Kapittel 7 VARMEOVERFØRING

Transkript

1 Dette bildet viser temperaturfordeling i en kjøleflens- laget av programmet Flomerics Temperatur - som dimensjonerende faktor At temperaturen er en dimensjonerende faktor i en konstruksjon betyr at varmgang og maksimaltemperatur avgjør hvor mye vi kan belaste komponenten elektrisk og magnetisk. 7.1 TERMISKE FELTER INNEN KONSTRUKSJON Det synes å være god praksis å lage utstyr slik at det blir forholdsvis varmt (opp mot C). Dersom en ikke har høy temperatur i konstruksjonen, så bør det være klare grunner for dette. Et argument for å ha lavere temperatur enn det som tåles, er at en ønsker høg virkningsgrad. Dette vil da føre til en overdimensjonert konstruksjonen, som igjen må forventes å være dyrere enn ellers. For å være i stand til å inkludere termiske størrelser ved konstruksjon, trenger vi dynamiske modeller for varmeoverføring. Slike beregningsmodeller tar utgangspunkt i hvor varmen generereres og hvordan varmen flyter i konstruksjonen. Det vil her fokuseres på varmeledning og lagring av termisk energi innen konstruksjonen. Varmeoverføring til omgivelsene ved hjelp som stråling, varmeledning eller konveksjon inkluderes i modellene i form av grensebetingelser. 169

2 7.2 Tre hovedformer for varmeoverføring Vi skiller mellom tre former for varmeoverføring: 1) Varmeledning (conduction) 2) Stråling (radiation) 3) Konveksjon (convection) Varmeoverføring ved ledning er bundet til varmeledningen i faste stoffer på grunn av utlikning eller utjevning av molekylbevegelse. Varmeoverføring ved stråling er et elektromagnetisk fenomen som kan transportere varme gjennom det tomme rom. Varmeoverføring ved konveksjon er ingen prinsipielt uavhengig overføringsform, men vi benytter denne betegnelsen når det samtidig med varmeledning og stråling når det aktuelle mediet (gass, olje etc) settes i bevegelse i sammenheng med at mediet varmes opp. 7.3 VARMELEDNING I FASTE STOFFER Figur 7 1: Temperaturen flyter fra varm til kald sone Innledning Vi betrakter materialene som kontinuerlige og tar ikke hensyn til stoffenes molekylære oppbygging. Såframt det ikke spesielt er nevnt, forutsettes materialene å være homogene og isotrope Varmestrøm. Dersom det i et stoff ikke er samme temperatur over alt, vil det foregå en temperatur-utjevning ved at varme (energi) strømmer fra de varmere til de kaldere partier, se fig.7 1. Varmen strømmer altså i den retning temperaturen faller, og forsøk viser at varmestrømmen med stor nøyaktighet er proporsjonal med første potens av temperaturfallet. Sagt på en annen måte: Varmestrømmen øker proporsjonalt med den romlig deriverte av temperaturen. Figur 7 2: Negativ temperatur-derivert i positiv x-retning I fig.7 1 indikerer den svarte pilen at det strømmer varme (energi) pr tidsenhet (effekt) i pilens retning. Gjennom en vegg som vist på fig.7 2 må temperaturen altså ha en variasjon (derivert - gradient) for at varmen skal flyte. 170

3 Seksjon 7.3 VARMELEDNING I FASTE STOFFER Partielle differensialligninger For å beskrive varmeledning generelt benytter vi som for elektriske og magnetiske felter partielle differensialligninger. Vi innfører varmestrømmen, dq, gjennom en flate A når den deriverte av temperaturen θ er kjent, se fig.7 3. Dette er beskrevet av: Figur 7 3: Varmen strømmer i n-retningen når det i flaten er variasjon i temperatur i denne retningen dq (7-1) Dersom x (varmestrømmens retning) og n retningen ikke sammenfaller får vi: Der λ dq λ da dt n dq x λ da cosα dt n er materialets spesifikke varmeledningsevne. (7-2) da n Ligning for temperaturfordeling - basert på energiballanse Som det fremgår av lign. (7-1) må vi vite hvordan temperaturen varierer for å forstå hvordan varmen vil strømme. I tillegg til at temperaturen varierer i rommet må vi være forberedt på at temperaturen er en tidsavhengig størrelse, som gjør at vi må håndtere dynamiske temperaturer. Figur 7 4: Vinkelen mellom x og n-retningen Den termiske ligningen kan utvikles ved å bruke følgende energiballanse for et infinitesimalt volum dv dq lagret dq inn + dq produsert (7-3) Den lagrede energien knyttes til materialets varmekapasitet og endring i temperatur pr tidsenhet: er materialets spesifikke vekt og c er det spesifikke varmekapasi- der tet. γ dq lagret γ c dvdt t (7-4) Den genererte varmen (for eksempel indusert varme) kan vi angi ved paramteren q (effekt pr volumenhet), slik at den genererte varmen blir: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 171

