Gratis dynamisk geometri med GEONExT

Transkript

1 Hans Jørgen Riddervold Gratis dynamisk geometri med GEONExT Hans Jørgen Riddervold arbeider ved Høgskolen i Bergen, Avdeling for lærerutdanning. hans.jorgen.riddervold@hib.no Dette er en utvidet versjon av artikkelen «Gratis dynamisk geometri med GEONExT» som stod på trykk i Tangenten 2/2005. Å arbeide med dynamisk geometri går ut på å bruke datamaskinen til å for eksempel lage konstruksjoner som kan utforskes interaktivt: Eleven kan «ta tak i» et punkt i konstruksjonen, og deretter se hvordan konstruksjonen forandrer seg avhengig av hvordan punktet «dras» omkring på skjermen. Dette åpner med andre ord for en alternativ visualiseringsmulighet, gjerne i kombinasjon med utforskningsaktiviteter eller diskusjon omkring de matematiske begrepene som inngår. Les mer om dynamisk geometri i Anne Berit Fuglestads kapittel «Konstruktivistisk perspektiv på datamaskiner i matematikkundervisningen» i boken Matematikk for skolen [7]. Veslemøy Johnsens artikkel [8] inneholder også mye interessant om elevers arbeid med dynamisk geometri (selv om den naturlig nok er blitt for gammel når det gjelder de tekniske beskrivelsene av programmet). GEONExT er et gratis dataprogram Det finnes flere programmer for dynamisk geometri, og Cabri Geometri II er nok blant de vanligste [5]. En opplagt ulempe er imidlertid at disse programmene fort koster mye penger for en skole: Å kjøpe Cabri så alle skolens lærere og elever kan bruke det, kan for eksempel koste fire, fem tusen kroner Programmet GEONExT er derimot gratis for alle! Det følgende skal ikke være noen omfattende manual for GEONExT den greieste måten å lære det på er sannsynligvis å hive seg ut i det og prøve seg frem men noen ord om hvordan du kommer i gang vil kanskje være til hjelp. Aldersmessig vil alle elever fra i hvert fall mellomtrinnet til og med videregående skole kunne ha nytte av programmet. Elever i videregående skole kan for eksempel bruke GEONExT til å tegne grafer, til å studere trigonometri eller parametriske kurver. Yngre elever kan bruke GEONExT til å jobbe med for eksempel speilinger, Pytagoras og konstruksjoner generelt. Og hvem vet kanskje noen får sånn «dilla» på programmet at de vil installere det hjemme? Eksempler Her vil jeg vise noen konkrete eksempler på konstruksjoner som er laget i GEONExT. Alle disse eksemplene finner du på nettsiden min [12] sammen med andre eksempler. Der kan du altså eksperimentere med programmet og trekke i visse punkter på konstruksjonene. I tillegg kan du laste ned GEONExT-filene for å se nærmere på selve konstruksjonene. Vinkelsummen i en trekant: Et av mine beste matematikkminner fra ungdomsskolen er beviset for at summen av vinklene i en trekant blir 180 grader. Dette kan illustreres ved å lage en figur av denne typen i GEONExT, der den stiplede linjen er parallell med linjestykket AB: tangenten 2/2005 1

2 På en slik figur kan eleven «ta tak i» og flytte på punktene A, B og C. Da vil figuren endre seg i takt med forflytningene, og vi «ser» at summen av de tre vinklene alltid ser ut til å bli 180. Nå er ikke en interaktiv figur av denne typen i seg selv noe bevis for resultatet, men som illustrasjon av resultatet kan figuren være utmerket. Den stiplede parallellen til AB i figuren ovenfor, laget jeg ved å bruke en funksjon der du selv kan velge et punkt og en linje, før GEONExT konstruerer en parallell til linjen, gjennom punktet. På lignende måte kan du for eksempel halvere en vinkel ved å rett og slett peke ut den vinkelen du vil halvere. Dette gjøre du ved å først peke på et punkt på høyre vinkelbein, deretter på toppunktet og til slutt et punkt på venstre vinkelbein. Hvis du vil konstruere akkurat som med passer og linjal i stedet for å bruke slike innebygde funksjoner, så er det også mulig med de samme dynamiske utforskningsmulighetene. Speiling og symmetri på mellomtrinnet: Vi hører ofte at en figur er symmetrisk når det er «likt på begge sider». Er den formuleringen god nok? Mange elever misforstår denne symmetribeskrivelsen [1, side 366]. Disse elevene kan for eksempel tro at den stiplede trekanten nedenfor fremkommer ved å speile trekant ABC om linjen som er tegnet mellom de to trekantene: I dette tilfellet kan elevene få eksemplet som et elektronisk arbeidsark: Ved å utforske en slik konstruksjon i GEONExT gjerne med en speilingslinje som i utgangspunktet er vertikal kan elevene se hvordan speilbildet endrer seg når de flytter på speilingslinjen. Da kan de sammenholde dette med sine egne, opprinnelige gjetninger. De kan også forandre på trekanten som skal speiles. Bildet nedenfor viser en situasjon der jeg har speilet en figur om en linje, og deretter fortsatt med å speile dette speilbildet om enda en linje. Så kan vi prøve å tenke ut hva som ble resultatet av denne sammensatte speilingen. (Kun «sluttfiguren» og den opprinnelige figuren er tegnet inn her.) tangenten 2/2005 2

