1.2 Programvare for analyse og design av reguleringsystemer. Fagmiljøerpåweb

Transkript

1 Innhold I Oppgaver 9 1 Innledning Reguleringsteknikkensbetydning Programvare for analyse og design av reguleringsystemer. Fagmiljøerpåweb Littreguleringstekniskhistorie Tilbakekoplet regulering Innledning Formuleringavreguleringsproblemet Løsningavreguleringsproblemet Eksempler på reguleringssystemer. Dokumentasjon med teknisk flytskjemaogblokkdiagram Funksjoner og signaler i reguleringssløyfen Regulatorfunksjoner Innledning Innstillingavnomineltpådrag Av/på-regulator P-regulator

2 2 Oppgaver til Praktisk reguleringsteknikk PI-regulator PID-regulator PID-regulatoren på serieform og transformasjon fra serie-tilparallellform Positiv eller negativ regulatorforsterkning? Praktiske problemer: Pådragsspark, metning og støy Reduksjon av P- og D-spark ved brå referanseendringer Integratorbegrensning (anti-windup) ved pådragsmetning Filtrering av målestøy med dynamisk filter og med dødbånd NårvelgeP,PI,PDellerPID? Reduksjon av avviket gjennom prosessendringer Reguleringssløyfensstabilitet Reguleringsutstyr 33 4 Eksperimentell innstilling av PID-regulator Innledning Kriteriumforregulatorinnstilling P-I-D-metoden Ziegler-Nichols lukketsløyfe-metode Åstrøm-Hägglunds av/på-metode Ziegler-Nichols åpensløyfe-metode Virkninger av å endre regulatorparametrene Auto-tuning... 43

3 Oppgaver til Praktisk reguleringsteknikk 3 5 PID-regulering ved variabel prosessdynamikk Innledning ParameterstyrtPID-regulator Brukavparametertabell Parameterstyringsfunksjon funnet fra prosessmodell Adaptivregulator Tidsdiskret PID-regulator Innledning Datamaskinbasertreguleringssløyfe UtviklingavtidsdiskretPID-algoritme Samplingsintervallets betydning for stabilitet og PID-innstilling 53 7 Analyse av reguleringssystemer Innledning Ombrukavsimulatorerianalyse Følgeegenskaper og kompenseringsegenskaper Innledning Analyse basert på differensiallikningsmodell Analyse basert på transferfunksjonsmodell Analysebasertpåfrekvensrespons Integralbasertytelsesmål Statistiskeytelsesmål Stabilitetsegenskaper Innledning... 63

4 4 Oppgaver til Praktisk reguleringsteknikk Nyquistsstabilitetskriterium Transferfunksjonsbasert PID-innstilling Innledning Utvikling av regulatorer med direktemetoden Polplasseringsinnstilling av regulatorer for prosesser uten tidsforsinkelse Innledning Regulatorforintegratorprosess Regulatorfor1.ordensprosess Regulator for 1. ordens prosess med integrator Regulatorfor2.ordensprosess Skogestads metode for prosesser med tidsforsinkelse Regulatorermed2frihetsgrader Frekvensresponsbasert PID-innstilling Innledning Ziegler-Nichols frekvensresponsmetode Frekvensresponsbasert justering av PID-parametre Innledning PID-regulatorensfrekvensrespons PID-parametrenes betydning for frekvensresponsen Foroverkopling Innledning Utvikling av foroverkoplingsfunksjoner fra differensiallikningsmodeller... 84

5 Oppgaver til Praktisk reguleringsteknikk Utvikling av foroverkoplingsfunksjoner fra transferfunksjonsmodeller Reguleringsstrukturer Kaskaderegulering Forholdsregulering Split-rangeregulering Massebalansereguleringavprosesstreng Multivariabelregulering Innledning Enkeltsløyferegulering med PID-regulatorer Dekopling kombinert med PID-regulering Modellbasertprediktivregulering II Løsninger 95

6 6 Oppgaver til Praktisk reguleringsteknikk

7 Forord Denne boken inneholder oppgaver med løsninger til læreboken Praktisk reguleringsteknikk, 2. utgave, Tapir Forlag, Oppgavene krever ikke bruk av spesiell programvare (men et par av oppgavene krever tilgang til Internett). Dette er 2. utgave av boken. Den er lik 1. utgave bortsett fra at feil er rettet opp. Øvingsopplegget i et fag om reguleringsteknikk bør også omfatte bruk av egnet programvare for analyse, design og simulering, som MATLAB/SIMULINK og/eller LabVIEW. Informasjon om relevante bøker og tutorials fins på Jeg vil også nevne KYBSIM (se som er en fritt tilgjengelig samling av ferdigutviklede simulatorer med oppgaver for bl.a. reguleringsteknikk. Boken er inndelt i samme kapitler og underkapitler som læreboken. Skien, desember Hilsen Finn Haugen 7

8 8 Oppgaver til Praktisk reguleringsteknikk

9 Del I Oppgaver 9

10

11 Kapittel 1 Innledning 1.1 Reguleringsteknikkens betydning Oppgave 1 Reguleringsteknikkens betydning I underkapittel 1.1 i læreboken er det listet opp syv forskjellige formål for reguleringsteknikken, nemlig produktkvalitet, temperaturregulering, driftsøkonomi, sikkerhet, miljøvern, komfort, teknisk gjennomførbarhet og automatisering. For hvert av dem: Nevn minst ett eksempel på en anvendelse (andre eksempler enn de som står i læreboken). Hvis du ikke kan finne eller komme på et eksisterende anvendelse, kan du bruke fantasien og foreslå en anvendelse! 1.2 Programvare for analyse og design av reguleringsystemer. Fagmiljøer på web Oppgave 2 Programvare List opp programvare for analyse og design av reguleringsystemer (søk gjerne på Internett). Oppgave 3 Fagmiljøer Finn webadressene til følgende fagmiljøer, og orienter deg der om ressursene som tilbys: 11

12 12 Norsk Forening for Automatisering The Instrumentation, Systems, and Automation Society (ISA) International Federation of Automatic Control (IFAC) IEEE Control Systems Society Control Engineering 1.3 Litt reguleringsteknisk historie Oppgave 4 Nivåreguleringssystem fra antikken Figur 1.4 på side 14 i læreboken viser et nivåreguleringssystem fra antikken. Forklar reguleringssystemets virkemåte.

