie som følger pensum i det samme faget. [3] Lydhastigheten i ideell gass Når en lyd reiser i et medium, er den et resultat av longitudinale trykkforskjeller i mediumet. Longitudinale trykkforskjeller vil si kompresjon og utvidelse av lufttettheten i den retningen lyden reiser. Lydhastigheten kan dermed tenkes å være avhengig av mediumet det reiser i og dets evne til å komprimeres og utvides. I den følgende utledningen vil lydhastigheten i atmosfærisk luft bli funnet ved å bruke Newtons 2. lov på et lite luftelement og deretter relatere det til bølgeligningen, adiabatkonstanten og den ideelle gasslov. Luftelementet som undersøkes er fremstilt med gråtoner i figur 1. Det lille luftelementet i figur 1 er plassert langs x-aksen for å illustrere at utvidelsen av elementet som følge av trykkforskjeller er i samme retning som forflytningen i rommet. Den øverste avbildningen viser elementet i likevekt med omgivelsene. Da påvirkes den av like krefter fra alle sider og volumet er tverrsnittarealet A multiplisert med utstrekningen x. Den nederste avbildningen viser luftelementet idet den påvirkes av ulike trykkrefter fra forskjellige sider. Trykket til venstre for luftsøylen er P 0 og til høyre er det P. Ettersom lufta er kompressibel, vil trykkforskjellene resultere i at volumet av elementet endres fra likevektssituasjonen. Det nye volumet er tverrsnittarealet A multiplisert med utstrekningen x + ξ, hvor ξ betegner sammentrykningen eller utvidelsen av gassen. Trykkforskjellen P P 0 vil heretter bli Preprint submitted to Veileder 17. oktober 2013

2 AP 0 AP 0 x x + Δx AP 0 A(P 0 + ΔP) denne fasehastigheten. Tettheten til luft er gassmassen dividert på volumet gassen opptar, ρ = m/v. Følgelig kan lydhastigheten uttrykkes ved v 2 fase = BV m. (5) Nå er fasehastigheten uttrykt ved gassegenskaper. Det neste steget i utledningen er å relatere gassegenskapene til tilstandsligninger. x-akse x + ξ(x) x + Δx + ξ(x + Δx) Under antagelsen at endringen i det akustiske trykket er så lite og foregår så raskt at energi ikke forsvinner ut av systemet som varme, kan volumkompresjonen antas å være en adiabatisk prosess.[4] En adiabatisk prosess gir en sammenheng mellom trykk og volum Figur 1: Et lite luftelement i likevekt blir utsatt for trykkendringer. Når luftelementet er ute av likevekt, er det forskjøvet og utvidet langs x-aksen. omtalt som det akustiske trykket, p. Endringer i trykket P vil gi endringer i det akustiske trykket ettersom P 0 er en konstant. Ved å bruke Newtons 2. lov på luftelementet i figur 1, anvendes sammenhengen mellom trykk og kraft: P 0 A (P 0 + P )A = A x ρ 2 ξ t 2. (1) Den dobbelt tidsderiverte av posisjonen ξ er akselerasjonen til utvidelsen av elementet og ρ er tettheten til lufta. Ved omforming følger det at p x p x = ρ 2 ξ t 2. (2) Tilnærmingen som gjøres her er mulig fordi luftelementet kan ses på som svært lite og trykkendringen i gassen dermed kan tenkes å være lineær. Videre følger det da at trykkforskjellen kan uttrykkes som proporsjonal med volumendringen fra likevekt. I denne sammenhengen p = B V V A ξ = B A x betegner B volumkompressibiliteten som er tilsvarende bulkmodulen for væsker eller Youngs modul i faste stoffer. Ved å derivere ligning (3) med hensyn på x og deretter sette inn i ligning (2), blir resultatet bølgeligningen: (3) B 2 ξ x 2 = ρ 2 ξ t 2. (4) Det vil si at utsvinget ξ kan