3 Det dynamiske i dette eksemplet ligger i at de to speilingslinjene og alle hjørnene på figuren kan flyttes på. Dynamisk geometri i nasjonale prøver: Eksemplene på nettbaserte nasjonale prøver [11] innbyr til dynamisk geometri på 7. trinn. Oppgaven går ut på å gjøre et areal størst mulig: Eleven skal finne ut hvilken plassering av punktet C som gir størst mulig areal for en trekant på en figur som nedenfor, når punktet C bare kan flyttes langs den tynne linjen hvor det allerede er plassert. Dette er en interessant eksempeloppgave fordi den virkelig utnytter det dynamiske elementet. Den ville fremstått som ganske annerledes hvis den kun hadde vært gitt på papir. Målstokk og formlikhet: Bildet nedenfor inneholder to enkle, formlike figurer. Ved å flytte på det røde punktet på bildet langs intervallet, så kan du selv velge en målestokk som her vil bli større enn null men mindre eller lik fire. Figuren til høyre endrer størrelse samtidig som du forandrer på målestokken: tangenten 2/2005 3

4 Hvorfor bruker vi ikke målestokk null? Hva skjer når målstokken er mindre enn 1? Hvorfor blir det slik? Elevene får sannsynligvis størst utbytte av å lage en lignende konstruksjon selv, men hvis det blir for teknisk kan de også få utlevert konstruksjonen som et arbeidsark [12]. Periferivinkelsetningen og Thales setning: Jeg har ofte opplevd at Periferivinkelsetningen er et resultat som mange blir forbauset over og kanskje er ikke det så rart? Selv om dette er noe som vanligvis ikke behandles på grunnskolen, så dreier det seg om en virkelig matematisk skjønnhet det er vel verdt å utforske dynamisk. Med GEONExT er det relativt enkelt å konstruere en passende illustrasjon. På figuren nedenfor kan punktene A, B og C flyttes langs sirkelbuen uansett hvor eleven plasserer dem, vil figuren vise at sentralvinkelen α med toppunkt i O alltid er dobbelt så stor som periferivinkelen β med toppunkt i C. Her skal vi se på det spesialtilfellet som kalles Thales setning: At en periferivinkel som spenner over en diameter, må være 90 : tangenten 2/2005 4