13 Kapittel 2 Tilbakekoplet regulering 2.1 Innledning Oppgave 5 Hvilke variable skal reguleres? Nevn 5 variable som du vet eller antar kan være gjenstand for regulering i industrianlegg. 2.2 Formulering av reguleringsproblemet Oppgave 6 Formuleringavreguleringsproblemet Nedenfor er nevnt noen prosesser som blir regulert. Prosessutgangen, som skal reguleres, er angitt i parentes. Angi for hver prosess hva som er pådrag forstyrrelse (én eller flere av de viktigste) (jf. figur 2.1 side 20 i læreboken). Gjør selv nødvendige antakelser. 1. Robotarm drevet av en elektrisk motor (armens posisjon) 2. Dampoppvarmet varmeveksler (temperatur) 13

14 14 3. Fartøy med dynamisk posisjonering (fartøyets posisjon), se figur 1.2 side 11 i læreboken. 2.3 Løsning av reguleringsproblemet Oppgave 7 Beregningavkonstantpådragiåpensløyfe-styring Figur 2.3 i læreboken viser simulerte responser for en dynamisk prosess som er styrt av et konstant pådrag. Den statiske versjonen av prosessens matematiske modell er der K u =1og K v =1. y = K u u + K v v (2.1) 1. Som vist i figur 2.3 i læreboken, er den statiske pådragsverdien u 0 =50. Bruk (2.1) til å beregne det statiske reguleringsavviket e s = y rs y s når referansen er y rs =70og forstyrrelsen er v s = 20. Er svaret i overensstemmelse med figur 2.3 i læreboken? 2. Finn en formel for det statiske pådraget, u 0,somkanbrukestilå regne ut den korrekte pådragsverdien for alle (statiske) verdier av referansen og forstyrrelsen. 3. Bruk formelen for det statiske pådraget utledet i deloppgave b ovenfor til å beregne den pådragsverdien som gir null reguleringssavvik for signalverdiene angitt ovenfor. 4. Figur 2.5 på side 25 i læreboken viser responsene i reguleringssystemet ved tilbakekoplet regulering der en regulator (PID-regulator) automatisk beregner den pådragsverdien som trengs for å få null statisk reguleringsavvik. Er den pådragsverdien som du kan lese av i figuren, lik den som du nettopp har beregnet (i deloppgave c) og anvendt i åpen sløyfe-styring? 5. Er det i praksis bedre å bruke automatisk pådragsberegning (med passende regulatorfunksjon) framfor manuell pådragsberegning på basis av kjennskap til en prosessmodell?

15 Eksempler på reguleringssystemer. Dokumentasjon med teknisk flytskjema og blokkdiagram Oppgave 8 Åforståettekniskflytskjema Figur 2.1 viser et teknisk flytskjema for innløpskassen i en papirfabrikk. (Fra innløpskassen sprøytes papirmasse ut på den såkalte wiren, hvorpå den tørkes til papir.) PC Atm Trykkluft LC LT Innløpskasse Papirmasse Wire PT Figur 2.1: Oppgave 8: Innløpskasse Hvilken informasjon gir skjemaet deg? Oppgave 9 Blokkdiagram for turtallsreguleringssystem Figur 2.2 viser de delene som et hastighetsreguleringssystem for en elektrisk motor kan bestå av. (Det er motorens vinkelhastighet som skal reguleres.) Sy delene sammen slik at de utgjør et (tilbakekoplet) hastighetsreguleringssystem. Oppgave 10 Blokkdiagram for nivåreguleringssystem

16 16 Hastighet Spenning Tacho- Klemmespenning Motor meter Regulator Effektforsterker Avviksberegner Figur 2.2: Oppgave 9: Hastighetsreguleringssystemets deler Figur 2.3 viser en del av en velkjent prosess med tilhørende nivåreguleringssystem. 1. Forklar nivåreguleringssystemets virkemåte. 2. Påvis at reguleringen er basert på tilbakekopling. 3. Tegn et blokkdiagram av reguleringssystemet med angivelse av de enkelte komponentene (blokkene) og variablene (som figur 2.4 side 24 i læreboken). Oppgave 11 Teknisk flytskjema og blokkdiagram for reguleringssystemer Tegn blokkdiagram for et reguleringssystem for hver av prosessene angitt nedenfor. Tegn også teknisk flytskjema (TFS) i de oppgavene dette er angitt. Prosessutgangen (den variabelen som skal reguleres) er angitt i parentes. Gjør selv nødvendige antakelser. 1. Robotarm drevet av en elektrisk motor (armens posisjon).

17 17 Vann Figur 2.3: Oppgave 10: En del av en velkjent prosess med tilhørende nivåreguleringssystem 2. Varmeveksler der produktet skal varmes opp av damp (bruk instrumenteringssymboler vist i vedlegg A i læreboken). 3. Undervisning (studenters kunnskaper, holdninger og ferdigheter). Tegn kun blokkdiagram. 2.5 Funksjoner og signaler i reguleringssløyfen Oppgave 12 Funksjoner og signaler i et turtallsreguleringssystem Gitt et turtalls(hastighets-)reguleringssystem med følgende data: Reguleringsavviket har enhet %. Turtallet måles med et tachometer som gir 0 5V målesignal svarende til et turtall på rpm (revolutions per minute). Måleområdet 0 5V tilsvarer 0 100%. Turtallet reguleres med en regulator som beregner et pådrag i området 0 100%. %-pådraget omsettes via en omregningsfunksjon og en AD-omsetter (analog til digital-omsetter) til et styresignal i området 0 10 V som tilføres motorens effektforsterker.

18 18 Turtallsreguleringssystemet kan beskrives med et blokkdiagram som vist i figur2.10side31ilæreboken. 1. Finn funksjonene f mr, f m1, f ey, f ee og f eu i blokkdiagrammet. Anta at funksjonene er lineære. 2. Anta at reguleringsavviket i et tidspunkt avleses til å være 30%. Hvilken rpm-verdi svarer det til? 2.6 Regulatorfunksjoner Innledning Ingen oppgaver her Innstilling av nominelt pådrag Oppgave 13 Innstillingavnomineltpådragfor nivåreguleringssystem Figur 2.4 viser et nivåreguleringssystem for en væsketank med innløp via en pumpe og utløp via en ventil med fast åpning. Utstrømningen antas å være proporsjonal med kvadratroten av trykkfallet over ventilen, og trykkfallet antas å være lik det hydrostatiske trykk ρgh ved utløpspunktet i tanken. Massebalanse gir ρaḣ(t) = ρq i(t) ρq u (t) p = ρk p u(t) ρk u ρgh(t) (2.2) Finn det statiske (konstante) pådraget u 0 som gir konstant nivå h s. Oppgave 14 Innstillingavnomineltpådragutfra transferfunksjonsmodell Gitt en prosess som skal reguleres. Prosessens transferfunksjonsmodell er y(s) = K 1 T 1 s +1 u(s)+ K 2 v(s) (2.3) T 2 s +1 der u er pådrag og v er forstyrrelse.

19 19 u [V] q i = K p u [m 3 /s] LC h [m] LT 0 A [m 2 ] V [m 3 ] m [kg] [kg/m 3 ] q u = [m 3 /s] Figur 2.4: Oppgave 13: Nivåreguleringssystem Anta statiske forhold, og finn det statiske pådraget u 0 som gir statisk utgangsverdi lik y s. Anta at forstyrrelsen har konstant verdi V Av/på-regulator Oppgave 15 Av/på-regulator I eksempel 8 side 40 osv. i læreboken er en av/på-regulator benyttet i et nivåreguleringssystem for en flistank. I simuleringene vist i figur 2.14 i læreboken er av/på-regulatorens to signalverdier lik hhv. 65% og 25%. Forklar hvordan forløpet av nivået endres prinsipielt hvis utslagene økes til f.eks. 90% og 0%. Oppgave 16 Eksempler på av/på-regulering Nevn ett eksempel på et reguleringssystem der regulatoren er en av/på-regulator.