beskrives som ξ(x, t) = f(x t) hvor f er en overalt to ganger kontinuerlig deriverbar funksjon av x og t. Videre kan fasehastigheten til bølgebevegelsen som beskriver volumendringene fastsettes til å være vfase 2 = B/ρ. Lyd forplanter seg i et medium med 2 pv γ = k, (6) hvor k er konstant og γ er adiabatkonstanten. Adiabatkonstanten er forholdet C v /C p mellom varmekapasiteten til en gass som varmes ved konstant volum, og en gass som varmes ved konstant trykk. For to-atomige gasser er adiabatkonstanten 7/5. Derivasjon av sammenhengen (6) med hensyn på volum gir ved kjerneregelen at som tilsvarer dp dv V γ + p γ V γ 1 = 0 (7) dp dv V = pγ. (8) Ved å sammenligne ligning (8) med (3) kan volumkompressibiliteten nå uttrykkes ved det akustiske trykket og adiabatkonstanten. For en ideell gass gjelder den ideelle gasslov P V = Nk b T. Her er P trykket, V volum, N antall gassatomer, k b Bolzmanns konstant og T gasstemperaturen i Kelvin. Den ideelle gasslov er en eksperimentelt utledet sammenheng som gjelder best for trykk lavere enn en atmosfære. De fleste gasser avviker likevel minimalt for trykk høyere enn det.[4] Fasehastigheten til trykkutslaget kan dermed uttrykkes ved v 2 fase = BV m = pγv m = Nk bt γ m. (9) Forholdet Nk b /m tilsvarer forholdet R/M hvor R er gasskonstanten og M er den molare massen til gassen. Den gjennomsnittlige verdien av molar masse for luft er omtrent 0, 0288 g mol 1. Følgelig kan tallverdier for lydhastigheten fremstilles som funksjon av lufttemperatur i sammenhengen γrt v fase = v lyd = M 20, 10 T. (10) Som en konsekvens av antagelsene som er gjort for å kunne regne med adiabatiske forhold og ideell gasslov, bør det

3 presiseres at ligning (10) er en begrenset modell. Modellen gjelder for raske trykkutslag som er små i forhold til atmosfæretrykket. Formålet med den ovenstående utledningen er å kunne bruke ligning (10) for å estimere lydfart i tilnærmet atmosfærisk trykk. Modellen passer for dette formålet. Beskrivelse av bølgebevegelsen En løsning av bølgeligningen (4) er den harmoniske funksjonen ξ(x, t) = ξ 0 sin(φ(x, t)) (11) hvor φ er fasen, eller vinkelen, funksjonen evalueres i. Ved en vilkårlig posisjon x og tid t har bølgen fasestørrelse φ = (x v fase t) 2π/λ, hvor λ er lengden på hver bølge. Videre vil den harmoniske bølgebevegelsen til lyd være beskrevet med sinusfunksjonen av fasen φ: ξ(x, t) = ξ o sin(kx ωt), (12) hvor ω er vinkelfrekvensen og k er bølgetallet som angir antallet bølger på strekningen 2π. Trykkvariasjonene i lyd kan da finnes fra ligning (3). Funksjonen som beskriver trykkvariasjonene er p = Bk ξ 0 cos(kx ωt) p 0 cos(kx ωt). (13) Når en bølge møter en overgang mellom to forskjellige medium, vil den bli til to nye bølger. Den ene er en transmittert bølge som fortsetter i det nye mediumet og den andre er en reflektert bølge som beveger seg tilbake i det opprinnelige mediumet. Begge disse bølgene har lik vinkelfrekvens, men bølgetallet i det nye mediet kan variere fra det opprinnelige. ξ i (x, t) = ξ i 0 sin(k i x ωt) (14) ξ r (x, t) = ξ r 0 sin(k i x + ωt) (15) ξ t (x, t) = ξ t 0 sin(k t x ωt) (16) Ved å se på grensebetingelsene i overgangen mellom de to mediene, kan forholdet mellom amplitudene til den innkommende bølgen og henholdsvis den reflekterte og den transmitterte bølgen bestemmes. Ettersom systemet må være kontinuerlig over grenseflaten, må