5 Figuren konstruerte jeg ved å først trekke opp linjestykket AB. Deretter konstruerte jeg midtpunktet på AB ved hjelp av en funksjon i GEONExT, og jeg kunne trekke opp halvsirkelen. Så valgte jeg punktet C et tilfeldig sted langs periferien dette lot jeg være et såkalt glidepunkt, det vil si et punkt som kan flyttes på, men aldri utenfor en bestemt kurve (i dette tilfellet halvsirkelen). Til slutt kunne jeg trekke linjestykkene BC og AC, be GEONExT oppgi størrelsen på vinkel ACB og eventuelt skjule midtpunktet på AB. Igjen har vi et bilde som ikke beviser resultatet, men foran en datamaskin kan eleven utforske figuren på en helt annen måte enn hva papirbøker kan tilby: Punktene A og B kan flyttes for å lage halvsirkler av ulik størrelse, og punktet C kan flyttes langs sirkelbuen: Uansett hvor eleven plasserer dem, vil figuren illustrere at periferivinkelen med toppunkt i C alltid er en rett vinkel. Som en alternativ tilnærming til Thales setning, kan vi også bruke arbeidsark. Eksemplet «Vinkler i sirkelen» i Anne Berit Fuglestads artikkel om arbeidsark [4], viser en tilnærming til dette. Det er enkelt å skjule deler av en konstruksjon i GEONExT. Innsenter, omsenter og høydenes skjæringspunkt: Ved å bruke at en halveringslinje for en vinkel består av alle punkter som ligger like langt fra hvert av vinkelbeina, kan vi vise at de tre halveringslinjene i en trekant skjærer hverandre i ett og samme punkt; innsenteret. Vi kan også vise at midtnormalene skjærer hverandre i ett eneste punkt; omsenteret. Men at også høydene og medianene i trekanten har tilsvarende egenskaper, er det kanskje ikke like vanlig å tenke over det er da også noe mer krevende å vise. Hvis vi bestemmer oss for å utforske de tre høydene ved hjelp av GEONExT, kan vi først enkelt lage en trekant ved å trekke tre linjer som skjærer hverandre. Deretter kan vi konstruere høydene i trekanten, gjerne med en innebygget funksjon (et valg fra menylinjen i GEONExT) som kan konstruere en normal fra et valgt punkt og bort på en valgt linje. tangenten 2/2005 5

6 På denne figuren kan elevene så trekke i punktene A, B og C, og «se» at høydene alltid skjærer hverandre ett punkt. De kan også eksperimentere med skjæringspunktets beliggenhet (hvis de forlenger høydene i denne trekanten) når flyttes skjæringspunktet ut av trekanten? Dette eksemplet antyder en pussig side ved programmer for dynamisk geometri. Vi kan «se» at en observasjon kan se ut til å stemme, og kanskje kan vi bli overbevist om det også, men det beviser ingenting: Vi har jo bare sett på spesialtilfeller, uten å finne noe generelt argument! Så mens elever på den ene siden kan komme til å føle mindre behov for å bevise resultatet de studerer de har jo fått se så mange eksempler så vil akkurat samme egenskap ved slike programmer gjøre oss i stand til å utforske og eksperimentere på en langt mer effektiv og kraftfull måte enn vi kunne før. Vi kan bruke programmene for dynamisk geometri til å skaffe oss bakgrunn for å opparbeide intuisjon og for å finne frem til beviser, se for eksempel artikkelen Morleys hjerte [9]. Sykloiden: Til slutt et eksempel som er av mest interesse for enkelte elever i videregående skole: Da Blaise Pascal ( ) trengte noe for å fjerne tankene fra tannpinen sin, studerte han en kurve som kalles sykloide. Populært sagt er dette den kurven sykkelventilen følger når du sykler på flat mark, og ved hjelp av animasjonsmulighetene i GEONExT kan vi få en skisse slik: Andreas Lindners nettsted [10] inneholder flere eksempler på 3MX-nivå. Installasjon av programmet GEONExT er utviklet ved Lehrstuhl für Mathematik und Ihre Didaktik ved Universitetet i Bayreuth, og er tilgjengelig for både Windows og Linux, og langt på vei også for Mac OS. En tidligere versjon het Geonet, men den er ikke aktuell å bruke når vi nå har GEONExT. Gå til nettsiden [6] og velg «Download». Deretter ruller du ned på siden til du finner riktig type for deg (det er ikke sikkert du trenger den større «Java-versjonen»). Så er det bare å lagre filen på maskinen. Hvis du sitter på en Windowsmaskin kan du starte Windows utforsker og dobbeltklikke på filen du nettopp lastet ned. Da gjenstår bare å følge instruksjonene underveis; dette pleier å gå ganske enkelt. Oppstart og bruk av programmet Når vi starter opp GEONExT kommer dette vinduet opp: tangenten 2/2005 6

