FoU i Praksis Artikkelsamling fra konferanse om praksisrettet FoU i lærerutdanning. Stjørdal/Levanger, 22. og 23. april 2013

Transkript

1 FoU i Praksis 2013 Artikkelsamling fra konferanse om praksisrettet FoU i lærerutdanning Stjørdal/Levanger, 22. og 23. april 2013 Redigert av Anne Beate Reinertsen, Berit Groven, Agneta Knutas og Astri Holm

2 Rodal, C. (2014),. In: Reinertsen, A.B., Groven, B., Knutas, A., Holm, A.: FoU i praksis 2013 conference proceedings, Akademika forlag, Trondheim, p Matematisk argumentasjon i overgangen barnehage og skole Camilla Rodal I denne artikkelen har jeg fokusert på hvordan førskolebarn og elever på 1. trinn argumenterer når de får matematiske spørsmål. Våren 2010 hadde jeg og en kollega matematiske samtaler med 30 førskolebarn og oppfølgingssamtaler med 19 av de samme barna året etter. Teorien er blant annet hentet fra Stylianides og Ball (2008), de beskriver tre ulike kriterier av matematisk argumentasjon som vil gjelde som bevis for barn på barnetrinnet. Gjennom samtalene kom det fram at skolebarna i større grad kunne argumentere matematisk enn førskolebarna og i artikkelen gir jeg eksempler på dette og drøfter hvorfor. Nøkkelord: matematisk argumentasjon, matematisk kompetanse, overgang barnehage og skole. Innledning Min motivasjon for denne undersøkelsen og videre analyser springer ut fra en obligatorisk oppgave som førsteårs-studenter ved Grunnskolelærerutdanningen 1-7 har på høsten når de begynner å studere på HiOA. Oppgaven er flerfaglig og i matematikkdelen skal studentene ut og intervjue en førsteklassing. Formålet er at studentene skal finne ut hvilken kompetanse skolestarterne har i matematikk. I læreplanen (LK06) står det at kompetanse i matematikk innebærer «... å bruke problemløysing og modellering til å analysere og omforme eit problem til matematisk form, løyse det og vurdere kor gyldig løysinga er. Dette har òg språklege aspekt, som det å formidle, samtale om og resonnere omkring idear» (Kunnskapsdepartementet, 2013, s.53). Bakgrunnen for denne artikkelen er samtaler jeg og min kollega Annette Hesse Bjerke hadde med 19 barn både i barnehagen og ett år etter som skolebarn. Etter å ha analysert denne datainnsamlingen i første fase, valgte vi på grunn av manglende norsk/nordisk litteratur om barnehagebarnas kompetanse i matematikk, å skrive en rapport (Bjerke og Rodal, 2011) om noen av funnene. Denne rapporten brukes i dag som en del av pensumlitteraturen på noen av kursene ved HiOA. Rapporten var også grunnlaget for at jeg valgte å gå enda mer i dybden og bruke noen av funnene som grunnlag for videre forskning. I artikkelen ser jeg nærmere på ett av spørsmålene vi hadde i samtalene med barna. Spørsmålet omhandlet oppdeling av en mengde, det hadde en problemløsende karakter og barna brukte konkreter da de løste den. Oppgaven var å svare på om det går an å dele likt når en har 12 brikker på bordet og fysisk tar vekk en brikke. Jeg ønsket gjennom samtaler med barna å se etter om deres matematiske kompetanse hadde økt og om de brukte de samme begrepene og argumentasjon i barnehagen som etter ett år på skolen. Min problemstilling var: Hvordan argumenterer barn når de får spørsmål om det går an å dele en oddetallsmengde i to? Hvordan argumenterer de samme barna på samme spørsmål etter ett år på skolen? Bakgrunn og teori I en undersøkelse i Australia med 353 lærer og elever i alderen 5-8 år snakket lærerne en-til-en i 40 min med hver elev. Undersøkelsen viste at lærere som gjennomførte samtalene var overrasket over at de fleste barna gjorde det signifikant bedre enn det de hadde trodd (Clarke, 2013). Undersøkelsen er Høgskolen i Oslo og Akershus (HiOA), Camilla.rodal@hioa.no

