ECON2200 Matematikk 1/Mikroøkonomi 1 Diderik Lund, 2. mars 2010

Transkript

1 Etterspørsel etter arbeidskraft på kort sikt Slutten av avsn. 2.3 i ØABL: Maks dekningsbidrag med n som valgvariabel (tidl.: med x) Siden x = F (n) er enentydig: Nøyaktig samme problem max n [pf (n) wn] har f.o.b. pf (n ) w = 0 for optimal n A.o.b. F (n) < 0; forutsetter nå at denne er oppfylt Løsningen er interessant bare hvis dekningsbidrag > 0 Dvs. F (n) n > w p, gjennomsnittsproduktivitet > reallønn A.o.b. medfører F (n) er strengt avtakende Antar den også er kontinuerlig, da har F () en invers, e() ) (w F (n) = w p n = e p e() (fra f.o.b.) kalles faktoretterspørselsfunksjonen Når vi også tar høyde for betingelsen om positivt dekn.bidrag: Faktoretterspørselen er n E = { 0 når F (n) ( ) n e ellers w p < w p Faktoretterspørselsfunksjonen har w p som argument; økonomisk Faktorinnsatsfunksjonen G(x) har produsert mengde som argument; en rent teknisk sammenheng 1

2 Effekter på x og n av endret p eller w Ser på effekter under forutsetning av max dekningsbidrag Bedriften valgte n (og x) for å oppnå dette før endringen Bedriften vil normalt endre n (og x) for å oppnå max etterpå I avsn. 2.4 i ØABL: Forutsetter dekningsbidrag > 0 Sammenlikner to tilpasninger der f.o.b. er oppfylt i begge Kan dermed finne effekten av endret p eller w ved derivasjon Effekt på x av endret p Skriver tilbudsfunksjonen som x T = s(p; w) F.o.b. kan skrives som c x(s(p; w); w) = p Deriverer på begge sider mhp. p: c xx(x T ; w) s p = 1 s p = 1 c xx A.o.b. krevde c xx > 0; derfor blir også s p > 0 Grafisk: Beveger oss langs stigende grensekostnadskurve Jo brattere (dvs. jo større c xx), jo mindre effekt på x Ekstremt tilfelle: c xx, x blir upåvirket av p 2

3 Effekt på x av endret w F.o.b. c x(s(p; w); w) = p Deriverer på begge sider mhp. w: c xx(x T ; w) s w + c xw(x T ; w) = 0 s w = c xw Igjen er c xx > 0 Vet også at c xw d dw [wg (x)] G (x) > 0 Ser derfor at s w < 0 Grafisk: Grensekostnadskurven skifter oppover hvis w øker Igjen: Brattere grensekostnadskurve betyr mindre effekt på x Dessuten: Høy c xw betyr større vertikalt skift Dette medfører større effekt på x (i absoluttverdi) c xx 3

4 Effekt på n av endret p eller w Ser fortsatt på tilpasninger der f.o.b. er oppfylt Faktoretterspørselsfunksjonen er n E = e( w p ) Ikke funksjon av w og p hver for seg, men w p Tilstrekkelig å analysere effekten av endret w p Proporsjonal endring fra w 0 p 0 til aw 0 ap 0 har ingen effekt F.o.b. F (n E ) = w p Derivasjon mhp. w p gir F (n E ) dne ( ) = 1 dne ( ) = d d A.o.b. krever at F < 0; derfor er dne d( w p ) < 0 w p w p 1 F (n E ) Økt lønn medfører redusert etterspørsel etter arbeidskraft Økt produktpris medfører økt etterspørsel Enkleste forklaring: Følger endringene i tilbudet x T I absoluttverdi er effekten svakere hvis F er stor Ser at dette stemmer med f.o.b.; for en gitt endring w p : Stor F betyr at en liten n medfører stor endring i F 4

5 Faste kostnader, drift, stans, nedleggelse I forelesningen 8. februar: Faste kostnader B Driftsuavhengige, dvs. påløper uansett om det er drift Drift eller ikke er valg mellom D B og B Beslutning om drift avhenger av D > 0, uansett hva B er I ØABL avsn. 2.4 skilles mellom B A er anleggsbetinget, driftsuavhengig fast kostnad B D er driftsavhengig fast kostnad B U er ugjenkallelig fast kostnad, sunk cost er skrapverdi av anlegg A er avviklingskostnad Vurderer flere hypotetiske situasjoner: Drift versus midlertidig driftstans, D B A B D B U > B A B U? Midlertidig driftstans versus nedleggelse, B A B U > A B U? B U spiller ingen rolle for beslutningene, påløper uansett Viktig poeng: Alle kostnader gjelder for nærmeste periode Kostnader for bygninger og maskiner med lengre levetid: Sammenlikn salg nå med nåverdi av salg om en periode Sistnevnte avhenger av prisutvikling, slitasje, rente 5

