Kursopplegg for FY2045 og TFY4250 KVANTEMEKANIKK I

Transkript

1 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, kursopplegg 1 Kursopplegg for FY2045 og TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Pensum-litteratur PC Hemmers Kvantemekanikk er et must. En annen god bok er Quantum Mechanics, av B.H. Bransden & C.J. Joachain. Denne vil også være nyttig i TFY4205 Kvantemekanikk II og muligens også i TFY4210 Kvanteteori for mangepartikkelsystemer. Den finnes på Tapir og anbefales innkjøpt. En annen god bok i kvantemekanikk er DJ Griffiths, Introduction to quantum mechanics. I likhet med Hemmers bok går begge disse bøkene langt videre enn vårt kurs, og vil være spesielt nyttige for dem som ønsker å lære seg mer kvantemekanikk. Felles undervisning i to emner De to emnene FY2045 og TFY4250 Kvantemekanikk I har felles undervisning, pensum og eksamen, og er altså i realiteten ett og samme kurs, selv om kodene er forskjellige: FY2045 for de frie studiene og TFY4250 for teknologistudiene. Dette kurset er nummer to i en hel rekke av fysikk-emner som tar for seg kvantemekanisk teori og de mange fysiske anvendelsene av denne teorien. Det første av disse, FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk, forusettes uannagjort, og danner grunnlaget for FY2045/TFY4215. Neste kurs i rekken, TFY4205 Kvantemekanikk II i 7. semester, er også felles for de to studiene (både formelt og reelt). I FY2045/TFY4215 vil det være fornuftig å konsolidere grunnlaget fra begynnerkurset sikre at grunnmuren er solid, for å si det på den måten ved å repetere på egen hånd de mest sentrale delene av notatene. Punkt A i innholdsfortegnelsen nedenfor gir en oversikt over dette grunnlagsstoffet, med henvisninger. Dette stoffet er så sentralt at det betraktes som en del av pensum i inneværende kurs, men det må som sagt med få unntak repeteres på egen hånd. A. GRUNNLAG (Foreleses ikke, forutsettes kjent, og bør repeteres på egen hånd) Her passer de to første kapitlene i Hemmers bok godt, supplert med tilleggene 1 4 opplistet nedenfor. Dette stoffet må studeres på egen hånd, med unntak av avsnittene merket med ***, som vil bli forelest.

2 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, kursopplegg 2 Tillegg 1. Bakgrunnsstoff Tillegg 1 er et supplement til kapittel 1 i Hemmers bok, som sier litt om den historiske bakgrunnen for utviklingen av den kvantemekaniske teorien. Kapittel 1 i Bransden & Joachain gir en fyldigere framstilling. (Dette notatet er identisk med Tillegg 1 i TFY4215 våren 2008.). Dette kan du betrakte som bakgrunnsstoff. Et viktig poeng i dette notatet er å motivere Schrödingerligningen og energi- og impulsoperatorene; jf grunnpostulatene i neste kapittel. Tillegg 2. Fundamentale prinsipper Dette tillegget supplerer Hemmers kapittel 2. Her formuleres grunnprinsippene i den kvantemekaniske teorien, og en rekke begreper og matematiske hjelpemidler som står sentralt blir introdusert. For å gjøre stoffet mer konkret, og for å ha flere knagger å henge de abstrakte begrepene på, starter vi med å gjennomgå det aller enkleste eksemplet på et kvantemekanisk system, nemlig en partikkel som kan bevege seg i en uendelig dyp endimensjonal potensialbrønn, også kalt partikkel i boks. Dette er ikke bare et veldig enkelt, men også et veldig viktig eksempel i kvantemekanikk. Derfor vil du ha stort utbytte av å studere det grundig. 2.1 Partikkel i boks (se også 3.2 i Hemmer) 2.2 Grunnprinsippene (postulatene) 2.3 Hermiteske og ikke-hermiteske operatorer a. Reelle forventningsverdier F krever hermiteske operatorer F b. Den adjungerte, F, til en operator F c. Litt om kommutatorer Se også 2.2 i Hemmer, og 5.1, 5.2 og 5.4 i B&J. 2.4 Egenfunksjoner og egenverdier Dette stoffet, som du finner nydelig beskrevet i avsnitt 2.4 i Hemmer, antas for det meste kjent, og må leses på egen hånd. Se ellers kap 5 i B&J. Sjekk at du har kontroll på følgende: a. Spektret til en operator b. Egenverdier som måleresultat c. Ortogonalitet d. Ortogonalisering vha komplett sett av kommuterende operatorer e. Bølgefunksjoner som vektorer. f. Delta-funksjonen og δ-funksjonsnormering (Appendix B i Hemmer, Appendix A i B&J)

