Formelliste til boken Reguleringsteknikk

Transkript

1 Formelliste til boken Reguleringsteknikk Finn Haugen 14. februar 013 Nedenfor er de mest aktuelle formlene i boken. Formlene står i samme rekkefølge som i boken. IEA-indeksen (Integral of Absolute value of control Error): IAE = tslutt t start t k =t slutt e(t) dt T s e (t k ) (1) t k =t start e = y SP y er reguleringsavviket. y SP er settpunktet. y er prosessvariabelen eller prosessutgangen som skal reguleres til sitt settpunkt. Oppløsning: R = y a m aks y amin n 1 y am aks er maksimal signalverdi. y amin er minimal signalverdi. n er antall bits i AD-omsetteren. () Måleverdiomregning fra kjent måleverdi M til prosessverdi P : P = P P 1 M M 1 (M M 1 ) + P 1 (3) Formelen uttrykker en antatt lineær sammenheng mellom P og M mellom de gitte punktene (verdiparene) (M 1, P 1 ) og (M, P ). Tidskonstantfilter: T f ẏ mf (t) = y m (t) y mf (t) (4) T f [s] er filtertidskonstanten. y m er ufiltrert målesignal (filterinngang). y mf er filtrert målesignal (filterutgang). 1

2 F. Haugen: Reguleringsteknikk Tidsforsinkelse gjennom tidskonstantfilter når inngangssignalet er rampeformet: τ rampe = T f (5) Sammenheng mellom støydempningen, σ ymf /σ ym, og tidskonstant for tidsdiskret tidskonstantfilter: T f T s 1 ( σymf /σ ym ) (6) T s samplingsintervallet. σ ymf er standardavviket av filterutgangen. er standardavviket av filterinngangen. σ ym Tidsdiskret tidskonstantfilter, også kalt EWMA-filter (Exponentially Weighted Moving Average): der filterparameteren a er k er tidsindeksen (heltallig). y mf (t k ) = (1 a)y mf (t k 1 ) + ay m (t k ) (7) a = Håndregler for valg av tidskonstant: T s T f + T s (8) T f T p 10 evt. T f τ p 10 T p er prosessens tidskonstant. τ p er prosessens tidsforsinkelse. (9) (10) Middelverdifilter: y mf (t k ) = 1 N j=k j=k (N 1) y m (t j ) (11) der N er antall samplede måleverdier y m som skal midles. Tidskonstantfilter med tidskonstant T f [s] og middelverdifilter med tidsvindu T v [s] som er (lengden av) tidsintervallet med samplede måleverdier som skal midles, oppfører seg ganske likt dersom T f T v (1)

3 F. Haugen: Reguleringsteknikk 3 Lineær pådragskarakteristikk mellom u se (pådragsverdien uttrykt i standardenhet, typisk ma eller volt) og u fe (pådraget uttrykt i fysisk enhet, f.eks. kg/min): u se = u se u se1 u fe u fe1 (u fe u fe1 ) + u se1 (13) (u fe1,u se1 ) og (u fe,u se ) er gitte, sammenhørende punkter. Tidsforsinkelse gjennom DA-omsetter: der T s er samplingsintervallet. Pulsbreddemodulering: τ T s (14) Duty cycle: T on er på-tid. T p er fast periodetid. D = T on T p [%] (15) Gjennomsnittlig utsignalverdi ved pulsbreddemodulering: Ventiler: Ventillikningen (for væsker): u mean DU on (16) Q = K v (z) pv G eller K v pv G (17) Q [m 3 /h] er væskestrøm. z er ventilåpning [normalisert mellom 0 (lukket) og 1 (fullt åpen)]. p v [bar] er trykkfallet over en ventilen. K v er ventilkonstanten eller kapasitetsindeksen som er en funksjon av z. Lineære egenkarakteristikk for ventil: K v (z) = K vmax z (18) Ulineær eller logaritmisk eller likeprosentlig egenkarakteristikk for ventil: K v (z) = K vmax R 1 z (19) R er regulerbarheten (typisk verdi 50). Elektrisk motstand brukt som varmekilde:

4 4 F. Haugen: Reguleringsteknikk Midlere (gjennomsnittlig) effekt P midlere [W] er P midlere = U eff R (0) U eff [V] er spenningens effektivverdi. R [Ω] er motstandsverdien. Lengdespesifikk motstandsverdi for motstand med motstandsverdi R [Ω] og lengde L [m]: R s = R L [Ω/m] (1) Dimensjonering av motstandsverdi for strømsløyfe (current loop) vha. Ohms lov: R [Ω] = u [V] i [A] () i er maksimal strøm fra transmitteren og u er tilsvarende maksimal spenning som skal registreres av datainnsamlingsutstyret. Måleoppløsning: R = S n 1 n er antall bits i AD-omsetteren. S er måleomfanget (eng.: span). (3) Termoelement: Termoelementspennningen for ukjent temperatur T m : v 0 (T m ) = v + v 0 (T r ) (4) v er kjent fra spenningsmåling i termoelementet. v 0 (T r ) er termoelementspenningen for kjent referansetemperatur T r avlest i temperatur/emk-tabell. T m finnes fra spenningen v 0 (T m ) (som nå er kjent) i temperatur/emk-tabellen. Motstandstermometer: Beregning av temperatur T [ C] fra målt motstandsverdi R [Ohm]: T = R R 0 1 a (5) R 0 [Ohm] er motstandsverdien ved 0 C. a er en kjent konstant for gitt type motstandtermometer (f.eks. Pt100-element).