4 dq produsert qdvdt (7-5) Den totale varmen som strømmer inn i volumet er gitt av divergensen til varmestrømmen, dq inn Dette gir oss den totale ligningen: div( λgradθ)dvdt (7-6) γc dvdt t div[ λgradθ]dvdt + qdvdt eller om vi dividerer på begge sider med dvdt: (7-7). div [ λgradθ] + q eller ( div[ λgradθ] + q) (7-8) γc t 1 t γc Dersom dette skrives ut i form av partielle deriverte får vi: λ q t γ c x 2 y 2 z (7-9) Ligning for temperaturfordeling i sylindriske koordinater Div -grad -operatorene i lign (7-9) vil bli noe endret om vi benytter sylindriske koordinater. Dette kan uten mye arbeid utledes, (finnes også i mange lærebøker), og resultatet blir: λ t γc z 2 r 2 r r r φ 2 ( θ) + q (7-10) Stasjonære forhold I praksis kan den stasjonære løsningen være av interesse. Stasjonære forhold impliserer t 0, slik at ligning (7-9) forenkles til: ( div[ λgradθ] + q) div λgradθ γ c eller [ ] q (7-11) For sylinderkoordinater (2D) får vi: 172

5 Seksjon 7.3 VARMELEDNING I FASTE STOFFER λ q z 2 r 2 r r (7-12) Disse stasjonære ligningene er varianter av Poissons ligning. Dersom vi ikke har indre varmeproduksjon, q0, reduseres ligningene videre til Laplaces ligning Grensebetingelser Ved termiske beregninger benyttes temperatur (θ) som fri variabel. Vi må angi grensebetingelser i form av enten Dirichlet eller Neumannbetingelser. I dette kapitellet om termiske felter begrenser vi oss til å studere problemer med ett domene (område), der vi har varmeledning, varmekapasitet og eventuell varmeproduksjon. Fenomener som stråling og konveksjon antas kan behandles som grensebetingelser. Vi har da følgende aktuelle grensebetingelser: 1) Temperaturen,θ, er kjent på randen. Dette er en Dirichlet betingelse. 2) Det strømmer ikke varme ut av randen. Adiabatisk eller isolert flate. Dette er en homogen Neumann betingelse. λ ( θ) 0 n 3) Varmestrømmen er kjent på randen. Dette er Neumann betingelsen: λ ( θ) q n 4) Varmestrømmen på flaten øker lineært med temperaturen på overflaten: λ ( θ) h [ θ θ] n Dette kalles en blandet betingelse og benyttes ved konveksjonsoverflater (forklares senere i dette kapitellet). 5) Varmestrømmen på flaten øker med temperaturen på overflaten i fjerde potens: λ 4 ( θ) h [ θ θ 4 ] n Dette benyttes ved strålingsoverflate (forklares senere i dette kapitellet). GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 173