3 interessant for vår undersøkelse på grunn av det store datamateriale, samt at aldersgruppen, spørsmålene og hensikten bak er veldig lik. Når norske barn starter på skolen er det ingen rutine at læreren får vite hvilken matematisk kompetanse barna har før de starter. Erfaring viser at overgang til skolen blir mer positiv for barna når læreren kjenner barnas styrke og evner (Tayler, 2013). Forståelsen av matematisk kompetanse i LK06 bygger i stor grad på en rapport fra Uddannelsesstyrelsen i Danmark. Rapporten presenterer åtte sentrale matematiske kompetanser, som har gyldighet for matematikkundervisning på samtlige trinn. Alle målene i læreplanen er kompetansemål. Hvert mål omfatter tre komponenter som til sammen utgjør kompetansen. De tre komponentene er ferdigheter, forståelse og anvendelse. Alle spiller sammen, og utgjør det vi kan kalle helhetlig matematisk kompetanse (Kunnskapsdepartementet, 2013). Matematisk kompetanse er et sammensatt begrep. De åtte kompetansene er delt inn i to hovedgrupper: 1. Å kunne spørre og svare i, med og om matematikk: Tankegangskompetanse, problembehandlingskompetanse, modelleringskompetanse og resonnementskompetanse 2. Å omgås språk og redskaper i matematikk: Representasjonskompetanse, symbol- og formalismekompetanse, kommunikasjonskompetanse og hjelpemiddelkompetanse. For at elevene skal utvikle matematisk kompetanse, må de bruke og øve opp de ulike delkompetansene. Kompetansene er vanskelige å skille fra hverandre, og ofte vil matematisk aktivitet ta i bruk mange av kompetansene på en gang (Kunnskapsdepartementet, 2013). Kommunikasjon er viktig i matematikk, i følge den muntlige ferdigheten som er en av de fem grunnleggende ferdighetene i LK06 skal elevene «... gjere seg opp ei meining, stille spørsmål, argumentere og forklare ein tankegang ved hjelp av matematikk» (Kunnskapsdepartementet, 2013, s 5). En av de åtte kompetansene er kommunikasjonskompetanse som betyr å kunne kommunisere i, med og om matematikk (Undervisningsministeriet, 2002). Når en jobber med matematikk i barnehage og skole gjøres det på mange ulike måter. En kan jobbe matematisk gjennom samtaler, spill og aktiviteter i tillegg til å løse oppgaver. Språket og dialogen spiller en svært viktig rolle når en skal utforske i matematikk «Ein kan utforska eit tema ved å gå logisk til verks, byggja opp argument og resonnement». (Matre, 2002, s 24). For barn er det å gå i barnehagen og det å gå på skolen to helt forskjellige læringsarenaer. Fokus på læring blir større på skolen og kommunikasjonen er mye mer styrt av læreren. I klasserommet utvikles det normer som er knyttet til det matematiske som skjer i kommunikasjonen. McClain og Cobb (2001) kaller disse normene for sosiomatematiske normer. «These norms regulate classroom discourse and influence the learning opportunities that arise for both the students and the teacher» (McClain og Cobb, 2001, s 237). Hvilke sosiomatematiske normer som utvikler seg i ulike barnehager og skoler kan få følger for hvordan barna/elevene velger å svare på matematiske spørsmål. Et eksempel på en sosiomatematisk norm på skolen kan være at i motsetning til barnehagebarna, har skolebarna lært seg at det forventes at de skal komme med en begrunnelse. Hvilken type begrunnelse elevene gir, har bakgrunn i de sosiomatematiske normene på læringsarenaen. En skal også være oppmerksom på at barn som er i læringsprosessene går gjennom ulike steg på veien mot forståelse innen de ulike emnene i matematikken. Det vanlige er fem til seks steg på veien til for å skape gode og effektive strategier. Disse stegene kan elevene gå gradvis, men en ser også at elever kan bruke mindre effektive strategier enn man forventer. For eksempel finnes det elever som når de skal addere to ulike mengder, for eksempel en mengde på 5 og en annen på 6 velger å telle begge mengdene. Dette til tross for at de vet at mengden er 5 og 6 og dermed kunne ha valgt en mer effektiv strategi (Clarke, 2013). Jeg har valgt å se på hvordan barna/elevene argumenterer når de løser matematiske spørsmål. Stylianides og Ball (2008) beskriver tre ulike kriterier av matematisk argumentasjon som vil gjelde som bevis for barn på barnetrinnet. Det første kriteriet er at barna bruker etablerte utsagn eller definisjoner som er allment akseptert av elevgruppen. Kriterium nummer to er at en benytter argumentasjonsmåter som er kjente eller mulige å forstå. Det siste kriteriet er at en kommuniserer med uttrykksformer som er passende, kjente eller mulige å forstå. Det å resonnere og kommunisere sitt resonnement til andre er viktige aspekter. I skolesammenheng er dette vel så viktig som å finne selve svaret (Hovik og Solem, 2012). Fou i Praksis 2013 conference proceedings 238