20 P-regulator Oppgave 17 Fra PB til K p Det er oppgitt at en regulator er innstilt med proporsjonalbånd lik 250%. Hva er verdien av regulatorens forsterkning K p? Oppgave 18 Hvordan få en av/på-regulator fra en P-regulator? Anta at du ønsker å bruke en av/på-regulator med de to mulige pådragsverdiene 20% og 80%, men den eneste regulatorfunksjonen du har, er en P-regulator (som igjen kan fås fra en PID-regulator med T i = og T d =0). Hvordan kan du oppnå av/på-regulatoren fra P-regulatoren? PI-regulator Oppgave 19 Fra repeats per minute til T i Anta at integralvirkningen i en bestemt regulator er innstilt med 0,2 repeats per minute. Hvilken integraltid T i svarer dette til? Oppgave 20 Regulatorenes transferfunksjoner Finn transferfunksjonen H r (s) forenpi-regulatorvedå Laplacetransformere regulatorfunksjonen uttrykt i tidsplanet PID-regulator Oppgave 21 Statisk ytelse for temperaturreguleringssystem Figur 2.5 viser et varmluftrør.en vifte med konstant hastighet blåser luft gjennom røret. Spjeldåpningen kan varieres manuelt. Luften varmes opp av et heteelement. Prosessens pådrag u er spenningssignalet som styrer effekten tilført heteelementet. Temperaturen måles med en termistor, som er en varmefølsom motstand. Som regulatoren kan man benytte den interne (analoge) regulatoren på selve prosessboksen eller man kan kople en ekstern regulator til bøssingene for pådrag og målesignal.

21 21 Figur 2.5: Oppgave 21: Varmluftrør. (Process Trainer PT 326, Feedback Systems) Figur 2.6 viser responsen i temperaturen y etter et sprang i referansen og etter et sprang i spjeldåpningen, som vi kan betrakte som en forstyrrelsesendring. I dette eksperimentet er det ikke brukt regulering med tilbakekopling. I stedet består pådraget kun av pådragsbiasen u 0 som er manuelt innstilt slik at det initielt er tilnærmet null reguleringsavvik. u 0 holdes konstant. 1. Tegn et blokkdiagram av reguleringssystemet. 2. Forklar hvorfor det ikke er noen respons i y etter spranget i referansen i eksperimentet beskrevet ovenfor. Og hvorfor er det en respons etter spranget i spjeldåpningen? 3. Anta at temperaturen reguleres med en P-regulator. Skisser den prinsipielle responsen i y etter sprang i referansen og i spjeldåpningen. (Hint: Det nominelle pådraget har ikke en korrekt verdi etter spranget i temperaturreferansen, og heller ikke etter spranget i spjeldåpningen/forstyrrelsen. Hva blir da det statiske reguleringsavviket?)

22 22 Figur 2.6: Oppgave 21: Responsen i temperaturen y etter et sprang i referansen r og et sprang i spjeldåpningen. Prosessen styres med fast pådrag (uten tilbakekopling). 4. Som i deloppgave 3, men la nå regulatoren være en PID-regulator. Oppgave 22 Det statiske reguleringsavviket ved unøyaktig pådragsbias I en fabrikk får operatøren (som sitter ved kontrollbordet og trykker på knappene i kontrollrommet) beskjed av driftssjefen om å øke settpunktet eller referansen for et prosessavsnitt. Det nominelle pådraget (biasen eller forspenningen) er justert manuelt og én gang for alle og slik at det gir null reguleringsavvik for den opprinnelige referanseverdien. Hva kan du si om det stasjonære (statiske) reguleringsavviket etter referanseendringen 1. vedbrukavp-regulator? 2. ved bruk av PI-regulator? 3. vedbrukavpid-regulator? Det oppgis at prosessen ikke inneholder noen (ren) integrator.

23 23 Oppgave 23 Regulatorers sprangrespons En regulators sprangrespons, dvs. responsen på regulatorutgangen etter et sprang på regulatorinngangen, gir på en måte uttrykk for regulatorens dynamiske og statiske egenskaper (selv om regulatorinngangen, dvs. reguleringsavviket, ikke er konstant i en aktiv reguleringssløyfe). 1. Hvordan kan du i praksis gjennomføre et sprangsresponseksperiment på en kommersiell regulator? 2. Finn den Laplacetransformerte av pådraget, dvs. finn u(s), for følgende regulatorer når det antas at regulatorinngangen er et sprang med høyde E: P-regulator PI-regulator PD-regulator (inkl. lavpassfilter i D-leddet), dvs. PID-regulator med T i =. PID-regulator (inkl. lavpassfilter i D-leddet) Hint: Bruk regulatorens transferfunksjoner til å finne u(s). 3. Vha. invers-laplacetransformasjon av u(s) kan vi finne følgende tidsfunksjoner for sprangresponsene: P-regulator: PI-regulator: PD-regulator: u(t) =K p E (2.4) u(t) =K p E + K p T i Et (2.5) u(t) =K p E + K pt d E T f e t/t f (2.6) PID-regulator: u(t) =K p E + K p T i Et + K pt d E T f e t/t f (2.7) Plott disse sprangresponsene. Angi på figurene hvordan regulatorparametrene fremkommer. Du kan evt. bruke følgende parameterverdier ifm. plottingen: K p =1, T i =1, T d =0, 25, T f =0, 05 (forholdet mellom T i og T d er her ihht. Ziegler-Nichols lukket sløyfe-metode).

24 24 4. Hvordan gir sprangresponsen for PID-regulatoren uttrykk for I-virkningen og D-virkningen? Oppgave 24 Tolkning av P+D-leddene som en prediktor PID-regulatorfunksjonen kan skrives u(t) =K p e(t) {z } u p + K p ė(t)t d {z } + u i (2.8) u d Påvis at P+D-leddet, dvs. u p + u d, til sammen representerer en prediksjon av reguleringsavviket e tiden T d inn i framtiden. (Du ser da en begrunnelse for at derivatleddet gir såkalt preact-virkning eller anticipatory control.) Tips: Tilnærm u p + u d med en 1. ordens Taylorrekkeutvikling PID-regulatoren på serieform og transformasjon fra serie- til parallellform Oppgave 25 Transformasjon fra serie- til parallellform Transformer følgende PID-parametre fra serieform til parallellform: K ps =2, T is =4[sek], T ds =1[sek] (2.9) Oppgave 26 Transformasjonsformler for alternativ PID-parameterisering Gitt en parallell-pid-regulator på formen u = u 0 + K p e + K i Z t 0 edτ + K d de f dt (2.10) der K i = K p /T i og K d = K p T d. Hvordan blir transformasjonsformlene fra seriell til parallellform, dvs. formlene for K pp, K ip og K dp, for denne regulatoren? Positiv eller negativ regulatorforsterkning? Oppgave 27 Skal regulatoren ha revers- eller direktevirkning?

25 25 PT PC Figur 2.7: Oppgave 27: Trykkreguleringssystem Figur 2.7 viser et trykkreguleringssystem. Skal regulatoren ha revers- eller direktevirkning? Oppgave 28 Analyse av stabilitetsforhold for forskjellige prosessforsterkninger Figur 2.8 viser et matematisk blokkdiagram av et reguleringssystem. y r K m Regulator Prosess y rm e u K K p s y Skalering y m K m Måleelement med skalering Figur 2.8: Oppgave 28: Blokkdiagram av reguleringssystem Prosessen er en integrator med forsterkning K (representert ved sin transferfunksjon). Regulatoren er en P-regulator med forsterkning K p. Måleelement m/skalering har total forsterkning K m.