volumutslagene og trykket være det samme på begge sider av grensen. Ved å definere grenseflaten til å ligge i x = 0 og ved å bruke ligningene (13), (14), (15) og (16), kan forholdet mellom ξ r 0 og ξ i 0 uttrykkes som ξ0 i B 2 k t B 1 k i = ξ B 2 k t + B 1 k 0. r (17) i Ved å innføre akustisk impedans, Z, som en analog størrelse til elektrisk impedans, blir uttrykket over penere. Akustisk impedans defineres som forholdet mellom akustisk trykk og partikkelhastigheten, ξ/ t, i bølgebevegelsen: Z = p 0 ωξ 0 = Bk ω. (18) Ettersom vinkelfarten er antatt lik for begge mediene, kan dermed forholdet mellom innkommende og reflektert amplitude uttrykkes ved impedansen: ξ0 r = ξ0 i Z 2 Z 1. (19) Z 2 + Z 1 I et luftfylt rør hvor tverrsnittsarealet plutselig forandres, vil det oppstå en reflektert bølge. Det skjer fordi endringene i luftvolum må være like store i grenseovergangen slik at A 1 ξ 1 = A 2 ξ 2. Dette medfører at i overgangen mellom et rør og fri luft, vil det oppstå en reflektert og en transmittert bølge. I det samme luftfylte røret, vil en ny bølgebevegelse oppstå som en sum av den innkommende og den reflekterte bølgen. Dersom hele bølgen blir reflektert, vil den resulterende summen bli ξ(x, t) = ξ i 0 sin(kx ωt) + ξ i 0 sin(kx + ωt) = 2 ξ i 0 sin(kx) cos(ωt) (20) som kalles en stående bølge. Dersom den reflekterte bølgen er mindre enn den innkommende, vil den resulterende bølgen være en superposisjon av en stående bølge og den resterende delen av den inkommende bølgen. ξ(x, t) = 2ξ r 0 sin(kx) cos(ωt) + (ξ i 0 ξ r 0) sin(kx ωt) (21) Når en bølge beveger seg inne i et rør, vil røret stille visse krav til hvordan bølgen kan bevege seg. Resonansfrekvensene til røret vil være bestemt av grensebetingelsene i endene av røret. I en lukket ende, kan ikke gassen utvide seg og utslaget ξ må være null der. I en åpen ende må trykket være omtrent likt trykket utenfor røret slik at det akustiske trykket p er lik null der. Ligningene (12) og (13) gir da en sammenheng mellom lengden på røret, L, og hver harmoniske bølgelengde. Et rør med en åpen ende i x 1 og en lukket ende i x 2 må dermed oppfylle grensebetingelsene p(x 1, t) = 0 og ξ(x 2, t) = 0. Det gir bølgelengden λ n = 2L n 0, 5 (22) til de n harmoniske bølgene. Et rør med to åpne ender i x 1 og x 2 gir grensebetingelsene p(x 1, t) = p(x 2, t) = 0. De n harmoniske bølgelengene er da λ n = 2L n. (23) For både ligning (22) og (23) gjelder den videre sammenhengen v lyd = λ n f n. (24) 3

4 Når et sinusoidalt signal i et rør måles, er det summen av alle de harmoniske bølgelengdene som registreres. For å kunne skille de mange bølgene fra hverandre, er det mulig å gjøre en diskret fourieromvending (DFT). DFT er en algoritme som gjør det motsatte av en fourierrekke. Det vil si at den tar inn et helt signal og gir ut hvilke bølgelengder og frekvenser som eksisterer i signalet. For et sinussignal vil fourierkoeffisientene typisk avta proporsjonalt med n i en negativ potens. Av den grunn er det de første resonansfrekvensene som utgjør mesteparten av det harmoniske innholdet i signalet. Eksperimentell metode Laboratoriearbeidet som ble gjort for å belyse bølgebevegelsen i rør besto av fire oppgaver og fire måter å finne lydfarten på. I tre av oppgavene var apparaturen som ble brukt lignende den i figur 2. høytaler resonansrør mikrofoner batterier regnes ut ved å finne