4 Det første kriteriet baserer seg på at barna ikke nødvendigvis bruker de «rette» begrepene som kreves i matematiske bevis, men bruker begreper og utsagn som er kjent for aldersgruppa. Et viktig poeng er at barna skal bruke språket på en slik måte at det blir forståelig for dem. Kriteriet nummer to går på hvordan barna kommuniserer med hverandre når de skal fremme sitt syn. For at kriteriet skal oppfylles, må barna argumentere slik at de andre barna forstår oppbygningen av argumentasjonen og hvordan ting henger sammen. Det siste kriteriet går på at barna bruker uttrykksformer som får frem budskapet på en lettfattelig og forståelig måte. Dette kan for eksempel være at de bruker konkreter som brikker eller bruker en tegning som supplerer den verbale kommunikasjonen istedenfor symboler og utregninger som er vanlig når en skal bevise noe matematisk. Metode Ny rammeplan for barnehagens innhold og oppgaver ble iverksatt 1. august Hovedformålet med rammeplanen er at den skal gi retningslinjer for både innholdet i - og oppgavene til barnehagen, samt gi både personale, foreldre, eier og tilsynsmyndighet en forpliktende ramme for arbeidet. Det er tydelig sammenheng mellom rammeplanen og skolens læreplaner. Fagområdene er derfor i stor grad de samme som barn senere vil møte igjen som fag i skolen. Skolefaget matematikk representeres ved fagområdet Antall, rom og form, og forskningsarbeidet denne artikkelen bygger på har fokus på antall. Rammeplanen legger opp til at barna skal få oppleve glede over, utforske og leke med tall, samt tilegne seg gode og anvendbare matematiske begreper. Barn er tidlig opptatt av tall og telling, de utforsker rom og form, de argumenterer og er på jakt etter sammenhenger. Gjennom lek, eksperimentering og hverdagsaktiviteter utvikler barna sin matematiske kompetanse. Barnehagen har et ansvar for å oppmuntre barns egen utforskning og legge til rette for tidlig og god stimulering (Rammeplanen, 2006, s 29). Hensikten med undersøkelsen har ikke vært å kartlegge barns kompetanse innen tall og tallforståelse. Til det formålet er ikke undersøkelsen vi utførte omfattende nok. Vårt formål med undersøkelsen var å forsøke å få et bilde av hva barna kan om tall og telling, hvilken oppfatning de har av mengder og hvordan de argumenterer for sine påstander. Undersøkelsen besto i første omgang av at jeg og kollega Annette Hessen Bjerke dybdeintervjuet 30 barnehagebarn. Ett år etter fulgte vi opp 19 av de samme barna. De var nå blitt skolebarn og hadde nesten fullført 1.trinn. Lengden på samtalene varierte, men vi brukte ca minutter på hvert barn. Barna ble valgt ved at vi kontaktet fire barnehager fra to ulike skolekretser. For å få en liten spredning valgte vi fire barnehager fra to ulike fylker. Vi forklarte barnehagene om prosjektet vårt, deretter sendte vi ut en forespørsel til foreldrene til barna i den aktuelle aldersgruppen for signering. Vi forklarte formålet med undersøkelsen og at vi ville følge opp barna ett år senere med en ny samtale. Alle førskolebarna i de fire barnehagene fikk tilbud om å være med i undersøkelsen og ingen av foreldrene takket nei. Av ulike grunner ble antall intervjuobjekt redusert fra 30 til 19. Noen hadde flyttet og noen barn var ikke til stede den dagen vi besøkte skolen. Det var ingen barn ble trukket fra prosjektet. Vi måtte sikre at spørsmålene vi stilte barna under samtalene var gjennomtenkte og grundige, slik at de ville avdekke barnas kunnskapsnivå og kompetanse innen tall og tallregning (aritmetikk). Vi valgte å bruke en test som brukes i Sverige, «DIAMANT - Diagnoser i matematikk» (Skolverket, 2010). DIA- MANT er et sett med kartleggingsmateriell bestående av flere sett med tester som hver enkelt lærer i grunnskolen kan bruke til å kartlegge hvor langt elevene har kommet i sin matematikkutvikling. Testene skal legge