7 I venstremargen og under «Objects»-menyen på dette skjermbildet, finner du et slikt symbol: Ved å klikke på dette symbolet får du anledning til å «ta tak i» punkter for å trekke dem rundt som du føler for. Resten av konstruksjonen vil da følge med (hvis du har konstruert riktig), og du kan utforske egne gjetninger omkring figurene. Symbolene i kantene er snarveier til vanlige eller dine sist brukte konstruksjoner eller andre operasjoner. Alle konstruksjonsmulighetene i GEONExT er tilgjengelige under «Objects» øverst i vinduet. Litt senere skal vi se nærmere på en del av disse. Menyene «View» og «Board» inneholder funksjoner som omhandler zooming og visning av koordinatsystem og lignende. GEONExT finnes på ti språk, men dessverre foreløpig ikke på norsk. Det betyr at elevene (inntil videre) må forholde seg til en del engelske ord og uttrykk. Hjelpesidene er på tysk. Mange vil mene at dette er beklagelig, eller kanskje til og med grunn nok til å velge andre programmer. Andre vil påstå at det tvert i mot kan være en fordel, eller at det ikke har så mye å si. Du og jeg får vurdere det selv ut fra de elevene og klassene det er snakk om å jobbe med. Som et eksempel på en litt komplisert konstruksjon som er mulig å lage relativt greit i GEONExT, kan vi ta denne konstruksjonen av nipunktsirkelen: tangenten 2/2005 7

8 GEONExT tillater deg å endre på strektykkelser og slikt. Senere får du se hvordan dette bildet så ut opprinnelig. Oppbygging av menyene i GEONExT For å være mer konkret omkring hva GEONExT tilbyr og for å illustrere oppbygningen av menyene, viser jeg her hva slags punkttyper GEONExT lar deg konstruere (ved å klikke på «Objects» og velge «Points»): Valg under punktmenyen Kort beskrivelse av funksjonen Avsetter et punkt Kan brukes til å finne og merke av midtpunktet mellom to punkter eller midtpunktet på et linjestykke Konstruerer fotpunktet for en normal Ved å klikke på tre ulike punkter, konstruerer GEONExT omsenteret for den trekanten som har de tre første punktene som hjørner Konstruerer det siste hjørnet i et parallellogram, hvis du har klikket på de tre første i en bestemt rekkefølge: For å konstruere punktet D på figuren her, klikk på A, B og C i rekkefølge: Valget (x,y)-point lar deg direkte angi koordinatene til et punkt, noe som kan være praktisk hvis du for eksempel trenger noen punkter med bestemte, faste avstander mellom seg Denne funksjonen lar deg finne skjæringspunktet mellom to linjer, sirkler eller andre kurver Dette valget lager det vi kan kalle et glidepunkt, det vil si et punkt som får lov til å bevege seg hvis du «drar» i konstruksjonen, men bare langs en linje eller kurve som du bestemmer En funksjon som lar deg speile et punkt om en linje Denne funksjonen lar deg speile et punkt om et punkt tangenten 2/2005 8

9 De andre menyene er bygget opp på tilsvarende måte. Ved å velge Lines kan du for eksempel velge om du vil ha en rett linje, et linjestykke, en stråle, en vinkelhalveringslinje, en normal fra et punkt til en linje, en normal på en linje eller en linje som er parallell med en gitt linje. Å forandre på konstruksjonen Etter hvert kommer konstruksjonen din til å inneholde ganske mange punkter, streker og andre hjelpelinjer. Da kan du gå inn på «Objects» og velge «Object Properties», eller du kan klikke på dette symbolet: Nå kommer det opp et vindu der du kan endre på forskjellige egenskaper: Du kan endre navn, farger, strektykkelser, du kan bestemme om en linje skal være stiplet eller kanskje til og med usynlig. Alt gjøres altså i dette vinduet: Ved å gå inn på valget «General» i dette skjermbildet, kan vi velge om objektet vårt (i dette tilfellet et linjestykke kalt c) skal være synlig eller ikke. Valget «Contour» lar oss velge andre farger enn de opprinnelige, mens «Label»-valget gir oss anledning til å velge om objektet skal ha synlig navn og med hvilken farge navnet eventuelt skal skrives. Siden eksemplet her dreier seg om et linjestykke, så kan vi ved å trykke på «Lines» få velge strektykkelsen og om linjestykket skal være stiplet eller ikke. I tilfelle vi velger å ha linjestykket tegnet med stiplet linje, kan vi velge mellom flere varianter av stiplede linjer. Hvis figuren er stor og sammensatt kan det fort bli mange navn i listen til venstre i bildet, men med en liten ekstrainnsats er det ikke noe problem å endre navnene fortløpende slik at navnsettingen blir fornuftig (og ikke nødvendigvis fortløpende etter alfabetet, slik GEONExT tangenten 2/2005 9