avstanden mellom mikrofonene ettersom v lyd = x t. (25) Dersom NI-DAQ settes til å loggføre trykkimpulsene i røret over lengre tid, vil den også registrere de reflekterte bølgene fra rørets ende. Stående bølger i rør Som vist i ligning (21), vil trykkutslagene i røret være sammensatt av en stående og en løpende bølge. Amplitudene til den samlede bølgebevegelsen kan finnes ved å sette NI-DAQ til å loggføre utsving når avstanden mellom mikrofonene varieres. Ved å gjøre en sinustilpasning av alle resultatene, finnes amplituden og frekvensene til summen av bølger i røret som funksjon av avstand mellom mikrofonene. Ved å gjøre kvalifiserte gjetninger på innkommende og reflektert bølgeamplitude og bølgetall, kan den samlede amplituden bestemmes som funksjon av posisjon i røret. Denne finnes ved å minimere kvadratavviket mellom målte og teoretiske verdier. Dette baserer seg på at amplituden til bølgen i røret kan omskrives fra (21) til A = (ξ i 0 + ξr 0 )2 sin 2 (kx) + (ξ i 0 ξr 0 )2 cos 2 (kx). (26) generator NI-DAQ PC-tilkobling Figur 2: Prinsippskisse over apparaturen som ble brukt under laboratoriearbeidet. I deler av arbeidet blir generatoren og høytaleren erstattet av en trykkluftpumpe og en luftdyse. Ved å utføre en DFT på målingene, vil det bli åpenbart En høytaler utgjør den ene veggen av et resonansrør. Høytalerenhvilke resonansfrekvenser røret har, ettersom bølgene som som er tilkoblet lydgeneratoren kan eksitere luftsøylen i følger resonansfrekvensene vil være forsterket i forhold til røret med pulserte klikkelyder, harmoniske sinusbølger eller firkantsignal. Generatoren kan produsere lyder med va- som er presentert i figur 4, viser det harmoniske innholdet resten av den hvite bakgrunnsstøyen. Resultatet av DFT, rierende frekvenser og styrker. Mikrofonene som ligger løse av frekvenser i røret. Når harmonifrekvensene til røret er i røret kobles via hvert sitt batteri til hver sine innganger i et datainnsamlingskort. Kortet kalles NI-DAQ etter ligning (23) og (24). kjent, er det mulig å regne ut lydhastigheten ved hjelp av merkenavnet National Instrument data aquisition card. NI-DAQ sender signaler videre til en datamaskin hver gang mikrofonene tar opp trykkforandringer, dvs. lyd. Posisjonen til mikrofonene leses av på et målebånd som er limt fast til innsiden av røret. Pulsert eksitasjon av rør Ved pulsert eksitasjon av røret stilles generatoren inn til å avgi korte klikkelyder. NI-DAQ programmeres til å registrere impulsene i mikrofonene i et kort tidsrom på omtrent 30 millisekunder etter at klikkelyden først når mikrofonene. Deretter er det mulig å lese av tidsforskjellen mellom hver gang et klikk når forskjellige mikrofoner. Lydfarten 4 Fourieromvending og bruk av støy Ved å utsette resonansrøret for hvit støy, er det mulig å finne resonansfrekvensene til røret. NI-DAQ programmeres til å loggføre lydtrykket over en tid imens røret utsettes for trykkluft i stedet for enkle lyder. Den kaotiske trykkluften inneholder de fleste frekvenser av trykkvariasjoner. Orgelpiper og bruk av støy Ved å erstatte resonansrøret med en orgelpipe, er det mulig å etterprøve resonansfrekvensene til pipen med en DFT av lyden som avgis når den eksiteres med trykkluft. Fremgangsmåten er den samme som for røret i den ovenstående beskrivelsen. Resonansfrekvensene kan sammenlignes med tabellverdier for tonenes frekvenser.