grunnlaget for hvordan læreren vil planlegge sin undervisning, slik at undervisningen skaper gode forutsetninger for at eleven kan nå kunnskapsmålene. Det er laget 55 tester innenfor ulike matematiske temaer og nivåer. Tanken bak testen er ikke at alle elever skal testes i alt. En tester bare det en vil diagnostisere. Det er læreren selv som avgjør hvilke elever som skal gjøre hvilke tester og når. En av disse testene var innen aritmetikk og beregnet på skolestartere. Det var denne testen vi brukte som utgangspunkt for begge samtalene. I tillegg supplerte vi med noen egenformulerte spørsmål siden vi ønsket å teste ut spørsmål som egnet seg for aldersgruppen fem til seks år (altså for barn som er yngre enn DIAMANT-testene er beregnet for). Den samme testen som vi brukte ble brukt i en stor pilotstudie i I piloten ble alle førsteklassinger i en kommune i Sverige testet. Resultatene av piloten viser at Fou i Praksis 2013 conference proceedings 239

5 i forberedende aritmetikk fungerer det godt å bruke testen som et grunnlag for å vite noe om tall og antallsoppfatning til skolestarterne. Reliabilitet og validitet ble betraktet som høy (Fredriksson, 2009). Det er viktig at før en kan konkludere om en ser en forandring, er det mange faktorer som spiller inn. Det er derfor vanskelig og si hva som gjør at en ser endringer over tid selv om en bruker samme måleinstrument (Skolverket, 2010). Under samtalen med barna var vi én voksen alene på et eget rom med ett og ett barn. Dette var viktig for å skape ro slik at barna kunne konsentrere seg om samtalen og spørsmålene. Det eneste utstyret vi hadde med oss var brikker, papir og blyant. Vel vitende om at tallord og tallsymboler er abstrakte, valgte vi å bruke konkreter. Under selve samtalen brukte vi logg, vi noterte hva barna sa og gjorde. Barna svarte relativt kort på de fleste av spørsmålene slik at dette fungerte bra. Utfordringen var å dokumentere bruken av konkreter. Vi noterte hvilke strategier barna brukte og om de valgte å bruke konkretene som støtte når de svarte på spørsmålene. Vi hadde også en plan for hvordan vi skulle hjelpe barna hvis de ikke skjønte formuleringene, dette for at resultatene av samtalene skulle bli sammenlignbare. Noen barn har evne til å løse forholdsvis sammensatte talloppgaver hvis vi legger forholdene til rette (Anghileri, 2006 og Solem m.fl, 2010). I likhet med Clarke (2013) sin undersøkelse la vi opp til en dialog under testen der vi stoppet opp hvis barna ikke kunne eller ville svare. Vi hoppet da over spørsmålet og vi stoppet når vanskelighetsgraden ble for vanskelig. Det var viktigere for oss at barna følte mestring under testen enn at alle spørsmålene ble besvart. Vi brukte samtalen som utgangspunkt for vår datainnsamling. Matre (2002) mener samtalen illustrerer en gjensidig «forpliktelse» til å skape mening. Vi la til rette for at spørsmålene skulle gi mening for barna. Vi ga dem muligheten til å bruke konkreter og vi forklarte på nytt med andre ord hvis de ikke forstod spørsmålene. Noen av spørsmålene i samtalen var av problemløsende karakter, men med hjelp fra oss og konkreter håpet vi barna ville prøve å løse dem. Kompliserte regneoppgaver vil bli enklere for barna hvis de får anledning til å uttrykke seg på en måte de er mer kjent med (Solem m.fl. 2010). Under analysearbeidet så jeg etter spørsmål der barna argumenterte forskjellig da de gikk i barnehagen og på skolen. I denne artikkelen har jeg valgt å fokusere på ett spørsmål som opplevdes vanskelig for noen av barna, men som de aller fleste greide å løse ved hjelp av brikkene som støtte. Jeg har valgt ut svarene til 9 barn (tabell 1) og har sett på hvordan de løste samme oppgave med ett års mellomrom. Utgangspunktet var at vi hadde 12 brikker i en bunke på bordet. Først ble barna bedt om å finne ut hvor mange brikker vi får hver hvis vi skal dele likt. Når dette var gjort la vi brikkene tilbake i en bunke, men vi viste tydelig at mengden var den samme. Deretter ble én brikke fjernet mens barnet så på. Spørsmål 1: «Går det an å dele likt nå?» Hensikten var å teste barnets