10 gjør automatisk). Belønningen er at konstruksjonen av nipunktsirkelen ser ut som den gjorde på figuren høyere opp, og ikke så rotete som den gjorde før «opprydningen»: I praksis er det lurt å gjøre slik opprydning underveis i arbeidet med konstruksjonene. Mer avanserte eksempler Pytagoras setning: Hvis vi starter med å konstruere en rettvinklet trekant (bruk for eksempel Thales setning), kan vi etterpå konstruere kvadrater på hver av sidekantene, eller sirkler eller andre figurer. På den måten kan vi illustrere Pytagoras setning, og si litt om hvilke konsekvenser vi kan få ut av den. La oss her konstruere halvsirkler: Det kan tenkes at en del vil oppfatte akkurat denne konstruksjonen som litt «teknisk»: Teksten «Areal: 6.07» har jeg fått frem ved å bruke linjestykket M AB A som radius i halvsirkelen. Deretter fikk jeg GEONExT til å beregne arealet av sirkelen ved å regne det ut som vanlig: Jeg går inn på «Objects» og velger «Text and Calculation» for å få frem vinduet nedenfor, og skriver inn teksten «Areal:» i den hvite tekstlinjen. Deretter trykker jeg der det står «Term». Da fyller GEONExT inn teksten <value></value>, og vi får anledning til å gjøre beregninger: Vi skriver inn det vi vil regne ut mellom der det står <value> og </value>. Avstanden mellom punktene M AB og A (det vil si radien i sirkelen), finner vi i GEONExT ved å skrive Dist(M_{AB},A), så alt i alt skriver vi inn denne teksten: Areal: <value> *dist(m_{ab},a)*dist(m_{ab},a)</value> tangenten 2/

11 Klikk så på «Apply», og ut kommer arealet vårt! Med litt øvelse går det fortere. Jeg kunne selvfølgelig også ha brukt et kortere navn enn M AB for å angi midtpunktet på AB. Perspektivtegninger: Ved hjelp av GEONExT er det det også mulig å studere perspektivtegninger. Vi kan nemlig laste inn et bilde eller en tegning som et «bakgrunnsbilde» i GEONExT, og deretter utforske den ved hjelp av datamaskinen. Se for eksempel på Eschers tegning av Babels tårn: Du kan starte med å lagre bildet på maskinen (du finner det på Internett [3]) og eventuelt åpne det i Paint for å lagre det som en jpg-fil. Så kan du laste det inn i GEONExT ved å klikke på «Board», velge «Board Properties» og deretter «Background» og «Load Image». Ved å tegne inn fluktlinjene på øyemål her (det kan dessverre fort bli unøyaktig!), kan vi se hvordan de møtes i tre forsvinningspunkter: tangenten 2/

12 Dette kan selvfølgelig kombineres med utforsking av for eksempel kunst, arkitektur og forekomst av det gylne snitt. Vi er heller ikke avhengige av «ferdig-tegninger» for å jobbe med perspektivtegninger: Ved å merke av horisont og forsvinningspunkter på forhånd, er det også mulig å konstruere sin egen, enkle perspektivtegning i GEONExT. Dette siste kan imidlertid være litt enklere og raskere i Cabri. Fordelen er uansett at eleven får se hvordan skissen endrer seg etter hvert som forsvinningspunktene forflyttes. Sammenligning mellom Cabri og GEONExT Siden jeg regner med at en del lesere kjenner programmet Cabri [2], vil jeg til slutt si litt om likheter og forskjeller mellom Cabri og GEONExT: Det første elevene kommer til å merke når de bruker GEONExT, er at programmet ikke bruker norske navn det går i tysk eller engelsk. For Cabri er det mulig å få tak i «ekstrautstyr» som gir norsk eller nynorsk språk. Hvor alvorlig dette er, vil være forskjellig for ulike klasser. Det vil også være avhengig av elevenes alder og innholdet i konstruksjonene de skal lage. I begge programmene kan konstruksjonene utstyres med måltall, og for eksempel arealer, som forandrer seg når eleven forandrer på konstruksjonen. Dette kan imidlertid oppfattes som til dels vesentlig lettere å få til i Cabri enn i GEONExT, i hvert fall på enkle og ikke for sammensatte figurer som for eksempel sirkler eller mangekanter. Men allerede for et kvadrat og en halvsirkel plassert med diameteren langs (og like lang som) en sidekant i kvadratet, begynner det etter mitt syn å bli vanskelig å presentere arealet av figuren (summen av de to arealene) på en tilfredsstillende måte i Cabri. I GEONExT er det derimot fortsatt ikke noe vanskeligere enn i eksempelet med areal og Pytagoras tidligere i artikkelen. I GEONExT er hjelpesidene på tysk, men de er gode og omfattende. Det finnes også en epostgruppe der deltagerne kan utveksle spørsmål og erfaringer. Cabri har derimot ikke noen egentlige hjelpesider innebygget, selv om det finnes et innføringshefte i papir for salg. Personlig synes jeg menyene i Cabri kan være noe raskere og mer behagelig å bruke, siden hvert av valgene under Objects-feltet i GEONExT rett og slett er lagt direkte tilgjengelig utover som en slags verktøylinje i Cabri. Men jeg vil likevel si at Cabri kan føles mer uversiktlig når du skal bearbeide en konstruksjon: For å gjøre visse linjer eller andre deler av konstruksjonen usynlige, må du i Cabri peke dem ut fra skjermbildet, mens GEONExT tilbyr utvelgelse fra en navne-basert liste, der du samtidig kan velge farge, eventuelt fyllfarge, tangenten 2/