5 3. Resultat og diskusjon 0.03 Etter å ha gjennomført de praktiske undersøkelsene av lydbølger, er det nødvendig å diskutere resultatene. Dette vil også bidra til å forstå lydbølger og den matematiske beskrivelsen av lydbølger. Bakteppet for diskusjonen av resultatene er at gyldigheten til de eksperimentelle verdiene for lydfarten tolkes i lys av ligning (10). Dersom det var omtrent 18 C i rommet under målingene, bør derfor resultatene ligge i området rundt v lyd 343 m s 1. Pulsert eksitasjon av rør Resultatene vi fikk ved pulsert eksitasjon av røret er ført opp i tabell 1. Lydhastigeten v lyd er funnet som en kvotient av avstanden x mellom mikrofonene og tiden t det tok for et klikk å bevege seg distansen mellom mikrofonene. Tabell 1: Målt mikrofonavstand x, tidsintervall t og tilhørende lydhastighet med usikkerhet. x t v lyd (m) (s) (m s 1 ) 0,250 0, ± 5 0,300 0, ± 4 0,350 0, ± 3 For å angi en usikkerhet i disse målingene, anvendes Gauss feilforplantningslov på ligning (25). Ved å anslå usikkerhet i avlesning av målebåndet, tar vi hensyn til hvordan avlesningen ble gjennomført. Ettersom målebåndet var limt fast på innsiden av røret, var det til tider vanskelig å gjøre en måling med større nøyaktighet enn en millimeter. Hovedårsakene til dette var at målebåndet måtte observeres ifra andre siden av glasset. I tillegg kunne ledningen til den andre mikrofonen komme i veien for avlesningen. Usikkerheten i avlesning av lengde er derfor satt til x usikker = ±0, 001 m. Under avlesing av målingene gjort av NI-DAQ, kunne vi se at de skarpeste utslagene som ble registret av mikrofonene hadde veldefinerte maksimum og minimum i størrelsesorden 10 mikrosekund. Av den grunn har vi regnet med t usikker = 10 5 s. Usikkerheten for enkeltmålingene som er oppført i tabell 1 ble beregnet på grunnlag av x usikker og t usikker. For disse tre målingene blir gjennomsnittlig lydhastighet v lyd = 342 ± 4 m s 1. Stående bølge i rør Vi satte opp en stående bølge i røret ved å eksitere det med en sinusbølge med frekvens 500 s 1. Deretter ble lydtrykket målt i avstander fra 15 til 60 cm fra høytaleren. Minimering av kvadratavviket mellom teoretiske og målte verdier ga en bølgelengde λ = 0, 686 m og derav en lydhastiget v lyd = 343 m s 1 ved ligning (24). Figur 3 inneholder plot av absoluttverdien av amplituden som funksjon av posisjon i røret. Bølgelengden blir dermed det dobbelte av avstanden mellom to bølgetopper som ligger ved siden av 5 A [m] Målinger Tilpasningslinje x [m] Figur 3: Målt og tilpasset absoluttverdi av amplituden som følge av posisjon i røret. hverandre. Å finne usikkerhet er vanskelig og tidkrevende å gjøre ved å regne med Gauss feilforplantningslov på formelene som er brukt. For å gjøre et overslag av usikkerheten i målingene, velger vi derfor å se på den analytisk. Kurvetilpasningen minimerer de tilfeldige feilene i målingene, men systematiske feil kan ha mye å si for resultatet. Til enhver tid er det bølger i røret som ikke har blitt tatt hensyn til i vår modell. Begge mikrofonene reflekterer bølger. I tillegg kan lyd utenifra røret gi transmitterte bølger i henhold til (19). Disse er antatt å være marginale i forhold til bølgene beskrevet av (21). En større kilde til feilmålinger er feil i avlesing av målestokken. Ved å undersøke hva som skjer dersom en målefeil i målestokken forplanter seg i hver måling i dataserien, finner vi et mål på usikkerheten. Det viser seg at dersom målefeilen var 0,1 millimeter for høy eller for lav for hver centimeter, endres den endelige lydfarten med omtrent 4 m s 1. 