6 Et stilisert eksempel (ikke praktisk problem) er vist i fig.7 5. Her er indikert et indre område med varmeproduksjon og med en oppdelt rand med diverse typer grensebetingelser. λ ( θ) h [ θ θ] n θθ 1 θθ 2 θθ 3 λ ( θ) 0 n λ 4 ( θ) h [ θ θ 4 ] n Figur 7 5: Stilisert termisk problem med forskjellige type grensebetingelser Initialbetingelser Ved løsning av tidsvarierende problemer i tidsplanet må vi også oppgi initialbetingelser. Dette betyr at vi må angi temperaturen alle steder i problemet ved t0. Med dette som utgangspunkt kan en starte beregningene enten numerisk eller analytisk. 7.4 Konveksjon Dersom vi har et objekt der det ledes varme til overflaten, vil denne varmen fortsette ut i det mediet som omslutter objektet. Ofte er det luft (gass) rundt et slikt objekt, men vi kan også finne væsker. I fordelingstransformatorer er eksempelvis hele konstruksjonen (kjerne og viklinger) mange ganger nedsenket i olje. 174

7 Seksjon 7.4 Konveksjon Figur 7 6: Luftstrømning langs en varm flate turbulent strømning luftstrøm Innledning Hvordan varmer forplantes til det omkringliggende mediet varierer mye med temperatur og mediets bevegelse. Ved høye overflatetemperaturer vil den dominerende mekanismen for varmeoverføring være stråling, som behandles senere i kapittelet. Ved lavere overflatetemperaturer (fra 20 til ca 150 grader celsius), - som er typiske arbeidstemperaturer, vil en oppdage at varmen forplantes hovedsaklig ved konveksjon. Varm flate laminær strømning Ved konveksjon oppvarmes molekylene ved overflaten, slik at gass/ væske ekspandere/blir lettere og begynner å bevege seg (stiger oppover). Etterhvert vil gassstrømmen bli betydelig, slik at stadig nye kalde molekyler stryker langs flaten. I fig.7 6 vises hvordan partikler beveger seg opp langs en varm flate. I begynnelsen er bevegelsen laminær. Etterhvert blir hastigheten stor nok til at virvler oppstår (turbulent strømning). Varmen vil møte stor termisk motstand når gassens/væskens hastighet er lav. En har da kun ha varmeledning gjennom luft. Når hastigheten øker vil kalde molekyler mer effektivt komme inn mot flaten og kjøle den bedre - med bedre varmeledning. Ut fra dette ser vi at mediets bevegelseshastighet sterk påvirker mekanismen. For å beskrive konveksjon benytter en lineær relasjon mellom temperaturovergang og varmestrøm på grenseflaten: der parameteren α k p konv Q - α t k A ( θ flat θ omg ) kalles varmeovergangstallet for flaten. (7-13) Dersom vi vil knytte dette til en Neumannbetingelse for flaten får vi at: eller λ α n k ( θ flat θ omg ) (7-14) GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 175

8 vil variere svært mye avhengig av geometri og hastighe- Verdien av ter. α k n α k ( θ λ flat θ omg ) (7-15) Påtvunget konveksjon Dersom vi har en yttervegg med ru overflate, omgivelsestemperatur på 20 grader og en påtvunget lufthastighet kan vi benytte: og α k 62, + 42v, v 5 m s - for (7-16) α k 65v, 08, v 5 m s - for (7-17) For glatte overflater får vi redusert konveksjonen noe: og α k 56, + 4v v 5 m s - for (7-18) α k 60v, 08, v 5 m s - for (7-19) Vindhastigheten er midlere hastighet i det turbulente området Naturlig konveksjon Dersom partikkelbevegelsen kun skyldes oppvarmingen av luften, vil dette kalle naturlig konveksjon. Dersom en har en vertikalt stående plate har en funnet at dersom temperaturdifferansen mellom plate og omgivelser er større enn 15 grader så kan en benytte: α k 253, 4 θ plate θ omg (7-20) mens for lavere temperaturforskjeller kan en benytte: α k 35, , v (7-21) Det finnes nærmere beskrivelse av slike varmeovergangstall i oppslagsverk som Hütte. 176