13 strektype og -tykkelse, navnevisning og enkelte andre egenskaper. Men hva du til syvende og sist foretrekker akkurat når det gjelder disse egenskapene, kommer nok an på hva slags konstruksjon det er snakk om å lage. Å lage det som kalles en makro i Cabri, betyr å lagre en eller annen sekvens av operasjoner som du velger ut selv. Dette kan brukes til å gjøre vanlige konstruksjoner raskere, eller til å «huske» visse kompliserte konstruksjoner. Det ser ikke ut til at GEONExT gir mulighet for å lage makroer, og det er synd. Men selv om dette ikke er mulig i GEONExT, så har vi her mulighet for å zoome inn konstruksjonen vi jobber med. Den muligheten har vi ikke i Cabri, til tross for at det er en opplagt fordel hvis vi jobber med litt større konstruksjoner. En annen ting som selvfølgelig er behagelig med programmer som GEONExT og Cabri, er at du som lærer får relativt lett tilgang til å lagre illustrasjoner på datamaskinen. Siden programmene bruker ulik oppløsning vil jeg si at GEONExT egner seg bedre til denne bruken enn Cabri: Bilder som lages i Cabri har lett for å se mer «hakkete» ut enn de som er laget i GEONExT jeg har selv hørt forvirrede utbrudd som «han er 'kje beine?!?» om konstruksjoner laget i Cabri. Måten du lagrer figurene dine på, er å lage figuren du er ute etter i programmet du liker best, trykke på tasten merket «Print Screen» (hvis du jobber i GEONExT kan du også gå inn på «Board» og velge «Screenshot»). Så starter du rett og slett et tegneprogram som for eksempel Paint, limer inn skjermbildet, klipper vekk ting som virker forstyrrende, og lagrer figuren. Nå har du en figur du kan bruke som du vil, og hvis du lagret på JPEG-format tar den dessuten liten plass i tillegg. (Å lime bilder direkte over i Word kan fort gi enormt store filer ) Rask oversettelse av navnene i GEONExT For å gjøre det lettere å bruke GEONExT i undervisningen, legger jeg her med en oversettelse av de viktigste valgene, med kortfattede forklaringer. Du finner de samme oversettelsene som en egen fil på GEONExT-siden min [12]. Points Punkter Engelsk navn i Norsk navn Eventuell forklaring GEONExT Point Punkt Midpoint Midtpunkt Foot of a Vertical Fotpunkt Line Circumcenter Omsenter Gir sentrum for omskreven sirkel Parallellogram Point «Parallellogrampunkt» Med utgangspunkt i tre punkter kan du her konstruere et fjerde slik at alle punktene blir hjørner i et parallellogram (x;y)-point (x,y)-punkt Du får oppgi koordinatene til punktet direkte Intersection Skjæringspunkt Ved å klikke på for eksempel en linje og en sirkel, får du skjæringspunktene mellom dem Slider «Glidepunkt» Du får et punkt som kan «gli» langs en kurve (linje), omtrent som en perle på en tråd Point (reflection in a line) Point (reflection in a point) Punkt (speiling om en linje) Punkt (speiling om et punkt) tangenten 2/