26 26 1. Finn betingelsen for at reguleringssystemet er asymptotisk stabilt. Tips: Finn reguleringssystemets karakteristiske polynom, som er tellerpolynomet i følgeforholdet, som er transferfunksjonen fra referansen (settpunktet) y r til prosessutgangen y. 2. Hvilket fortegn må K p ha dersom prosessforsterkningen K er positiv? Hva hvis K er negativ? 2.7 Praktiske problemer: Pådragsspark, metning og støy Reduksjon av P- og D-spark ved brå referanseendringer Oppgave 29 Redusert vekting av referansen i P-regulator Gitt P-regulatoren u p = u 0 + K p (w p y mr y m ) (2.11) Forklar at å velge w p =0er ekvivalent med å sette referansen lik null i en vanlig P-regulator gitt ved u p = u 0 + K p (y mr y m ) (2.12) hvilket innebærer at reguleringsavviket kan bli veldig stort. Oppgave 30 En tabbe! Anta at du har implementert en PID-regulator der det i tillegg til redusert vekting av referansen i P- og D-leddet også er redusert vekting av referansen i I-leddet, som er Z t u i = K p (w i y mr y m ) dτ (2.13) T i 0 der w i er mellom 0 og 1. Anta statiske forhold. Hvor stort blir da det stasjonære eller statiske reguleringsavviket e s = y y mr s m s? Oppgave 31 Redusert vekting av referansen i PID-regulator Gitt en PID-regulator med mulighet for redusert vekting av referansen. Forklar at regulatorens evne til å kompensere for forstyrrelser ikke er berørt av valget av verdien av w p og w d.

27 Integratorbegrensning (anti-windup) ved pådragsmetning Oppgave 32 Integratorbegrensning Figur 2.9 viser et reguleringssystem der det er metningsgrenser for pådraget. Regulatoren har integralvirkning. Figur 2.10 viser y, r, u 1 og u 2 Metning Referanse r e Beregnet Regulator u pådrag 1 u maks Fysisk pådrag u 2 Prosess y u min Måleelement med skalering Figur 2.9: Oppgave 32: Reguleringssystem med metningsgrenser for p å- draget ientidsperiode. Figur 2.10: Oppgave 32: y, r, u 1 og u 2 i en tidsperiode Skisser prinsipielle forløp for y, u 1 og u 2 for t>t 0 når regulatoren

28 28 ikke har integratorbegrensning. har integratorbegrensning Filtrering av målestøy med dynamisk filter og med dødbånd Oppgave 33 Filtrering av målestøy Anta at du for et gitt reguleringssystem anslår at målestøyen har en dominerende frekvenskomponent med frekvens f s =5Hz. Bestem båndbredden for et 1. ordens støy-lavpassfilter slik at frekvenskomponenten dempes med en faktor på 10 gjennom filteret. Oppgave 34 Filter som virker på referansen Figur 2.11 viser et målestøyfilter og et filter som virker på referansen (settpunktssignalet). Begge filtrene er lavpassfiltere, og referansefilteret bør være likt med målestøyfilteret. Anta at referansen y mr (t) endres som et v y r y mr Enhetsomregning LPfilter y mrf Reg. u Prosess y y m2 Samme filterfunksjon LPfilter y m1 w y m0 Måleelement Figur 2.11: Oppgave 34: Målestøyfilter og referansefilter sprang. Skisser det tilsvarende tidsforløpet for referansen y mrf.antadaat referansefilteret er et 1. ordens lavpassfilter med båndbredde 10Hz. 2.8 Når velge P, PI, PD eller PID? Oppgave 35 P, PI eller PID?

29 29 Hvilken regulator P, PI, PID eller PD vil du i utgangspunktet velge for hver av følgende reguleringssystemer: 1. Temperaturreguleringssystem for en varmeveksler med betydelig effekttap til omgivelsene 2. Posisjonsservo: Posisjonsreguleringssystem for en elektromotor med ubetydelig lastmoment. Servomekanismen skal være raskest mulig. 3. Nivåregulering av væsketank med betydelig væskeforbruk Oppgave 36 Hvorfor tilbakeholdende med D-virkning? Det er et faktum at man er forsiktig med å ta i bruk derivatvirkningen i reguleringssystemer i industrien. Hva er den vanligste grunnen til det? 2.9 Reduksjon av avviket gjennom prosessendringer Oppgave 37 Reduksjon av forstyrrelse Gitt en reaktor der det er kontinuerlig tilsetning av bl.a. komponent A. Dessverre er det ganske store variasjoner i strømningen av A, hvilket er opphav til forstyrrelser på reaktorens sammensetning, hvilket igjen medfører at reguleringsavviket kan bli nokså stort. Foreslå noen måter å redusere forstyrrelsene eller virkningene av forstyrrelsene på. (Dine forslag skal ikke baseres på reguleringstekniske løsninger, kun på prosesstekniske løsninger.) 2.10 Reguleringssløyfens stabilitet Oppgave 38 Stabilitet og luftgjennomstrømning Oppgave 21 beskriver et temperaturreguleringssystem for et varmluftrør. Figur 2.12 viser hva som skjedde med temperaturen etter at spjeldåpningen ble redusert. Regulatorparametrene (i PI-regulatoren) var faste. Gi en kort forklaring på responsens utseende.

30 30 Figur 2.12: Oppgave 38: Temperaturresponsen etter at spjeldåpningen ble redusert Oppgave 39 Pipetone og stabilitet Du har kanskje opplevd at når mikrofonen settes for nær høyttaleren i et stereoanlegg, dannes en høy pipetone. Gi en forklaring på dette fenomenet. Oppgave 40 Forverring av et reguleringssystems stabilitet Figur 2.13 viser et temperaturreguleringssystem med to forskjellige plasseringer av temperaturmåleren. Anta at temperaturregulatoren er innstilt slik at reguleringssystemets stabilitet er tilfredsstillende når temperaturmåleren er plassert i posisjon Hva vil skje med reguleringssystemets stabilitet hvis temperaturmåleren av en eller annen grunn blir flyttet og plassert i posisjon 2? 2. Anta at temperaturmåleren er plassert i posisjon 1. Hva vil skje med reguleringssystemets stabilitet hvis væskestrømmen avtar? 3. Hva vil skje med reguleringssystemets stabilitet hvis temperaturmåleren byttes ut med et annet som har større

31 31 T inn [ o C] T [ o C] w w [kg/min] 1 2 TT TT Effektforsterker?? u TC Figur 2.13: Oppgave 40: Temperaturreguleringssystem med to forskjellige plasseringer av temperaturmåleren måleforsterkning (som er forholdet mellom målesignalet i volt (eller ampére eller prosent) og temperaturen i grader)? 4. Hva vil skje med stabiliteten hvis heteelementet byttes ut med et annet som leverer mer effektpr.enhetavpådraget(somutgjør styresignalet for heteelementet)? Oppgave 41 PB og stabilitet 1. Hva skjer med stabiliteten i en reguleringssløyfe hvis regulatorens forsterkning K p økes? 2. Hva skjer med stabiliteten i en reguleringssløyfe hvis regulatorens proporsjonalbånd PB reduseres?