9 Seksjon 7.5 Stråling 7.5 Stråling Når temperaturen i et medium blir høy vil varmetransporten i stadig større grad skje ved stråling. Selve strålingsmekanismen kan vi observere allerede ved lave temperaturer. Hold eksempelvis hånden 10 cm fra noe som har temperaturen 100 grader celsius, og du kjenner tydelig at det stråler fra objektet. Ved høyere temperaturer øker denne varmestrømmen med fjerde potens av temperaturen. I en plasmabrenne (stående lysbue) vil en kunne produsere 10-talls MegaWatt i et svært lite volum. Lysbuens svært høye temperatur 4000 til grader celsius og korresponderende stråling gir da en svært effektiv varmetransport. Dette temaet er svært omfattende og vi vil her kun begrense oss til å presentere Stefan - Bolsmanns lov, som gir relasjonen mellom effekten pr flateenhet ut fra en flate avhengig av temperaturen: p θ C θ s (7-22) der temperaturen er absolutt og C s er typisk 5.775*10-4. Dette gir svært ulineære forhold på flaten. Ved forenklede beregninger kan en som for konveksjon benytte en Nuemannbetingelse n εc s ( θ 4 flate θ 4 omg) λ (7-23) der ε er emisjonsforholdet som avhenger av overflaten farge og struktur. ε er alltid mindre enn 1. Det kan være av interesse å innføre et temperaturoverganstall som for konveksjon, slik at vi kan skrive: λ ( θ) ( αk + α n ε )θ ( flate θ omg ) (7-24) der ( θ 4 flat θ 4 omg) α ε εc s ( ) θ flate θ omg (7-25) GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 177

10 7.6 VARME- OVERFØRING GJENNOM EN PLAN VEGG Endimensjonal betraktning Dersom vi betrakter en uendelig stor plan vegg med konstant temperatur på begge ytterflatene og forutsetter homogent, isotropt materiale, kan varmen bare bre seg i en retning. Etter forutsetningene, se fig.7 7, er her temperaturen konstant i z-y plane og likningen forenkles til: Figur 7 7: Uendelig bred og høg vegg med tykkelse s. 2 0 x 2 (7-26) Ved to gangers integrasjon får vi likningen for temperaturfordelingen θ B x + D (7-27) som altså er lineær. Med de angitte temperaturer på overflatene blir: D θ 1 (7-28) B θ 2 θ s (7-29) Dermed er temperaturfordelingen bestemt, og da kan vi bestemme varmemengden som går gjennom veggen. Vi har x B θ 1 θ s (7-30) og dermed er θ dq λ A 2 θ dt s (7-31) Med et stasjonært temperaturforløp kan vi uttrykke den varmeenergi som ledes gjennom veggen som: θ Q λ A 2 θ t s (7-32) Vegger med flere isolasjonssjikt Dersom en vegg består av flere isolasjonssjikt må vi benytte flere ligninger da vi bare kan forutsette temperaturen på innsiden og utsiden som kjent. Det vi dessuten vet er at det er samme varmemengde som strømmer gjennom alle sjikt i stasjonær tilstand. 178

11 Seksjon 7.6 VARME-OVERFØRING GJENNOM EN PLAN VEGG dq dt θ P λ 1 A 1 θ x θ λ m A x θ y θ λ 2 A y θ, (7-33) Figur 7 8: Trelags isolasjon θ 1 θ x P s (7-34) Aλ 1 s 1 s m s 2 Ved å legge disse tre ligningene sammen får vi θ x θ y P s m Aλ m θ y θ 2 P s Aλ 2 (7-35) (7-36) s m s 2 θ 1 θ 2 P s Aλ 1 Aλ m Aλ 2 (7-37) Q P t ( θ 1 θ 2 ) t s 1 s m s Aλ 1 Aλ m Aλ 2 (7-38) Betong Glassvatt Isolerstein Figur 7 9: Betongvegg med indre isolasjon Regneeksempel Anta at vi har en vegg med tre sjikt som skissert i fig.7 8. Følgende parametre er oppgitt: λ (for 15 cm betong), λ (for 4 cm glassvatt), λ (for 11 cm isolerstein). Vi antar videre at innetemperaturen er 20 og utetemperaturen er C. Vi kan bruke ligningene fra forrige avsnitt: 20 θ 1 P A , 11 0, 23 (7-39) θ 1 θ 2 P , A 0, 035 (7-40) P θ 2 ( 20) A , 15 17, Ved å bruke (7-37) kan vi bestemme forholdet P/A: (7-41) GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 179