14 Lines Linjer Engelsk navn i Norsk navn Eventuell forklaring GEONExT Straight Line Rett linje Line Segment Linjestykke Ray Stråle Bisector Vinkelhalveringslinje Du må klikke på tre punkter som danner en vinkel; først et punkt på høyre vinkelbein, deretter toppunktet og til slutt et punkt på venstre vinkelbein Vertical Line Nedfelt normal Normal fra et punkt og ned på en linje Perpendicular Line Normal (Oppreist normal) Parallel Line Parallell (linje) Circles Sirkler Engelsk navn i GEONExT Circle Circle (radius from other object) Circle (enter radius) Circumcircle Arc (Circle) Sector of a Circle Norsk navn Sirkel Sirkel (radius fra annet objekt) Sirkel (oppgi radius) Omsirkel Sirkelbue Sirkelsektor Eventuell forklaring Med denne funksjonen kan du konstruere en sirkel med radius like lang som et bestemt linjestykke Du får anledning til å skrive inn lengden av radien Arrows Piler (vektorer) Disse kan være greie for å markere hvor langt og i hvilken retning du parallellforskyver noe. Engelsk navn i GEONExT Norsk navn Arrow Vektor (eventuelt «pil») Parallel Arrow Parallell vektor Polygon Mangekant/Polygon Eventuell forklaring Lager en pil mellom to valgte punkter Denne funksjonen gir deg mangekanter: Klikk på de punktene som skal være hjørner i mangekanten; du avslutter ved å klikke på startpunktet en gang til slutt. tangenten 2/

15 Graphs Grafer Engelsk navn Norsk navn i GEONExT Graph of a Graf til en Function funksjon Parametric Parametrisk Curve kurve Locus Lokus eller geometrisk sted Eventuell forklaring For å bruke denne funksjonen trenger du en kurve (for eksempel en linje eller sirkel), et glidepunkt på den kurven og et punkt som er avhengig av hvor glidepunktet er. Dette gir mulighet for å vise alle mulige posisjoner det avhengige punktet kan få når glidepunktet glir langs kurven Texts and Calculations Tekst og beregninger Engelsk navn i GEONExT Norsk navn Eventuell forklaring Text Tekst Funksjonen lar deg skrive inn en tekst, med mulighet for å bruke matematiske tegn Measure Angle Mål vinkel Du trenger tre punkter: Først et punkt på høyre vinkelbein, så toppunktet og til slutt et punkt på venstre vinkelbein. Motsatt rekkefølge gjør at du får «utvendig» vinkel i stedet (som for eksempel 300 i stedet for 60 ) Measure Distance Mål avstand Gir avstand uten benevning Angles Vinkler Engelsk navn i Norsk navn Eventuell forklaring GEONExT Mark Angle Merk vinkel Markerer en vinkel med en bue og litt farge; du trenger tre punkter på samme måte som for å måle vinkelen Angle (enter size) Vinkel (oppgi størrelse) Measure Angle Mål vinkel Dette er den samme funksjonen som under «Tekst og beregninger» tangenten 2/

16 Referanser [1] Breiteig, Trygve og Venheim, Rolf: Matematikk for lærere 1, Universitetsforlaget, [2] Cabri Geometri II (2005): [3] Escher, M. C: viser et bilde av Babels tårn (2005) [4] Fuglestad, Anne Berit: Elektroniske arbeidsark i Cabri, Tangenten 2/2005. [5] Fuglestad, Anne Berit: Internettressurser Dynamisk geometri, Tangenten 3/2000. [6] GEONExT-siden (april 2005): [7] Grevholm, Barbro (red.): Matematikk for skolen, Fagbokforlaget, [8] Johnsen, Veslemøy: Å oppdage geometri. Cabri som hjelpemiddel i geometriundervisningen, Tangenten 3/1995. [9] Knudtzon, Signe Holm og Aarnes, Johan F.: Morleys hjerte, Normat, 51:4 (2003) og 52:1 (2004). [10] Lindner, Andreas: er en side med mange fine eksempler, også på 3MX-nivå (april 2005) [11] Nettside for nasjonale prøver i matematikk (februar 2005): [12] Riddervold, Hans Jørgen: er en nettside med GEONExT-eksempler (2005) tangenten 2/