3 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, kursopplegg Utvikling i egenfunksjoner Også dette er et svært sentralt kapittel i kvantemekanisk teori. Hemmer gir en konsis framstilling i avsnitt 2.5. Denne bør du lese først. Du finner også relevant stoff i avsnitt 5.3 i B&J, og i kapittel 3 i Griffiths. Avsnittet om måling av degenererte egenverdier er nytt og vil bli forelest. a. Begrepet fullstendig sett eller basis, illustrert vha to-dimensjonale vektorer b. Fullstendige sett av emphfunksjoner (med fullstendighetsrelasjonen) c. Impulsegenfunksjoner som basis. Fourier-integraler d. Fysisk tolkning av utviklingskoeffisientene e. Måling av degenerert egenverdi (*** foreleses) f. Fysisk tolkning i det kontinuerlige tilfellet g. Posisjonsegenfunksjonene δ(x x ) ψ x (x) som basis ( x-basisen ) 2.6 Impulsrepresentasjonen av kvantemekanikk (*** foreleses) (Se også 4.6 i Hemmer og s 124 i B&J.) 2.7 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander Dette er som du vet sentrale begreper i kvantemekanikk. Dette avsnittet supplerer avsnitt 2.3 i Hemmer, avsnitt 3.5 i B&J og avsnitt 2.1 i Griffiths. Innhold: a. Stasjonære tilstander b. Ikke-stasjonære tilstander 2.8 Bevarelse av sannsynlighet Tillegg 3. Noen endimensjonale potensialer Dette tillegget er et supplement til avsnittene 3.1, 3.3 og 3.5 i Hemmers bok. 3.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner Se avsnittene 3.1 i Hemmer og 3.6 i B&J. Mesteparten av stoffet i dette tillegget er repetisjonsstoff. Vi skal gå gjennom det som er merket med ***. Innholdet er: a. Energiegenfunksjoner kan velges reelle b. Kontinuitetsegenskaper c. Potensialer med δ-funksjonsbidrag (*** foreleses) d. Krumningsegenskaper. Nullpunkter d. Degenerasjonsgrad e. Symmetriske potensialer 3.2 En endelig potensialbrønn (Se også avsnittene 3.3 i Hemmer og 4.6 i B&J, 2.6 i Griffiths.) Innholdet er:

4 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, kursopplegg 4 a. Generell løsningsstrategi for stykkevis konstante potensialer b. Bundne og ubundne tilstander c. Randkrav og kontinuitet gir energikvantisering for bundne tilstander d. Diskusjon e. Diskusjon av energikvantisering ut fra krumningsegenskaper (ikke pensum) 3.3 Endimensjonal harmonisk oscillator (Se også avsnittene 3.5 i Hemmer, 2.3 i Griffiths og 4.7 i B&J.) Også dette er repetisjonsstoff, som må leses på egen hånd. Innholdet er: a. Den enkle harmoniske oscillatoren b. Illustrasjon av rekkeutviklingsmetoden c. Rekkeutviklingsmetoden brukt på oscillatorligningen d. Sammenligning med klassisk harmonisk oscillator e. Eksempler Tillegg 4. Viktige kvantemekaniske teoremer Dette tillegget er et supplement til avsnittene i Hemmers bok. 4.1 Kompatible observable, simultane egenfunksjoner og kommuterende operatorer 4.2 Paritet 4.3 Tidsutviklingen av forventningsverdier 4.4 Ehrenfests teorem B. NOEN FLERE ENDIMENSJONALE POTENSIALER Stoffet i dette kapitlet er nytt, og vil bli forelest. Tillegg 7. δ-brønn. Fri partikkel. Spredning i én dimensjon I dette tillegget ser vi først på den enkle deltafunksjons-brønnen. Deretter ser vi på den frie partikkelen, deriblant bølgegruppe-tilstander. Når en slik fri partikkel sendes inn mot et potensial (og altså ikke egentlig er fri), har vi et spredningsproblem. Dette ser vi på i avsnitt 7.3.