12 P θ - 1 θ , 5 A s s m s λ 1 λ m A 2 (7-42) Vi kan også innføre en gjennomsnittlig varmeledningsevne, brukt i en ekvivalent lignfor veggen: θ inne θ ytre P - s vegg s λ vegg g A λ g s s m s eller , 176(7-43) λ 1 λ m A 2 Ut fra dette beregnes temperaturene i sjiktovergangene til: θ 1 8,8 0 C og θ 2-18,1 0 C (7-44) Figur 7 10: Sylindrisk vegg som det strømmer varme gjennom Varmeledning gjennom sylindervegg I ovnsanlegg, kabler og i en rekke andre anvendelser har en sylinderformede geometrier. Dersom denne sylinderen er lang og temperaturen er jevnt fordelt over inn og ytterside, vil ligningen som beskriver dette bli endimensjonale: Løsningen av denne differensialligningen er gitt ved: λ r 2 r r (7-45) r 2 r θ Bln r+ D (7-46) Varmemengden som går gjennom sylinderveggen når h betegner sylinderens lengde blir: r 1 som gir: dq λ 2πrh dt r (7-47) Av grensebetingelsene får vi: Q λ 2πhBt θ 1 Bln r 1 + D (7-48) (7-49) B bestemmes da til: θ 2 Bln r 2 + D (7-50) 180

13 Seksjon 7.6 VARME-OVERFØRING GJENNOM EN PLAN VEGG B θ 1 θ r 2 ln---- r 1 (7-51) som innsatt gir: Q λ 2πh θ 1 θ r 2 ln---- r 1 (7-52) Figur 7 11: Kuldebro - betonggulv med overgang til yttervegg Ytre panel Varmeledning i sammenheng med kuldebroer Ved konstruksjon av elektromagnetisk utstyr og kanskje spesielt ved "husbygging" er det viktig å ha kontroll på hvor varmen strømmer. Et kjent fenomen er at ellers varme husvegger har kalde punkt som skyldes kuldebroer der varmen lekker ut. Generelt kan beregning av temperaturer i slike kuldebroer være vanskelig. Imidlertid gir nye numeriske verktøy (eksempelvis Elementmetoden) beregningene enklere. Et eksempel på en slik kuldebro er vist i fig Sentralt i dette problemet er at betongens termiske ledningsevne er betydelig større enn i isolasjon og treverk. Varmen vil derfor trekkes fra gulvet, gjennom betongen og ut. Isolasjon Betong Det finnes en rekke andre geometrier der materialer med høy varmeledningsevne påvirker temperaturfordeling og varmeflyt slik at en lett får kalde punkt. Høg temperatur Kald sone Varmestrøm Lav temperatur god varmeleder Figur 7 12: Stålbjelke inne i en vegg I fig.7 12 ser vi at det er lagt inn en stålbjelke i et gulv, slik at det på gulvet over bjelken blir en kald sone. GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 181

14 7.7 Kretsekvivalent for termiske analyser Figur 7 13: Analoge størrelser Termisk p θ R t cm Elektrisk I V R e C Komponenter i kretsmodell På samme måte som for elektriske og magnetiske problem kan en lage kretsekvivalenter for termiske problem. Slike analoge modeller kan beskrive kompliserte 3D problemstillinger der en tar hensyn til både varmeledning og lagring av termisk energi. Varmestrøm. I en termisk krets flyter det en varmestrøm. Denne har enheten Watt og gis symbolet p. Det analoge størrelsen i en elektrisk krets er strømmen I. Dette betyr at dersom det produseres varme i et objekt, for eksempel elektrisk oppvarming, så vil dette bli ekvivalert med en strømkilde. Temperaturdifferanser. I den termiske kretsen er de frie variable temperaturer rundt omkring i objektet som blir studert. Over en termisk motstand ligger det en temperaturdifferans θ, på samme måte som det ligger en spenningsdifferans V over motstander i en elektrisk krets. Dersom en kjenner en temperaturdifferans i problemet kan dette også modelleres ved hjelp av en spenningskilde i kretsekvivalenten. Termisk Motstand. Den termiske motstanden angir relasjonen mellom temperaturdifferans og varmestrøm. Intuitivt er det lett å forstå at varmestrømmen øker med økt temperaturdifferans over et objekt. I denne sammenheng antar vi at varmestrømmen øker proporsjonalt med temperaturdifferansen. Figur 7 14: Et volum som det flyter varme gjennom: θ 1 θ 2 L A p R t (7-53) dersom vi har et enkelt kubisk legeme, se fig.7 14, vil da motstanden være (7-54) Hvordan vi bruker denne kretsmodellen avhenger av problemstillingen. Noen ganger vet vi temperaturforskjeller i kretsen og slik at varmestrømmer deretter beregnes. I andre tilfeller kjenner vi varmeproduksjon og vet dermed varmestrømmen i kretsen. θ - p L R tvarmeledning, λa Vi kan også definere spesielle motstander som "fungerer" på randen av problemet. Dersom vi på en rand har en konveksjonsmekansime som leder varmen bort, kan vi sette: 182