32 32

33 Kapittel 3 Reguleringsutstyr Oppgave 42 Konvertering fra strøm til spenning som utgangssignal fra regulator Gitt en regulatorenhet som har et utgangssignal (styre- eller pådragssignal) i området 0 20mA. Hvordan kan du konvertere dette spenningssignalet til et strømsignal i området 0 10V? Illustrer løsningen. Oppgave 43 Pulsbredde-modulert pådragssignal Pulsbreddemodulering eller PWM (pulse width modulation) brukes gjerne til styring av halvlederbaserte brytere, som SSR-releer (solid state relay) for styring av motorer eller styring av varmeelementer. Mange regulatorer har en egen utgang der styresignalet er tilgjengelig på PWM-form. Poenget med PWM er å oppnå tilnærmet kontinuerlig (jevn) pådrag på en prosess vha. kun et av/på-element, som i praksis gjerne er et SSR-rele, som nevnt ovenfor. PWM går ut på å holde elementet passe lenge i på-stilling (og i av-stilling) slik at resulterende gjennomsnittlig pådragssignal er som spesifisert. PWM-elementer opererer med en gitt periodetid, T p,somkan være f.eks. 1 sekund. Den prosentvise delen av perioden som PWM-elementet er i på-stilling, kalles duty-cycle, D, som altså er et tall mellom 0% og 100%. Figur 3.1 illustrerer PWM. Anta at de to mulige PWM-tilstandene er hhv. U og 0 og at duty-cycle er D. 1. Finn et uttrykk for det gjennomsnittlige styresignalet, u pwm. 33

34 34 U u pwm (gjennomsnittsverdi) 0 Duty cycle, D [%] t Periodetid, T p ~100% Figur 3.1: Oppgave 43: Pulsbredde-modulering 2. Anta at U = 1000W ogatu pwm er spesifisert til å være 300 W. Finn den duty-cycle som realiserer dette. 3. Se databladet for regulatoren ECA600 gjengitt på side 84 i læreboka. Kan du der se om regulatoren har PWM-utgang? Oppgave 44 Er det mulighet for revers- og direkteverkning i ECA600-regulatoren? Se databladet for regulatoren ECA600 gjengitt på side 84 i læreboka. Kan du der se om regulatoren har mulighet for valg mellom reversvirkning og direktevirkning (jf. kap i læreboka)?

35 Kapittel 4 Eksperimentell innstilling av PID-regulator 4.1 Innledning Oppgave 45 Kan Ziegler-Nichols metoder benyttes? Figur 4.1 viser et nivåreguleringssystem for en væsketank. Prosessens u LC h LT h m Figur 4.1: Oppgave 45: Nivåreguleringssystem transferfunksjon, dvs. transferfunksjonen fra pådrag til måling, er på formen (modellen følger av massebalanse) H(s) = K s (4.1) 35

36 36 Kan Ziegler-Nichols metoder benyttes for innstilling av nivåregulatoren LC? 4.2 Kriterium for regulatorinnstilling Oppgave 46 Brukbar stabilitet? Figur 4.2 viser responsen i prosessutgangen for en regulert prosess etter et sprang i referansen (settpunktet) for sett 1 av PID-parameterverdier, og figur 4.3 viser responsen for PID-parametersett 2. Hva vil du si om Figur 4.2: Oppgave 46: Respons for PID-parametersett 1 Figur 4.3: Oppgave 46: Respons for PID-parametersett 2 reguleringssystemets stabilitet i de to tilfellene (tilfelle 1 hhv. 2)? Hvilken (rask) etterjustering av regulatoren vil du foreslå for de to tilfellene?

37 P-I-D-metoden Oppgave 47 P-I-D-metoden Figur 4.4 viser responsen i prosessutgangen etter et sprang i referansen i et reguleringssystem med P-regulator med forsterkning K p =3, 0 ihht. P-I-D-metoden. Finn parametrene for en PI-regulator for prosessen. Figur 4.4: Oppgave 47: Responsen med P-regulator ihht. P-I-D-metoden 4.4 Ziegler-Nichols lukket sløyfe-metode Oppgave 48 Ziegler-Nichols lukket sløyfe-metode En prosess skal reguleres ved hjelp av tilbakekopling og PID-regulator. Figur 4.5 viser de stående svingningene i prosessmålingen ved Ziegler-Nichols lukket-sløyfe-metode. Regulatorforsterkningen er da K p =2, 0. Finn parametrene i PID-regulatoren ut fra Ziegler-Nichols lukket-sløyfe-metode. Oppgave 49 Hvorfor kan ikke Ziegler-Nichols lukket sløyfe-metode brukes på 1. ordens prosess?

38 38 Figur 4.5: Oppgave 48: Stående svingninger ved Ziegler-Nichols lukketsløyfe-metode Påvis at Ziegler-Nichols lukket sløyfe-metode ikke kan brukes på en 1. ordens prosess (inkl. måleelement) med transferfunksjon y m (s) u(s) = H(s) = der u er pådrag og y m er prosessmåling. K Ts+1 Tips: Beregn transferfunksjonen M(s) fra referansen y mr til prosessmålingen y m denne transferfunksjonen kalles følgeforholdet, og påvis ut fra transferfunksjonens polplassering at systemet ikke kan oscillere. Ved P-regulator, som jo brukes i Ziegler-Nichols lukket sløyfe-metode, beregnes pådraget slik: (4.2) u = K p (y mr y m ) (4.3) 4.5 Åstrøm-Hägglunds av/på-metode Oppgave 50 Hvorfor kan Åstrøm-Hägglunds av/på-metode være tidsbesparende? Hvorfor kan Åstrøm-Hägglunds av/på-metode være tidsbesparende sammenliknet med bruk av Ziegler-Nichols lukket-sløyfe-metode?

39 39 Oppgave 51 PID-innstilling med Åstrøm-Hägglunds av/på-metode Figur4.6visersimulerteforløpforpådragetu og prosessmålingen y m under regulatorinnstilling med Åstrøm-Hägglunds av/på-metode. Beregn Figur 4.6: Oppgave 51: P ådraget u og prosessmålingen y m under regulatorinnstillingen parametrene i en PID-regulator for prosessen. Prosessen er den samme som i oppgave 48. Blir PID-parametrene nokså like? Oppgave 52 Ny relégrense ved auto-tuning 1. Se figur 4.6 i oppgave 51. Av/på-regulatorens amplitude er A 1 =1. Reguleringsavvikets amplitude er E 1 =0, 67 (som er lik prosessmålingens amplitude). Beregn ny amplitude A 2 for av/på-regulatoren slik at amplituden i reguleringsavviket blir E 2 =0, 3.

40 40 2. Nevn et argument for at av/på-regulatorens amplitude skal velges liten? Er det noen ulemper ved at den blir liten? 4.6 Ziegler-Nichols åpen sløyfe-metode Oppgave 53 Eksperimentell Ziegler-Nichols åpen sløyfe-metode Finn parametrene i en PID-regulator for en prosess med (eksperimentell) åpen sløyfe-sprangrespons som vist i figur 4.7. Pådragets sprangamplitude er U = 15%. Figur 4.7: Oppgave 53: Prosessens sprangrespons Oppgave 54 Ziegler-Nichols åpen sløyfe-metode for integrator med dødtid Gitt en prosess (inkl. måleelement) med transferfunksjon H(s) = y m(s) u(s) = K s e τs (4.4)

41 41 der u er pådrag og y m er prosessmåling. K er prosessens forsterkning, og τ er dødtiden. 1. Vis at stigningstallet for sprangresponsen i y m er R = KU (4.5) og at tidsforsinkelsen i sprangresponsen blir L = τ (4.6) 2. Finn parametrene i en PID-regulator for prosessen ihht. Ziegler-Nichols åpen sløyfe-metode. 3. Flistanken med transportbånd, som er beskrevet bl.a. på side 26 osv. i læreboken, er en integrator med dødtid -prosess. Prosessmodellen kan finnes fra massebalanse av flisinnholdet i tanken. Det kan vises at prosessmodellen skrevet som en transferfunksjon fra pådraget u til nivåmålingen h m er på formen (4.4) der K = K sk m ρa (4.7) og τ er transporttiden (dødtiden) på transportbåndet. Parameterverdiene er som følger: Skrueforsterkningen: K s =33, 36(kg/min)/% (4.8) Måleforsterkningen: K m =6, 67%/m (4.9) Flistettheten: ρ = 145kg/m 3 (4.10) Tverrsnittsarealet: A =13, 4m 2 (4.11) Transporttiden: τ =4, 17min (4.12) Still inn en PID-regulator for flistanken vha. Ziegler-Nichols åpen sløyfe-metode. Får du noenlunde samme parameterverdier som i eksempel 18 på side 106 osv. i læreboken? (PID-parametrene ble der funnet eksperimentelt på en simulator.) Oppgave 55 Hvorfor kan ikke Ziegler-Nichols åpen sløyfe-metode brukes på 1. ordens prosess?