5 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, kursopplegg Deltafunksjons-brønn Se også 3.4 i Hemmer og 2.5 i Griffiths. 7.2 Fri partikkel. Bølgepakker Her tar vi for oss: a. Stasjonære tilstander for fri partikkel b. Ikke-stasjonære tilstander for fri partikkel c. Fasehastighet. Dispersjon d. Gruppehastighet Se også 2.4 i Griffiths, og , samt 4.2 i B&J. 7.3 Spredning i én dimensjon Se også avsnittene 3.6 i Hemmer og i B&J, samt Griffiths p 56. Innholdet er: a. Hva er spredning i én dimensjon? b. Spredningsberegning basert på energiegenfunksjoner c. Bølgepakke-betraktning d. Spredning mot potensialsprang e. Spredning på firkant-brønn eller -barriere f. Tunnel-effekten g. Felt-emisjon h. Sveipe-tunnelerings-mikroskopi i. α-desintegrasjon og fusjon C. FLERDIMENSJONALE POTENSIALER Dette kapitlet inneholder både nytt stoff, som vil bli forelest, og en del repetisjonsstoff. Tillegg 8. Tre-dimensjonal boks. Ideelle Fermi- og Bose-gasser I dette tillegget ser vi først på den tredimensjonale boksen (8.1), som er relevant bl.a når vi skal diskutere en ideell gass av fermioner (8.2) og den ideelle Bose-gassen. 8.1 Tredimensjonal boks (Se også 5.2 i Hemmer, 5.3 i Griffiths og 7.1 i B&J)

6 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, kursopplegg 6 a. Energinivåer b. Symmetri fører til degenerasjon c. Tilstandstettheten d. Periodiske grensebetingelser 8.2 Ideell gass med spinn fermioner (Se også 8.6 i Hemmer, 5.3 i Griffiths og 10.3 i B&J) a. Generelt om Fermi-gass ved lav temperatur b. Fri-elektron-modellen for ledningselektroner i metaller c. Elektroner i hvite dverger (NB! ikke pensum) d. Fermi-gass-modellen for kjerner 8.3 Ideell Bose-gass a. Bose Einstein-fordelingen (5.4 i Griffiths) b. Maxwell Boltzmann-fordelingen c. Plancks strålingslov d. Einsteins A- og B-koeffisienter (9.3 i Griffiths) e. Maser og laser Tillegg 5. Kulesymmetriske potensialer (repetisjonsstoff) Tillegg 5 er det femte kapitlet i pensum i FY1006/TFY4215. Det dekkes av avsnittene 5.1 og i Hemmers bok, sammen med dette tillegget. I emnene FY2045/TFY4250 er dette kapitlet repetisjonsstoff. Se ellers referansene til B&J og Griffiths. 5.1 Isotrop harmonisk oscillator 5.2 Dreieimpuls og kulesymmetriske potensialer (Hemmer 5.4, B&J 6.1 og 6.3) a. Dreieimpulsoperatorene b. Kompatible observable i kulesymmetriske potensialer c. Kvantisering av dreieimpuls. De sfæriske harmoniske d. Egenverdiligningen L z Y = hmy e. Egenverdiligningen L 2 Y = h 2 l(l + 1)Y f. Noen poeng g. Vedlegg om kulekoordinater 5.3 Stiv rotator (Hemmer 5.5, B&J 6.4) a. Hva er en stiv rotator b. Energiegenverdier og egenfunksjoner