6 Produksjon med flere variable faktorer Kapittel 3 i ØABL, lang sikt Av pedagogiske grunner: To variable faktorer, ikke flere For det meste: Kaller disse n, k, ikke lenger konstant k Viktigste nye tema: Substitusjon mellom n og k Samme produktmengde kan produseres med forskjellige (n, k)? Aktuelt for noen prosesser, noen anlegg; ikke alle Lang sikt: Typen kapital, ikke bare verdien, varierer Eksempler på substitusjon: Biler, hus, snørydding,... Hvordan vil bedriftseiere velge for maksimalt overskudd? Produktfunksjon med variable n, k Argumentverdien er et punkt i (n, k)-planet Grafen til x = f(n, k) er en flate i (n, k, x)-rommet Kan illustreres tredimensjonalt, men vanskelig å tegne Enklere, to-dimensjonale illustrasjoner: Nivåkurver i (n, k)-planet; kalles isokvanter Grafer der en faktor holdes konstant, f.eks. f(n, k) 6

7 Substitusjon, egenskaper ved isokvanter x 0 = f(n, k) gir en isokvant for produktmengden x 0 x 0 er en fast størrelse, n og k kan variere Forteller hvilke kombinasjoner (n, k) som gir x 0 To ekstremtilfeller: Bare en kombinasjon er mulig F.eks. en arbeider per maskin, bare en type maskiner Rettvinklet isokvant Grenseproduktivitet er null for en faktor nesten overalt f k = 0 langs vertikal del, f n = 0 langs horisontal Bare summen n + k har betydning (evt. n + ak, a > 0) Vanskelig å gi eksempler med arbeidskraft og kapital Eksempel kan være to typer energi til et varmeanlegg x = f(n, k) F (n + ak) er en funksjon i en variabel Rettlinjet isokvant k = 1 a (F 1 (x 0 ) n) Mellomtilfeller: Substitusjon ikke perfekt overalt 7

8 Hovedtilfellet: Substitusjon, konvekse isokvanter Vil anta f er to ganger kontinuerlig deriverbar Vil anta f er voksende i hver faktor, og f(0, 0) = 0 Trenger begreper for helning og krumning av isokvanter k = k(n; x 0 ) definerer isokvanten som en funksjon av n Er interessert i første- og andrederivert av denne Vil finne disse basert på deriverte av f-funksjonen Tar utgangspunkt i x 0 = f(n, k(n; x 0 )); ser først på helningen Hvor stor k må erstatte en n = 1 for å opprettholde x 0? Deriverer begge sider mhp. n, med x 0 konstant 0 = f n + f dk k dn dk dn = f n f k < 0 siden vi antar begge grenseproduktiviteter positive k(n; x 0 ) er altså en avtakende funksjon av n Unntaket, rettvinklede isokvanter: Enten f n Absoluttverdien av helningen kalles den marginale tekniske substitusjonsbrøk, MTSB dk(n; x 0 ) f dn = n f k eller f k er null 8

9 Krumningen av isokvanten Hvordan endrer MTSB seg når vi beveger oss langs isokvanten? Ønsker uttrykk for den andrederiverte av k(n; x 0 ) Skriver f n, f k for førsteordens partielt deriverte Skriver f nn, f nk, f kk for andreordens Vet at f nk = f kn (Youngs setning, Sydsæter avsn. 11.6) Bruker kjerneregel og regel for derivert av brøk: ( ) d fn (n, k(n; x 0 )) = f ( ) ( ) dk k fnn + f nk dn dk fn fnk + f kk dn dn f k (n, k(n; x 0 )) (f k ) 2 Setter inn dk dn = f n fk, multipliserer teller og nevner med f k, og finner at isokvanten er konveks hvis og bare hvis Ikke lett å tolke hvert ledd f nn (f k ) 2 2f n f k f nk + f kk (f n ) 2 < 0 Kontroll: Hvordan ser dette ut i tilfellet x = F (n + ak)? Bruk f n = F, f k = af, f nn = F, f nk = af, f kk = a 2 F Finner at uttrykket ovenfor blir null, alså konstant MTSB 9