forståelse av begrepet «dele likt». Hvis barnet fikk delt likt i den innledende oppgaven, hvorfor er det da ikke mulig å få det til etter at én brikke er borte? Det er en metodisk utfordring når en voksen er i dialog med et barn. Barn i tidlig alder liker å telle og de de liker å bruke dette når de først har lært det. Ordlyden i spørsmålet kan lede barnet til å tro at en burde telle. En positiv side ved at en voksen er i dialog med barn der en knytter matematiske begreper til en situasjon, er at væremåten og holdningene til den voksne kan vekke barnets lyst og interesse til å utforske. Det barnet sier er bare en liten del av det barnet faktisk forstår (Sterner, 2006). Resultat og analyse Vårt første møte med 5- og 6- åringer i barnehagen var veldig positivt. Barna var ivrige etter å få snakke med oss om hva de hadde lært i barnehagen. Vi fikk svar på spørsmålene vi hadde forberedt, de hadde mye på hjertet og fortelleriveren var stor 5-åringer kan mye matematikk og de er stolte av alt de kan før de skal begynne på skolen. Vi spurte skolebarna om hva de hadde lært i matematikk i første klasse. Mange visste ikke helt hva matematikk var, og flere av barna skilte ikke mellom skolefagene. Noen svarte «Alt! Vet ikke hva matematikk er, men jeg vet at jeg kan alt», «Telle til 200 og så har jeg lært å lese alfabetet. I barnehagen kunne jeg telle til 40», «Regner masse og 5+5» og «Lese, minus kunne pluss i barnehagen». Gjennom dette og lignende spørsmål fikk vi et innblikk i hvor bevisste de var på faget og hva de hadde lært. Utgangspunktet for spørsmål 1 var å se hva barnet legger i begrepet «dele likt» når det er en oddetallsmengde. Spørsmålet uten brikker ville vært vanskeligere og det er ikke sikkert at så mange ville klart Fou i Praksis 2013 conference proceedings 240

6 Tabell 1: Tabellen viser hva noen av barna svarte på spørsmål 1 om å dele likt da de gikk i barnehagen og året etter da de var elever på 1. trinn. Område viser hvilken skole barna tilhørere (A eller B). Skole Navn Barnehage Skole A Anne A Petter «Går ikke». «Ja kanskje, jeg får vel prøve». Lager bunker på 5 og 6. A Kari «Nei, en får mindre». B Eirik «Nei da blir det en mindre hos meg». «Det skal jeg se på. Da kan ikke denne være med». Tar vekk en brikke. «Kan ikke for da får en 11 da blir det 5 og 6». «Da får jeg 6 og du 5 eller motsatt». «11 er et oddetall, så nei». «Går an med oddetall også, «Nei, for da hadde det blitt 5 B Andrea men da blir det litt og 6». urettferdig». B Jonas «Nei da blir det en for lite». «Nei, det er et oddetall». B Karine «Jeg vet ikke. Kan man telle på det og?». «11 nei det blir urettferdig». B Carina «Nei for da får du 6 og jeg 5». «Tar bort 1 da er det oddetall». «Hvis du tar bort 1 blir det ikke likt, 2 likt, 3 ikke likt. B Tobias bli likt. Oddetall det som ikke kan bli likt». «Kanskje...» virker velig Men det er vanskelig å ukonsentrert. forklare. Partall er det som kan å svare. Forskning viser at svært unge elever kan finne løsninger på beregninger, selv om de mangler avanserte matematiske teknikker. Dette kan tyde på at matematiske kompetanse blir utviklet gjennom problemløsing (Anghileri, 2006). Barna brukte ulike strategier for å dele mengden. Dette gjaldt både da de gikk i barnehagen og på skolen. Flere av barna delte mengden ved å dele «en til meg» og «en til deg», for så å telle de to mengdene til slutt. Vi så også at noen barn delte mengden ved å lage to mengder med samme mønster (f.eks. ved at de la to og to brikker ved siden av hverandre). Hvordan vi illustrerer matematikk er avgjørende for om barna klarer å løse enkelte matematikkoppgaver eller ikke (Solem m.fl, 2010). Dette var en av grunnene til at vi hadde med konkreter som støtte til spørsmålene våre. Flere av barnehagebarna vi snakket med hadde ingen eller lite kunnskaper om tallsymbolene, men viste god tallforståelse muntlig og ved hjelp av konkreter. Dette så vi ved at flere av barna ikke klarte å skrive tallsymbolene eller regne oppgaver som vi skrev ned på papiret. Oppgaver som vi tok muntlig eller viste med konkreter viste seg å være mye lettere å løse. Etter ett år på skolen så vi at barna var mye tryggere på tallsymboler. 