7 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, kursopplegg 7 c. Strålingsoverganger. Rotasjonsspektra d. Kommentarer 5.4 Bevegelse i kulesymmetrisk potensial. Radialligningen (Hemmer 5.6, B&J 7.2, Griffiths 4.1) 5.5 Coulomb-potensialet (Hemmer 5.7, B&J 7.5, Griffiths 4.2.) a. Hydrogenlignende system redusert til enpartikkelproblem b. Energikvantisering c. Degenerasjonsgraden d. Radialfunksjoner og fullstendige bølgefunksjoner e. Orbitaler f. Hybridisering Tillegg 9. Kulesymmetrisk boks. Sylindersymmetriske systemer I dette Tillegget starter vi med en gjennomgang av det kulesymmetriske bokspotensialet (9.1). For fullstendighetens skyld tar vi i avsnitt 9.2 også med en diskusjon av sylindersymmetriske systemer. Dette avsnittet er ikke pensum i FY2045/TFY Kulesymmetrisk boks (4.1.3 i Griffiths, 7.3 i B&J) 9.2 Sylindersymmetriske potensialer *** 1 a. Todimensjonale systemer (avsnitt 5.3 i Hemmer) b. Sirkulært todimensjonalt bokspotensial 1 Ikke pensum i FY2045/TFY4250.

8 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, kursopplegg 8 D. GENERELL FORMULERING. ANVENDELSER Dette kapitlet inneholder bare nytt stoff, som vil bli forelest. Tillegg10. Mer generell formulering av kvantemekanikk Hittil i dette kurset har vi arbeidet mest med posisjons-rom-formuleringen av den kvantemekaniske teorien, og litt med den ekvivalente formuleringen i impulsrommet. I dette Tillegget skal vi se at disse formuleringene er spesialtilfeller av en mer generell teori. Poenget med denne mer generelle formuleringen er for det første at den er mer elegant og byr på endel tekniske fordeler (etter at en er blitt fortrolig med den). Det viktigste er imidlertid at den tillater oss å behandle systemer som ikke kan beskrives bølgemekanisk, dvs. ved hjelp av bølgefunksjoner i x- eller p-rommet. Et sentralt eksempel er spinn-frihetsgrader. [Bakgrunnsstoff finner du i Hemmers kapittel 6, kapittel 3 i Griffiths, og kapittel 5 i B&J. En annen referanse er J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, kapittel 1.] 10.1 Vektorer i Hilbert-rommet a. Rekapitulering b. Tilstandsvektorer i Hilbert-rommet. Dirac-notasjon c. Det duale Hilbert-rommet. Skalarprodukt d. Fullstendighet 10.2 Operatorer, egenvektorer, forventningsverdier,.. a. Generell definisjon av operatorer b. Operatorer og egenvektorer c. Adjungert d. Forventningsverdier 10.3 Tilstandsligningen. Posisjons- og impulsrepresentasjonene a. Tilstandsligningen b. Posisjons- og impuls-representasjonene 10.4 Matrisemekanikk a. Matrise-representasjoner av vektorer og operatorer b. Skifte av basis*** 2 c. Bevegelsesligningen på matriseform