5 F. Haugen: Reguleringsteknikk 5 Ultralydbasert nivåsensor: Nivå (høyde) L [m]: L [m] = vt r (6) T r [s] er refleksjonstiden. v [m/s] er lydhastigheten. Sammenheng mellom hydrostatisk trykk p [Pa] og væskehøyden h + h 0 [m] ved målepunktet: p = ρg(h + h 0 ) (7) g [m/s ] er gravitasjonskonstanten. ρ [kg/m 3 ] er væskens tetthet. h er væskenivå i tanken. h 0 er væskenivå (-lengde) i målerør. Sammenheng mellom væskestrøm F og trykkfall p over måleblende: k er en konstant. Ultralydbasert 1 strømhastighetsmåling: F = k p (8) v = k (t mot t med ) (9) v [m/s] er hastighet. t med er transporttiden for en puls sendt medstrøms. t mot er transporttiden for en puls sendt motstrøms. k er en konstant. Sammenhen mellom volumstrøm Q [m 3 /s] og strømhastighet v [m/s]: A [m ] er tverrsnittsareal. Q = Av (30) Coriolis strømmåling: Sammenheng mellom volumstrøm F v [m 3 /s], massestrøm F m [kg/s] og tetthet ρ [kg/m 3 ]: F v = F m ρ (31) Termisk strømmåling: Temperaturdifferansen mellom to varmeseksjoner: T = T T 1 = kf (3) F er massestrøm. k er en konstant. 1 Utralyd er lyd som har frekvens høyere enn det hørbare frekvensområdet.

6 6 F. Haugen: Reguleringsteknikk Online-beregning av hastighet fra posisjon: v(t k ) = ds(t k) dt s(t k) s(t k 1 ) T s (33) T s [s] er samplingsintervallet. s(t k ) er posisjonsverdi. k er tidsindeks. Offl ine-beregning av hastighet fra posisjon med senterdifferansemetoden: v(t k ) s(t k+1) s(t k 1 ) T s (34) Tachometer: Sammenheng mellom rotasjonshastighet eller turtall v [rpm = revolutions per minute] og tachometerspenningen u t [V]: K t er tachometerkonstanten. Massebalanse: u t = K t v (35) dm(t) dt = w inn (t) w ut (t) + w generert (t) (36) m [kg] er masse. w [kg/s] er massestrømninger. Energibalanse: de dt = Q inn Q ut + Q generert (37) E [J] er systemets termiske energi. Q [J/s = W] er energistrømmer. Vanlig antakelse i energibalanse: E = cmt = cρv T = CT (38) T [K] er systemets temperatur. c [J/(kg K)] er spesifikk varmekapasitet. m [kg] er massen. V [m 3 ] er volumet. ρ [kg/m 3 ] er tetthet. C [J/K] er total varmekapasitet. Kraftbalanse eller Newtons. lov for translatorisk (rettlinjet) bevegelse ved konstant masse, m [kg]: m v = mẍ = ma = F (39) v = ẍ = a [m/s ] er akselerasjonen. x [m] er posisjon. F [N] er kraft.

7 F. Haugen: Reguleringsteknikk 7 Momentbalanse eller Newtons. lov for roterende bevegelse ved konstant treghetsmoment, J [kgm ]: J ω = J θ = T (40) T er moment. ω = θ er vinkelakselerasjonen. θ [rad] er vinkelposisjon. Sammenhenger mellom translatorisk og roterende bevegelse: T = F l (41) T [Nm] er moment. F [N] er kraft. l [m] er armens lengde. b = θr (4) b [m] er buelengde. θ [rad] er vinkel. r [m] er radius. Ohms lov uttrykker sammenhengen mellom spenning u [V], strøm i [A] og motstand R [Ohm]: u = Ri (43) Momentan effekt P [W] mottatt/avgitt av motstand: P = ui = Ri = u R (44) Midlere (gjennomsnittlig) effekt ved vekselstrøm/-spenning (sinusformet): P midlere = U eff I eff = R I eff = U eff I eff [A] er strømmens effektivverdi: R (45) I eff = I maks (46) U eff [V] er spenningens effektivverdi: U eff = U maks (47) Totalt pådrag u ved tilbakekopling (PID-regulering) foroverkopling: u = u t + u f (48) u t er pådraget fra tilbakekoplingen. u f er pådraget fra foroverkoplingen.