15 Seksjon 7.7 Kretsekvivalent for termiske analyser Figur 7 15: Enkel dynamisk kretsmodell p αa( θ rand θ ) (7-55) Vi definerer motstand som temperaturdifferans dividert med varmestrøm: θ j θ omgivelse ( θ rand θ ), p R tkonveksjon (7-56) Dersom vi ønsker å inkludere den svært ulineære strålingsmekanisme, kan vi gjøre dette forenklet: αa θ(t) R t ( θ R rand θ ) str p ( θ rand θ ) εc s ( θ 4 rand θ 4 omg)a (7-57) p(t) C t θ omgivelse Termisk kondensator - analogi for varmekapasitet, lagring av termisk energi I termiske kretsanalogier er det også ønskelig å inkludere lagring av termisk energi og korresponderende transiente temperaturer. Dersom vi kjenner massen av et objekt og spesifikk varmekapasitet kan vi benytte: p γc dv t mc t (7-58) Dette er da analogt med en kondensator der C t mc og p er strømmen i kretsen. I praksis får en ofte oppgitt denne verdien, C t, av leverandører av utstyr. Eksempelvis vil både varmeovergangstall og varme-kapasitet være oppgitt for kjøleflenser. Figur 7 16: Temperatur som funksjon av tid. p(t) - pådrag θ(t) Vi kan som eksempel tenke oss en terning med sin C t -verdi og en termisk motstand, R t. Videre antar vi at terningen varmes ved at det tilføres effekt p fra utsiden. En kretsekvivalent for dette problemet er vist i fig.. Dersom vi har et sprangpåslag i effekten, p(t), vil vi få transient temperaturutvikling som vist i fig Kretsmodell for en vegg Dersom vi igjen studerer en vegg med mange sjikt kan vi nå løse denne ved hjelp av en enkel krets: GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 183

16 L a λ a A L b λ b A L c λ c A L a L b L c θ 1 λ λ λ θ 2 a b c θ 1 θ 2 R a R b R c Figur 7 17: Kretsmodell for trelags vegg Dersom vi har parallelle veier for varmestrømmen, kan vi også modellere dette. I fig.7 18 vises en vegg der det er to forskjellige materialer i midten av veggen. L a L b L c λ λ λ a b c θ 1 θ 2 L a λ a A a L b λ b A b L c λ c A c θ 1 θ 2 R a R b R c L b L λ d R d d λ d A d Figur 7 18: Vegg med parallelle strømningsveier Kretsmodell for en kjøleflens Mot en kjølflens kan vi tenkeoss at det ligger flere materialer etterhverandre. Varmen som er produsert (i eksempelvis en transistor), må gå gjennom disse materialene før varmen kan flyte ut i kjøleflensen og fjernes. Dersom vi har tre materialer montert sammen som vist på fig fig. og tilfører varme på toppen kan vi nå bruke følgende dynamiske modell: 184

17 Seksjon 7.7 Kretsekvivalent for termiske analyser θ flate P(t) θ cu θ overgang Silisium Kobber θ omgivelse Aluminium Figur 7 19: Tre materialer med både varmekapasitet og varmeledningsevne R si R cu R alu p(t) C si C cu C al Figur 7 20: Kretsekvivalent GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 185

18 186

19 Seksjon 7.7 Kretsekvivalent for termiske analyser GRUNNLAG FOR ELKRAFT TEKNIKK 187

20 188