42 42 Forklar at Ziegler-Nichols åpen sløyfe-metode ikke kan brukes på en 1. ordens prosess som har transferfunksjon y m (s) u(s) = H(s) = K Ts+1 (4.13) der u er pådrag og y m er prosessmåling. (I oppgave 49 skal en vise at heller ikke lukket sløyfe-metoden kan brukes.) Oppgave 56 Tidsforsinkelsens betydning for reguleringen Anta at en prosess reguleres med en PI-regulator innstilt med Ziegler-Nichols åpen sløyfe-metode. Forklar med utgangspunkt i tabell 4.2 side 107 i læreboken at reguleringen vil kunne foregå hurtigere (hurtigere kompenseringer) jo mindre tidsforsinkelsen i prosessen er. Oppgave 57 Etterjustering av PID-parametrene ved prosessendring Anta at du har funnet at PID-parametrene K p =1, 8, T i =6, 4 og T d =1, 6 er passende for et reguleringssystem. Så skjer det en endring av prosessens dynamiske egenskaper, slik at tidsforsinkelsen i prosessen øker med 50%. Hvordan vil denne endringen påvirke stabiliteten i reguleringssløyfen? Hvilken etterjustering av PID-parametrene vil du foreta? 4.7 Virkninger av å endre regulatorparametrene Oppgave 58 Virkninger av å justere K p Figur 4.8 viser en rampeformet referanse y r og responsen i prosessutgangen y for en simulert regulert prosess. Regulatoren er en PID-regulator med parameterverdier K p =2, 0, T i =2, 0 og T d =0, 5. Skisser den prinsipielle responsen i y for den samme rampeformede referansen når K p er økt til 6, 0. Få fram i figuren endringene for det stasjonære reguleringsavviket (men noen tallverdi forventes ikke) og reguleringssystemets stabilitet.

43 43 Figur 4.8: Oppgave 58: Reguleringssystemets respons etter rampe i referansen 4.8 Auto-tuning Oppgave 59 Modellbasert auto-tuning: Åpen sløyfe-eksitasjon eller lukket sløyfe-eksitasjon? 1. Hvis du i en anvendelse av modellbasert auto-tuning kan velge mellom åpen sløyfe-eksitasjon og lukket sløyfe-eksitasjon, hvilken vil du velge? 2. Er det noen typer prosesser der åpen sløyfe-regulering ikke bør brukes?

44 44

45 Kapittel 5 PID-regulering ved variabel prosessdynamikk 5.1 Innledning Oppgave 60 Beste løsning på problemet med variabel prosessdynamikk Anta at prosessen som skal reguleres, har variabel prosessdynamikk, hvilket kan medføre stabilitetsproblemer evt. slapp regulering. Hvilken av de to følgende løsningene på forannevnte problem(er) vil du si er den beste reguleringsteknisk sett? Hvilken er den enkleste løsningen? A: Regulatoren stilles inn i det mest kritiske arbeidspunktet, og regulatorparametrene holdes deretter fast. B: Regulatorparametrene justeres kontinuerlig slik at de til en hver tid er tilpasset den varierende prosessdynamikken. 5.2 Parameterstyrt PID-regulator Bruk av parametertabell Oppgave 61 Vurdering av worst case arbeidspunkt 45

46 46 Figur 5.1 viser en kjemisk reaktor og en PID-parametertabell som danner grunnlaget for en adaptiv PID-regulator. Anta imidlertid at det skal Figur 5.1: Oppgave 61: Kjemisk reaktor og en PID-parametertabell benyttes en PID-regulator med faste parametre. Bør da regulatoren innstilles ved høy eller lav temperatur når det er et overordnet krav at reguleringssystemets stabilitet skal være tilfredsstillende ved enhver temperatur? Oppgave 62 Lineær interpolasjon i en parametertabell Tabell 5.1 viser et utdrag av en parametertabell for parametrene i en PID-regulator.

47 47 P K p T i T d % 0,4 5,2 1,3 30% 0,5 4,5 1,6.. Tabell 5.1: Utdrag av en parametertabell for regulatorparametrene i en PIDregulator.. Finn K p som en funksjon av P mellom de to arbeidspunktene gjengitt i tabellen. Funksjonen skal baseres på lineær interpolasjon mellom punktene. Oppgave 63 Parameterstyrt temperaturregulering Figur 5.2 viser parameterstyrt temperaturregulering av en varmeveksler. GS Ref er parameterstyringsvariabelen (generelt kalt P i læreboken). GS Ref genereres av en strømningsmåling. Anta at GS Ref øker for økende strømning. Tabellen i figuren antyder bl.a. at regulatorparameteren P (som ikke må forveksles med regulatorparameteren) holdes fast lik verdien 0,43 når GS Ref har en verdi mellom 0% og 33%. Figur 5.2 viser et eksempel på verdier i parametertabellen. Ut fra din kjennskap til hvordan væskestrømningen påvirker prosessdynamikken, vil du si at regulatorparameteren P er det samme som regulatorforsterkningen K p eller er den regulatorens proporsjonalbånd PB? Parameterstyringsfunksjon funnet fra prosessmodell Oppgave 64 Kompensering for ulineær proosessdel Figur 5.3 viser et reguleringssystem der en del av prosessen er en ulineær funksjon (f.eks. en ventilfunksjon), f(). Regulatoren skal inneholde en PID-regulator, men den skal også inneholde en ulineær funksjon som skal kompensere for den ulineære prosessfunksjonen f(). 1. Finn den ulineære regulatorfunksjonen, f r,ulin, og tegn blokkdiagram av reguleringssystemet der regulatorblokken er tegnet mer detaljert.

48 48 Figur 5.2: Oppgave 63: Parameterstyrt temperaturregulering av en varmeveksler. (Fra manualen for regulatoren ECA400, ABB.) 2. Anta som eksempel at Hva blir da f r,ulin? f(u) = u (5.1) 3. Hva er hensikten med å kompensere for den ulineære prosessdelen? 5.3 Adaptiv regulator Oppgave 65 Prosessmodell i adaptiv regulator Figur 5.4 viser en adaptiv regulator (en ECA600, ABB). En prosessmodell i form av en transferfunksjonsmodell estimeres kontinuerlig på basis av båndpassfiltrerte verdier av pådraget u og prosessmålingen y m. PID-parametrene beregnes kontinuerlig på basis av denne modellen. Figur 5.5 viser amplitudeforsterkningsfunksjonen (inklusivt asymptotisk funksjon) for et båndpassfilter.

