ĐỊNH LÝ SÁU ĐIỂM VÀ ỨNG DỤNG

Transkript

1 ĐỊNH LÝ SÁU ĐIỂM VÀ ỨNG ỤNG Trần Minh Ngọc SV K38 Khoa Toán-Tin ĐHSP TPHM Tóm tắt Trong quá trình giải toán, tôi phát hiện ra một tính chất đẹp của tỉ số kép. Trong bài viết này tôi muốn giới thiệu tới các bạn tính chất ấy và một số ứng dụng của nó I. Phát biểu và chứng minh Trong quá trình làm toán, tôi gặp tính chất sau: ho sáu điểm,,,,e, phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Khi đó (E) (E),(E) (E),... (ạn đọc tự tìm những đẳng thức tương tự). Khi đó tôi đặt vấn đề: Liệu với sáu điểm,,,,e, phân biệt mà không có ba điểm nào thẳng hàng. Nếu ta có một đẳng thức, chẳng hạn như (E) (E) thì ta sẽ có tất cả các đẳng thức hay không? âu trả lời là có, và nó được phát biểu thành định lý sau, tôi tạm gọi là định lý sáu điểm : Định lý 1 (Định lý sáu điểm): ho sáu điểm,,,,e, phân biệt mà không có ba điểm nào thẳng hàng. Khi đó, nếu ta có một hoán vị X,X,X,X,X,X của,,,,e,thỏa X (X X X X ) X (X X X X ) thì ta cũng có đẳng thức tương tự với những hoán vị còn lại hứng minh E E E

2 Không mất tính tổng quát giả sử (E) (E) Ta chứng minh E() (), các đẳng thức còn lại chứng minh tương tự Gọi E,,E, lần lượt là giao điểm của với E,,E, Khi đó: (E ) (E) (E) (E ) hay E E E E : :. E E Suy ra : :. o đó: E E E() E() (E E ) ( ) () () Định lý được chứng minh. II. Ứng dụng húng ta bắt đầu với một bài toán có dạng giống với định lý Pascal ài toán 1: hứng minh rằng nếu từ sáu điểm phân biệt mà không có ba điểm nào thẳng hàng lập được một lục giác có giao điểm các cặp cạnh đối thẳng hàng thì mọi lục giác lập từ sáu điểm ấy đều như vậy hứng minh: E P L J N I K H M G Q Xét sáu điểm,,,,e, phân biệt mà không có ba điểm nào thẳng hàng. Giả sử lục giác Ecó giao điểm các cặp cạnh đối thẳng hàng. Ta chứng minh lục giác E cũng như vậy. Với các lục giác khác ta chứng minh tương tự Gọi G,H,I,J,Klần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (,E),(,E),(,),(,E),(,E)

3 Từ G,H,I thẳng hàng suy ra K,GH,Jđồng quy. o đó (E) (EGJ) (EKH) (E). Theo định lý sáu điểm: () E(). Gọi L,M, N,P,Qlần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (,),(E,),(E,),(,),(E,) Từ (LP) () E() (QM)suy ra Q,LM,Pđồng quy. o đó: L,M, Nthẳng hàng. ài toán được chứng minh. Nhận xét: Từ chứng minh của bài toán 1, ta rút ra được tính chất sau: Lục giác Ecó giao điểm các cặp cạnh đối thẳng hàng khi và chỉ khi có một hoán vị X,X,X,X,X,X của,,,,e,thỏa X (X X X X ) X (X X X X ) Trong toán học, tồn tại nhiều vấn đề tưởng chừng như khác biệt nhưng thật ra lại có cùng bản chất. Sau đây, chúng ta sẽ tiếp cận những vấn đề như vậy. ài toán 2 (Trần Minh Ngọc): ho tứ giác nội tiếp đường tròn (O). Gọi E,lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (,),(,). Giả sử tiếp tuyến tại của đường tròn ()cắt tại G, tiếp tuyến tại của đường tròn ()cắt tại H. Gọi J là điểm chính giữa cung không chứa,. Gọi K,Llần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (J,),(J,). hứng minh: E,GL,HK đồng quy hứng minh:

4 E J K L G M I H Gọi I là giao điểm của tiếp tuyến tại của đường tròn ()và tiếp tuyến tại của đường tròn ()cắt tại H Mlà giao điểm của I, o 2 M K, M K nên (IJE) (MK) Tương tự, ta có: (IJE) Mặt khác từ suy ra. o đó (IJE) (IJE). Gọi Xlà giao điểm E,IJ Áp dụng nhận xét bài toán 1, ta được lục giác EIJ,EIJ có giao điểm các cặp cạnh đối thẳng hàng hàng, tức là (H,X,K),(G,X,L) là các bộ điểm thẳng hàng. Suy ra E,GL,HK,IJ đồng quy. Nhận xét: (I,J),(I,J)lần lượt là cặp đường đối trung ngoài - phân giác trong của hai tam giác,. Nếu ta thay chúng bởi hai cặp đường cao trung tuyến, hay một cách tổng quát là hai cặp đường tương tự nhau trong hai tam giác thì kết quả vẫn không thay đổi. Sở dĩ ta có điều đó là vì tính chất đồng dạng của hai tam giác,. ây giờ, ta đã có một lớp bài toán đồng quy. Nếu không nhìn ra đặc điểm chung giữa chúng thì ở mỗi bài toán, ta phải tìm cách giải