0,1 millimeter for hver centimeter er en plausibel målefeil med tanke på den tidligere antatte målefeilen på 1 millimeter ved avlesing av målebåndet. Ved å erkjenne at hvert målepunkt kan ha gitt opphav til en slik feil, settes lydhastigheten til å være v lyd = 343 ± 4 m s 1. Resonans i rør Figur 4 viser et spekter av frekvenser som ble funnet i røret. Her er de tre første resonansfrekvensene fremhevet med piler. Tabell 2 viser lydhastigeten v n i henhold til ligning (24) og resonansfrekvensen f n, som ble funnet ved å utsette røret for hvit støy. Disse resultatene gir en gjennomsnittlig lydhastighet v n = 344±6 m s 1. Usikkerheten i målingen er her beregnet med Gauss feilforplantningslov på ligning (24). Når vi regner på usikkerheten i disse målingene, kunne vi sett bort ifra leddet i som inneholder usikkerheten i målingen av l. Dette er fordi vi anser avlesningen av resonansfrekvenser i figur 4 som hovedårsaken til

6 x v lyd [m/s] f [s -1 ] n = Figur 4: Sammensetning av frekvenser i røret. Tabell 2: Lydhastighet v n beregnet på grunnlag av målt resonsansfrekvens f n. f n v n (s 1 ) (m s 1 ) ± ± ± 3 usikkerhet i disse målingene. Vi anslår usikkerheten i avlesningen av harmonifrekvensene til å være f n = 5 s 1. Ved å sammenligne med overslagene av målebåndets usikkerhet i de ovenstående avsnittene, blir det klart at hovedfaktoren til målefeil er avlesningen av harmonifrekvenser. Orgelpiper Eksperimentelle verdier 330 Øvre usikkerhet Nedre usikkerhet Gjennomsnitt # [ ] Figur 5: Resultater fra røret. Måling nummer en til tre kommer fra deloppgave en, måling fire kommer fra deloppgave to og målingene fem til syv kommer fra deloppgave 3. blitt målt til å være svært mye høyere enn den teoretiske ligning (10) tilsier. Konsekvensen av dette er at vi forkaster disse resultatene som mål på lydfarten. Det er likevel interessant å finne ut hva som har gått galt. DFT for signalet viser en klart avgrenset, nesten vertikal, kurve for resonansfrekvensen som stemmer godt overens med de teoretiske frekvensene for tonene. Problemet må derfor ligge i hvilken bølgelengde som blir regnet med. Formen på rørene stemmer ikke overens med det som antas ved å bruke ligning (23). Orgelpiper har hull, kanter og avrundede ender som er med på å bestemme bølgelengden til resonansfrekvensen. Å finne en forbedring til ligning (23) kan være en innviklet affære og vil ikke ha større nytteverdi enn det allerede undersøkte fenomenet resonans i rør. I denne rapporten vil vi derfor nøye oss med å understreke hvordan det harmoniske innholdet i et rør bestemmes av fourierrekker og at DFT kan gi en oversikt over det harmoniske innholdet i en lyd. Tabell 3: Lydhastiget v lyd satt i sammenheng med teoretisk og eksperimentell frekvens f 1 og rørlengde l. Note f teor. 1 f 1 l v lyd (s 1 ) (s 1 ) (m) (m s 1 ) G , F # , D , Tabell 3 viser den laveste resonansfrekvensen for tre orgelpiper og tilhørende lydhastighet funnet ved ligning (23) og (24). Gjennomsnittlig lydhastighet blir da v lyd = 432 m s 1. Ved å se på resultatene fra denne oppgaven, blir det åpenbart at noe har skjedd som forpurrer resultatet. Lydfarten har 6 Generelt om resultatene