18 av 19 kunne skrive et ensifret tall (5) og 12 av elevene kunne skrive tosifret tall (28). Flere av skolebarna brukte også tallordene når de argumenterte for hvorfor brikkene ikke kunne deles i to like mengder. Ved å bruke tallsymbolene viste skolebarna at de behersket symbol- og formalisekompetansen. Symbol- og formalisekompetansen i form av ferdigheter er noe av det første skolebarn begynner å øve på i tillegg til det å jobbe med tallforståelse. I Tabell 1 presenteres svarene til noen av barna, både da de gikk i barnehagen og i førsteklasse. Da barna fikk spørsmål 1 i barnehagen sa noen få med en gang at det ikke gikk, de fleste var usikre og prøvde en gang til. Etter å ha delt likt satt de med en brikke i hånda. De fleste sa da umiddelbart at «nei, det går ikke», mens noen fremdeles var usikre. Noen argumenterte for hvorfor det ikke gikk og sa «Nei da blir det en mindre hos meg» eller «Nei, for da hadde det blitt 5 og 6». De fleste av barnehagebarna fant ut at svaret på spørsmål 1 ble nei. Noen av barna argumenterte slik at de viste en forståelse av at 6 og 6 er likt, mens tar vi bort en vil det blir 5 og 6 og det blir ikke likt. Forskning viser at små barn helt ned til 4-års alder klarer å dele et antall objekter opp i mindre mengder (Anghileri, 2006). Språket er veldig Fou i Praksis 2013 conference proceedings 241

7 viktig når en jobber med deling og oppgaven må være reel slik at barna forstår det vi spør om. Det å kunne svare muntlig på denne oppgaven krever at barna har god kommunikasjonskompetanse og bruker språket slik at de viser en forståelse for hvorfor det ikke går å dele 11 brikker i to like mengder. Når man snakker med flere barn i samme aldersgruppe oppdager man raskt at det er store forskjeller mellom elevenes forutsetninger og erfaringer innen matematikk. Noen må ha mye støtte for å løse spørsmålene, mens andre begynner å fordele brikkene og forklarer villig hvordan de løste oppgaven. Det er variasjon i elevenes kunnskaper, og dette viser viktigheten av å ha god kjennskap til elevens utgangspunkt (Fredriksson, 2009). Hvis en skal få elevene til å kunne argumenterer slik at det vil gjelde som et bevis på barnetrinnet i følge Stylianides og Ball (2008), må en legge til rette slik at elevene får brukt kjente uttrykksformer. Når en stiller spørsmål til små barn er det viktig at det matematikkfaglige språket er tilpasset barnets alder. Spørsmålet de fikk var i tilknytning til brikkene som lå på bordet. Elevene kunne derfor svare på oppgaven ved å bruke brikkene som støtte. Jeg så at flere av barna brukte primitive tellestrategier for å svare på spørsmålet. En skal midlertid være oppmerksom på at selv om barna velger strategier som å telle alle brikkene på nytt, betyr ikke det at de ikke vet at det er 5 og 6 brikker (Clarke, 2013). De sosiomatematiske normer som utvikler seg i de ulike barnehagene og skolene kan få følger for hvordan barna/elevene velger å svare på matematiske spørsmål. Hvis de tror det forventes at de skal vise intervjueren hvordan de vet antallet brikker, kan det være en grunn til at de velger å telle alle brikkene på nytt istedenfor å bruke andre mer effektive strategier når de resonnerer. Når vi ser på hvordan barna argumenterte etter ett år på skolen, ser vi tydelig at barna fra skole B har lært begrepene for oddetall og partall, mens de ikke har gjort dette på skole A. Anne som kommer fra skole A har samme fremgangsmåte i barnehagen som på skolen. Forskjellen er at hun som skolejente fysisk tar vekk en brikke og argumenterte «Da kan ikke denne være med». I barnehagen stopper hun opp etter at hun har fordelt brikkene. Det kan se ut som om hun mangler språk for å forklare hva det betyr når hun får 5 i en bunke og 6 i en annen. Petter som går på samme skole som Anne argumenterte i barnehagen «Går ikke...» mens han som skolegutt forklarer hvorfor: «Kan ikke for da får en 11, da blir det 5 og 6». Dette forklarte han ved å ta vekk en brikke. Han vet at 11 er en mindre enn 12 og at blir 11 