5 khác nhau. Đây cũng là kinh nghiệm giải toán mà tác giả muốn truyền đạt cho bạn đọc. Trở lại bài toán 2, chúng ta thấy rằng ý tưởng chính để giải nó trên là sử dụng nhận xét bài toán 1. Nhận xét ấy thật sự là công cụ mạnh để giải các bài toán về đồng quy thẳng hàng. Để thấy rõ điều đó, chúng ta thảo luận bài toán sau: ài toán 3(Trần Minh Ngọc): ho tam giác nội tiếp đường tròn (O). Gọi Mlà trung điểm. Giả sử OMlần lượt cắt, tại,e và đường cao ứng với đỉnh của tam giác lần lượt cắt tiếp tuyến tại, của (O) tại,g. hứng minh:,g,e đồng quy. hứng minh E O X M H I G Gọi Hlà giao điểm đường cao ứng với đỉnh của tam giác với (O) I là giao điểm tiếp tuyến tại, của (O). ễ thấy rằng O,I,Mthẳng hàng Ta chứng minh (IOH) (IOH) (*).

6 Ta có: sin I sin O sin I sin O (*) : : sin HI sin HO sin HI sin HO o o o o sin(180 ) sin(90 ) sin(180 ) sin(90 ) : : o o sin H sin(90 H) sin H sin(90 H) sin cos sin cos : : 0 sin(90 ) sin 0 sin(90 ) sin sin cos sin cos : : cos sin cos sin tan tan cot cot tan.cot tan.cot 1=1 Vậy (IOH) (IOH) Gọi Xlà giao điểm của,ok Áp dụng nhận xét bài toán 1 cho lục giác OIH,OIHta được: (,G,X),(E,,X)là các bộ điểm thẳng hàng. Suy ra,g,e,ok đồng quy Trước khi kết thúc bài viết, chúng ta cùng tìm hiểu một bài toán, là mở rộng của định lý về điểm nti- Steiner ài toán 4: ho tam giác nội tiếp đường tròn (O) và tam giác thỏa,, đồng quy tại một điểm trên (O). Gọi d là đường thẳng đối xứng a với qua, định nghĩa tương tự: d,d. Gọi,, lần lượt là giao 1 1 b c điểm của các cặp đường thẳng (d,d ),(d,d ),(d,d ). hứng minh b c c a a b,, đồng quy tại một điểm trên (O) hứng minh:

7 3 E 2 R 1 O Q P 3 Gọi t là đường thẳng qua vuông góc, định nghĩa tương tự t,t a b c,, lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng t,t, t,t, t,t b c c a a b Ta chứng minh:,, đồng quy tại một điểm trên (O) Gọi R là giao điểm, 3 3 R E E Từ R E Suy ra R 180 R R 180 E 180 E o đó:,,,r đồng viên hay 3 3 R (O), thì R' (O),, đồng quy tại giao điểm R của,(o) 3,, đồng quy tại một điểm trên (O) Tương tự nếu gọi R'là giao điểm của 3 3 Vậy ây giờ ta chứng minh: Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng,,, Từ ( ) ( ) 1, theo định lý sáu điểm, suy ra ( ) ( ). Tương tư: (E ) (E ) Mà ( ) (E )nên ( ) (E ) hay (PQR) (PQR). Vì,,,P,R cùng nằm trên (O) nên đẳng thức này chứng tỏ Q (O) 3

8 Tương tự nếu gọi Q'là giao điểm của, thì Q' (O) 2 2 Vậy,, đồng quy tại giao điểm Q của,(o) Nhận xét: Khi tam giác suy biến, ta có lại định lý về điểm nti-steiner như sau: ho tam giác nội tiếp đường tròn (O) và đường thẳng d bất kì. Gọi d,d,d lần lượt là đường thẳng đối xứng với d qua,,. Khi đó: a b c - Nếu d đi qua trực tâm tam giác thì d,d,d đồng quy tại một điểm trên a b c (O) (điểm đó gọi là điểm nti Steiner của đường thẳng d ) - Nếu d không đi qua trực tam giác, gọi Gọi,, lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (d,d ),(d,d ),(d,d ). Khi đó,, đống b c c a a b quy tại một điểm trên (O) III. Lời kết ài viết kết thúc nhưng những ứng dụng của định lý sáu điểm không dừng lại ở đó, tôi tin rằng các bạn có thể tìm thấy những ứng dụng khác mới mẻ hơn. uối cùng, bài viết không thể trách khỏi những thiếu sót, mong bạn bỏ qua. Mọi thắc mắc xin liên hệ: tranminhngoc.ctlhp@gmail.com IV. Tài liệu tham khảo 1. Văn Như ương, Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm, Hà Nội, Phạm ình Đô, Hình học xạ ảnh, Nhà xuất bản Đại học Sư Phạm, Hà Nội, H.S.M.oxeter, The Real Projective Plane, McGRW HILL OOK OMPNY, IN, Geometry Mathley Round , Problem 4 5. ác tài liệu về định lý Steiner trên Internet