10 Teknisk komplementære faktorer; teknisk alternative f nn og f kk kalles direkte produktakselerasjoner f nk kalles kryssakselerasjonen Hva skjer med grenseproduktiviteten av n når k endres? Hold n konstant; loddrett bevegelse i (n, k)-planet Hva skjer med grenseproduktiviteten av k når n endres? Hold k konstant; vannrett bevegelse i (n, k)-planet Svaret avhenger av f nk, som er lik f kn Altså samme svar på begge spørsmålene iflg. Youngs setning Produktiviteten av ekstra arbeidstime når k liten, k stor? Kanskje rimelig å tro den er størst når k er stor; f nk > 0 I så fall kalles n og k teknisk komplementære I motsatt fall, når f nk < 0, kalles de teknisk alternative 10

11 Skalaegenskaper ved produktfunksjonen Har så langt sett på bevegelser langs en isokvant bevegelser parallelt med aksene Skalaegenskaper dreier seg om bevegelser utover i diagrammet Hva skjer når n og k vokser langs stråle fra origo Holder altså forholdet n/k konstant Definer funksjonen γ(t; n 0, k 0 ) f(tn 0, tk 0 ) Studer hva som skjer når t endres, γ (t) Med referanse til (n 0, k 0 ): Se på γ (1) Målestokk for γ ikke veldefinert, se på elastisitet Finner den deriverte først: γ (t) = f(tn 0, tk 0 ) (tn 0 ) γ (1) = f(n 0, k 0 ) (n 0 ) n 0 + f(tn 0, tk 0 ) k 0 (tk 0 ) n 0 + f(n 0, k 0 ) k 0 (k 0 ) Definer skalaelastisiteten, ε(n 0, k 0 ) El t γ(t) t=1 Fra definisjonen av elastisitet, med t = 1 ε(n 0, k 0 ) = γ (1) γ(1) = f n(n 0, k 0 ) n 0 x 0 + f k(n 0, k 0 ) k 0 x 0 ε n (n 0, k 0 )+ε k (n 0, k 0 ), summen av faktorenes grenseelastisiteter 11

12 Skalaegenskaper, forts. Begrepet skalautbytte defineres ut fra ε(n, k) Hvis ε(n, k) > 1 for alle (n, k): Tiltakende skalautbytte Hvis ε(n, k) = 1 for alle (n, k): Konstant skalautbytte Hvis ε(n, k) < 1 for alle (n, k): Avtakende skalautbytte Men fullt mulig at ε(n, k) er < 1 for noen (n, k), > 1 for andre Kan også definere lokalt tiltakende, konstant og avtakende skalautbytte i et bestemt punkt (n 0, k 0 ), ut fra ε(n 0, k 0 ) > 1,... Kan også definere tiltakende, konstant og avtakende utbytte mhp. en faktor, f.eks. arbeidskraft, basert på ε n (n, k) > 1,... Siden ε(n, k) = ε n (n, k) + ε k (n, k), har vi: Tiltakende utbytte mhp. begge faktorer medfører tiltakende skalautbytte Avtakende skalautbytte medfører avtakende utbytte mhp. begge faktorer 12

13 Homogene funksjoner En funksjon er homogen av grad m hvis f(tn, tk) t m f(n, k) Ikke en lokal egenskap; må gjelde for alle (n, k) En spesiell gruppe av (produkt)funksjoner, slett ikke alle Konstant skalautbytte er det samme som homogen av grad 1 Homogen av grad større enn 1 tiltakende skalautbytte Homogen av grad mindre enn 1 avtakende skalautbytte Egenskaper ved homogene funksjoner Deriverer likningen ovenfor mhp. t f(tn, tk) n (tn) f(tn, tk) + k (tk) Ved å sette t = 1 finner vi Eulers setning f(n, k) n (n) f(n, k) + k (k) Deriverer i stedet mhp. n (og k tilsv.) f(tn, tk) (tn) (tn) n = mt m 1 f(n, k) = mf(n, k) = tm f(n, k) (n) grenseproduktivitetene er homogene av grad m 1 f(tn, tk) (tn) = t m 1 f(n, k) (n) 13