49 49 Prosess v y rm e Regulator u u f() Ulineær prosessdel Lineær prosessdel y y m Sensor og skalering Kontinuerlig estimering av prosessmodell Kontinuerlig beregning av regulatorparametre BPfilter BPfilter y r e Regulator Pådrag u v Prosess y Prosessmåling y m Figur 5.3: Oppgave 64: Reguleringssystem der prosessen har en ulineær prosessdel Måleelement Figur 5.4: Oppgave 65: Adaptiv regulator (ECA600) 1. Hva kan grunnen være til at u og y m føres gjennom båndpassfiltere? 2. Hvorfor må de to båndpassfiltrene være identiske?

50 50 Amplitudeforsterkning SB PB SB Frekvens Figur 5.5: Oppgave 65: Amplitudeforsterkningsfunksjonen for et båndpassfilter. SB = stoppbånd. PB = passbånd.

51 Kapittel 6 Tidsdiskret PID-regulator 6.1 Innledning Oppgave 66 Hvorfor tidsdiskret regulator? Nevn et par viktige fordeler ved at PID-regulatoren er implementert som en tidsdiskret regulatoralgoritme realisert i en datamaskin sammenliknet med analog implementering vha. f.eks. analog elektronikk. 6.2 Datamaskinbasert reguleringssløyfe Oppgave 67 Glatting av trappetrinnsformet pådrag I en datamaskinbasert regulator er det genererte pådragssignalet egentlig trappetrinnsformet. Hvis det er et problem for pådragsorganet at pådraget endres i trinn, hvordan kan pådraget da glattes? 6.3 Utvikling av tidsdiskret PID-algoritme Oppgave 68 HåndregningavpådragitidsdiskretPID-regulator. 51

52 52 Gitt følgende sampelverdier for referansen og målingen for et tidsdiskret PID-reguleringssystem: y r (t k )={50, 60, 60}; k =0,..,2 (6.1) y(t k )={50, 50, 51}; k =0,..,2 (6.2) (Det er altså et sprang i referansen fra 50 til 60 ved tidsskritt k =1.) Anta at regulatorparameterene har tallverdiene K p =0, 4, T i =4, 0, T d =1, 0, T f =0, 1 og at referansevektene er w p =1og w d =1.Antaatdet nominelle pådraget u 0 har verdi 50 (konstant) og at den initielle verdien av integralleddet er u i (t 0 )=0. Den initielle verdien av det lavpassfiltrerte reguleringsavviket er e df (t 0 )=0. Regulatorens samplingsintervall er T s =0, Beregn (for hånd) pådragsverdiene u(t k ) for k =1og 2 ihht. algoritmen (6.20) (6.27) i læreboken. 2. Hvilket av pådragsleddene u p, u i og u d reagerer (til å begynne med) raskest (kraftigst) på referanseendringen? Hvilket reagerer tregest? Oppgave 69 Alternativ utledning av diskret PI-regulatorfunksjon I læreboken er en tidsdiskret PID-regulatorfunksjon utledet. Integralleddet er der diskretisert vha. Eulers bakovermetode for integralapproksimasjon. En alternativ måte å utlede en tidsdiskret PID-regulatorfunksjon på, er å derivere hele regulatorfunksjonen med hensyn på tiden, og så bruke Eulers bakovermetode for derivasjonsapproksimasjon på alle de deriverte. Generelt lyder Eulers bakovermetode for derivasjonsapproksimasjon slik: ẋ(t k ) x(t k) x(t k 1 ) T s (6.3) 1. Utled en tidsdiskret PI-regulatorfunksjon 1 ihht. den alternative metoden beskrevet ovenfor. Anta for enkelhets skyld at referansevekten, w p, foran P-leddet er Vis at PI-funksjonen utledet i deloppgave 1 ovenfor er identisk med PI-funksjonen gitt av (6.19) (6.27) i læreboken. 1 For enkelhets skyld omhandler oppgaven en PI-regulator, men framgangsmåten er lik for en PID-regulator.

53 6.4 Samplingsintervallets betydning for stabilitet og PID-innstilling 53 Oppgave 70 Er samplingsintervallet ok? Gitt en prosess som skal reguleres med en diskret PID-regulator. Prosessens responstid er ca. 1 min. Reguleringsutstyret opererer med et samplingsintervall på 0,2 sek. Er dette et brukbart samplingsinterval for den gitte prosessen? Oppgave 71 Når samplingsintervallet økes Oppgave 21 side 20 beskriver et temperaturreguleringssystem for et varmluftrør. Figur 6.1 viser temperaturen y og pådraget u for økende samplingsintervaller T s. Regulatoren er en diskret PI-regulator med faste Figur 6.1: Oppgave 71: Temperaturen y og pådraget u for økende samplingsintervaller T s verdier for K p og T i.

54 54 1. Hvor stort er samplingsintervallet for tilfelle B og C i figur 6.1? 2. Gi en kort forklaring på hvorfor reguleringssystemet får dårligere stabilitet med økende T s tross at K p og T i er faste. Oppgave 72 Bruk av modell ved design av diskret regulator Gitt en prosess med transferfunksjonen H(s) fra pådrag til prosessmåling. Prosessmodellen skal brukes i simulatorbasert innstilling av en tidsdiskret PID-regulator (f.eks. Ziegler-Nichols lukket sløyfe-metode). Hvordan kan du modifisere prosesstransferfunksjonen slik at den inkluderer virkningen av holdekretsen i AD-omsetteren på utgangen av den diskrete regulatoren? Det antas at det er en tidskontinuerlig PID-regulatoren som benyttes i simulatoren, men regulatorparametrene skal altså benyttes i en tidsdiskret implementering av regulatoren.

55 Kapittel 7 Analyse av reguleringssystemer 7.1 Innledning Ingen oppgaver her. 7.2 Ombrukavsimulatorerianalyse Oppgave 73 Blokkdiagram for simulert reguleringssystem Figur 7.1 viser et turtallsreguleringssystem (vinkelhastighetsreguleringssystem) for en elektromotor. Turtallsmåleren er u [V] Effektforsterker + Motor n [rpm] Last Lastmoment T L [Nm] SC ST Figur 7.1: Oppgave 73: Turtallsreguleringssystem for en elektromotor. (rpm = revolutions per minute.) et tachometer som gir ut en spenning som er proporsjonal med turtallet. 55

56 56 Denne spenningen skaleres til prosent. Målingen i prosent brukes av regulatoren til å beregne pådraget i prosent. Pådraget skaleres til et spenningssignal som i sin tur utgjør styresignalet til servoforsterkeren (effektforsterkeren) som driver motoren. Turtallsreferansen antas gitt i enhet rpm (revolutions per minute). Reguleringsavviket skal være tilgjengelig som et signal i enhet rpm. Anta at du skal simulere reguleringssystemet i et blokkdiagrambasert simuleringsprogram (som SIMULINK eller LabVIEW). Tegn et blokkdiagram av reguleringssystemet for bruk i simulatoren. Blokkdiagrammet skal inneholde bl.a. blokker for enhetsomregning (skalering). Du trenger ikke spesifisere innholdet i de enkelte blokkene, men enhetene på signalene mellom blokkene skal angis. 7.3 Følgeegenskaper og kompenseringsegenskaper Innledning Ingen oppgaver her Analyse basert på differensiallikningsmodell Oppgave 74 Statisk analyse av temperaturreguleringssystem Figur 7.2 viser et temperaturreguleringssystem for en væsketank med oppvarming. Anta at prosessmodellen er gitt ved følgende differensiallikning, funnet ved energibalanse under antakelse om homogene forhold i væsken (perfekt omrøring): cρv T = K u u + cw (T inn T )+U (T o T ) (7.1) T er temperaturen i tanken og i utstrømningen. K u u = P er effekt tilført fra varmeelementet. u er pådraget. T inn er temperaturen i innstrømningen. w er massestrømning (lik innstrømning og utstrømning). c er spesifikk varmekapasitet. ρ er tetthet. T o er omgivelsestemperatur. U er varmeovergangstall. Målefunksjonen antas gitt ved T m = K m (T T 0 )+T m0 (7.2)