8 8 F. Haugen: Reguleringsteknikk Prosessforsterkning K for system med inngangssignal u og utgangssignal y beregnet fra statisk sprangrespons i y pga. sprang i u: K = y y 1 u u 1 = y u (49) (u 1, y 1 ) er sammenhørende verdier av inngang og utgang før spranget i u. Dette verdiparet definerer arbeidspunktet før spranget. (u, y ) er arbeidspunktet når responsen i y har stabilisert seg, altså ved statiske forhold. Definisjon av forsterkning K og tidskonstant T ut fra differensiallikning der u er inngangssignal og y er utgangssignal: T ẏ = Ku y (50) Definisjon av forsterkninger K 1 og K og tidskonstant T for system med to inngangssignaler, u 1 og u : Integrator: evt. der K i er integralforsterkningen. T ẏ = K 1 u 1 + K u y (51) ẏ = K i u (5) t y(t) = K i u (τ) dτ (53) Tidsforsinkelse τ [s eller en annen tidsenhet] mellom signal u(t) og signal y(t): y(t) = u(t τ) (54) Tidskontinuerlig PID-regulatorfunksjon: u(t) = u man + K p e(t) + K p T i 0 t 0 e(τ) dτ + K p T d de(t) dt u er pådrag. u man er det manuelt innstilte pådraget. e er reguleringsavviket (settpunkt minus filtrert prosessmåling):e = y SP y mf. Sammenhengen mellom proporsjonalbånd P B [%] og regulatorforsterkning K p : P B = 100 og motsatt: K p = 100 K p P B (55)

9 F. Haugen: Reguleringsteknikk 9 Tidsdiskret PID-regulator: u(t k ) = u man + u p (t k ) + u i (t k ) + u d (t k ) (56) der u p (t k ) = K p e(t k ) (57) u i (t k ) = K pt s T i [e(t 0 ) + e(t 1 ) e(t k 1 ) + e(t k )] (58) = u i (t k 1 ) + K pt s T i e(t k ) (59) u d (t k ) = K p T d e(t k ) e(t k 1 ) T s (60) T s [s] er regulatorens samplingsintervall (tidsskritt). Tidsdiskret tidskonstantfilter for filtrering av støyfylt prosessmåling (dette filteret er presentert ovenfor): der filterparameteren a er y mf (t k ) = (1 a)y mf (t k 1 ) + ay m (t k ) (61) a = T s T f + T s (6) Av/på-regulator: u = { umaks for e 0 u min for e < 0 } (63) Ziegler-Nichols svingemetode: K p T i T d P-regulator 0, 5K pk 0 P PI-regulator 0, 45K u pk 1, 0 P PID-regulator 0, 6K u P u pk 8 = T i 4 Repetert Ziegler-Nichols (svinge)metode: K p = 0, 45K p0 (64) T i = P u 0 1, K p0 er regulatorforsterkningen og P u0 er periodetiden i de dempede svingingene med opprinnelig PI-regulator (som her er forutsatt å gi dårlig stabilitet). (65)

10 10 F. Haugen: Reguleringsteknikk Relémetoden: Kritisk regulatorforsterkning K pu = Ut-amplitude 4A Inn-amplitude = π E = 4A πe 1, 7 A E (66) E er amplituden i svingingene i reguleringsavviket (og i prosessmålingen). A er av/på-pådragets amplitude: A = u maks u min (67) Good Gain-metoden: K p = 0.8K GG (68) T i = 1.5T ou (69) Skogestad-metoden: Håndregel for valg av reguleringssystemets tidskonstant: T C = τ (70) τ er prosessens tidsforsinkelse. Tidskonstant med tidsforsinkelse -prosess: PI-innstilling: K p = T K (T C + τ) (71) T i = min [T, (T C + τ)] (7) K er prosessens forsterkning. T er prosessens tidskonstant. τ er prosessens tidsforsinkelse. min betyr minimum av. Responstidmetoden: PI-innstilling: K p = 1 K (73) og T i = T 63 (74) K er prosessforsterkningen. T 63 er prosessens responstid eller 63%-stigetid. Integrator med tidsforsinkelse -prosess: PI-innstilling: K p = 1 K i (T C + τ) K i er prosessens integralforsterkning. (75) T i = (T C + τ) (76)

11 F. Haugen: Reguleringsteknikk 11 Ren integrator -prosess: PI-innstilling: der T c må spesifiseres. Håndregel for bruk av derivatledd: T aktuator er tidskonstanten for aktuatoren. Dobbelintegrator -prosess: K p = 1 K i T c (77) T i = T c (78) T d = T aktuator (79) ÿ = K ii u (80) PID-innstilling: K p = K pp = K ii T C (81) T i = T ip = 4T C (8) T d = T dp = T C (83) Omregningsformel for K p uttrykt i standardenheter (SE) til K p uttrykt i fysiske enheter (FE): [FEp] K p,f E [FEm] = K [SEm] sm [FEm] K [SEp] p,se [SEm] K [FEp] sp [SEp] (84)