til sammen. Når jeg analyserte hvordan de samme barna argumenterte når de gikk i barnehagen og på skolen, ser en tydelig at skolebarna både brukte flere ord og flere ord av matematisk karakter når de kommuniserte. Barnehagebarna Andrea og Carina argumenterte allerede i barnehagen for at dette ikke kan stemme siden en da vil få 5 og 6. Kari, Eirik og Jonas konkluderer også med at man får en for lite. Når vi ser hva skolebarna Andrea, Carina, Eirik og Jonas, svarer brukte de begrepet oddetall som forklaring. Kari som kommer fra skole A svarer «Da får jeg 6 og du 5 eller motsatt». Kari generaliserte og uten fysisk å vise med brikkene sier hun med ord at = Hun viser her at addisjon er kommutativ. I tillegg viser Kari en resonnementskompetanse ved at hun viser en forståelse for at når vi tar bort en brikke vil en av oss få en brikke mindre. I barnehagen argumenterte hun med at «Nei, en får mindre». Kari sin argumentasjon som skolejente vil i følge Stylianides og Ball (2008) bli regnet som et bevis for denne aldersgruppen. I løpet av samtalene kom det klart fram at elevene fra skole B hadde lært om begrepene oddetall og partall på skolen. Begrepet oddetall var veletablert og de fleste brukte dette for å forklare hvorfor det ikke går an å dele mengden. Tobias som i barnehagen var veldig usikker på dette spørsmålet gir som skolegutt en forklaring på hva et oddetall er: «Hvis du tar bort 1 blir det ikke likt, 2 likt, 3 ikke likt. Men det er vanskelig å forklare. Partall er det som kan bli likt. Oddetall det som ikke kan bli likt». Tobias bruker ikke bare begrepet oddetall, men definerer med sine egne ord hva et oddetall er for noe. I følge Stylianides og Ball (2008) vil den måten å argumentere på holde som bevis på 1. trinn. Hva som gjør at Tobias bare på ett år viser så god resonnement- og tankegangskompetanse på spørsmål 1 kan være mange. Det kan være at skolen med dens sosiomatematiske normer har gjort han mer bevisst, men det kan også være at han var mer opplagt i den siste samtalen i tillegg til at han var blitt ett år eldre. Når jeg analyserte barnehagebarna kontra skolebarna og prøvde å identifisere det faglige innholdet i argumentasjonen, så jeg at skolebarna hadde rikere kommunikasjon og resonnementskompetanse. De prøvde å forklare hvorfor svaret ble nei. Det å kunne begrunne hvorfor er et viktig element når en skal identifisere og oppdage nye perspektive. Fou i Praksis 2013 conference proceedings 242

8 Konklusjon og veien videre Nesten alle barnehagebarna greier ved hjelp av ulike strategier og konkretene å komme fram til at det ikke går å dele 11 brikker i to like grupper. Etter ett år greier mange i tillegg til å svare riktig, også å argumentere på en slik måte at de får fram hvorfor dette ikke går. De har i løpet av skolen lært seg de sosiomatematiske normene som gjelder på skolen, og selv om spørsmålet er det samme og vi ikke spesifikt spør etter hvorfor svaret blir som det blir, er det flere av barna som forklarer dette. Det kan bety at de har forstått at det ikke bare er svaret læreren er ute etter når hun/han stiller et spørsmål. Det er like viktig hvorfor det blir sånn. Jeg ser også at de barna som har lært begrepet oddetall bruker dette begrepet når de argumenterer. Skolebarna bruker flere ord når de forklarer og virker tryggere når de kommer med en begrunnelse, dette gjelder både barna som kommer fra skole A og B. Da vi kom til barnehagen for å snakke med barna var de veldig entusiastiske og ivrige. Det var tydelig at det å sitte alene med en voksen og prate om matematikk ikke var vanlig. Da vi kom tilbake etter ett år, kjente barna oss igjen og «jungeltelegrafen gikk». De stilte seg i kø og nesten kranglet om å komme først inn for å prate. Det er synd hvis det å kommunisere en til en med barn enten de går i barnehagen eller på skolen, hører til sjeldenhetene. I løpet av en slik samtale får en som førskolelærer/lærer vite mye om hvordan eleven tenker og argumenterer, noe som på sikt vil gi førskolelæreren/læreren viktig informasjon om enkeltelever/barn i barnehage og skolesammenheng. Hvis lærerne