9 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, kursopplegg 9 Tillegg11. Harmonisk oscillator og dreieimpuls vha operatoralgebra I Tillegg 3 er den harmoniske oscillatoren gitt en grundig bølgemekanisk behandling. Vi skal her vise at energi-spektret (og egentilstandene) kan finnes på en enklere måte ved hjelp av operator-algebra. Vi bruker her egenskapene til Hilbert-romoperatorene direkte, uten å gå veien om en bestemt representasjon, dvs uten først å projisere ned på en bestemt basis. Denne metoden kan generaliseres til mange andre problemstillinger. I dette tillegget skal vi som et eksempel kvantisere dreieimpuls, med en metode som ligner mye på den vi her bruker for oscillatoren. Det vil da vise seg at den abstrakte operator-algebraen, ved siden av å reprodusere de bølgemekaniske resultatene for bane-dreieimpuls (Tillegg 5), også gir en beskrivelse av halvtallige dreieimpulstilstander (spinn), som ikke kan beskrives bølgemekanisk. Dirac-notasjonen lar oss altså formulere en mer generell teori enn den bølgemekaniske formuleringen (posisjons- og impuls-representasjonene). Dette stoffet finner du elegant og konsist behandlet hos Hemmer. Se også Griffiths Harmonisk oscillator 11.2 Generell kvantisering av dreieimpuls 11.3 Banedreieimpuls, i posisjonsrepresentasjonen*** 3 Tillegg12. Magnetiske momenter. Spinn I avsnitt 12.1 i dette tillegget skal vi først se på det magnetiske momentet fra en ladet partikkel i bevegelse, både klassisk og kvantemekanisk. Deretter går vi gjennom eksperimentet til Stern og Gerlach, som indikerer at elektronet har en indre dreieimpuls (spinn). Vi gir også en oversikt over spinnene til andre partikler. I avsnitt 12.2 etablerer vi en formalisme for spinn 1, basert på den generelle diskusjonen av dreieimpuls i Tillegg Magnetiske momenter knyttet til banedreieimpuls og spinn a. Klassisk magnetisk moment b. Magnetisk moment fra banebevegelse kvantemekanisk c. Stern Gerlachs eksperiment. Elektronets spinn d. Spinnene til andre partikler 12.2 Formalisme for spinn 1 2 a. Stigen av ket-vektorer for spinn 1 2 b. Matriseformulering. Pauli-matrisene c. Spinnretningen d. Presesjon i homogent magnetfelt 3 Ikke pensum i TFY4250/FY2045

10 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, kursopplegg 10 Tillegg13. Addisjon av dreieimpulser Se Hemmer og Griffiths Innledning 13.2 Addisjon av to spinn Addisjon av dreieimpulser generelt 13.4 Kommuteringsregler 13.5 Addisjon av banedreieimpuls og spinn 13.6 Addisjon av flere dreieimpulser Tillegg14. Tidsavhengig perturbasjonsteori Avsnittene i Hemmer, i B&J, 9.1 i Griffiths Innledning 14.2 Formulering av tidsavhengig perturbasjonsteori 14.3 Kvalitativ diskusjon 14.4 Harmonisk perturbasjon 14.5 Diskret kontinuerlig overgang. Fermis Gyldne Regel 14.6 Spredning på statisk potensial Tillegg 15. Halvklassisk strålingsteori Ved siden av Tillegg 15 gis det litteraturhenvisninger, først og fremst til avsnittene i Hemmer. Det vises også til kap. 11 i Bransden & Joachain og til avsn i Griffiths Ladet partikkel i ytre felt [Hemmer 12.1, B&J 11.1] a. Schrödingerligningen b. Justertransformasjoner 15.2 Feltet som perturbasjon [Hemmer 12.2, B&J 11.1] a. Vekselvirkningsledd b. Det elektromagnetiske feltet

11 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, kursopplegg Overganger mellom atomære tilstander [H 12.3, B&J 11.2, G 9.2] a. Stimulert emisjon like sannsynlig som absorpsjon b. Elektrisk-dipol-tilnærmelsen 15.4 Spontan emisjon via Einsteins likevektsargument [H 12.4, B&J 11.3, G 9.3] a. Midling over alle retninger b. Likevektsargumentet 15.5 Utvalgsregler for elektrisk dipolstråling [H 12.5, B&J pp , G 9.3] a. Utvalgsreglene b. Eksempler, for hydrogen c. Levetid. Naturlig linjebredde [H 12.4]