Hvilke av de ovenstående målingene kan anses som de mest sikre? Ved å sammenligne med ligning (10), passer resultatene fra de første tre målingene rimelig bra. Den eksperimentelle lydfarten med lavest usikkerhet er den som ble regnet ut etter å ha funnet den stående amplituden i røret. Grunnen til at dette ble den sikreste målingen, har mye å gjøre med at det er her vi har gjort flest målinger og dermed er best sikret mot tilfeldige feil. Lydfarten er avhengig av tilstandsfunksjoner og gassammensetning. Dette er variabler som ikke forandrer seg særlig mye i løpet av en ettermiddag på laboratoriet. Av den grunn er det rimelig å anta at vi har enkelte tilfeldige feil i målingene ettersom det er en viss differanse mellom resultatene. Dette er

7 grunnen til at vi har valgt å fastsette den endelige eksperimentelle lydfarten som et gjennomsnitt av de antatt sikre målingene. På denne måten utjevner vi forhåpentligvis de tilfeldige feilene som har blitt gjort. Dette er illustrert i figur 5. Vi innser at det endelige resultatet kunne blitt sikrere dersom det ble gjort flere målinger. Likevel vurderer vi flere målinger som unødvendig med tanke på det primære formålet bak rapporten, å studere lydbølger som fenomen. Dersom laboratoriearbeidet skulle blitt gjentatt, ville det vært nødvendig å gjøre et par forbedringer av oppsettet for å minske usikkerheten i enkelte av utregningene. En gjennomgående svakhet i systemet har vært måling av avstand mellom mikrofonene i røret som har blitt studert. Ved endring av posisjonen til en mikrofon var det vanskelig å unngå at den andre mikrofonen ble flyttet på. Dette kombinert med at det var problematisk å plassere mikrofonene i helt nøyaktige avstander fra høytaleren har sannsynligvis ført til små unøyaktigheter i posisjon- og avstandsmålingene. Dersom mikrofonene hadde vært fastmontert med en mer presis måte å måle og regulere avstand mellom på, ville usikkerhetsberegningene våre blitt lavere. I det hele ville vi også få et sikrere resultat ved å gjennomføre flere målinger på hvert punkt, ettersom de tilfeldige feilene i målingene ville blitt utjevnet. Til slutt kan det nevnes at vi burde ha målt temperatur i laboratoriet for å få en mer presis teoretisk verdi å sammenligne eksperimentelle verdier med. 4. Konklusjon I denne rapporten har lydfarten i luft blitt funnet eksperimentelt på fire forskjellige måter. Tre av disse fremgangsmåtene har blitt vurdert som mindre usikre enn den siste. Vurderingen av metodene har blitt gjort ved å sammenligne med en teoretisk utledet lydfart. Lydfarten som det konluderes med er v lyd = 343 ± 5 m s 1. Det primære målet med å skrive rapporten har imidlertid ikke vært å finne en eksperimentell verdi for lydfarten, men å undersøke og beskrive lydbølger. I beskrivelsen av lydbølger, har rapporten omhandlet pulserte lydbølger, stående bølger og tilhørende trigonometri, resonansfrekvenser, fourieromvendinger og harmonisk innhold. 5. Referanseliste [1] Oxford dictionary of scientists, via Answers. hentet 12.oktober 2013, kl.17:05. [2] NTNU Institutt for fysikk, lab/kompendie/lydbolger.pdf, hentet 9.oktober 2013, kl.11:55. [3] P.G. Ellingsen, J.B Fløystad, A. Hauge, S. Grepstad og J.N. Vevatne. Bølgekompendiet, Linjeforeningen Nabla, 2. versjon [4] S.S. Zumdahl, D.J. Decoste. Chemical Principles, Brooks/Cole Cengage Learning, 7. utgave