og førskolelærer tar seg tid til denne praten vil de kanskje ikke bli så overasket som vi og de Australske lærerne (Clark, 2013) ble over hvor mye barn i denne aldersgruppen viser av matematisk kompetanse. Lærerne vil også få et bedre utgangspunkt i undervisningssammenheng fordi de vet hvilken kompetanse barna har. Tar lærerne denne samtalen i begynnelsen av det første skoleåret vil de få viktig informasjon om hvilken matematisk kompetanse skolestartene har og hva de kan bygge videre på. Situasjonen i dagens skole og barnehage gjør det dessverre vanskelig for lærere og førskolelærer å sette av tid til slike samtaler. Forskning viser at undervisningen ikke tar elevenes forutsetninger som utgangspunkt i tilstrekkelig utstrekning (Fredriksson, 2009) og dette syntes jeg er synd. Anerkjennelse Jeg vil takke kollega Annette Hessen Bjerke for samarbeidet og hennes bidrag i innsamlingen av dataene. Referanser Anghileri, J. (2006), Teaching number sense. London: Continuum Bjerke, A.H. og Rodal, C. (2011), En 5-årings tall og telling. Rapport i Matematikk, kompendium, Grunnskolelærerutdanningen 1-7. Fakultet for lærerutdanning. Institutt for grunnskole- og faglærerutdanning, Høgskolen i Oslo og Akershus 2011/2013 (s ). Clarke, D. (2013), Understanding, assessing and developing children s mathematical thinking: Taskbased interviews as powerful tools for teacher professional learning. Proceeding of the 37th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). Leibniz Institute for Science and Mathematics Education, Kiel. Fredriksson, M. (2009), Matematiken i förskoleklassen - En totalundersökning där en kommuns samtliga förskoleklasselevers matematiska kunnande kartläggs, i ett formativt syfte. Masteroppgave, hentet fra : Hovik, E. K. og Solem, I.H. (2012), Argumentasjon, begrunnelse og bevis på barnetrinnet. In: Pareliussen, I., Moen, B.B., Reinertsen A., Solhaug, T.: FoU i Praksis Akademika forlag Trondheim, s Kunnskapsdepartementet (2013), Læreplan for matematikk fellesfag. Oslo: Utdanningsdirektoratet. Hentet fra : Matre, S.(2002), Filosoferande og utforskande verksemnd hos barn. I Solem, I.H og Johansson. J-E (red.) Barn skaper matematikk. HiO-rapport 2002 nr 22, McClain, K. og Cogg, P.(2001), An Analysis of Development of Sociomathematical Norms in One First_Grade Classroom. Journal for Research in Mathematics Education 2001, Vol. 32. No. 3, Fou i Praksis 2013 conference proceedings 243

9 Rammeplanen (2006), Rammeplan for barnehagens innhold og oppgaver. Oslo: Utdanningsdirektoratet. Hentet fra : Loverogregler/reglement/2006/rammeplan-for-barnehagens-innhold-og-opp.html?id= Skolverket (2010), Diamant - ett diagnosmaterial för matematik. Hentet fra : skolverket.se/bedomning/nationella-prov-bedomningsstod/grundskoleutbildning/bedomning-i-arskurs-4-6/ bedomningsstod/matematik/diamant Solem, I.H. Alseth, B. og Nordberg, G. (2010), Tall og tanke. Oslo: Gyldendal Norsk forlag. Sterner, G. (2006), Språk, kommunikation och representationer. Små barns matematik. NCM, Gøteborgs universitet. Stylianides, A.J. og Ball, D.L. (2008), Understanding and describing mathematical knowledge for teaching: knowledge about proof for engaging students in the activity of proving. Journal of Mathematics Teacher Education, 11, Tayler, C.(2013), Enty to School. International guide to student achievement. Edited by John Hattie and Eric M. Anderman. Section 2.2, Undervisningsministeriet (2002), Kompetencer og Matematiklæring Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr Fou i Praksis 2013 conference proceedings 244

10 FoU i Praksis 2013 konferanse om praksisrettet FoU i lærerutdanning Den ellevte FoU i praksis-konferansen ble arrangert på Stjørdal 22. og 23. april 2013 av Høgskolen i Nord-Trøndelag. Siden den første FoU i praksis i 2002 har konferansen blitt et viktig møtested for alle som arbeider i lærerutdanning og som forsker på lærerutdanning og praksisfeltet. Alle artiklene er publisert digitalt. I tillegg utgis en papirutgave med alle abstraktene til de publiserte artiklene Det skapende universitet Kunnskapen du trenger