57 57 T o [ o C] T inn [ o C] T [ o C] w w [kg/min] TT Effektforsterker u TC Figur 7.2: Oppgave 74: Temperaturreguleringssystem T m er måleverdien. K m er måleforsterkningen. T 0 og T m0 er konstanter. Skaleringsfunksjonen for skalering av temperaturreferansen er identisk med målefunksjonen: T rm = K m (T r T r0 )+T rm0 (7.3) Anta at og T 0 = T r0 (7.4) T m0 = T rm0 (7.5) 1. Anta at regulatoren er en P-regulator, som, med bruk av (7.2) og (7.5), gir følgende regulatorfunksjon: u = u 0 + K p e = u 0 + K p (T rm T m ) (7.6) = u 0 + K p Km (T r T r0 )+T rm0 K m (T T 0 )+T m0 (7.7) = u 0 + K p K m (T r T ) (7.8) Finn et uttrykk for det statiske reguleringsavviket e s = T rs T s. Hvordan avhenger e s av K p? Hvorfor kan i praksis K p ikke gis en vilkårlig stor verdi? Kan e s bli null med P-regulator? 2. Beregn det statiske reguleringsavviket e s medbrukavpi-regulator(i stedet for P-regulator).

58 Analyse basert på transferfunksjonsmodell Oppgave 75 Transferfunksjonsbasert analyse av reguleringssystem Gitt et reguleringssystem med struktur som vist i figur 7.3 side 152 i læreboken og med følgende transferfunksjoner: Transferfunksjonen fra pådraget u til prosessutgangen y: H u (s) = K u T u s +1 e τs (7.9) Transferfunksjonen fra forstyrrelsen v til prosessutgangen y: H v (s) = K v T v s +1 e τs (7.10) Transferfunksjonen fra prosessutgangen y til prosessmålingen y m : H m (s) =K m (7.11) Transferfunksjonen for skaleringsfunksjonen (enhetsomregningen) for referansen, dvs. transferfunksjonen fra y r til y mr,eridentiskmed (7.11). Regulatoren er en PI-regulator med transferfunksjon H r (s) =K p T i s +1 T i s (7.12) Det nominelle pådraget u 0 antas å være null. 1. Finn sløyfetransferfunksjonen H 0 (s), sensitivitetsfunksjonen N(s) og følgeforholdet M(s). 2. Anta at referansen y r er et sprang med høyde Y r ved t =0. (a) Beregn det tilsvarende stasjonære bidraget til reguleringsavviket, e rs ut fra sensitivitetsfunksjonen. (b) Beregn den stasjonære responsen i prosessutgangen y ut fra følgeforholdet. Er resultatet i overensstemmelse med resultatet i deloppgave 2a?

59 59 (c) Hvordan vil du ut fra resultatene i deloppgavene 2a og 2b karakterisere reguleringssystemets statiske følgeegenskaper? 3. Anta at forstyrrelsen v er et sprang med høyde V ved t =0. (a) Beregn det tilsvarende stasjonære bidraget til reguleringsavviket, e rs. (b) Hvordan vil du ut fra resultatet i deloppgave 3a karakterisere reguleringssystemets statiske kompenseringsegenskaper? Oppgave 76 Statiske følgeegenskaper Gitt et reguleringssystem med statisk sensitivitetsfunksjon lik 0,15. Initielt er reguleringsavviket null, men så settes det på et sprang i referansen med høyde R. Hvor stort blir det statiske reguleringsavviket e s? Oppgave 77 Beregningavstasjonærtreguleringsavvikved rampeformet referanse Når referansen eller settpunktet for en regulert industriprosess skal endres fra én verdi til en annen, kan endringen gjøres som en rampe (i stedet for som et sprang), se figur 7.3. Kommersielle regulatorer har funksjoner for y r t Figur 7.3: Oppgave 77: Rampeformet referanse slik referanseramping. Med rampeformet endring blir bl.a. pådragsbruken mer forsiktig. Gitt et reguleringssystem med struktur som vist i figur 7.3 side 152 i læreboken og med følgende transferfunksjoner:

60 60 Transferfunksjonen fra pådraget u til prosessutgangen y: H u (s) = K u T u s +1 e τs (7.13) Transferfunksjonen fra forstyrrelsen v til prosessutgangen y: H v (s) = K v T v s +1 e τs (7.14) Transferfunksjonen fra prosessutgangen y til prosessmålingen y m : H m (s) =K m (7.15) Transferfunksjonen for skaleringsfunksjonen (enhetsomregningen) for referansen, dvs. transferfunksjonen fra y r til y mr,eridentiskmed (7.11). Regulatoren er en PI-regulator med transferfunksjon H r (s) =K p T i s +1 T i s (7.16) Det nominelle pådraget u 0 antas å være null. Reguleringssystemet antas å ha tilfredsstillende stabilitet. 1. Finn reguleringssystemets sløyfetransferfunksjon H 0 (s) og sløyfeforsterkningen K 0. Finn også antall integratorer R i regulatoren H r (s), antall integratorer U i pådragstransferfunksjonen H u (s) og antall integratorer V i forstyrrelsestransferfunksjonen H v (s). 2. Anta at referansen er konstant, Y r, og at forstyrrelsen er konstant, v 0. Hvor stort blir det stasjonære reguleringsavviket? 3. Anta at referansen er rampeformet med stigningstall A. Hvor stort blir det stasjonære reguleringsavviket? Analyse basert på frekvensrespons Oppgave 78 Frekvensresponsanalyse av reguleringssystem Figur 7.4 viser amplitudekarakteristikkene for sløyfetransferfunksjonen, følgeforholdet og sensitivitetsfunksjonen for et reguleringsystem.

61 61 Figur 7.4: Oppgave 78: Frekvensresponskurver for reguleringsystem 1. Finn verdiene for følgende tre alternative båndbredder: Kryssfrekvensen ω c. Følgeforholdets 3dB-frekvens ω b. Sensitivitetsfunksjonens 11dB-frekvens ω s. 2. Anta at referansen er et sinussignal med amplitude A r =4og frekvens 1rad/s. Hva er amplituden av den stasjonære verdien av prosessutgangen? Hva er amplituden av den stasjonære verdien av reguleringssavviket? 3. Anta at prosessforstyrrelsen er et sinussignal med frekvens 1rad/s. Anta at denne forstyrrelsen gir en stasjonær sinusformet respons i prosessutgangen med amplitude 0,5 når prosessen styres av konstant pådrag i åpen sløyfe. Hvor stor blir amplituden av prosesutgangen dersom reguleringssløyfen lukkes, dvs. at det er tilbakekoplet regulering? 4. Anslå responstiden i den regulerte prosessutgangen etter et sprang i referansen.